Apostila Calculo I - Matemática para Economia

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Notas Matema´tica para Economia I
Felipe Rivero e Thiago Salvador
Revisado por:
Maria Emilia Neves, Juliana Coelho e Yuri Ki
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Departamento de Ana´lise
2016
F. Rivero e T. Salvador 2 Matema´tica para Economia I
Suma´rio
1 Limites 5
1.1 Noc¸a˜o intuitiva de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Limites envolvendo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.3 O nu´mero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5 Ass´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Derivac¸a˜o 55
2.1 Noc¸a˜o intuitiva de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.1 Coeficiente Angular da Reta Tangente ao Gra´fico de uma Func¸a˜o . 55
2.1.2 Taxa de Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.3 A Derivada de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2 Regras ba´sicas de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3 Derivac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.1 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4 Exponenciais e trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3
SUMA´RIO SUMA´RIO
2.4.1 Derivadas de func¸o˜es exponenciais e de
func¸o˜es logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.2 Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.5 Regra da func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.6 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7 Regra de L’Hoˆpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.7.1 Outras formas inderteminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Aplicac¸o˜es 119
3.1 Fun. crescente e decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2 Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.4 Esboc¸o de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5 Problemas de Otimizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4 Va´rias varia´veis 147
4.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2.1 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3 Regras da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.3.1 Diferenciac¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.1 O teste da Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Revisa˜o 181
F. Rivero e T. Salvador 4 Matema´tica para Economia I
Cap´ıtulo 1
Limite de func¸o˜es de uma varia´vel
real
O conceito de limite e´ o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do
Ca´lculo, como os de continuidade, derivada e integral. Nesse cap´ıtulo vamos discutir o
que sa˜o os limites e como podem ser calculados. Tambe´m vamos estudar o conceito de
continuidade.
1.1 Noc¸a˜o intuitiva de limite
De maneira geral, o processo de determinar o limite consiste em investigar o compor-
tamento do valor da imagem f(x) de uma func¸a˜o f a` medida que sua varia´vel independente
x se aproxima de um nu´mero, que pode ou na˜o pertencer ao domı´nio de f .
Vamos supor que um estudo de mercado sobre uma empresa estima que o investimento
de x milho˜es de reais geram um benef´ıcio dado pela func¸a˜o abaixo
f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 .
Os trabalhadores da empresa querem saber o valor estimado do benef´ıcio quando ha´
um investimento de 1 milha˜o de reais. Embora a func¸a˜o f na˜o seja definida em x = 1,
podemos avaliar f(x) para valores de x muito pro´ximos de 1. Para fazer isto, podemos
observar a tabela a seguir,
x 0.9 0.95 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.05 1.1
f(x) 2,9 2,95 2,99 2,999 – 3,001 3,01 3,05 3,1
5
1.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE LIMITE CAPI´TULO 1. LIMITES
Os valores da func¸a˜o na tabela sugerem que:
• f(x) se aproxima do nu´mero 3 a` medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados.
Portanto, os benef´ıcios se aproximam de 3 milho˜es de reais quando o investimento
se aproxima de 1 milha˜o.
• Podemos obter valores para f(x) ta˜o pro´ximos de 3 quanto quisermos, bastando
para isso tomar valores de x suficientemente pro´ximos de 1.
Esse comportamento pode ser descrito, intuitivamente, dizendo que o limite de f(x)
quando x tende a 1 e´ igual a 3 e abreviado por
lim
x→1
f(x) = 3 ou lim
x→1
x2 + x− 2
x− 1 = 3
Na Figura 1.1 podemos observar que o gra´fico de f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 e´ uma reta com
um ’buraco’ no ponto (1, 3), e os pontos (x, y) = (x, f(x)) no gra´fico se aproximam desse
buraco a` medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados.
Figura 1.1: Gra´fico de f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 [Video]
F. Rivero e T. Salvador 6 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE LIMITE
Temos a seguinte definic¸a˜o (informal) de limite:
Definic¸a˜o 1.1 Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto em torno de um ponto
c, exceto possivelmente em c. Se o valor de f(x) fica arbitrariamente pro´ximo de um
valor L para todos os valores suficientemente pro´ximos de c, dizemos que f tem limite
L e escrevemos
lim
x→c
f(x) = L ou f(x)
x→c−−−→ L
Ao definirmos limite, admitimos que f(x) e´ definida para todos os valores de x nas
proximidades de c, mas na˜o necessariamente em x = c. A func¸a˜o na˜o precisa nem existir
em x = c, e, mesmo que exista, seu valor f(c) neste ponto pode ser diferente do limite
quando x tende a c. Na Figura 1.2 o limite de f(x) quando x → c, e´ igual a L, embora
as func¸o˜es se comportem de forma bastante diferente em x = c.
(a) f(c) e´ igual ao limite L (b) f(c) e´ diferente de L
(c) f(c) na˜o esta´ definido
Figura 1.2: Diferentes comportamentos de limites
F. Rivero e T. Salvador 7 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
A Figura 1.3 mostra os gra´ficos de duas func¸o˜es que na˜o teˆm limite quando x tende a
c. O limite na˜o existe na figura (a) porque os limites laterais sa˜o diferentes, isto e´, f(x)
se aproxima de 5 quando x tende a c pela direita e se aproxima de 3 (um valor diferente)
quando x tende a c pela esquerda. A func¸a˜o da figura (b) na˜o tem limite (finito) quando
x tende a c porque os valores de f(x) aumentam indefinidamente a` medida que x se
aproxima de c. Dizemos que func¸o˜es como a da figura (b) teˆm um limite infinito quando
x tende a c. Limites laterais e limites infinitos sera˜o estudados mais adiante.
(a) Limites laterais distintos (b) Limite infinito
Figura 1.3: Limites laterais e limite infinito
Vamos apresentar a seguir uma definic¸a˜o precisa de limite, conceito que foi introduzido
informalmente na Definic¸a˜o1.1.
Definic¸a˜o 1.2 Seja f uma func¸a˜o com valores reais definida num intervalo aberto em
torno de un valor c, exceto possivelmente em c e seja L um nu´mero real. Dizemos que o
limite de f quando x tende a c e´ L se para todo nu´mero ε > 0 existe um nu´mero
δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε para todo x verificando |x− c| < δ.
1.2 Propriedades dos limites
Seria muito trabalhoso calcular cada limite por meio de uma tabela, como fizemos na
sec¸a˜o anterior. O nosso objetivo agora e´ introduzir propriedades (teoremas) que permitam
simplificar o ca´lculo dos limites de func¸o˜es alge´bricas.
F. Rivero e T. Salvador 8 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
O Teorema 1.1 a seguir, se refere aos limites de duas func¸o˜es lineares elementares.
Teorema 1.1 Sejam c e k nu´meros reais. Enta˜o,
i) lim
x→c
k = k.
ii) lim
x→c
x = c.
O Teorema 1.2 mostra como calcular limites de func¸o˜es que sa˜o combinac¸o˜es aritme´ticas
de func¸o˜es cujos limites ja´ conhecemos.
Teorema 1.2 Se L, M , c e k sa˜o nu´meros reais, f e g func¸o˜es reais com valores reais e
lim
x→c
f(x) = L e lim
x→c
g(x) = M , enta˜o:
i) lim
x→c
(f(x)± g(x)) = lim
x→c
f(x)± lim
x→c
g(x) = L±M .
ii) lim
c→c
(f(x) · g(x)) = lim
x→c
f(x) · lim
x→c
g(x) = L ·M .
iii) lim
x→c
(k · f(x)) = k · lim
x→c
f(x) = k · L.
iv) lim
x→c
(f(x))n =
(
lim
x→c
f(x)
)n
= Ln onde n ∈ N.
v) Se M 6= 0, enta˜o lim
x→c
f(x)
g(x)
=
lim
x→c
f(x)
lim
x→c
g(x)
=
L
M
.
vi) lim
x→c
n
√
f(x) = n
√
lim
x→c
f(x) =
n
√
L onde n e´ um nu´mero natural ı´mpar maior que 1, ou
n e´ um nu´mero natural par e L > 0.
Exemplo 1.1 Vamos calcular os seguintes limites usando o teorema anterior:
1. lim
x→5
7.
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.1, lim
x→5
7 = 7
2. lim
x→−3
(x− 5).
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i) e ii) do Teorema 1.2,
lim
x→−3
(x− 5) = lim
x→−3
x− lim
x→−3
5 = −3− 5 = −8.
F. Rivero e T. Salvador 9 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
3. lim
x→2
(x3 + 2x+ 5)
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i), ii) e iii) do Teorema 1.2,
lim
x→2
(x3 + 2x+ 5) = lim
x→2
x3 + lim
x→2
2x+ lim
x→2
5
=
(
lim
x→2
x
)3
+ 2 lim
x→2
x+ lim
x→2
5
= 23 + 2 · 2 + 5 = 17
4. lim
x→4
(3x2 − 5).
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i), ii) e iii) do Teorema 1.2,
lim
x→4
(3x2 − 5) = lim
x→4
(3x2)− lim
x→4
5
= 3
(
lim
x→4
x
)2
− lim
x→4
5
= 3 · 42 − 5 = 43
Aplicando os Teoremas 1.1 e 1.2 podemos determinar facilmente o limite de func¸o˜es
polinomiais e de algumas func¸o˜es racionais.
Teorema 1.3 Sejam p(x) e q(x) func¸o˜es polinomiais.
i) lim
x→c
p(x) = p(c).
ii) Seja r(x) =
p(x)
q(x)
uma func¸a˜o racional e q(c) 6= 0, enta˜o lim
x→c
r(x) = r(c).
Observac¸a˜o: Os limites 2, 3 e 4 do Exemplo 1.1 podem ser calculados diretamente
aplicando o Teorema 1.3.
Exemplo 1.2 Vamos calcular os limites abaixo usando os teoremas anteriores:
1. lim
x→0
(x5 − 3x4 + 2x2 + 7).
Soluc¸a˜o: Como p(x) = x5− 3x4 + 2x2 + 7 e´ uma func¸a˜o polinomial, pelo Teorema
1.3 lim
x→0
p(x) = p(0) e, portanto,
lim
x→0
(x5 − 3x4 + 2x2 + 7) = 05 − 3 · 04 + 2 · 02 + 7 = 7.
F. Rivero e T. Salvador 10 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
2. lim
x→0
x− 2
x+ 8
.
Soluc¸a˜o: Chamando de p(x) = x − 2 e de q(x) = x + 8 e observando que q(0) =
8 6= 0 podemos aplicar o Teorema 1.3, obtendo
lim
x→0
x− 2
x+ 8
=
0− 2
0 + 8
= −2
8
= −1
4
3. lim
x→−1
2x+ 1
x2 + 3x
.
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.3 com p(x) = 2x+ 1 e q(x) = x2 + 3x,
lim
x→−1
2x+ 1
x2 + 3x
=
2(−1) + 1
(−1)2 + 3(−1) =
1
2
4. lim
x→−2
4
√
x2 − 4x+ 4.
Soluc¸a˜o: Pelo Teorema 1.3, lim
x→−2
(x2 − 4x+ 4) = (−2)2 − 4 · (−2) + 4 = 16. Usando
agora a propriedade iv) do Teorema 1.2,
lim
x→−2
4
√
x2 − 4x+ 4 = 4
√
lim
x→−2
(x2 − 4x+ 4) = 4
√
16 = 2.
5. lim
x→−1
3
√
5x− 3.
Soluc¸a˜o: Analogamente ao exemplo anterior,
lim
x→−1
3
√
5x− 3 = 3
√
lim
x→−1
(5x− 3) = 3
√
5 · (−1)− 3 = 3√−8 = −2.
6. lim
x→5
√
5x
x+ 4
.
Soluc¸a˜o: Sendo agora de p(x) = 5x e q(x) = x+ 4 e observando que q(5) = 9 6= 0,
pelo Teorema 1.3 obtemos que lim
x→5
5x
x+ 4
=
3 · 5
5 + 4
=
25
9
. Enta˜o, pelo Teorema 1.2,
lim
x→5
√
5x
x+ 4
=
√
lim
x→5
5x
x+ 4
=
√
25
9
=
√
25√
9
=
5
3
.
F. Rivero e T. Salvador 11 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Vamos estudar agora o limite da func¸a˜o f(x) =
x2 − 4
x− 2 quando x → 2. Um primeiro
estudo mostra que tanto o numerador quanto o denominador tende para zero quando x→
2, portanto na˜o podemos aplicar o Teorema 1.3. Habitualmente, nestes casos precisamos
de uma simplificac¸a˜o. Observamos que para todos os valores de x tais que x 6= 2 temos
x2 − 4
x− 2 =
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 =
���
�(x− 2)(x+ 2)
���x− 2 = x+ 2.
Portanto, a func¸a˜o f(x) e´ igual a` func¸a˜o h(x) = x+2 para todos os valores x pro´ximos
de 2 mas diferentes de 2. Como para o ca´lculo dos limites na˜o precisamos do valor no
mesmo ponto (ver Definic¸a˜o 1.1), enta˜o temos
lim
x→2
x2 − 4
x− 2 = limx→2(x+ 2) = 4,
onde podemos usar o Teorema 1.3 para o ca´lculo do segundo limite. Podemos sintetizar
a observac¸a˜o anterior no seguinte teorema:
Teorema 1.4 Se lim
x→c
h(x) = L e f(x) e´ uma func¸a˜o tal que f(x) = h(x) para todos os
valores de x pertencentes a algum intervalo ao redor de c, excluindo o valor x = c, enta˜o
lim
x→c
f(x) = lim
x→c
h(x) = L.
Exemplo 1.3 Vamos calcular os seguintes limites usando o Teorema 1.4. Para cada um
deles vamos precisar de um estudo pre´vio, bem fazendo uma fatorac¸a˜o bem usando alguma
outra te´cnica.
1. lim
x→1
x2 + x− 2
x− 1
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 na˜o esta´ definida em x = 1 pois
tanto o numerador quanto o denominador sa˜o iguais a zero quando x = 1. Fatorando
o numerador temos x2 + x− 2 = (x− 1)(x + 2). Portanto, para todos os valores x
reais tais que x 6= 1,
f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 =
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 =
���
�(x− 1)(x+ 2)
���x− 1 = x+ 2.
Logo,
lim
x→1
x2 + x− 2
x− 1 = limx→1(x+ 2) = 1 + 2 = 3.
F. Rivero e T. Salvador 12 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
2. lim
x→3
x2 − x− 6
x2 − 4x+ 3
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
x2 − x− 6
x2 − 4x+ 3 na˜o esta´ definida para o valor x = 3, pois
o numerador e o denominador sa˜o iguais a zero cuando x tem valor de 3. Fatorando
o numerador obtemos x2−x−6 = (x−3)(x+2); fatorando o denominador obtemos
x2 − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1). Logo, para todos os valores x reais tais que x 6= 3
obtemos
f(x) =
x2 − x− 6
x2 − 4x+ 3 =
(x− 3)(x+ 2)
(x− 3)(x− 1) =
���
�(x− 3)(x+ 2)
���
�(x− 3)(x− 1) =
x+ 2
x− 1 .
Enta˜o,
lim
x→3
x2 − x− 6
x2 − 4x+ 3 = limx→3
x+ 2
x− 1 =
3 + 2
3− 1 =
5
2
.
3. lim
x→−2
4− x2
2x+ 4
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o f(x) =
4− x2
2x+ 4
na˜o esta´ definida para x = −2 pois
tanto o numerador quanto o denominador sa˜o zero quando x = −2. Fatorando o
numerador temos 4 − x2 = (2 − x)(2 + x). Portanto, para todos os valores x reais
tais que x 6= −2,
f(x) =
4− x2
2x+ 4
=
(2− x)(2 + x)
2(x+ 2)
=
(2− x)����(2 + x)
2���
�(x+ 2)
=
2− x
2
.
Logo,
lim
x→−2
4− x2
2x+ 4
= lim
x→−2
2− x
2
=
2− (−2)
2
= 2.
4. lim
x→−2
x3 + 2x2
3x+ 6
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
x3 + 2x2
3x+ 6
na˜o esta´ definida para o valor x =−2, pois
o numerador e o denominador sa˜o iguais a zero cuando x = −2. Fatorando o
numerador obtemos x3 + 2x2 = x2(x+ 2). Enta˜o, para todos os valores x reais tais
que x 6= −2 obtemos
f(x) =
x3 + 2x2
3x+ 6
=
x2(x+ 2)
3(x+ 2)
=
x2���
�(x+ 2)
3���
�(x+ 2)
=
1
3
x2.
Assim,
lim
x→−2
x3 + 2x2
3x+ 6
= lim
x→−2
1
3
x2 =
1
3
· (−2)2 = 4
3
.
F. Rivero e T. Salvador 13 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
5. lim
x→−1
x2 + x
x2 + 3x+ 2
Soluc¸a˜o: Enta˜o a func¸a˜o f(x) =
x2 + x
x2 + 3x+ 2
na˜o esta´ definida para o valor x = −1
pois tanto o numerador quanto o denominador sa˜o zero quando x tem valor de −1.
Fatorando o numerador temos que x2 + x = x(x + 1) e fatorando o denominador
obtemos x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1). Portanto, para todos os valores x reais tais
que x 6= −1,
f(x) =
x2 + x
x2 + 3x+ 2
=
x(x+ 1)
(x+ 2)(x+ 1)
=
x���
�(x+ 1)
(x+ 2)���
�(x+ 1)
=
x
x+ 2
.
Portanto,
lim
x→−1
x2 + x
x2 + 3x+ 2
= lim
x→−1
x
x+ 2
=
−1
−1 + 2 = −1.
6. lim
x→0
(x+ 1)2 − 1
x
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
(x+ 1)2 − 1
x
na˜o esta´ definida para o valor x = 0,
pois o numerador e o denominador se aproximam ao zero cuando x tende para 0.
Calculando o produto nota´vel no numerador e fatorando depois obtemos (x+1)2−1 =
(x2 + 1 + 2x)− 1 = x2 + 2x = x(x+ 2). Logo, para todos os valores x reais tais que
x 6= 0 obtemos
f(x) =
(x+ 1)2 − 1
x
=
x(x+ 2)
x
=
�x(x+ 2)
�x
= x+ 2.
Enta˜o,
lim
x→0
(x+ 1)2 − 1
x
= lim
x→0
(x+ 2) = 2.
7. lim
x→1
1− x
1−√x
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o f(x) =
1− x
1−√x na˜o esta´ definida para o valor x = 1
pois tanto o numerador quanto o denominador tem valor de zero quando x = 1.
Quando aparece uma raiz no denominador ou no numerador, multiplicamos para
obter uma identidade nota´vel da forma (a + b)(a − b) = a2 − b2. Mas, para na˜o
mudar a func¸a˜o, precisamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador
por o mesmo fator1.
1Multiplicar e dividir pelo mesmo fator e´ como multiplicar por 1.
F. Rivero e T. Salvador 14 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Assim,
f(x) =
1− x
1−√x =
(
1− x
1−√x
)(
1 +
√
x
1 +
√
x
)
=
(1− x)(1 +√x)
1− x .
Para todo valor x 6= 1, podemos simplificar a expressa˜o anterior
f(x) =
1− x
1−√x =
(1− x)(1 +√x)
1− x =
���
�(1− x)(1 +√x)
���1− x = 1 +
√
x.
Logo,
lim
x→1
1− x
1−√x = limx→1
(
1 +
√
x
)
= 1 +
√
1 = 2.
8. lim
x→4
√
x− 2
x− 4
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
√
x− 2
x− 4 na˜o esta´ definida para o valor x = 4, pois o nu-
merador e o denominador sa˜o zero cuando x = 4. Analogamente, vamos multiplicar
a func¸a˜o por
√
x+ 2√
x+ 2
, obtendo
f(x) =
√
x− 2
x− 4 =
(√
x− 2
x− 4
)(√
x+ 2√
x+ 2
)
=
(
√
x− 2)(√x+ 2)
(x− 4)(√x+ 2) =
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) .
Assim, para todo valor x 6= 4,
f(x) =
√
x− 2
x− 4 =
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) =
���x− 4
���
�(x− 4)(√x+ 2) =
1√
x+ 2
.
Portanto,
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
1√
x+ 2
=
1√
4 + 2
=
1
4
.
9. lim
x→3
√
x+ 6− 3
x− 3
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o f(x) =
√
x+ 6− 3
x− 3 na˜o esta´ definida para o valor
x = 3 pois tanto o numerador quanto o denominador sa˜o iguais a zero quando x = 3.
F. Rivero e T. Salvador 15 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Multiplicando numerador e denominador por
√
x+ 6 + 3 obtemos
f(x) =
√
x+ 6− 3
x− 3
=
(√
x+ 6− 3
x− 3
)(√
x+ 6 + 3√
x+ 6 + 3
)
=
(
√
x+ 6)2 − 9
(x− 3)(√x+ 6 + 3)
=
x− 3
(x− 3)(√x+ 6 + 3) .
Enta˜o, para todo valor real x distinto de 3 temos
f(x) =
√
x+ 6− 3
x− 3 =
x− 3
(x− 3)(√x+ 6 + 3) =
���x− 3
���
�(x− 3)(√x+ 6 + 3) =
1√
x+ 6 + 3
.
Logo,
lim
x→3
√
x+ 6− 3
x− 3 = limx→3
1√
x+ 6 + 3
=
1√
3 + 6 + 3
=
1
6
.
1.2.1 Limites laterais
Quando uma func¸a˜o e´ definida apenas de um lado de um nu´mero c, ou quando uma
func¸a˜o se comporta de forma diferente de cada lado de um nu´mero c, e´ mais natural, ao
definir o limite, exigir que a varia´vel independente tenda para c apenas do lado que esta´
sendo considerado. Essa situac¸a˜o e´ ilustrada no seguinte exemplo:
Exemplo 1.4 Seja a func¸a˜o f(x) =
{
3x− 2 se x < 3
5− x se x ≥ 3 .
A Figura 1.4 mostra que o valor de f(x) tende a 7 quando x tende a 3 para valores
menores que 3, isto e´, f(x) tende a 7 quando x tende a 3 pela esquerda. Denotamos esse
fato simbolicamente como lim
x→3−
f(x) = 7
A figura mostra, tambe´m, que o valor de f(x) tende a 2 quando x tende a 3 para valores
maiores que 3, isto e´, f(x) tende a 2 quando x tende a 3 pela direita. Simbolicamente
temos lim
x→3+
f(x) = 2
F. Rivero e T. Salvador 16 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Figura 1.4: Gra´fico de f(x). [Video]
Estes limites sa˜o chamados de limites laterais e podemos definir como:
Definic¸a˜o 1.3 Seja f(x) uma func¸a˜o real com valores reais. Chamamos de limite late-
ral a` esquerda quando x tende ao valor c ao limite da func¸a˜o quando x se aproxima
de c somente por valores menores ao valor c. Se L e´ o valor do limite lateral a` esquerda
da func¸a˜o f(x), enta˜o denotamos por lim
x→c−
f(x) = L.
Analogamente, chamamos de limite lateral a` direita quando x tende ao valor c
ao limite da func¸a˜o quando x se aproxima de c somente por valores maiores ao valor c. Se
L e´ o valor do limite lateral a` direita da func¸a˜o f(x), enta˜o denotamos por lim
x→c+
f(x) = L.
O teorema a seguir estabelece a relac¸a˜o entre limites laterais e limites.
Teorema 1.5 O lim
x→c
f(x) existe e e´ igual a L se e somente se os limites laterais sa˜o
iguais, ou seja
lim
x→c−
f(x) = lim
x→c+
f(x) = L.
No Exemplo 1.4, como lim
x→3−
f(x) 6= lim
x→3+
f(x), conclu´ımos que lim
x→3
f(x) na˜o existe.
Observac¸a˜o: Limites laterais teˆm todas as propriedades enumeradas na Sec¸a˜o 1.2.
F. Rivero e T. Salvador 17 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Exemplo 1.5 Seja f(x) =
{
4x+ 7 se x < −1
x2 + 2 se x ≥ −1 . Determinar, caso existir, limx→−1 f(x).
Soluc¸a˜o: Como a func¸a˜o tem distintas fo´rmulas a` esquerda e a` direita do valor
x = −1, vamos calcular os limites laterais. Se eles tiveram o mesmo valor, enta˜o existira´
o limite. Caso contra´rio, o limite na˜o existira´. Para calcular os limites laterais vamos
usar os teoremas 1.1, 1.2 e 1.3 da Sec¸a˜o 1.2. Assim, para obter o limite a` esquerda de
−1 da func¸a˜o f(x) usamos a expressa˜o de f(x) para x < −1, obtendo
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
(4x+ 7) = 4 · (−1) + 7 = 3.
Do mesmo modo, para calcular o valor do limite a` direita de −1 de f(x), usamos o
valor da expressa˜o da func¸a˜o para os valores x ≥ −1. Logo,
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1
(x2 + 2) = (−1)2 + 2 = 3.
Como lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1+
f(x) = 3, pelo Teorema 1.5 existe o limite de f(x) quando
x→ −1 e lim
x→−1
f(x) = 3.
A Figura 1.5 mostra a func¸a˜o f(x) e os limites laterais quando x tende a −1 pela
esquerda e pela direita.
Figura 1.5: Limites laterais de f(x) quando x→ −1− e x→ −1+.[Video]
F. Rivero e T. Salvador 18 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Exemplo 1.6 Seja g(x) =

x2 + 1 se x < 2
2 se x = 2
9− x2 se x > 2
. Determinar, caso existir, lim
x→2
f(x).
Soluc¸a˜o: Como a func¸a˜o tem distintas fo´rmulas a` esquerda e a` direita do valor x = 2,
vamos calcular os limites laterais. Primeiro vamos calcular o limite a` esquerda usando a
fo´rmula para os valores de x menores que2.
lim
x→2−
g(x) = lim
x→2−
(x2 + 1) = 22 + 1 = 5.
Analogamente, para calcular o valor do limite lateral a` direita de x = 2, usamos a
fo´rmula de g(x) para os valores maiores que 2. Assim,
lim
x→2+
g(x) = lim
x→2+
(9− x2) = 9− 22 = 5.
Como lim
x→2−
g(x) = lim
x→2+
g(x) = 5, pelo Teorema 1.5 existe o limite de g(x) quando
x→ 2 e lim
x→2
g(x) = 5.
A Figura 1.6 mostra a func¸a˜o g(x) e os limites laterais quando x tende a 2 pela
esquerda e pela direita.
Figura 1.6: Limites laterais de g(x) quando x→ 2− e x→ 2+. [Video]
Observac¸a˜o: Neste caso o valor da func¸a˜o no ponto x = 2 e´ distinto do valor do
limite quando x→ 2.
F. Rivero e T. Salvador 19 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Exemplo 1.7 Seja h(x) =
{
x+ 1 se x ≤ 3
3x− 7 se x > 3 . Determine, caso existam, os seguintes
limites:
1. lim
x→0
h(x) 2. lim
x→3
h(x) 3. lim
x→5
h(x)
Soluc¸a˜o:
1. Como a func¸a˜o h(x) tem a mesma fo´rmula a` esquerda e a` direita do valor x = 0, o
ca´lculo do limite e´ feito aplicando o Teorema 1.3. Assim,
lim
x→0
h(x) = lim
x→0
(x+ 1) = 0 + 1 = 1.
Logo, lim
x→0
h(x) = 1.
2. Como a func¸a˜o h(x) tem distintas fo´rmulas a` esquerda e a` direita do valor x = 3,
vamos calcular os limites laterais. Vamos calcular o limite a` esquerda. Para isso
usamos a fo´rmula para os valores x < 3.
lim
x→3−
h(x) = lim
x→3−
(x+ 1) = 3 + 1 = 4.
Agora vamos calcular o limite a` direita usando a fo´rmula para os valores x > 3.
lim
x→3+
h(x) = lim
x→3+
(3x− 7) = 3 · 3− 7 = 2.
Como lim
x→3−
h(x) 6= lim
x→3+
h(x), na˜o existe o limite lim
x→3
h(x).
3. Como a func¸a˜o h(x) tem a mesma fo´rmula a` esquerda e a` direita do valor x = 5, o
ca´lculo do limite e´ feito aplicando o Teorema 1.3. Assim,
lim
x→5
h(x) = lim
x→5
(3x− 7) = 3 · 5− 7 = 8.
Logo, lim
x→5
h(x) = 8.
A Figura 1.7 mostra a func¸a˜o h(x) e os limites anteriores.
F. Rivero e T. Salvador 20 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Figura 1.7: Limites de i), ii) e iii) de h(x). [Video]
Vamos ver um problema aplicado a` Economia.
Exemplo 1.8 Os organizadores de um evento esportivo estimam que se o evento e´ anun-
ciado com x semanas de antecedeˆncia, a receita obtida sera´ R(x) milhares de do´lares,
onde
R(x) = 15x− x2 − 50.
O custo de divulgac¸a˜o do evento para x semanas e´ C(x) milhares de do´lares, onde
C(x) = x− 5.
O lucro para os organizadores e´ definido como a diferenc¸a entre a receita e o custo.
Portanto, a func¸a˜o lucro L(x) e´ dada por
L(x) = R(x)− C(x) = (15x− x2 − 50)− (x− 5) = 14x− 45− x2.
A Figura 1.8 mostra o gra´fico da func¸a˜o lucro, onde somente precisamos mostrar
os valores de L(x) para valores positivos de x porque na˜o tem sentido considerar dias
negativos.
F. Rivero e T. Salvador 21 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Figura 1.8: Gra´fico da func¸a˜o lucro L(x)
Vemos que para o valor x = 7 a func¸a˜o lucro atinge seu valor ma´ximo, com um valor
de L(7) = 4. Logo o lucro ma´ximo ma´ximo e´ de $4.000 e e´ atingido com uma divulgac¸a˜o
de 7 semanas.
A relac¸a˜o entre receita e custo e´ definida por Q(x) =
R(x)
C(x)
=
15x− x2 − 50
x− 5 e pode
ser interpretada como o aumento da receita dependendo do custo. Se avaliamos a func¸a˜o
Q(x) no valor ma´ximo para o lucro, obtemos que
Q(7) =
15 · 7− 72 − 50
7− 5 =
6
2
= 3.
Enta˜o, para x = 7 o valor da receita e´ o triplo do custo, isto e´, R(7) = 3C(7).
Substituindo na definic¸a˜o da func¸a˜o lucro obtemos
L(7) = R(7)− C(7) = 3C(7)− C(7) = 2C(7).
Logo, o lucro ma´ximo e´ o dobro do custo.
Vamos estudar agora o que acontece quando queremos determinar R(5). Como nesse
valor lucro e receita tem valor 0, precisamos calcular o limite da func¸a˜o R(x) quando
x→ 5. Vamos fatorar a func¸a˜o. Assim, para todo valor x distinto de 5, obtemos
15x− x2 − 50
x− 5 =
−(x− 5)(x− 10)
x− 5 =
−����(x− 5)(x− 10)
���x− 5 = 10− x.
F. Rivero e T. Salvador 22 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE
Portanto,
lim
x→5
R(x) = lim
x→5
(10− x) = 10− 5 = 5,
e a` medida que nos aproximamos da quinta semana, a receita e´ cinco vezes maior do que
o custo, ou seja, que R(5) = 5C(5) e
L(5) = R(5)− C(5) = 5C(5)− C(5) = 4C(5).
Mas como o valor do custo para x = 5 e´ zero, enta˜o o lucro tambe´m tem valor 0.
1.3 Continuidade
Na linguagem comum, um processo cont´ınuo e´ aquele que ocorre sem interrupc¸o˜es
ou mudanc¸as repentinas, isto e´, pequenas variac¸o˜es na varia´vel correspondem pequenas
variac¸o˜es nas imagens. Intuitivamente, dizemos que uma func¸a˜o e´ cont´ınua se podemos
desenhar o seu gra´fico sem interrupc¸o˜es, buracos ou pulos. Formalmente, a definic¸a˜o de
continuidade e´ expressa utilizando a noc¸a˜o de limite da seguinte maneira:
Definic¸a˜o 1.4 Seja c um valor de R. Uma func¸a˜o real f e´ cont´ınua em c se,
i) f(c) e´ definida,
ii) lim
x→c
f(x) existe,
iii) lim
x→c
f(x) = f(c).
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua num intervalo de R se ela e´ cont´ınua em
todos os valores do intervalo, isto e´, si para todo valor c no intervalo, f e´ cont´ınua em c.
Observac¸a˜o: Uma func¸a˜o f sempre e´ cont´ınua no seu domı´nio D(f).
Na Figura 1.1 (pa´g 6), na Figura 1.2 (b) e (c) (pa´g. 7) e na Figura 1.3 (pa´g. 8) temos
exemplos de func¸o˜es na˜o cont´ınuas.
Exemplo 1.9 Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas em x = −2
1. f(x) = x3 − 2x+ 1
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o esta´ definida para o valor x = −2 e que f(−2) = −3.
Aplicando o Teorema 1.3,
lim
x→−2
f(x) = lim
x→−2
(x3 − 2x+ 1) = (−2)3 − 2 · (−2) + 1 = −3.
F. Rivero e T. Salvador 23 Matema´tica para Economia I
1.3. CONTINUIDADE CAPI´TULO 1. LIMITES
Como lim
x→−2
f(x) = f(−2), enta˜o f(x) e´ cont´ınua no valor x = −2.
Na Figura 1.9 (a) podemos olhar o gra´fico da func¸a˜o f(x).
2. g(x) =
x2 + 1
x+ 1
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o esta´ definida para o valor x = −2 e que g(−2) = −5.
Se calculamos o limite de g quando x→ −2 obtemos
lim
x→−2
g(x) = lim
x→−2
x2 + 1
x+ 1
=
(−2)2 + 1
−2 + 1 = −5,
onde aplicamos o Teorema 1.3.
Como lim
x→−2
g(x) = g(−2), enta˜o g(x) e´ cont´ınua no valor x = −2.
Na Figura 1.9 (b) podemos olhar o gra´fico da func¸a˜o g(x).
iii) h(x) =

x+ 7 se x < −2
5 se x = −2
3− x se x > −2
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o esta´ definida para o valor x = −2 e que h(−2) = 5.
Para calcular o limite de h quando x → −2 precisamos calcular os limites laterais
porque a func¸a˜o tem distintas fo´rmulas a` esquerda e a` direita de x = −2. Assim, o
limite a` esquerda de h e´
lim
x→−2−
h(x) = lim
x→−2−2
(x+ 7) = −2 + 7 = 5,
e o limite a` direita de h e´
lim
x→−2+
h(x) = lim
x→−2+
(3− x) = 3− (−2) = 5,
onde aplicamos o Teorema 1.3 para ambos os casos.
Como lim
x→−2
h(x) = h(−2), enta˜o h(x) e´ cont´ınua no valor x = −2.
Na Figura 1.9 (c) podemos olhar o gra´fico da func¸a˜o h(x).
F. Rivero e T. Salvador 24 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE
(a) Continuidade de f no valor x = −2 (b) Continuidade de g no valor x = −2
(c) Continuidade de h no valor x = −2
Figura 1.9: Gra´ficos das func¸o˜es do Exemplo 1.9 [Video]
Vimos na Sec¸a˜o 1.2 que, se p(x) e q(x) sa˜o func¸o˜es polinomiais, enta˜o lim
x→c
p(x) = p(c)
e lim
x→c
r(x) = r(c) se q(c) 6= 0. De acordo com esses resultados e pela definic¸a˜o de conti-
nuidade, temos:
Teorema 1.6 Uma func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua em todos os nu´meros reais.
Teorema 1.7 Uma func¸a˜o racional e´ cont´ınua em todos os nu´meros nos quais e´ definida.
Exemplo 1.10
1. A func¸a˜o f(x) = 3x2 − x+ 5 e´ cont´ınua em todo R.
2. A func¸a˜og(x) =
x+ 1
x− 2 e´ cont´ınua em D(g) = R − {2}, porque o denominador da
func¸a˜o tem valor zero para x = 2.
F. Rivero e T. Salvador 25 Matema´tica para Economia I
1.3. CONTINUIDADE CAPI´TULO 1. LIMITES
3. A func¸a˜o h(x) =
x− 2
x2 + 1
e´ cont´ınua em R porque o denominador nunca se anula.
Exemplo 1.11 Verificar a continuidade das seguintes func¸o˜es nos valores dados.
1. f(x) =
{
x2−4
x−2 se x 6= 2
1 se x = 2
, em x = 2.
Soluc¸a˜o: Temos que f(2) = 1 e, portanto, f esta´ definida para x = 2. Agora
vamos calcular o limite da func¸a˜o quando x tende ao valor 2. Como o numerador e
o denominador tem valor zero quando x = 2, vamos fatorar a func¸a˜o. Assim, para
x 6= 2,
x2 − 4
x− 2 =
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 =
���
�(x− 2)(x+ 2)
���x− 2 = x+ 2.
Portanto,
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
(x+ 2) = 2 + 2 = 4.
Como f(2) 6= lim
x→2
f(x), a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 2.
2. g(x) =

x2 − 1 se x < 4
15 se x = 4
3x+ 3 se x > 4
, em x = 4.
Soluc¸a˜o: Como o valor de g(4) = 15, a func¸a˜o esta´ definida em x = 4. Agora
vamos calcular o limite da func¸a˜o quando x → 4. Como a func¸a˜o tem distintas
fo´rmulas a` esquerda e a` direita, vamos calcular os limites laterais. Assim,
lim
x→4−
g(x) = lim
x→4−
(x2 − 1) = 42 − 1 = 15,
e
lim
x→4+
g(x) = lim
x→4+
(3x+ 3) = 3 · 4 + 3 = 15.
Portanto, como lim
x→4−
g(x) = lim
x→4+
g(x) = 15, enta˜o lim
x→4
g(x) = 15. Alia´s, como g(4) =
lim
x→4
g(x), a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 4.
F. Rivero e T. Salvador 26 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE
3. h(x) =
{√
x+ 4 se x ≥ 0
x− 2 se x < 0 , em x = 0.
Soluc¸a˜o: Tem-se que a func¸a˜o h esta´ definida para o valor x = 0 e que h(0) = 2.
Vamos calcular o limite da func¸a˜o quando x → 0 calculando os limites laterais.
Pelas propriedades dos limites do Teorema 1.2, obtemos
lim
x→0−
h(x) = lim
x→0−
√
x+ 4 =
√
lim
x→0
(x+ 4) =
√
4 = 2.
Vamos calcular agora o limite a` direita de zero.
lim
x→0+
h(x) = lim
x→0+
(x− 2) = 0− 2 = −2.
Como os limites laterais tem valores distintos, enta˜o lim
x→0
h(x) na˜o existe e, portanto,
a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em x = 0.
Na Figura 4.3 podemos observar os gra´ficos das func¸o˜es f , g e h do Exemplo 1.11.
Exemplo 1.12 Seja f(x) =
{
x3−1
x−1 se x 6= 1
α se x = 1
. Determine o valor de α para que f seja
cont´ınua em todos os nu´meros reais.
Soluc¸a˜o: Pela Definic¸a˜o 1.4, precisamos que f(1) = lim
x→1
f(x). Enta˜o vamos calcular
o limite e dar esse valor para α. Como o numerador e o denominador teˆm valor zero
quando x vai para 1, vamos fazer uma fatorac¸a˜o. Assim, para todo valor x 6= 1, obtemos
x3 − 1
x− 1 =
(x− 1)(x2 + x+ 1)
x− 1 =
���
�(x− 1)(x2 + x+ 1)
���x− 1 = x
2 + x+ 1.
Logo,
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
(x2 + x+ 1) = 12 + 1 + 1 = 3.
Portanto, se α = 3, enta˜o f(1) = lim
x→1
f(x) e a func¸a˜o sera´ cont´ınua para x = 1.
Usualmente o custo de produzir uma determinada mercadoria depende do nu´mero de
unidades produzidas. Esa relac¸a˜o e´ dada pela func¸a˜o de custo, que denotamos por
C(x), onde x representa o nu´mero de unidades produzidas.
F. Rivero e T. Salvador 27 Matema´tica para Economia I
1.3. CONTINUIDADE CAPI´TULO 1. LIMITES
(a) Descontinuidade de f no valor x = 2 (b) Continuidade de g no valor x = 4
(c) Descontinuidade de h no valor x = 0
Figura 1.10: Gra´ficos das func¸o˜es do Exemplo 1.11 [Video]
Exemplo 1.13 O custo de impressa˜o de x centenas de livros educativos, em milhares de
reais, para uma editora e´ dado pela func¸a˜o de custo
C(x) =
{
x2 + 1 se x ≤ 16
252 + 100
x+
√
x
se x > 16
Vamos verificar que a func¸a˜o custo dada e´ cont´ınua. Como a func¸a˜o esta´ definida por
duas fo´rmulas, teremos que estudar a continuidade de cada uma delas e o ponto de unia˜o
de ambas.
• Para os valores x < 16, a func¸a˜o x2 + 1 e´ cont´ınua porque e´ uma func¸a˜o polinomial.
Portanto, a func¸a˜o C(x) e´ cont´ınua para tudo x < 16.
• O domı´nio da func¸a˜o 252 + 100
x+
√
x
e´ o conjunto dos nu´meros reais estritamente
F. Rivero e T. Salvador 28 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE
positivos, isto e´ D = {x no R : x > 0}. Como a func¸a˜o custo esta´ definida desta
maneira para todo valor x > 16, enta˜o C(x) e´ cont´ınua para todo x > 16.
• Vamos estudar agora a continuidade no valor x = 16. Temos que C(16) = 162 +1 =
257. Agora precisamos calcular o limite de C(x) quando x → 16 usando os limites
laterais. Assim o limite a` esquerda e´
lim
x→16−
C(x) = lim
x→16
(x2 + 1) = 162 + 1 = 257,
e o limite a` direita e´
lim
x→16+
C(x) = lim
x→16
(
252 +
100
x+
√
x
)
= 252 +
100
16 +
√
16
= 257.
Portanto lim
x→16
C(x) = 257 = C(16) e a func¸a˜o C(x) e´ cont´ınua para todo x em R.
Na Figura 1.11 temos o gra´fico da func¸a˜o C(x).
Figura 1.11: Gra´fico da func¸a˜o custo C(x) do e Exemplo 1.13
F. Rivero e T. Salvador 29 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
1.4 Limites envolvendo infinito
1.4.1 Limites infinitos
Na Sec¸a˜o 1.1 calculamos o limite L dos valores f(x) de uma func¸a˜o quando x tende
para um nu´mero real c, isto e´, lim
x→c
f(x) = L onde L e´ um nu´mero real. Pode ocorrer que,
a` medida que x se aproxime de um nu´mero c, os valores de f(x) tornem-se muito grandes
(em valor absoluto). Esse fato pode ser ilustrado pelos seguintes exemplos.
Exemplo 1.14 Seja f(x) =
1
(x− 1)2 . Essa func¸a˜o na˜o e´ definida para x = 1, mas pode-
mos analisar o comportamento dos valores de f(x) quando x esta´ a` esquerda ou a` direita
desse nu´mero. Para x pro´ximo de 1, o denominador e´ muito pequeno, o que significa que
o quociente e´ muito grande. A tabela abaixo mostra o aumento de f(x) a` medida que
x→ 1.
x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1
f(x) 100 10.000 1.000.000 – 1.000.000 10.000 100
Observamos que quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, os valores de
f(x) aumentam. Se admitirmos que esses valores possam crescer ilimitadamente, diremos
que:
• O limite de f(x) = 1
(x− 1)2 quando x tende a 1 pela esquerda e´ mais infinito e
indicaremos por
lim
x→1−
f(x) = +∞.
• O limite de f(x) = 1
(x− 1)2 quando x tende a 1 pela direita e´ mais infinito e indi-
caremos por
lim
x→1+
f(x) = +∞.
Como a func¸a˜o tem o mesmo comportamento a` direita e a` esquerda de 1 conclu´ımos
que lim
x→1
f(x) = +∞. A Figura 1.12 (a) mostra um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f .
Podemos indicar de forma ana´loga, o comportamento de uma func¸a˜o cujos valores
decrescem ilimitadamente.
F. Rivero e T. Salvador 30 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Exemplo 1.15 Vamos considerar a func¸a˜o g(x) =
x
(x+ 3)2
. A tabela a seguir mostra os
valores de g(x) para alguns valores de x na vizinhanc¸a de −3.
x - 3,1 -3,01 - 3,001 - 3 - 2,999 - 2,99 - 2,9
g(x) -310 - 30.100 - 3.001.000 – - 2.999.000 - 29.900 -290
Vemos que os valores de g(x) sa˜o negativos e muito grandes em valor absoluto para
valores de x pro´ximos de −3, isto e´, os valores de g(x) decrescem ilimitadamente a` medida
que x se aproxima de −3 pela esquerda ou pela direita.
Escrevemos, nesse caso, que lim
x→−3−
g(x) = −∞ e lim
x→−3+
g(x) = −∞. Como os limites
laterais sa˜o iguais podemos afirmar que lim
x→−3
g(x) = −∞.
O gra´fico de g aparece na Figura 1.12 (b).
Uma definic¸a˜o formal deste limite infinito e´:
Definic¸a˜o 1.5 Dizemos que a func¸a˜o real f com valores reais tem limite +∞ (−∞)
quando x tende ao valor c se para todo valor δ > 0 existe um valor M > 0 (M < 0) tal
que f(x) > M (f(x) < M) para todo valor x verificando |x− c| < δ.
Exemplo 1.16 Seja agora a func¸a˜o h(x) =
2
x−1 . Olhando a Figura 1.12 (c), vemos
que a` medida que x se aproxima de 1 pela esquerda, os valores de h(x) decrescem ilimita-
damente, isto e´, lim
x→1−
h(x) = −∞.
Vemos, tambe´m, que quando x se aproxima de 1 pela direita, os valores de h(x) crescem
ilimitadamente, ou seja, lim
x→1+
h(x) = +∞.
Como a func¸a˜o tem comportamento distinto a` esquerda e a` direita de 1, conclu´ımos
que na˜o existe limite de h(x) quando x→ 1.
O seguinte teorema estabelece o ca´lculo de limites infinitos,
Teorema 1.8 Se lim
x→c+
f(x) = L, L 6= 0 e lim
x→c+
g(x) = 0 enta˜o,
lim
x→c+
f(x)
g(x)
= ±∞,
com o sinal dependendo dos sinais de L e de g(x) a` direita de c.
F. Rivero e T. Salvador 31 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
(a) Limite infinito de f no valor x = 1 (b) Limite infinito de g no valor x = −3
(c) Distintos limites laterais para h no valor x = 1
Figura 1.12: Gra´ficas das func¸o˜es do Exemplo 1.14, Exemplo 1.15 e Exemplo 1.16 [Video]
Observac¸a˜o: O Teorema 1.8 anterior pode ser enunciado para o limite a` esquerda
de c com as mesmas concluso˜es. A existeˆncia do limite em c depende da igualdade dos
limites laterais.
Exemplo 1.17 Calcular os seguintes limites,
1. lim
x→5+
9− x
x− 5 .
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = 9 − x e g(x) = x − 5, enta˜o temos que lim
x→5+
f(x) = 4 e
lim
x→5+
g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o limite vai ser +∞ ou −∞.
Vamos determinar o sinal do limite. Para isso precisamos fazer um estudo do sinal
do numerador f(x) e do denominador g(x) para os valores a` direita de x = 5.
F. Rivero e T. Salvador 32 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Assim, para qualquer valor x < 9, f(x) e´ sempre positivo. Para todo valor x > 5,
o valor de g(x) e´ positivo. Como estamos calculando o limite a` direita para x = 5,
enta˜o g(x) e´ sempre positivo. Portanto, como ambos f(x) e g(x) sa˜o positivos a`
direita de 5, concluimos que
lim
x→5+
9− x
x− 5 = +∞.
2. lim
x→2−
−3x
x− 2 .
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = −3x e g(x) = x − 2, enta˜o temos que lim
x→2−
f(x) = 6 e
lim
x→2−
g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o limite vai ser +∞ ou −∞.
Vamos determinar o sinal do limite. Precisamos estudar os valores a` esquerda de
x = 2. Assim, para qualquer valor positivo de x, temos que f(x) < 0. Para todo
valor x < 2, o valor de g(x) e´ negativo. Como estamos calculando o limite para
valores a` esquerda de 2, enta˜o g(x) < 0. Portanto, como f(x) e g(x) sa˜o negativos,
concluimos que
lim
x→2−
−3x
x− 2 = +∞.
3. lim
x→0−
x2 + 1
x2 + x
.
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = x2 + 1 e g(x) = x2 + x, enta˜o temos que lim
x→0−
f(x) = 1 e
lim
x→0−
g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o limite vai ser +∞ ou −∞.
Vamos determinar o sinal do limite. Precisamos estudar os valores a` esquerda de
x = 0. Temos que o valor de f(x) = 0 e´ sempre positivo para qualquer x em R.
Fatorando g(x) temos que g(x) = x(x+ 1) e, como e´ um produto de dois elementos,
sera´ positivo se ambos tivessem o mesmo sinal e negativo se tivessem sinais opostos.
Como estamos estudando o sinal a esquerda de 0, enta˜o x < 0. Por outro lado,
(x + 1) e´ positivo quando x > −1. Enta˜o temos que g(x) < 0 quanto x tende a 0
pela esquerda. Assim,
lim
x→0−
x2 + 1
x2 + x
= −∞.
4. lim
x→−2+
1− x
x+ 2
.
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = 1− x e g(x) = x+ 2, enta˜o temos que lim
x→−2+
f(x) = −3 e
lim
x→−2+
g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o limite vai ser +∞ ou −∞.
F. Rivero e T. Salvador 33 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
Para determinar o sinal do limite precisamos estudar os valores a` direita de x = −2.
Para todo x < 1, temos que f(x) > 0 e para x > −2, o valor de g(x) e´ positivo.
Como estamos calculando o limite para valores a` direita e pro´ximos de −2, enta˜o
f(x) e g(x) sa˜o positivas. Logo, concluimos que
lim
x→−2+
1− x
x+ 2
= +∞.
5. lim
x→0
5
x3 − x2 .
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = 5 e g(x) = x3 − x2, enta˜o temos que lim
x→0
f(x) = 5 e
lim
x→0
g(x) = 0. Fatorando g(x) obtemos que g(x) = x2(x − 1) e a func¸a˜o e´ negativa
para todo valor x < 1 (x2 e´ sempre positivo). Como f(x) no zero e´ positiva e g(x)
e´ negativa para todo valor numa vizinhanc¸a de zero, enta˜o
5
x3 − x2 < 0 para todo
valor x perto de zero a` esquerda e a` direita. Pelo Teorema 1.8, conclu´ımos que os
limites laterais sa˜o −∞ e, portanto,
lim
x→0
5
x3 − x2 = −∞.
6. lim
x→−1
x− 2
x+ 1
.
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = x−2 e g(x) = x+1, enta˜o lim
x→−1
f(x) = −3 e lim
x→−1
g(x) = 0.
Vamos estudar o sinal de g(x) numa vizinhanc¸a de −1.
Temos que se x < −1, enta˜o g(x) e´ negativo e se x > −1, enta˜o g(x) e´ positivos.
Logo, aplicando o Teorema 1.8,
lim
x→−1−
x− 2
x+ 1
= +∞, lim
x→−1+
x− 2
x+ 1
= −∞.
Como os limites laterais sa˜o distintos, enta˜o concluimos que na˜o lim
x→−1
x− 2
x+ 1
na˜o
existe.
Os gra´ficos das func¸o˜es do Exemplo 1.17 esta˜o esboc¸ados na Figura 1.13.
F. Rivero e T. Salvador 34 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
(a) Gra´fico da func¸a˜o
9− x
x− 5 (b) Gra´fico da func¸a˜o
−3x
x− 2
(c) Gra´fico da func¸a˜o
x2 + 1
x2 + x
(d) Gra´fico da func¸a˜o
1− x
x+ 2
(e) Gra´fico da func¸a˜o
5
x3 − x2 (f) Gra´fico da func¸a˜o
x− 2
x+ 1
Figura 1.13: Gra´ficas das func¸o˜es do Exemplo 1.17
F. Rivero e T. Salvador 35 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
1.4.2 Limites no infinito
Estamos interessados, agora, em conhecer o comportamento dos valores f(x) de uma
func¸a˜o quando x cresce ou decresce ilimitadamente.
Vamos calcular alguns valores de f(x) =
1
x
quando x cresce ilimitadamente.
x 10 100 1000 10.000 100.000 1.00.000
f(x) 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001
Observamos que, a` medida que x cresce ilimitadamente, os valores de f(x) se aproxi-
mam de zero, isto e´, lim
x→0
f(x) = 0.
De modo geral, temos:
Teorema 1.9 Se n e´ um nu´mero inteiro positivo e c e´ um nu´mero real enta˜o
lim
x→±∞
c
xn
= 0.
O teorema anterior mostra que se temos um termo que tende para infinito no nu-
merador e un termo constante no numerador, enta˜o o limite do quociente tende para
zero.
Observac¸a˜o: O Teorema 1.9 pode ser usado para outras func¸o˜es ale´m de xn que
aumentam indefinidamente quando x→ ±∞. O Exemplo 1.18 mostra algumas delas.
Para o ca´lculo de limites no infinito de func¸o˜es polinomiais e de func¸o˜es racionais
temos os seguintes teoremas:
Teorema 1.10 Seja n un nu´mero inteiro positivo, a0, . . . , an nu´meros reias e p(x) =
a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn uma func¸a˜o polinomial. Enta˜o,
lim
x→±∞
p(x) = lim
x→±∞
anx
n.
Note que o teorema nos diz que o limite no infinito de um polinoˆmio depende somente
do termo de grau maior. Quando os valores de x aumentan muito, o valor de um polinoˆmio
se aproxima ao valor do seu termo dominante porque o valor dos outros termos e´ muito
menor em comparac¸a˜o.
Observac¸a˜o: Da mesma maneira que acontece com o Teorema 1.9, o Teorema 1.10
pode ser usado para func¸o˜es na˜o polinoˆmiais com termos dominantes que aumentam ou
diminuem ilimitadamente quando a varia´vel vai para ±∞. Alguns exemplos aparecem no
Exemplo 1.18.
F. Rivero e T. Salvador 36 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Teorema 1.11 Sejam n e m nu´meros inteiros positivos, a0, . . . , an e b0, b1, . . . , bm nu´meros
reais e p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn e q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bmxm func¸o˜es
polinomiais. Enta˜o,
lim
x→±∞
p(x)
q(x)
= lim
x→±∞
anx
n
bmxm
= lim
x→±∞
an
bm
xn−m.
O teorema diz que o limite no infinito de um quociente de dois polinoˆmiose´ determi-
nado pelos termos de maior grau de cada um deles. Assim, se o numerador e denominador
sa˜o do mesmo grau, enta˜o para valores (absolutamente) grandes de x o limite e´ a raza˜o
entre os coeficientes das condic¸o˜es dominantes. Se o denominador e´ de grau mais elevado
do que o numerador, o limite e´ 0. Finalmente, se o grau do numerador excede o grau
do denominador, o limite e´ infinito. O sinal depende do sinal dos coeficientes dos termos
dominantes.
Exemplo 1.18 Vamos calcular os seguintes limites no infinito aplicando os teoremas
anteriores
1. lim
x→+∞
5
x4
Soluc¸a˜o: Chamando de c = 5, pelo Teorema 1.9 tem-se que o limite e´ zero.
lim
x→+∞
5
x4
= 0.
2. lim
x→−∞
2
3x5
Soluc¸a˜o: Chamando de c =
2
3
, pelo Teorema 1.9 tem-se que o limite e´ zero.
lim
x→−∞
2
3x5
= 0.
3. lim
x→+∞
7
2
√
x
Soluc¸a˜o: Apesar de que
√
x na˜o ser um polinoˆmio, temos que cresce ilimitadamente
quando x → +∞. Portanto, temos um quociente onde o numerador e´ constante e
o denominador tende para infinito. Logo,
lim
x→+∞
7
2
√
x
= 0
F. Rivero e T. Salvador 37 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
4. lim
x→−∞
(1− x2 + x3 + 3x4 − 2x7)
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.10,
lim
x→−∞
(1− x2 + x3 + 3x4 − 2x7) = lim
x→−∞
−2x7
Como x7
x→−∞−−−−→ −∞, enta˜o −2x7 x→−∞−−−−→ +∞. Assim,
lim
x→−∞
(1− x2 + x3 + 3x4 − 2x7) = +∞
5. lim
x→−∞
(2x5 + x2 − 4)
Soluc¸a˜o: Pelo Teorema 1.10,
lim
x→−∞
(2x4 + x2 − 4) = lim
x→−∞
2x4
Como x4
x→−∞−−−−→ +∞ porque x4 sempre e´ positivo, enta˜o
lim
x→−∞
(2x4 + x2 − 4) = +∞
6. lim
x→+∞
(x3 − 3x2 + x− 7)
Soluc¸a˜o: Usando o Teorema 1.10,
lim
x→+∞
(x3 − 3x2 + x− 7) = lim
x→+∞
x3
Como x3
x→+∞−−−−→ +∞, enta˜o
lim
x→+∞
(x3 − 3x2 + x− 7) = +∞
7. lim
x→+∞
(
√
x− 5x2 + 8)
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
√
x − 5x2 + 8 na˜o e´ polinomial porque tem um termo
com um exponente fraciona´rio2, mas o valor do limite de f(x) quando x → ±∞ e´
como o valor do limite de x2.
2Lembrar que
√
x = x
1
2
F. Rivero e T. Salvador 38 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Assim,
lim
x→+∞
(
√
x− 5x2 + 8) = lim
x→+∞
−5x2 = −∞
porque x2 e´ sempre positivo para todo valor de x real e, portanto, −x2 e´ sempre
negativo.
8. lim
x→−∞
(x3 − cos(x) + 15)
Soluc¸a˜o: Neste caso, a func¸a˜o f(x) = x3 − cos(x) + 15 na˜o e´ um polinoˆmio pois
o termo cos(x) e´ uma func¸a˜o trigonome´trica limitada ja que seus valores sempre
ficam entre 1 e −1, mas o valor do limite de f(x) quando x→ ±∞ e´ o mesmo que
o valor do limite de x3. Enta˜o, temos que
lim
x→−∞
(x3 − cos(x) + 15) = lim
x→−∞
x3 = −∞
porque x3 e´ negativo para valores negativos de x.
9. lim
x→+∞
2x− 5
7x+ 8
Soluc¸a˜o: Vamos usar o Teorema 1.11. Sendo p(x) = 2x− 5 e q(x) = 7x+ 8, onde
os termos de grau maior sa˜o 2x e 7x respetivamente.
Logo,
lim
x→+∞
p(x)
q(x)
= lim
x→+∞
2x
7x
= lim
x→+∞
2�x
7�x
= lim
x→+∞
2
7
=
2
7
10. lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2
Soluc¸a˜o: Sendo p(x) = 2x3−3x+5 e de q(x) = 4x5−2, pelo Teorema 1.11, temos
lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2 = limx→−∞
2x3
4x5
= lim
x→−∞
2��x
3
4x���
2
5
= lim
x→−∞
2
4x2
Usando agora o Teorema 1.10, lim
x→−∞
2
4x2
= 0. Logo,
lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2 = limx→−∞
2
4x2
= 0
F. Rivero e T. Salvador 39 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
11. lim
x→+∞
x4 − 3x+ 5
2 + 4x− x2
Soluc¸a˜o: Sejam p(x) = x4− 3x+ 5 e q(x) = 2 + 4x− x2. Usando o Teorema 1.11,
lim
x→+∞
x4 − 3x+ 5
2 + 4x− x2 = limx→+∞
x4
−x2 = limx→+∞
x���
2
4
(−1)��x2
= lim
x→+∞
(−x2).
Assim, pelo Teorema 1.10,
lim
x→+∞
x4 − 3x+ 5
2 + 4x− x2 = limx→+∞(−x
2) = −∞.
12. lim
x→−∞
3− 2x+ x2 − 4x3
x3 + 5x2 + 4
Soluc¸a˜o: Usando o Teorema 1.11, temos
lim
x→−∞
3− 2x+ x2 − 4x3
x3 + 5x2 + 4
= lim
x→−∞
−4x3
x3
= lim
x→−∞
−4��x3
��x
3
= lim
x→−∞
(−4) = −4.
13. lim
x→−∞
x3 + 3x2 − 5
8− 5x− x2
Soluc¸a˜o: Sejam p(x) = x3 + 3x2 − 5 e de q(x) = 8− 5x− x2. Pelo Teorema 1.11,
temos
lim
x→−∞
x3 + 3x2 − 5
8− 5x− x2 = limx→−∞
x3
−x2 = limx→−∞
x���
1
3
(−1)��x2
= lim
x→−∞
(−x) = +∞.
Na Economia, o custo me´dio e´ o custo por unidade para produzir uma certa quanti-
dade, isto e´, o custo total dividido pelo nu´mero de unidades produzidas. Se o custo para
producir uma quantidade x e´ dado pela func¸a˜o C(x), enta˜o a func¸a˜o custo me´dio C e´
dada por
C(x) =
C(x)
x
.
Exemplo 1.19 Vamos voltar ao Exemplo 1.13 e calcular os limites no infinito para as
func¸o˜es custo C(x) e custo me´dio C(x). Lembre-se que a func¸a˜o de custo e´
C(x) =
{
x2 + 1 se x ≤ 16
252 + 100
x+
√
x
se x > 16
F. Rivero e T. Salvador 40 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Para calcular o limite de C(x) quando x → +∞, so´ precisamos estudar o valor da
func¸a˜o para valores de x muito grandes, isto e´, precisamos calcular o seguinte limite:
lim
x→+∞
(
252 +
100
x+
√
x
)
.
Neste caso, na˜o podemos usar o Teorema 1.11 porque na˜o temos um quociente de
polinoˆmios, mas podemos deduzir o limite usando argumentos similares. Na expressa˜o
100
x+
√
x
o numerador e´ constante e o denominador cresce indefinidamente quando x →
+∞. Logo,
lim
x→+∞
100
x+
√
x
= 0.
Usando as propiedades dos limites do Teorema 1.2 da Sec¸a˜o 1.2, temos
lim
x→+∞
C(x) = lim
x→+∞
(
252 +
100
x+
√
x
)
= lim
x→+∞
252 + lim
x→+∞
100
x+
√
x
= 252 + 0.
Assim, quando aumenta muito o nu´mero de livros impressos, o custo da impressa˜o e´
de aproximadamente R$252.000.
Que acontece com o custo me´dio? Na Figura 1.14 podemos ver o gra´fico da func¸a˜o
C(x)
Para calcular o limite do custo me´dio por livro impresso quando a editora quer um
nu´mero grande de exemplares, precisamos calcular
lim
x→+∞
C(x) = lim
x→+∞
C(x)
x
= lim
x→+∞
(
252
x
+
100
x(x+
√
x)
)
.
Acontece o mesmo problema com o ca´lculo do limite ja´ que na˜o temos uma relac¸a˜o de
dois polinoˆmios, mas podemos fazer um razoc´ınio ana´logo. Temos que a func¸a˜o
100
x(x+
√
x)
e´ um quociente onde o numerador e´ constante e o denominador cresce ilimitadamente
quando x aumenta. Logo,
lim
x→∞
100
x(x+
√
x)
= 0.
Usando agora o Teorema 1.9 e o Teorema 1.2, obtemos
lim
x→+∞
C(x) = lim
x→+∞
(
252
x
+
100
x(x+
√
x)
)
= lim
x→+∞
252
x
+ lim
x→+∞
100
x(x+
√
x)
= 0 + 0 = 0.
Enta˜o temos que o custo me´dio por livro tende para zero quando aumentamos o nu´mero
de livros impressos.
F. Rivero e T. Salvador 41 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
Figura 1.14: Gra´fico da func¸a˜o custo me´dio C(x).
1.4.3 O nu´mero e
O nu´mero irracional e, tambe´m conhecido como nu´mero de Euler3 ou nu´mero de Neper4,
e´ un nu´mero com um valor aproximado de 2.718281828459045235360287. E´ um nu´mero
importante em ca´lculo que aparece como base dos logaritmos naperianos ou naturais. E´
definido como o limite da func¸a˜o f(x) =
(
1 +
1
x
)x
quando x→∞.
3Leonhard Paul Euler (1707–1783) foi um grande matema´tico e f´ısico su´ıc¸o de l´ıngua alema˜ que passou
a maior parte de sua vida na Ru´ssia e na Alemanha. Fez importantes descobertas em campos variados
em ca´lculo, mecaˆnica, o´ptica, astronomia e grafos. E´ considerado um dos mais proeminentes matema´ticos
do se´culo XVIII.
4John Napier (1550 –1617) foi um matema´tico, f´ısico, astroˆnomo, astro´logo e teo´logo escoceˆs. Nadecodificac¸a˜o dos logaritmos naturais, Napier usou uma constante que, embora na˜o a tenha descrito, foi
a primeira refereˆncia ao nota´vel ”e”, descrito quase 100 anos depois por Leonhard Euler.
F. Rivero e T. Salvador 42 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Observando a func¸a˜o f poder´ıamos pensar que o limite teria valor de 1 porque x−1
tende para 0 quando x tende para infinito, mas a tabela a seguir mostra que o limite na˜o
e´ esse.
x 10 100 1000 10000 100000 1000000
f(x) 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828
Logo,
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
Vamos ver um exemplo econo´mico de composic¸a˜o cont´ınua de interesse onde o
nu´mero e tem um papel importante. Suponha que uma quantidade de dinheiro e´ investido
e os juros sa˜o compostos apenas uma vez. Se P0 e´ o investimento inicial e r e´ a taxa de
juros (expresso como um decimal), o saldo P1 apo´s adicionar os juros sera´ de
P1 = P0 + P0r = P0(1 + r),
isto e´, multiplicamos o investimento inicial por 1 + r.
Usualmente, os bancos computam os juros mais de uma vez por ano. Se o ca´lculo e´
feito em k vezes por ano, enta˜o os juros sa˜o divididos entre as k parcelas, obtendo que o
balanc¸o no primeiro periodo e´ de
P1 = P0 + P0
r
k
= P0
(
1 +
r
k
)
.
Suponhamos agora que calculamos de novo os juros para nosso novo valor P1. Agora,
com uma taxa de juros de r e chamando de P2 ao saldo final apo´s adicionar os juros,
temos que
P2 = P1 + P1
r
k
= P1
(
1 +
r
k
)
= P0
(
1 +
r
k
)2
.
No final do primeiro ano, o balanc¸o final depois de k periodos e´ de
P0 = P0
(
1 +
r
k
)k
.
Repetindo um nu´mero t de anos, temos que o valor do investimento P dependendo to
tempo e´
P (t) = P0
(
1 +
r
k
)kt
,
pois calculamos os juros tk vezes no total.
Podemos observar como o valor do investimento aumenta a` medida que aumenta o
nu´mero de parcelas. A questa˜o natural agora seria estudar que acontece quando o ca´lculo
F. Rivero e T. Salvador 43 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
e´ instantaˆneo, isto e´, quando o nu´mero de parcelas e´ arbitrariamente grande. Portanto,
queremos calcular o limite de P0
(
1 +
r
k
)kt
quando k →∞.
Vamos escrever a fo´rmula anterior de uma forma ja´ vista anteriormente. Se chamamos
de
1
x
=
r
k
, enta˜o k = rx. Logo,
P (t) = P0
(
1 +
r
k
)kt
= P0
(
1 +
1
x
)xrt
= P0
[(
1 +
1
x
)x]rt
Como x aumenta quando k aumenta, temos que
(
1 +
1
x
)x
tende para o nu´mero e
quando x, e portanto k, aumenta indefinidamente. Assim, se os juros sa˜o calculados
instantaneamente,
P (t) = lim
x→∞
P0
[(
1 +
1
x
)x]rt
= P0
[
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x]rt
= P0e
rt,
chegando a uma func¸a˜o exponencial de base e.
1.5 Ass´ıntotas horizontais e ass´ıntotas verticais
Os limites que envolvem valores infinitos de x ou f(x) podem ser usados para descre-
ver retas conhecidas como ass´ıntotas, que esta˜o frequentemente associadas a gra´ficos de
func¸o˜es racionais.
Em particular, dizemos que uma func¸a˜o f possui uma ass´ıntota vertical em x = a
se f(x) aumenta ou diminui ilimitadamente quando x tende para a pela direita ou pela
esquerda.
Exemplo 1.20 Considerando a func¸a˜o f(x) =
2x
x− 1 , cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na Fi-
gura 1.15, verificamos, por exemplo, que lim
x→1+
f(x) = +∞. Enta˜o a reta x = 1 e´ uma
ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o f .
Quando f(x) tende para um valor finito b quando x aumenta ou diminui ilimitada-
mente, dizemos que a reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
No Exemplo 1.20 anterior, lim
x→±∞
f(x) = 2. Enta˜o a reta y = 2 e´ uma ass´ıntota hori-
zontal do gra´fico de f .
F. Rivero e T. Salvador 44 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
Figura 1.15: Gra´fico da func¸a˜o f(x) e suas ass´ıntotas.
De modo geral, temos as seguintes definic¸o˜es:
Definic¸a˜o 1.6 Seja f uma func¸a˜o real com valores em R. A reta x = a e´ chamada de
ass´ıntota vertical do gra´fico de f se algum dos limites lim
x→a±
f(x) = ±∞ se verifica.
Quando o valor de x se aproxima de a, o valor da func¸a˜o tende para o infinito. Como
o valor da func¸a˜o aumenta ou diminui ilimitadamente, o gra´fico tende para o infinito na
direc¸a˜o do eixo y no valor a.
Definic¸a˜o 1.7 Seja f uma func¸a˜o real com valores no R. A reta y = b e´ chamada de
ass´ıntota horizontal da func¸a˜o f se algum dos limites lim
x→±∞
f(x) = b se verifica.
Observac¸a˜o: Para localizar as poss´ıveis ass´ıntotas verticais do gra´fico de uma func¸a˜o
racional f tal que f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q sa˜o polinoˆmios, devemos procurar valores tais
que q(a) = 0 e p(a) 6= 0. Para achar as ass´ıntotas horizontais devemos calcular os limites
de f quando x → ±∞. Se algum desses limites existe (e´ finito), enta˜o o valor do limite
determina a ass´ıntota horizontal.
F. Rivero e T. Salvador 45 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
Exemplo 1.21 Vamos achar as ass´ıntotas das seguintes func¸o˜es:
1. f(x) =
x2
x2 − 4
Soluc¸a˜o: Para calcular as poss´ıveis ass´ıntotas verticaies vamos determinar os va-
lores onde o denominador na˜o esta´ definido. Como x2 − 4 = (x + 2)(x− 2), enta˜o
sera´ zero se x = −2 ou x = 2. De fato, temos que o domı´nio da func¸a˜o f e´
D(f) = R− {−2, 2}.
Vamos estudar os limites laterais nesses valores.
• Para x = 2 temos que o numerador e´ um valor fixo e positivo e o denominador
e´ zero. Portanto, pelo Teorema 1.8 os limites laterais tendem para ±∞. Vamos
calcular o sinal deles. Para valores a` esquerda e perto de 2, x2 − 4 < 0 e para
valores a` direita e perto de 2, x2−4 > 0. Como o numerador e´ sempre positivo,
enta˜o
lim
x→2−
f(x) = −∞, lim
x→2+
f(x) = +∞.
• Para x = −2 temos tambe´m que o numerador e´ um valor fixo e positivo e o
denominador e´ zero. De novo, pelo Teorema 1.8 os limites laterais tendem para
±∞. Vamos calcula´-los. Para valores a` esquerda e perto de -2, x2 − 4 > 0 e
para valores a` direita e perto de -2, x2 − 4 > 0. Como o numerador e´ sempre
positivo, enta˜o
lim
x→−2−
f(x) = +∞, lim
x→−2+
f(x) = −∞.
Logo x = 2 e x = –2 sa˜o ass´ıntotas verticais do gra´fico de f .
Vamos estudar agora a existeˆncia de ass´ıntotas horizontais. Vamos calcular o limite
no ±∞ para f . Pelo Teorema 1.11, obtemos
lim
x→±∞
x2
x2 − 4 = limx→±∞
x2
x2
= lim
x→±∞
��x
2
��x
2
= lim
x→±∞
1 = 1.
Logo temos que lim
x→±∞
x2
x2 − 4 = 1 e, portanto, y = 1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico
de f
Na Figura 1.16 podemos ver o gra´fico de f e suas ass´ıntotas.
F. Rivero e T. Salvador 46 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
Figura 1.16: Gra´fico da func¸a˜o f(x) =
x2
x2 − 4
2. g(x) =
2x√
x2 + 4
Soluc¸a˜o: Temos que o denominador nunca tem valor zero porque x2 + 4 e´ sempre
positivo. Portanto o dominio da func¸a˜o e´ D(g) = R e na˜o existem ass´ıntotas
verticais.
Vamos estudar agora a existeˆncia de ass´ıntotas horizontais estudando o limite da
func¸a˜o g quando x→ ±∞. Apesar de na˜o ter um polinoˆnio no denominador, temos
que o limite no infinito de
√
x2 + 4 e´ como o limite de
√
x2. Mas agora temos que
ter cuidado com o sinal do limite.
Como o valor de x2 sempre e´ positivo, enta˜o o limite quando x→ ±∞ de √x2 + 4
sempre sera´ +∞. Se fize´ssemos a simplificac¸a˜o √x2 = x estaremos cometendo um
erro no ca´lculo do limite pois lim
x→−∞
x = −∞. Vamos introducir a func¸a˜o valor
absoluto, que denotamos por f(x) = |x| para determinar as assinto´tas horizontais
da func¸a˜o h. A func¸a˜o valor absoluto e´ definida por
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0Logo,
lim
x→+∞
√
x2 + 4 = lim
x→+∞
√
x2 = lim
x→+∞
|x| = lim
x→+∞
x = +∞,
F. Rivero e T. Salvador 47 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
e
lim
x→−∞
√
x2 + 4 = lim
x→−∞
√
x2 = lim
x→−∞
|x| = lim
x→−∞
(−x) = +∞,
Voltando para o ca´lculo do limite de g temos,
lim
x→+∞
g(x) = lim
x→+∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→+∞
2x√
x2
= lim
x→+∞
2x
|x| .
Logo,
lim
x→+∞
2x
|x| = limx→+∞
2x
x
= lim
x→+∞
2�x
�x
= 2,
e
lim
x→−∞
g(x) = lim
x→−∞
2x
|x| = limx→−∞
2x
−x = limx→+∞
2�x
(−1)�x = −2.
Logo y = 2 e y = −2 sa˜o ass´ıntotas horizontais do gra´fico de g.
Na Figura 1.17 podemos ver o gra´fico de g e suas ass´ıntotas.
Figura 1.17: Gra´fico da func¸a˜o g(x) =
2x√
x2 + 4
3. h(x) =
x2 + 4
x
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o h na˜o esta´ definida para o valor x = 0 e, portanto,
seu domı´nio e´ D(h) = R+.
F. Rivero e T. Salvador 48 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
Logo a poss´ıvel ass´ıntota vertical poderia ser x = 0. Vamos estudar os limites
laterais. Como o valor do numerador para x = 0 e´ positivo e o valor do denominador
e´ zero, enta˜o pelo Teorema 1.8 os limites laterais sera˜o ±∞. Como o sinal de
denominador e´ negativo se x < 0 e positivo se x > 0, enta˜o
lim
x→0−
h(x) = −∞, lim
x→0+
h(x) = +∞.
Portanto, x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de h
Se calculamos os limites no infinito, pelo Teorema 1.11 obtemos
lim
x→±∞
x2 + 4
x
= lim
x→±∞
x2
x
= lim
x→±∞
x�2
�x
lim
x→±∞
x = ±∞.
Logo na˜o existem ass´ıntotas horizontais.
Na Figura podemos ver o gra´fico de h e suas ass´ıntotas.
Figura 1.18: Gra´fico da func¸a˜o h(x) =
x2 + 4
x
F. Rivero e T. Salvador 49 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
Relac¸a˜o de exerc´ıcios - 1: Limite de func¸o˜es de uma varia´vel real
1. Determine os limites
(a) lim
x→1
5− 3x− x2
(b) lim
x→3
5x2 − 7x− 3
(c) lim
x→2
x2 + 2 + 1
x2 + 2x
(d) lim
t→ 5
2
4t2 − 25
2t− 3
(e) lim
x→2
2− x2
4x
(f) lim
x→ 1
2
x2 + 1
1 +
√
2x+ 8
(g) lim
y→−2
y3 − 5y
y + 3
(h) lim
x→1
3
√
27x3 + 4x− 4
x10 + 4x2 + 3x
(i) lim
u→1
√
4− u2
u+ 3
(j) lim
t→−1
t2 + 4t+ 3
t2 − 1
(k) lim
t→1
√
8t+ 1
t+ 3
(l) lim
x→ 8
3
9x2 − 64
3x− 8
(m) lim
x→−7
x2 − 49
x+ 7
(n) lim
x→−3
3
√
x− 4
6x2 + 2
(o) lim
x→−3
x2 + 4x+ 3
x+ 3
(p) lim
y→0
(3 + y)2 − 9
y
(q) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
(r) lim
y→3
3− y
3−√3y
(s) lim
z→3
z − 3√
z + 1 + 5
(t) lim
z→−1
3z3 − 2z2 − 4z + 1
z − 1
(u) lim
y→0
y2 + 2y + 1
y + 5
(v) lim
x→0
x3 − x
x
(w) lim
u→2
u− 2
3u2 − u3
(x) lim
x→−3
9− x2
x+ 3
2. Calcule-se os limites laterais
(a) lim
x→2+
x3 − 2x+ 5
(b) lim
x→0+
√
x
(c) lim
r→−3+
r2 − 9
3− r
(d) lim
r→1+
r2 + 2r − 3
r − 1
F. Rivero e T. Salvador 50 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
3. Verifique se as func¸o˜es sa˜o cont´ınuas nos valores dados
(a) f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− x se x > 3
em x = 3.
(b) f(x) =

−1 se x < 0
x− 1 se 0 ≤ x < 1
1 se x ≥ 1
em x = 0 e x = 1.
(c) f(x) =
{
3 + x se x ≤ 1
3− x se x > 1
em x = 1.
(d) g(x) =
{
2x− 1 se x < 1
x2 se x ≥ 1
em x = 1.
(e) g(x) =
{
2− x se x > 1
x2 se x ≤ 1
em x = 1.
(f) f(x) =
 x
2 − 2x− 3
x+ 1
se x 6= 1
−4 se x = 1
em x = −1.
(g) f(y) =

y2 − 9
y − 3 se y 6= 3
2 se y = 3
em y = 3.
(h) h(z) =

3 + z2 se z < −2
0 se z = −2
11− z2 se z > −2
em z = −2.
4. Determine o valor de a para que f(x) seja cont´ınua no valor indicado.
(a) f(x) =
 9− x
2
3x+ 9
se x 6= −3
a se x = −3
em x = −3.
(b) f(x) =
{
ax+ 5 se x > 1
x2 − 3x+ 4 se x ≤ 1
em x = 1.
(c) f(x) =
 4x
2 − 36
5x− 15 se x 6= 3
a se x = 3
em x = 3.
(d) f(x) =
 x
2 − 4
x+ 2
se x 6= −2
ax+ 10 se x = −2
em x = −2.
5. Determinar os valores de α e β para que as func¸o˜es seguintes sejam cont´ınua em R.
(a) h(x) =

x− 3 se x < 1
α se x = 1
x2 − β2
x2 − 3x+ 2 se x > 1
(b) z(x) =

3(x2 + αx)
x2 − x− 2 se x < −1
−x3 se −1 ≤ x < 1
β
2
√
x se x ≥ 1
F. Rivero e T. Salvador 51 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
6. Determine, no caso de existir, os seguintes limites
(a) lim
y→1+
2y
y − 1
(b) lim
y→2−
y2
y − 2
(c) lim
y→0+
√
4 + 3y2
5y
(d) lim
y→2−
y2 + 1
y + 2
(e) lim
y→2+
y2 + 1
y + 2
(f) lim
y→2+
1
2− y
(g) lim
y→5+
1− y
(y − 5)2
(h) lim
y→1−
3 + y
(y − 1)2
(i) lim
y→3+
1
y − 3
(j) lim
y→−2
y2 + 1
y + 2
(k) lim
y→−7+
y − 7
y + 7
(l) lim
y→0
1
y3
(m) lim
y→0
−1
y2
(n) lim
y→−1−
1
2y + 2
(o) lim
y→−8−
3y
(y + 8)2
(p) lim
y→4
5
y − 4
7. Calcular os limites
(a) lim
x→∞
2x4 − 7x+ 1
(b) lim
w→−∞
2 + 5w − w2 + 4w3
(c) lim
y→∞
6y − 10y2
(d) lim
s→−∞
−s5 + s3 + 9
(e) lim
t→∞
4
t5
(f) lim
u→∞
3
−10u2
(g) lim
x→∞
−7
2x2
(h) lim
x→∞
x+ 2
x+ 4
(i) lim
x→∞
2x4 + x2 + 4
−x2 − 2x+ 7
(j) lim
y→−∞
y2 − 3y + 1
3y3 + 1
(k) lim
y→−∞
6y4 − 1
−5y3
(l) lim
r→∞
1 + r2
1− 2r
(m) lim
t→−∞
5 + t− 7t2
t3 + 2t− 1
(n) lim
y→∞
4y + 1
4− y
(o) lim
s→−∞
2s+ 3
6s+ 7
(p) lim
w→−∞
2 + 3w − w3
5
F. Rivero e T. Salvador 52 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
8. Depois de va´rios estudos sobre a populac¸a˜o de uma pais, se estima que a populac¸a˜o
em t anos desde agora sera´ de p = 0.2t2 + 1500 milhares de pessoas e que o PIB
do pais sera´ de de E =
√
9t4 + 0.5t+ 179 bilho˜es de reais. Se a renda per capita e´
determinada como o quociente entre o PIB e populac¸a˜o, determinar a tendeˆncia da
renda per capita quando t→ +∞.
Dica: Cuidado com as unidades.
9. Un produtor determina que depois de t meses produzindo um novo produto o n´ıvel
de produc¸a˜o sera´ dado pela func¸a˜o p(t) =
6t2 + 5t
(t+ 1)2
. O que acontece com a produc¸a˜o
quando para valores muito grandes de t?.
10. Ache as ass´ıntotas horizontais e verticais das seguintes func¸o˜es
(a) f(x) =
7x
2x− 5
(b) F (x) =
−2
(x− 1)2
(c) g(y) =
1− 2x
3 + 5x
(d) G(y) =
3x2 + 1
2x2 − 7x
(e) h(t) =
3t√
2t2 + 1
(f) f(z) =
√
z
z − 2
(g) F (x) =
−2x√
x2 + 4
(h) l(y) =
y + 2√
1− y
F. Rivero e T. Salvador 53 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
F. Rivero e T. Salvador 54 Matema´tica para Economia I
Cap´ıtulo 2
Derivada de func¸o˜es
de uma varia´vel real
Vamos iniciar esse cap´ıtulo considerando dois problemas aplicados: o primeiro consiste em
determinar o coeficiente angular (inclinac¸a˜o) da reta tangente em um ponto do gra´fico de
uma func¸a˜o e o segundo em estudar a variac¸a˜o de uma gra´fica da relac¸a˜o entro a percen-
tagem de desemprego e a porcentagem correspondente da inflac¸a˜o. Essas duas aplicac¸o˜es,
aparentemente ta˜o diversas, va˜o conduzir ao mesmo conceito: o de derivada. Mais adi-
ante, definiremos a derivada como o limite de uma func¸a˜o. Isso vai permitir aplicar o
conceito de derivada a qualquer quantidade ou grandeza que possa ser representada por
uma func¸a˜o.
2.1 Noc¸a˜o intuitiva de derivada:
interpretac¸a˜o geome´trica e taxa de variac¸a˜o
2.1.1 Coeficiente Angular da Reta Tangente ao Gra´fico de uma
Func¸a˜o
Vamos supor que P e´ um ponto no gra´fico de uma func¸a˜o real f e queremos determinar
a reta tangente, que chamaremos de t, ao gra´fico de f em P . Sabemos que umareta no
plano e´ determinada quando conhecemos seu coeficiente angular e um ponto pertencente
a ela. Precisamos calcular, enta˜o, o coeficiente angular da reta t. A ideia para obter esse
coeficiente angular e´ aproximar a reta tangente por retas secantes, usando limites no final
para obter o coeficiente angular.
Vamos escolher outro ponto Q no gra´fico de f e trac¸ar uma reta (secante) passando
por P e Q. Tomando Q bem pro´ximo de P , podemos fazer com que o coeficiente angular
da reta secante se aproxime do coeficiente angular da reta tangente com qualquer precisa˜o
55
2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
desejada.
Vamos supor que P = (x0, f(x0)) e´ um ponto no gra´fico de f e que a abscissa de Q
esteja a uma distaˆncia de ∆x1 de x0. Desse modo, a abscissa de Q e´ x0 + ∆x. Como Q
pertence ao gra´fico de f , a ordenada de Q e´ f(x0+∆x). Assim, Q = (x0+∆x, f(x0+∆x)).
Na Figura 2.1 temos o gra´fico de f e os pontos P e Q.
Chamando por ∆y a distaˆncia entre f(x0) e f(x0+∆x), isto e´ ∆y = f(x0+∆x)−f(x0),
o coeficiente angular ms da reta secante, que chamaremos de s e´ (ver Sesa˜o 3 da Revisa˜o)
ms =
∆y
∆x
=
f(x0 + ∆x)− f(x0)
(x0 −∆x)− x0 =
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
.
Se fizermos ∆x tender a zero, o ponto Q se movera´ sobre a curva y = f(x) (curva do
gra´fico da func¸a˜o f) e tendera´ ao ponto P . Ale´m disso, a reta secante s ira´ girar em torno
de P e tendera´ para a reta tangente t. Logo, quando ∆x → 0, o coeficiente angular ms
de s tende para o coeficiente angular mt de t, ou seja,
mt = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
.
No video associado a` Figura 2.1 podemos ver ese fato.
Essas considerac¸o˜es levam para a seguinte definic¸a˜o
Definic¸a˜o 2.1 Seja f : R→ R uma func¸a˜o real definida em um intervalo contendo x0 e
seja y0 = f(x0) a imagem de x0. Se o limite
m = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
,
existe (e´ finito), dizemos que a reta no plano xy contendo o ponto (x0, y0) e tendo coefi-
ciente angular m e´ a reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, y0).
Observac¸a˜o: Se f e´ cont´ınua em x0 e
lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
= ±∞,
dizemos que a reta vertical x = x0 e´ a reta tangente ao gra´fico de f em (x0, y0).
1A notac¸a˜o ∆x e´ usada para escrever uma variac¸a˜o pequena de un valor. Neste caso, como a variac¸a˜o
e´ feita no eixo x, denotamos por ∆x.
F. Rivero e T. Salvador 56 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA
Figura 2.1: Reta secante ao gra´fico da func¸a˜o f que pasa pelos pontos P e Q [Video]
Exemplo 2.1 Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + 4x no ponto
(1, 5).
Soluc¸a˜o: Para obter a reta tangente precisamos calcular aos coeficientes mt e b da
fo´rmula
y = mx+ b,
onde m e´ o coeficiente angular e b a ordenada na origem (ver Sesa˜o 3 da Revisa˜o). Logo,
pela Definic¸a˜o 2.1,
m = lim
∆x→0
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x
= lim
∆x→0
(1 + ∆x)2 + 4(1 + ∆x)− (12 + 4 · 1)
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)2 + 6∆x
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)�2 + 6��∆x
��∆x
= lim
∆x→0
(∆x+ 6) = 6.
F. Rivero e T. Salvador 57 Matema´tica para Economia I
2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Logo temos que y = 6x+ b. Como a reta tangente passa pelo ponto (1, 5), temos que
5 = 6 · 1 + b⇔ b = −1,
e a reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto (1, 5) e´ y = 6x− 1.
Na Figura 2.2 podemos ver a func¸a˜o f(x) e a reta tangente obtida.
Figura 2.2: Reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f que pasa pelo ponto (1, 5)
2.1.2 Taxa de Variac¸a˜o
Vamos considerar que estamos monitorando o valor de um ativo na Bolsa de Valores ao
longo de um intervalo de tempo (um dia, uma semana, um meˆs...) dado pela func¸a˜o
V (t) e queremos determinar a taxa de variac¸a˜o do valor num instante do intervalo, isto e´,
informac¸a˜o de se o prec¸o esta´ aumentando ou diminuindo muito ou poco nesse instante.
Olhando a Figura 2.3, que pode representar o valor do ativo, podemos observar como a
inclinac¸a˜o da reta tangente oferece essa informac¸a˜o.
F. Rivero e T. Salvador 58 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA
Figura 2.3: Inclinac¸a˜o da reta tangente en va´rios pontos da func¸a˜o V (t)
Quando o valor aumenta, a reta tem inclinac¸a˜o positiva e quando diminui, a inclinac¸a˜o
e´ negativa e suas inclinac¸o˜es sa˜o maiores quanto mais aumenta ou diminui o valor.
Assim, podemos definir a taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o num ponto como o coeficiente
angular da reta tangente nesse ponto.
Definic¸a˜o 2.2 Seja y = f(x). A taxa de variac¸a˜o (instantaˆnea) de y em relac¸a˜o
a x quando x tem o valor x0 e´ dada por
lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
.
Exemplo 2.2 Suponha que o custo semanal, em reais, para a fabricac¸a˜o de x geladeiras
seja dado pela func¸a˜o C(x) = 8.000 + 400x–0.2x2 com 0 ≤ x ≤ 400. Determine a taxa de
variac¸a˜o da func¸a˜o custo em relac¸a˜o a` x quando x = 250.
F. Rivero e T. Salvador 59 Matema´tica para Economia I
2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Soluc¸a˜o: Se chamamos de C ′(x) a taxa de variac¸a˜o de C em relac¸a˜o a x, precisamos
determinar C ′(250). Logo,
C ′(250) = lim
∆x→0
C(250 + ∆x)− C(250)
∆x
= lim
∆x→0
8.000 + 400(250 + ∆x)− 0, 2(250 + ∆x)2 − 95.500
∆x
= lim
∆x→0
8.000 + 100.000 + 400∆x− 12.500− 100∆x− 0, 2(∆x)2 − 95.500
∆x
= lim
∆x→0
300∆x− 0, 2(∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
300��∆x− 0, 2(∆x)�2
��∆x
= lim
∆x→0
(300− 0, 2∆x) = 300.
Resposta: Para um n´ıvel de fabricac¸a˜o 250 geladeiras, a taxa de variac¸a˜o do custo e´
R$300 por geladeira.
2.1.3 A Derivada de uma Func¸a˜o
Vimos nas sec¸o˜es 2.1.1 e 2.1.2 que o problema de determinar o coeficiente angular da reta
tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o em um ponto dado e o problema de encontrar a taxa de
variac¸a˜o de uma varia´vel em relac¸a˜o a` outra sa˜o ambos resolvidos pelo ca´lculo do mesmo
limite, que e´ a base de um dos conceitos fundamentais do Ca´lculo, a derivada, definida a
seguir.
Definic¸a˜o 2.3 Dada uma func¸a˜o f(x), a func¸a˜o definida por
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
e´ chamada de (func¸a˜o) derivada de f(x).
F. Rivero e T. Salvador 60 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
Exemplo 2.3 Calcular a (func¸a˜o) derivada de f(x) = x2 + 4x.
Soluc¸a˜o: Vamos aplicar a definic¸a˜o de derivada como limite do incremento:
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
(x+ ∆x)2 + 4(x+ ∆x)− (x2 + 4x)
∆x
= lim
∆x→0
���
��(x2 + 4x) + (∆x)2 + 2x∆x+ 4∆x−�����(x2 + 4x)
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)�2 + 2x��∆x+ 4��∆x
��∆x
= lim
∆x→0
(∆x+ 2x+ 4) = 2x+ 4.
Observac¸o˜es:
i) O limite indicado na Definic¸a˜o 2.3 pode existir para alguns valores de x e deixar de
existir para outros. Se o limite existe (e´ finito) para x = a, dizemos que a func¸a˜o e´
deriva´vel (diferencia´vel) em a.
ii) A notac¸a˜o f ′ usada na definic¸a˜o anterior tem a vantagem de enfatizar que a derivada
de f e´ uma func¸a˜o de x que esta´ associada de certa maneira com a func¸a˜o f dada.
Se a func¸a˜o e´ apresentada na forma y = f(x), com a varia´vel dependente expl´ıcita,
enta˜o o s´ımbolo y′ e´ usado em lugar de f ′(x). A derivada de y = f(x) e´ tambe´m
indicada por
df
dx
ou
dy
dx
e algumas vezes por Dxy ou Dxf .
Como ja´ mostramos nas sec¸o˜es anteriores, a derivada tem uma interpretac¸a˜o geome´trica
e outra como taxa de variac¸a˜o. Assim:
• Interpretac¸a˜o Geome´trica: A derivada f ′(x) expressa o coeficiente angular da
reta tangente a` curva y = f(x) em func¸a˜o da coordenada x do ponto de tangeˆncia
(desde que o limite exista).
• Taxa de Variac¸a˜o: A derivada f ′(x) expressa a taxa de variac¸a˜o (instantaˆnea) de
y = f(x) em relac¸a˜o a x.
2.2 Regras ba´sicas de derivac¸a˜o
A operac¸a˜ode encontrar a derivada de uma func¸a˜o e´ chamada derivac¸a˜o ou diferen-
ciac¸a˜o e pode ser efetuada aplicando-se a definic¸a˜o de derivada. No entanto, como esse
F. Rivero e T. Salvador 61 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
processo e´ usualmente demorado, precisamos de algumas regras (teoremas que sa˜o pro-
vados a partir da definic¸a˜o de derivada) que possibilitem encontrar a derivada de certas
func¸o˜es mais facilmente.
Proposic¸a˜o 2.1 Assim, sendo c um valor em R, p um valor em Q e u e v func¸o˜es reais
de varia´vel x. Enta˜o:
1. Regra da constante: Se f(x) = c enta˜o f ′(x) = 0.
2. Regra da identidade: Se f(x) = x enta˜o f ′(x) = 1.
3. Regra da poteˆncia: Se f(x) = xp enta˜o f(x) = p · xp−1.
4. Regra da soma: Se f(x) = u+ v enta˜o f ′(x) = u′ + v′.
5. Regra do produto: Se f(x) = uv enta˜o f ′(x) = u′v + uv′.
6. Regra do produto por uma constante: Se f(x) = c · u enta˜o f ′(x) = c · u′.
7. Regra do quociente: Se f(x) =
u
v
e v 6= 0 enta˜o f ′(x) = u
′v − uv′
v2
.
Vamos explicar geome´tricamente as treˆs primeiras regras, usando demonstrac¸o˜es, gra´ficos
e v´ıdeos para ter uma melhor clareza visual.
Seja a func¸a˜o constante f(x) = 5. O gra´fico da func¸a˜o e´ uma reta horizontal que
pasa pelo ponto (0, 5) (Ver Figura 2.4). Como a func¸a˜o derivada e´ o valor do coeficiente
angular da reta tangente em cada ponto, isto e´ o valor da inclinac¸a˜o da reta tangente em
cada ponto, temos que numa reta horizontal toda reta tangente coincide com a pro´pria
func¸a˜o e portanto na˜o existe nenhuma inclinac¸a˜o. Logo o coeficiente das retas tangentes
em cada ponto e´ zero e, por causa disso, a func¸a˜o derivada f ′(x) = 0 para todo valor do
R
E´ fa´cil mostrar este fato usando a` Definic¸a˜o 2.3. Seja a func¸a˜o constante f(x) = c,
onde c e´ um valor real fixo. Assim,
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
c− c
∆x
= lim
∆x→0
0
∆x
= 0.
F. Rivero e T. Salvador 62 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
Figura 2.4: Derivada de uma func¸a˜o constante f(x) = 5
Se a func¸a˜o f(x) e´ uma reta como acontece quando f(x) = x, enta˜o a reta tangente
em cada ponto do gra´fico da func¸a˜o tambe´m coincide com a pro´pria func¸a˜o e o valor do
coeficiente angular sera´ o mesmo que o valor do coeficiente angular da reta f(x) = x,
sendo neste caso de 1. Se a func¸a˜o fosse qualquer outra reta da forma y = mx + b, onde
m e´ o coeficiente angular e b e´ a ordenada na origem (ver Sec¸a˜o 3 da Revisa˜o), enta˜o
a inclinac¸a˜o da reta tangente em cada ponto sera´ a inclinac¸a˜o da mesma reta, obtendo
dy
dx
= m para todo valor x real. A Figura 2.5 mostra um exemplo para f(x) = 3x− 1.
Tambe´m podemos usar a definic¸a˜o de func¸a˜o derivada para mostrar o anterior. Seja
f(x) = mx+ b uma reta. Enta˜o,
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
m(x+ ∆x) + b− (mx+ b)
∆x
= lim
∆x→0
��mx+m∆x+ ��b−��mx− ��b
∆x
= lim
∆x→0
m��∆x
��∆x
= lim
∆x→0
m = m.
F. Rivero e T. Salvador 63 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Figura 2.5: Derivada de uma reta f(x) = 3x− 1
Para a regra da poteˆncia, somente vamos mostrar alguns gra´ficos e v´ıdeos de exemplos
concretos.
Exemplo 2.4 Seja f(x) = x2 + 4x. Pela Proposic¸a˜o 2.1, usando a regra da soma
f ′(x) = (x2 + 4x)′ = (x2)′ + (4x)′.
Usando agora as regras da poteˆncia, da identidade e do produto por uma constate,
obtemos
f ′(x) = 2x2−1 + 4 · 1 = 2x+ 4.
Portanto, a reta tangente em cada ponto do gra´fico de f tem por coeficiente angular
m = 2x + 4, que depende do valor x. Para calcular a fo´rmula da reta tangente no ponto
(1, f(1)) = (1, 5), so´ precisamos determinar o valor da ordenada na origem na fo´rmula
geral de uma reta y = mx + b. Como a reta pasa tambe´m pelo ponto (1, 5), temos que o
valor de y para x = 1 e´ de y = 5. Substituindo os valores de x, y e m = 2 · 1 + 4 = 6 na
fo´rmula, podemos calcular o valor de b.
5 = 6 · 1 + b⇔ b = −1
Logo a fo´rmula da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (1, 5) e´ y = 6x− 1.
F. Rivero e T. Salvador 64 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
Na Figura 2.6 podemos ver va´rias retas tangentes ao gra´fico da func¸a˜o que passam pelos
pontos (−6, f(−6)) = (−6, 12) (azul), (−4, f(−4)) = (−4, 0) (vermelha) e (1, f(1)) =
(1, 5) (verde). Se calculamos os coeficientes angulares dessas retas obtemos que
f ′(−6) = 2(−6) + 4 = −8 = m1, coeficiente angular da reta tangente y = −8x− 36
f ′(−4) = 2(−4) + 4 = −4 = m2, coeficiente angular da reta tangente y = −4x− 16
f ′(1) = 2(1) + 4 = 6 = m3, coeficiente angular da reta tangente y = 6x− 1
No v´ıdeo podemos apreciar como os valores dos coeficientes angulares dessas retas
esta˜o de fato na func¸a˜o f ′(x) = 2x+ 4.
Figura 2.6: Retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x2 + 4x em distintos pontos. [Video]
Exemplo 2.5 Seja f(x) = x3 − 4. Pela Proposic¸a˜o 2.1, usando a regra da soma
f ′(x) = (x3 − 4)′ = (x3)′ − (4)′.
Usando agora as regras da poteˆncia, do produto por uma constate e da constante,
obtemos
f ′(x) = 3x3−1 − 0 = 3x2.
F. Rivero e T. Salvador 65 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Enta˜o as retas tangentes em cada ponto do gra´fico da func¸a˜o f tem uma inclinac¸a˜o m
que depende do valor do x com a fo´rmula m = 3x2 = f ′(x). Para determinar a equac¸a˜o da
reta tangente ao gra´fico de f que passa pelo ponto (1,−3), precisamos calcular o coeficiente
angular m e a ordenada na origem b na fo´rmula y = mx+b. Como m = f ′(1) = 3 ·12 = 3
e temos que y = −3 se x = 1 porque (1,−3) e´ tambe´m um ponto na reta tangente, podemos
calcular b.
−3 = 3 · 1 + b⇔ b = −6
Logo a fo´rmula da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (1,−3) e´ y = 3x− 6.
Na Figura 2.7 mostra va´rias retas tangentes ao gra´fico da func¸a˜o que passam pelos
pontos (−3, f(−3)) = (−3,−31) (vermelha), (1, f(1)) = (1,−3) (azul) e (2, f(2)) = (2, 4)
(verde). Se calculamos os coeficientes angulares dessas retas obtemos que
f ′(−3) = 3(−3)2 = 27 = m1, coeficiente angular da reta tangente y = 27x+ 50
f ′(1) = 3 · 12 = 3 = m2, coeficiente angular da reta tangente y = 3x− 6
f ′(2) = 3 · 22 = 12 = m3, coeficiente angular da reta tangente y = 12x− 20
No v´ıdeo podemos apreciar como os valores dos coeficientes angulares dessas retas
esta˜o de fato na func¸a˜o f ′(x) = 3x2.
Figura 2.7: Retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x3 − 4 em distintos pontos. [Video]
F. Rivero e T. Salvador 66 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
Exemplo 2.6 Seja f(x) = x + x−2. Usando primeiro a regra da soma para calcular a
derivada da func¸a˜o f e depois as regras da identidade e da poteˆncia obtemos,
f ′(x) = (x)′ + (x−2)′ = 1 + (−2)x−2−1 = 1− 2x−3
O coeficiente angular de cada reta tangente do gra´fico da func¸a˜o f no ponto (x, f(x)) e´
m = 1− 2x−3. Observando a Figura 2.8 podemos ver va´rias retas tangentes ao gra´fico de
f que passam pelos pontos (−1, f(−1)) = (−1, 0), (4, f(4)) =
(
4,
65
16
)
e (1, f(1)) = (1, 2).
Se calculamos os coeficientes angulares dessas retas obtemos que
f ′(−1) = 1− 2(−1)−3 = 3 = m1, coeficiente angular da reta tangente y = 3x+ 3
f ′(4) = 1− 2 · 4−3 = 65
16
= m1, coeficiente angular da reta tangente y =
65
16
x+
3
16
o que e´ o mesmo que 32y = 31x+ 6
f ′(1) = 1− 2 · 1−3 = −1 = m3, coeficiente angular da reta tangente y = −x+ 3
Figura 2.8: Retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x+ x−2 em distintos pontos. [Video]
F. Rivero e T. Salvador 67 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Exemplo 2.7 Seja f(x) = 2
√
x. Usando a regra do produtopor uma constante primeiro
temos que
f ′(x) = (2
√
x)′ = 2(
√
x)′
Usando o fato de que
√
x = x
1
2 , podemos aplicar a regra da poteˆncia. Assim, a derivada
da func¸a˜o e´
f ′(x) = (2
√
x)′ = 2(
√
x)′ = 2(x
1
2 )′ =
1
2
· 2x 12−1
= x−
1
2 =
1
x
1
2
=
1√
x
.
Logo, para qualquer valor x no domı´nio da func¸a˜o, o coeficiente angular da reta tan-
gente que passa pelo ponto (x, f(x)) e´ m =
1√
x
. Na Figura 2.9 podemos observar alguns
exemplos.
Figura 2.9: Retas tangentes ao gra´fico de f(x) = 2
√
x em distintos pontos. [Video]
F. Rivero e T. Salvador 68 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
Logo, para os pontos (1, f(1)) = (1, 2), (4, f(4)) = (4, 4) e (9, f(9)) = (9, 6), os
coeficientes angulares das retas tangentes nesses pontos sa˜o,
f ′(1) =
1√
1
= 1 = m1, coeficiente angular da reta tangente y = x+ 1
f ′(4) =
1√
4
=
1
2
= m2, coeficiente angular da reta tangente y =
1
2
x+ 2
f ′(9) =
1√
9
=
1
3
= m3, coeficiente angular da reta tangente y = |frac13x+ 3
Vamos ver mais alguns exemplos da aplicac¸a˜o das regras da Proposic¸a˜o 2.1.
Exemplo 2.8
i) f(x) = x3 + 4x+ 7.
Soluc¸a˜o: Pela regra da soma,
df
dx
=
d
dx
(x3 + 4x+ 7) =
d
dx
(x3) +
d
dx
(4x) +
d
dx
7.
Usando agora as regras da poteˆncia, da constante, da identidade e do produto por
uma constate, obtemos
df
dx
= 3x3−1 + 4 · 1 + 0 = 3x2 + 4.
ii) f(x) = 5x4–2x3 + x2–3x.
Soluc¸a˜o: Usando de novo a regra da soma primeiro e depois as regras da poteˆncia,
da constante, da identidade e do produto por uma constate, obtemos
f ′(x) = (5x4–2x3 + x2–3x)′
= (5x4)′–(2x3)′ + (x2)′–(3x)′
= 5(4x4−1)− 2(3x3−1) + 2x2−1 − 3 · 1
= 20x3 − 6x2 + 2x− 3.
F. Rivero e T. Salvador 69 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
iii) y = 3x− 4√x.
Soluc¸a˜o: Primeiro lembramos que
√
x = x
1
2 . Assim, pelas regras da soma, da
poteˆncia, da constante, da identidade e do produto por uma constate, obtemos
dy
dx
=
d
dx
(3x− 4x 12 )
=
d
dx
(3x)− d
dx
(4x
1
2 )
= 3
dx
dx
− 4 d
dx
(x
1
2 )
= 3 · 1− 4
2
x
1
2
−1
= 3− 2x− 12 = 3− 2√
x
.
iv) f(x) = (2x+ 1)(3x2 + 5x).
Soluc¸a˜o: Aplicando a regra do produto onde identificamos como u = (2x + 1) e
v = (3x2 + 5x),
f ′(x) = (2x+ 1)′(3x2 + 5x) + (2x+ 1)(3x2 + 5x)′
Pela regras da soma, da poteˆncia, da constante, da identidade e do produto por uma
constate, obtemos que (2x+ 1)′ = 2 e (3x2 + 5x)′ = 6x2 + 5. Portanto,
f ′(x) = (2x+ 1)′(3x2 + 5x) + (2x+ 1)(3x2 + 5x)′
= 2(3x2 + 5x) + (2x+ 1)(6x+ 5)
= 18x2 + 26x+ 5.
Outra forma de obter a derivada e´ desenvolviendo o produto primeiro e depois aplicar
a regra da soma, da poteˆncia, da constante, da identidade e do produto por uma
constate. Assim ter´ıamos
f ′(x) =
d
dx
[
(2x+ 1)(3x2 + 5x)
]
=
d
dx
[
6x3 + 13x2 + 5x
]
= 6(3x3−1) + 13(2x2−1) + 5 · 1
= 18x2 + 26x+ 5,
obtendo a mesma fo´rmula que no caso anterior.
F. Rivero e T. Salvador 70 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
v) y = (4x2 − 2)(7x3 + x)
Soluc¸a˜o: Aplicando primeiro a regra do produto e depois as regras da soma, da
poteˆncia, da constante, da identidade e do produto por uma constate, obtemos
y′ = (4x2 − 2)′(7x3 + x) + (4x2 − 2)(7x3 + x)′
= (4 · 2x2−1 − 0)(7x3 + x) + (4x2 − 2)(7 · 3x3−1 + 1)
= 8x2(7x3 + x) + (4x2 − 2)(21x2 + 1)
= 56x5 + 84x4 + 8x3 − 38x2 − 2.
Fica como exerc´ıcio calcular a derivada fazendo o desenvolvimento do produto pri-
meiro de forma ana´loga ao item anterior.
vi) f(x) =
2
x
Soluc¸a˜o: Como
2
x
= 2x−1, vamos aplicar a regra da poteˆncia e do produto por uma
constante. Logo,
f ′(x) = (2x−1)′ = 2(−1x−1−1) = −2x−2 = − 2
x2
.
Chamando de u = 2 e v = x, enta˜o f(x) =
u
v
e podemos aplicar a regra do quociente
para determinar a derivada. Assim,
f ′(x) =
(2)′x− 2(x)′
x2
=
0x− 2 · 1
x2
= − 2
x2
,
obtendo o mesmo resultado.
vii) f(x) =
7
5x3
.
Soluc¸a˜o: Como
1
x3
= x−3, pela regra da poteˆncia e do produto por uma constante
obtemos
df
dx
=
d
dx
(
7
5x3
)
=
df
dx
(
7
5
x−3
)
=
7
5
(−3x−3−1) = −21
5
x−4 = − 21
5x4
.
Se chamamos de u = 7 e v = 5x3, temos que f(x) =
u
v
e podemos aplicar a regra do
F. Rivero e T. Salvador 71 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
quociente. Assim,
df
dx
=
(7)′5x3 − 7(5x3)′
(5x3)2
=
0 · 5x3 − 7(5 · 3x3−1)
52x6)
=
−7 · �5 · 3��x2
5�2x���
4
6
= − 21
5x4
viii) y =
3
3
√
x2
Soluc¸a˜o: Usando que
3
3
√
x2
=
3
x
2
3
= 3x−
2
3 e pelas regras da poteˆncia e do produto
por uma constante, tem-se
f ′(x) = (3x−
2
3 )′ = 3(x−
2
3 )′ = 3
(
−2
3
x−
2
3
−1
)
= −2 · �3
�3
x−
5
3 = − 2
x
5
3
= − 2
3
√
x5
Fica como exerc´ıcio fazer a derivac¸a˜o usando a regra do quociente.
ix) f(x) =
2x− 1
5x+ 7
Soluc¸a˜o: Vamos comec¸ar usando a regra do quociente. Assim, chamando de u =
2x− 1 e de v = 5x+ 7 temos
f ′(x) =
(2x− 1)′(5x+ 7)− (2x− 1)(5x+ 7)′
(5x+ 7)2
.
Para o ca´lculo das derivaras de u e v aplicamos as regras da soma, da constante, da
identidade e do produto por uma constate. Enta˜o,
f ′(x) =
(2x− 1)′(5x+ 7)− (2x− 1)(5x+ 7)′
(5x+ 7)2
=
(2 · 1− 0)(5x+ 7)− (2x− 1)(5 · 1 + 0)
(5x+ 7)2
=
2(5x+ 7)− 5(2x− 1)
(5x+ 7)2
=
19
(5x+ 7)2
.
F. Rivero e T. Salvador 72 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
x) y =
x3
x2 − 3
Soluc¸a˜o: Chamando de u = x3 e de v = x2−3, podemos aplicar a regra do quociente.
dy
dx
=
(x3)′(x2 − 3)− x3(x2 − 3)′
(x2 − 3)2 .
Logo, pelas regras da soma, da poteˆncia, da constante, da identidade e do produto
por uma constate, obtemos
dy
dx
=
(x3)′(x2 − 3)− x3(x2 − 3)′
(x2 − 3)2
=
(3x3−1)(x2 − 3)− x3(2x2−1 − 0)
(x2 − 3)2
=
3x2(x2 − 3)− 2x4
(x2 − 3)2
=
x4 − 9x2
(x2 − 3)2
=
x2(x2 − 9)
(x2 − 3)2
Em Economia, o termo marginal e´ frequentemente usado como um sinoˆnimo de
derivada de. Por exemplo, se C e´ a func¸a˜o custo tal que C(x) e´ o custo da produc¸a˜o de
x unidades de uma mercadoria, o valor C ′(x) e´ chamado de custo marginal da produc¸a˜o
de x unidades e C ′ de func¸a˜o custo marginal. Desse modo, o custo marginal e´ a taxa de
variac¸a˜o do custo da produc¸a˜o em relac¸a˜o ao nu´mero de unidades produzidas.
Exemplo 2.9 Seja C(x) = 110 + 4x + 0.02x2 o custo de produc¸a˜o de x brinquedos.
Determine o custo marginal quando x = 50.
Soluc¸a˜o: Para calcular o custo marginal no valor x = 50, temos que calcular a
derivada da func¸a˜o C e avaliar nesse valor. Assim,
C ′(x) = 0 + 4 · 1 + 0.02(2x2−1) = 4 + 0.04x.
Logo o custo marginal para 50 brinquedos e´ C ′(50) = 4 + 0.04 · 50 = 4 + 2 = 6.
Resposta: O custo aumenta moderadamente a uma taxa de 6 unidades moneta´rias
(u.m.) por brinquedo quando sa˜o fabricados 50 brinquedos.
F. Rivero e T. Salvador 73 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Na Figura 2.10 podemos observar o gra´fico da func¸a˜o custo C(x) e a reta tangente no
ponto (50, C(50)), que mostra a tendeˆncia crescente da func¸a˜o nesse ponto.
Figura 2.10: Gra´fico do custo C(x) e do custo marginal para o valor x = 50.
Exemplo 2.10 Se C(x) = 900–225x e R(x) = –x3 + 15x2 sa˜o, respectivamente, as
func¸o˜es custo e receita para x unidades de um produto fabricado e vendido por uma em-
presa, determine o lucro marginal com a produc¸a˜o e venda de 10 unidades.
Soluc¸a˜o: E´ claro que a func¸a˜o lucro e´ a recitamenos o custo.
Lucro de x unidades = Receita de x unidades − Custo de x unidades.
Logo, chamando de L(x) a` func¸a˜o lucro temos que L(x) = R(x)− C(x).
Para achar o lucro marginal para uma produc¸a˜o de 10 unidades, precisamos calcular
o valor de
dL
dx
. Assim,
d
dx
L(x) =
d
dx
(R(x)− C(x)) = d
dx
R(x)− d
dx
C(x)
F. Rivero e T. Salvador 74 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
Portanto,
d
dx
L(x) =
d
dx
(900− 225x)− d
dx
(−x3 + 15x2)
= 0− 225 · 1− (−3x3−1 + 15(2x2−1))
= −225 + 3x2 − 30x.
Enta˜o, o lucro marginal para 10 unidades e´
d
dx
L(10) = −225 + 3 · 102 − 30 · 10 = −225
unidades moneta´rias por produto.
Resposta: O lucro diminui a uma taxa de 225 u.m. por produto fabricado para a
fabricac¸a˜o de 10 produtos.
Exemplo 2.11 Estima-se que o produto interno bruto (PIB) de um pa´ıs daqui a x anos
seja (em bilho˜es de do´lares) de f(x) = x2 + 2x + 50 para 0 ≤ x ≤ 7. Determine a taxa
na qual o PIB estara´ variando daqui a 4 anos.
Soluc¸a˜o: A taxa de variac¸a˜o do PIB em 4 anos e´ a derivada da func¸a˜o f avaliada
no valor x = 4. Logo, f ′(x) = 2x2−1 + 2 · 1 + 0 = 2(x+ 1) e f ′(4) = 10.
Resposta: O PIB varia a uma taxa de 10 bilh. de do´lares por ano daqui a 4 anos.
2.2.1 Regra da cadeia
Em muitas situac¸o˜es pra´ticas, as func¸o˜es que modelam um certo feno´meno econo´mico,
f´ısico ou biolo´gico sa˜o func¸o˜es relacionadas umas com outras por meio de uma com-
posic¸a˜o de func¸o˜es. Por exemplo, suponhamos que o lucro das vendas de uma func¸a˜o
e´ estimado como o cubo das unidade produzidas. Se llamamos de u as unidade produzi-
das, enta˜o L(u) = u3. Suponhamos que as unidade produzidas dependem de uma func¸a˜o
do tempo u(t) = t2 + 5t. Por tanto, a func¸a˜o lucro L ai depender somente da varia´vel
temporal t e e´ definida por
L(t) = (u(t))3 = (t2 + 5t)3.
Queremos determinar agora a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o lucro. Podemos fazer isso
desenvolvendo (t2 + 5t)3 e derivando o polinoˆmio resultante. Assim,
dL
dt
=
d
dt
(
(t2 + 5t)3
)
=
d
dt
(
t6 + 15t5 + 75t4 + 125t3
)
= 6t5 + 75t4 + 300t3 + 375t2.
F. Rivero e T. Salvador 75 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Outro me´todo e´ fazer a derivada da func¸a˜o L(u) = u3 em relac¸a˜o a varia´vel u e
multiplicar por a derivada da func¸a˜o u(t) = t2 + 5t em relac¸a˜o a varia´vel t. Enta˜o,
dL
dt
=
dL
du
· du
dt
= 3u2(2t+ 5).
Substituindo u por seu valor dependendo do tempo, obtemos
dL
dt
= 3u2(2t+ 5) = 3(t2 + 5t)2(2t+ 5) = 6t5 + 75t4 + 300t3 + 375t2,
chegando ao mesmo resultado.
O exemplo anterior e´ um casso particular de um importante resultado chamado a
regra da cadeia.
Teorema 2.1 (Regra da cadeia) Se y = f(u) e´ uma func¸a˜o deriva´vel na varia´vel u e
u = g(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel na varia´vel x, enta˜o a composic¸a˜o y = f(g(x)) e´ uma
func¸a˜o deriva´vel na varia´vel x e sua derivada e´ dada pelo produto
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
,
ou, equivalentemente,
dy
dx
= f ′(g(x))g′(x).
Observac¸o˜es:
i) Uma forma de lembra´-la e´ pensar que
dy
du
e
du
dx
sa˜o quocientes e que podemos “sim-
plificar” du, iste e´
dy
dx
=
dy
��du
·��du
dx
.
ii) As vezes, quando temos que calcular derivadas de composic¸a˜o de func¸o˜es, uma forma
simples de lembrar a regra da cadeia e´ identificar a func¸a˜o f como a a func¸a˜o de fora
e identificar a func¸a˜o g como a func¸a˜o de dentro. Assim, a fo´rmula
dy
dx
= f ′(g(x))g′(x),
fala que a derivada da func¸a˜o y = f(g(x)) em relac¸a˜o a varia´vel x e´ a derivada da
func¸a˜o de fora avaliada na func¸a˜o de dentro por a derivada da func¸a˜o de dentro.
F. Rivero e T. Salvador 76 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
Exemplo 2.12 Vamos aplicar a regra da cadeia nas func¸o˜es a seguir.
1. f(x) = (x2 + 3x− 2)9.
Soluc¸a˜o: Observamos que a func¸a˜o f na varia´vel x e´ uma composic¸a˜o da func¸a˜o
f(u) = u9 e da func¸a˜o u(x) = x2 + 3x − 2. Chamando de y = f(u(x)), pela regra
da cadeia temos que
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= 9u8(2x+ 3) = 9(x2 + 3x− 2)8(2x+ 3).
2. f(x) = (3x3 + 5x2 − 4)−5.
Soluc¸a˜o: Neste caso temos que a func¸a˜o de fora e´ f(u) = u−5 e a func¸a˜o de dentro
e´ g(x) = 3x3 + 5x2 − 4. Como f ′(u) = −5u−4, pela regra da cadeia temos
d
dx
f(g(x)) = f ′(g(x))g′(x) = −5(3x3 + 5x2 − 4)−4(9x2 + 10x).
3. y =
√
6x− 1.
Soluc¸a˜o: Identificando f(u) =
√
u = u1/2 e u(x) = 6x− 1, pela regra da cadeia
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
1
2
u−
1
2 6 = 3(6x− 1)− 12 = 3√
6x− 1 .
4. y = 4x2(2x− 1)4.
Soluc¸a˜o: Primeiro aplicamos a regra do produto,
y′ = (4x2)′(2x− 1)4 + 4x2 ((2x− 1)4)′ .
Temos que (4x2)′ = 8x e´ uma derivac¸a˜o direita, mas para determinar ((2x− 1)4)′
precisamos da regra da cadeia. Chamando de f(u) = u4 e g(x) = 2x − 1, e como
f ′(u) = 4u3, enta˜o
d
dx
f(g(x)) = f ′(g(x))g′(x) = 4(2x− 1)3 · 2 = 8(2x− 1)3.
Logo,
y′ = 8x(2x− 1)4 + 4x2 (8(2x− 1)3) = 8x(2x− 1)3(6x− 1).
F. Rivero e T. Salvador 77 Matema´tica para Economia I
2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
5. f(x) =
(
x− 2
x+ 1
)10
Soluc¸a˜o: Neste exemplo precisamos aplicar primeiro a regra da cadeia e depois a
regra do quociente. Chamando de f(u) = u10 e de u(x) =
x− 2
x+ 1
, temos
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= 10u9
d
dx
(
x− 2
x+ 1
)
.
Aplicando agora a regra do quociente para a func¸a˜o u,
d
dx
(
x− 2
x+ 1
)
=
(x+ 1)− (x− 2)
(x+ 1)2
=
3
(x+ 1)2
.
Assim, substituindo o anterior e o valor de u podemos calcular a derivada de y.
dy
dx
= 10
(
x− 2
x+ 1
)9
3
(x+ 1)2
=
30(x− 2)9
(x+ 1)11
.
Exemplo 2.13 O gerente de uma empresa de fabricac¸a˜o de eletrodome´sticos determinou
que quando os liquidificadores tem um prec¸o de p euros o nu´mero de unidades vendidas
e´ dado pela func¸a˜o D(p) =
8000
p
. A estimativa de mudanc¸a de prec¸o para t meses por
unidade e´ de p(t) = 0.06t3/2 + 22.5 euros. Qual e´ a taxa de variac¸a˜o da demanda de
liquidificadores D(p) dentro de 25 meses?
Soluc¸a˜o: Precisamos calcular a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o D em relac¸a˜o a` varia´vel
t, isto e´
dD
dt
. Vamos aplicar a regra da cadeia. Como
dD
dp
=
d
dp
(
8000
p
)
= −8000
p2
e
dp
dt
=
d
dt
(0.06t
3
2 + 22.5) = 0.06 · 3
2
t
1
2 = 0.09t
1
2 ,
enta˜o
dD
dt
=
dD
dp
· dp
dt
=
(
−8000
p2
)
0.09t
1
2 = −720t
1
2
p2
. (2.1)
Quando t = 25, enta˜o p(25) = 0.06(25)3/2 + 22.5 = 30 euros. Logo, colocando os
valores de t = 25 e p = 30 na equac¸a˜o (2.1),
dD
dt
∣∣∣∣t = 25
p = 30
= −720(25)
1
2
302
= −4.
Resposta: Em 25 meses, a demanda diminuira´ a uma taxa de 4 unidades por meˆs.
F. Rivero e T. Salvador 78 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.3. DERIVAC¸A˜O IMPLI´CITA
2.3 Derivac¸a˜o Impl´ıcita
Todas as func¸o˜es com as quais trabalhamos ate´ o momento foram dadas por equac¸o˜es da
forma y = f(x), nas quais a varia´vel dependente y e´ definida explicitamente por uma
expressa˜o envolvendo a varia´vel independente x. E´ o caso, por exemplo, de y = x3–4x+1.
A equac¸a˜o 4x–1 = x3–y define a mesma func¸a˜o y = f(x), mas dizemos, nesse caso,
que y = f(x) esta´ definida implicitamente pela equac¸a˜o.
Nesse exemplo, a func¸a˜o pode ser expressa facilmente nas formas expl´ıcita e impl´ıcita.
Outras func¸o˜es, no entanto, sa˜o definidas implicitamente por uma equac¸a˜o que envolve
tanto a varia´vel independente como a varia´vel dependente e na qual e´ dif´ıcil ou mesmo
imposs´ıvel explicitar a varia´vel dependente. E´ o caso, por exemplo, da equac¸a˜o
x2y + 2y3 = 3x+ 2y.(2.2)
Vamos supor que conhecemos uma equac¸a˜o que define y implicitamente como uma
func¸a˜o de x e temos necessidade de calcular a derivada
dy
dx
.
Se a equac¸a˜o dada na˜o pode ser resolvida explicitamente para y, mas sabemos que
existe uma func¸a˜o f tal que y = f(x), podemos obter sua derivada atrave´s de uma te´cnica
simples, que utiliza a regra da cadeia, e que pode ser usada sem a necessidade de explicitar
y. Essa te´cnica e´ conhecida como derivac¸a˜o impl´ıcita.
Dada uma equac¸a˜o na qual se estabelece y implicitamente como uma func¸a˜o de x,
podemos calcular
dy
dx
derivando a equac¸a˜o termo a termo e utilizando a regra da cadeia
quando derivarmos os termos contendo y; a seguir, resolvemos a equac¸a˜o resultante para
dy
dx
.
Vamos aplicar essa ide´ia na equac¸a˜o (2.2) anterior. Suponhamos que a varia´vel y e´
uma func¸a˜o da varia´vel x, isto e´, y e´ a varia´vel dependente e x a varia´vel dependente.
Logo, derivando termo a temo a equac¸a˜o obtemos
d
dx
(x2y) +
d
dx
(2y3) =
d
dx
(3x) +
d
dx
(2y).
O termo x2y e´ um produto de func¸o˜es porque estamos considerando a y como uma
func¸a˜o de x e, portanto, para determinar a derivada temos que aplicar a regra do produto.
Assim,
d
dx
(x2y) = 2xy + x2
dy
dx
.
Para calcular a derivada de 2y3 precisamos usar a regra da cadeia. Com efeito, se
chamamos de h(y) = 2y3, temos que calcular a derivada da func¸a˜o h(y(x)) em relac¸a˜o a
F. Rivero e T. Salvador 79 Matema´tica para Economia I
2.3. DERIVAC¸A˜O IMPLI´CITA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
varia´vel x. Logo,
dh
dx
=
dh
dy
· dy
dx
= 6y2
dy
dx
.
A derivada do termo 3x e´ uma derivada direita
d
dx
(3x) = 3.
Finalmente, a derivada de 2y e´
d
dx
(2y) = 2
dy
dx
.
Juntando tudo obtemos
d
dx
(x2y) +
d
dx
(2y3) =
d
dx
(3x) +
d
dx
(2y),
2xy + x2
dy
dx
+ 6y2
dy
dx
= 3 + 2
dy
dx
.
Resolvendo a equac¸a˜o anterior para
dy
dx
,
dy
dx
=
3− 2xy
x2 + 6y2 − 2 .
No caso tive´ssemos o valor para, por exemplo, y quando x = 5, poder´ıamos calcular o
valor da derivada da func¸a˜o y′ para esse valor de x. Se y = 2 quando x = 5, enta˜o
dy
dx
∣∣∣∣x = 5
y = 2
=
3− 2 · 5 · 10
52 + 6 · 22 − 2 =
−97
97
= −1.
Exemplo 2.14 Determine a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = f(x) definida impli-
citamente na equac¸a˜o
x2y3 − 6 = 5y3 + x (2.3)
quando x = 2.
Soluc¸a˜o: Precisamos obter a equac¸a˜o da reta tangente rt = mx+ b. Como o coefici-
ente angular da reta tangente ao gra´fico para o valor x = 2 e´ o valor da derivada nesse
ponto, vamos calcular o valor de f ′(x). Neste caso e´ mais conveniente usar a derivac¸a˜o
F. Rivero e T. Salvador 80 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.3. DERIVAC¸A˜O IMPLI´CITA
impl´ıcita para determinar a derivada porque f ′(x) =
dy
dx
. Assim, derivando termo a termo
a fo´rmula (2.3),
d
dx
(
x2y3 − 6) = d
dx
(
5y3 + x
)
2xy3 + 3x2y2
dy
dx
= 15y2
dy
dx
+ 1
Resolvendo para
dy
dx
, obtemos
dy
dx
=
1− 2xy3
3y2(x2 − 5) .
Para determinar o valor de f ′(2) precisamos de novo de (2.3) para calcular o valor
de y para x = 2. Logo 22y3 − 6 = 5y3 + 2. Isolando y obtemos que y3 = −8 e, portanto
y = −2. Portanto f(2) = −2. Usando os valores para dy
dx
, obtemos que
f ′(2) =
dy
dx
∣∣∣∣ x = 2
y = −2
=
1− 2(2(−2)3)
3(−2)2(22 − 5) = −
33
12
= −11
4
.
Para achar o valor da ordenada na origem b, usamos que o ponto (2,−2) do gra´fico
y = f(x) e´ tambe´m um ponto da reta tangente. Logo, −2 = −11
4
· 2 + b e b = 7
2
e a
equac¸a˜o da reta tangente e´
rt = −11
4
x+
7
2
ou 4rt = −11x+ 14.
2.3.1 Taxas Relacionadas
Em algumas aplicac¸o˜es, x e y esta˜o relacionados por uma equac¸a˜o, e ambas as varia´veis sa˜o
func¸o˜es de uma terceira varia´vel t (que quase sempre representa o tempo) e as fo´rmulas que
descrevem x e y como func¸o˜es de t na˜o sa˜o conhecidas. Nesse caso, a derivac¸a˜o impl´ıcita
pode ser usada para relacionar
dx
dt
com
dy
dt
e a equac¸a˜o relacionando as taxas pode ser
utilizada para determinar uma delas quando a outra e´ conhecida. Nesse contexto,
dx
dt
e
dy
dt
sa˜o chamadas de taxas relacionadas.
F. Rivero e T. Salvador 81 Matema´tica para Economia I
2.3. DERIVAC¸A˜O IMPLI´CITA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Exemplo 2.15
1. Seja x2 − y2 + 9 = 0 e suponha que x e y sa˜o func¸o˜es de t. Queremos determinar
dx
dt
e sabemos que x = 4, y = 5 e
dy
dt
= 0.08.
Soluc¸a˜o: Derivando implicitamente a equac¸a˜o dada em relac¸a˜o a t temos
2x
dx
dt
− 2ydy
dt
= 0.
Da´ı x
dx
dt
− ydy
dt
= 0. Para x = 4, y = 5 e
dy
dt
= 0.08 temos
4
dx
dt
− 0.4 = 0.
Logo
dx
dt
= 0.1.
2. Suponha que x mil unidades de uma mercadoria sa˜o vendidas semanalmente quando
o prec¸o e´ de p reais por unidade e que x e p satisfac¸am a equac¸a˜o de demanda
p+ 2x+xp = 38. Determine a taxa com a qual as vendas esta˜o variando no tempo,
quando x = 4, p = 6 e o prec¸o esta´ diminuindo a uma taxa de 40 centavos por
semana.
Soluc¸a˜o: Derivando implicitamente a equac¸a˜o de demanda em relac¸a˜o a t temos:
dp
dt
+ 2
dx
dt
+ p
dx
dt
+ x
dp
dt
= 0
Queremos determinar
dx
dt
quando x = 4, p = 6 e
dp
dt
= 0.40R$/sem.
Logo
−0, 40 + 2dx
dt
+ 6
dx
dt
− 1.60 = 0.
Da´ı 8
dx
dt
= 2. Enta˜o
dx
dt
= 0.25 (mil unidades por semana).
Resposta: Quando o prec¸o diminui a uma taxa de 40 centavos por semana, as vendas
aumentam a uma taxa de 250 unidades por semana.
3. Quando o prec¸o unita´rio de um produto e´ p reais, a demanda e´ de x milhares de
unidades e x2 + 3px+ p2 = 131. Suponhamos que a demanda e o prec¸o variam com
F. Rivero e T. Salvador 82 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.3. DERIVAC¸A˜O IMPLI´CITA
o tempo. Qual e´ a taxa de variac¸a˜o da demanda daqui em dois meses, se o prec¸o
unita´rio por mes e´ dado pela func¸a˜o p(t) = 10t2 − 22− t3?
Soluc¸a˜o: Precisamos determinar a taxa de variac¸a˜o da demanda em relac¸a˜o ao
tempo, isto e´
dx
dt
. Derivando termo a termo obtemos
2x
dx
dt
+ 3
(
x
dp
dt
+ p
dx
dt
)
+ 2p
dp
dt
= 0. (2.4)
Derivando a func¸a˜o p em relac¸a˜o a` varia´vel t e avaliando para t = 2,
dp
dt
∣∣∣∣
t=2
= 20t− 3t2∣∣
t=2
= 40− 12 = 28.
Como p(2) = 10, podemos substituir o valor para obter o valor da demanda. Assim,
x2 + 3 · 10x+ 102 = 131⇔ x2 + 30x− 31 = 0⇔ (x− 1)(x+ 31) = 0.
Ja´ que consideramos que o valor da demanda na˜o pode ser negativa, temos que
quando t = 2, p = 28 e x = 1.
Colocando agora os valores anteriores na equac¸a˜o (2.4) e resolvendo para
dx
dt
, enta˜o
2x
dx
dt
+ 3
(
x
dp
dt
+ p
dx
dt
)
+ 2p
dp
dt
= 0
2
dx
dt
+ 3
(
28 + 10
dx
dt
)
+ 560 = 0
dx
dt
= −644
32
= −161
8
≈ −20.13.
Resposta: A demanda diminuira´ dentro de meses a uma taxa de 20.13 milhares
unidades por meˆs.
F. Rivero e T. Salvador 83 Matema´tica para Economia I
2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
2.4 Derivadas de func¸o˜es exponenciais
e trigonome´tricas
Nesta sec¸a˜o vamos calcular as func¸o˜es derivadas da func¸a˜o exponencial, logar´ıtmica e
trigonome´tricas.
2.4.1 Derivadas de func¸o˜es exponenciais e de
func¸o˜es logar´ıtmicas
As func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas esta˜o entre as mais importantes do Ca´lculo, com
muitas aplicac¸o˜es em campos ta˜o diversos como a F´ısica, a Biologia e a Economia. Nesta
sec¸a˜o vamos apresentar as regras ba´sicas de derivac¸a˜o para essas func¸o˜es.
Proposic¸a˜o 2.2 Seja a ∈ R+ − {1} e seja u : R → R uma func¸a˜o deriva´vel de varia´vel
x. Se f(x) = au, enta˜o
f ′(x) = u′au ln(a).Casos particulares:
i) Se f(x) = eu enta˜o f ′(x) = u′eu.
ii) Se f(x) = ex enta˜o f ′(x) = ex.
Na Figura 2.11 temos algumas retas tangentes da func¸a˜o f(x) = ex nos pontos
(0, 1), (2, e2) e (3, e3). No v´ıdeo podemos ver como a derivada da func¸a˜o e´ a mesma
func¸a˜o.
Exemplo 2.16
1. f(x) = 3x
2
.
Soluc¸a˜o: Chamando de u = x2 e como u′ = 2x, aplicando a proposic¸a˜o anterior
com a = 3, temos
f ′(x) = u′au ln(a) = 2x3x
2
ln(3).
2. g(x) = 52x
2−15x.
Soluc¸a˜o: Neste caso temos que a base e´ a = 5 e a func¸a˜o u = 2x2 − 15x. Logo,
g′(x) = u′5u = (4x− 15)52x2−15x ln(5).
F. Rivero e T. Salvador 84 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS
Figura 2.11: Retas tangentes no gra´fico da func¸a˜o f(x) = ex em distintos pontos.[Video]
3. h(x) = 7
1
x .
Soluc¸a˜o: Chamando de u =
1
x
= x−1 e como u′ = −x−2, pela Proposic¸a˜o 2.2,
h(x) = u′7u ln(7) = (−x−2)7x−1 ln(7) = −7
1
x ln(7)
x2
.
4. k(x) = e
√
x.
Soluc¸a˜o: Usando o primeiro caso particular e chamando de u =
√
x = x
1
2 , temos
que
k′(x) = u′eu =
1
2
x−
1
2 ex
1
2 =
e
√
x
2
√
x
.
F. Rivero e T. Salvador 85 Matema´tica para Economia I
2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
5. l(x) =
√
e6x + 1
Soluc¸a˜o: Primeiro temos que usar a regra da cadeia para l(x) = f(g(x)), onde
f(u) =
√
u e g(x) = e6x + 1. Logo,
l′(x) = f ′(g(x))g′(x) =
1
2
(e6x + 1)−
1
2 (e6x + 1)′.
Ja´ que g′(x) = 6e6x, temos
l′(x) =
1
2
(e6x + 1)−
1
2 (6e6x) =
3e6x√
e6x + 1
.
Proposic¸a˜o 2.3 Seja a ∈ R+ − {1} e seja u : R → R uma func¸a˜o deriva´vel de varia´vel
x. Se f(x) = loga u, enta˜o
f ′(x) =
u′
u ln(a)
.
Casos particulares:
i) Se f(x) = ln(u) enta˜o f ′(x) =
u′
u
.
ii) Se f(x) = ln(x) enta˜o f ′(x) =
1
x
.
Na Figura 2.12 podemos observar algumas retas tangentes da func¸a˜o f(x) = ln(x)
nos pontos (1, 0), (e, 1) e (e2, 2). No v´ıdeo podemos ver como a derivada da func¸a˜o e´
f ′(x) =
1
x
.
Exemplo 2.17
1. f(x) = log2(3x
2 − 2x+ 1).
Soluc¸a˜o: Chamando de u = 3x2 − 2x+ 1 e como u′ = 6x− 2, pela Proposic¸a˜o 2.3
temos
f ′(x) =
u′
u ln(2)
=
6x− 2
(3x2 − 2x+ 1) ln(2) .
2. f(x) = log(4x5 − 7).
Soluc¸a˜o: Como a base do logaritmo e´ 10, enta˜o
f ′(x) =
(4x5 − 7)′
(4x5 − 7) ln(10) =
20x
(4x5 − 7) ln(10) .
F. Rivero e T. Salvador 86 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS
Figura 2.12: Retas tangentes no gra´fico da func¸a˜o f(x) = ln(x) em distintos pontos.
[Video]
3. g1(x) = 3 ln(2x− 1).
Soluc¸a˜o: Aplicando a regra da derivada de um produto por uma constante e a
Proposic¸a˜o 2.3 onde a base e´ o nu´mero e, obtemos
g′1(x) = 3(ln(2x− 1))′ = 3
(2x− 1)′
2x− 1 =
6
2x− 1 .
4. g2(x) = ln ((2x− 1)3).
Soluc¸a˜o: Chamando de u = (2x− 1)3,
g′2(x) =
u′
u
=
3(2x− 1)22x
(2x− 1)3 =
6x���
��(2x− 1)2
(2x− 1)�3 . =
6x
2x− 1
Observac¸a˜o: Por que a derivada de g1 e a derivada de g2 sa˜o iguais?
5. f(x) = (ln(2x− 1))3.
F. Rivero e T. Salvador 87 Matema´tica para Economia I
2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Soluc¸a˜o: Primeiro precisamos aplicar a regra da cadeia onde f(u) = u3 e u(x) =
ln(2x− 1). Assim,
df
dx
=
df
du
· du
dx
Observamos que
df
du
= 3u2 e, pela Proposic¸a˜o 2.3,
du
dx
=
u′
u
=
2
2x− 1 .
Portanto,
df
dx
= 3u2
2
2x− 1 =
6(2x− 1)�2
���
�2x− 1 = 6(2x− 1).
6. f(x) = ln
(
x+ 1
x
)
.
Soluc¸a˜o: Usando a Proposic¸a˜o 2.3 e chamando de u =
x+ 1
x
, precisamos calcular
a derivada de u em relac¸a˜o a varia´vel x. Pela regra do cociente,
u′ =
(x+ 1)′x− (x+ 1)x′
x2
=
x− (x+ 1)
x2
= − 1
x2
Enta˜o,
f ′(x) =
u′
u
=
− 1
x2
x+ 1
x
= − x
x2(x+ 1)
= − �x
x�2(x+ 1)
= − 1
x(x+ 1)
.
2.4.2 Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas
Vamos mostrar as derivadas das treˆs func¸o˜es trigonome´tricas ba´sicas: seno, cosseno e
tangente. Uma definic¸a˜o destas func¸o˜es pode ser estudada na Sec¸a˜o 5 da Revisa˜o destas
notas.
Proposic¸a˜o 2.4 Seja u : R→ R uma func¸a˜o deriva´vel de varia´vel x.
i) Se f(x) = sen(u), enta˜o f ′(x) = u′ cos(u).
ii) Se g(x) = cos(u), enta˜o g′(x) = −u′ sen(u).
F. Rivero e T. Salvador 88 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS
Se f(x) = sen(x), enta˜o f ′(x) = cos(x) e se g(x) = cos(x), enta˜o g′(x) = − sen(x).
Na Figura 2.13 podemos observar algumas retas tangentes das func¸o˜es f(x) = sen(x)
e g(x) = cos(x) nos valores 0,
pi
2
e
5pi
4
. No v´ıdeo podemos ver as derivadas destas func¸o˜es
trigonome´tricas.
(a) Retas tangentes no gra´fico da func¸a˜o f(x) = sen(x) [Video]
(b) Retas tangentes no gra´fico da func¸a˜o f(x) = cos(x) [Video]
Figura 2.13: Retas tangentes nos gra´ficos das func¸o˜es seno e cosseno
F. Rivero e T. Salvador 89 Matema´tica para Economia I
2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Vamos calcular agora a derivada da func¸a˜o tangente usando a regra do quociente.
Definimos a func¸a˜o tangente como tan(x) =
sen(x)
cos(x)
. Logo
d
dx
tan(x) =
( sen(x))′ cos(x)− sen(x)(cos(x))′
cos2(x)
=
cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)
=
(
cos(x)
cos(x)
)2
+
(
sen(x)
cos(x)
)2
=
1 + tan2(x).
Pela regra da cadeia, se u : R→ R e´ uma func¸a˜o deriva´vel de varia´vel x,
tan′(u) = u′(1 + tan2(u)).
Assim temos a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 2.5 Seja u : R → R uma func¸a˜o deriva´vel de varia´vel x e f(x) = tan(u).
Enta˜o,
f ′(u) = u′(1 + tan2(u)).
Na Figura 2.14 podemos observar algumas retas tangentes da func¸a˜o f(x) = tan(x)
nos pontos (1, 0), (e, 1) e (e2, 2). No v´ıdeo podemos ver como a derivada da func¸a˜o e´
f ′(x) = 1 + tan2(x).
Exemplo 2.18
1. f(x) = cos(x2 − 1).
Soluc¸a˜o: Chamando de u = x2 − 1, temos que f ′(x) = −2x sen(x2 − 1).
2. f(x) = sen(cos(x)).
Soluc¸a˜o: Vamos aplicar a regra da cadeia onde f(u) = sen(u) e g(x) = cos(x).
Assim
f ′(x) = f ′(g(x))g′(x) = − cos(cos(x)) sen(x).
3. f(x) = tan(e2x+5).
Soluc¸a˜o: Chamando de u = e2x+5 e observando que u′ = 2e2x+5,
f ′(x) = u′(1 + tan(u)) = 2e2x+5
(
1 + tan2(e2x+5)
)
.
F. Rivero e T. Salvador 90 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS
Figura 2.14: Retas tangentes para o gra´fico da func¸a˜o f(x) = tan(x) no intervalo
(
−pi
2
,
pi
2
)
em distintos pontos. [Video]
4. f(x) = e2 tan(x)+5.
Soluc¸a˜o: Se u = 2 tan(x) + 5, enta˜o u′ = 2(1 + tan2(x)). Pela Proposic¸a˜o 2.2,
f ′(x) = u′eu = 2(1 + tan2(x))e2 tan(x)+5.
5. f(x) =
√
tan(x2 − x)
ln(1− x3) .
Soluc¸a˜o: Pela regra da cadeia e chamando de u =
tan(x2 − x)
ln(1− x3) , temos que
df
dx
=
df
du
· du
dx
,
onde f(u) =
√
u.
F. Rivero e T. Salvador 91 Matema´tica para Economia I
2.4. EXPONENCIAIS E TRIGONOME´TRICAS CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Pela regra da poteˆncia da Proposic¸a˜o 2.1
df
du
=
1
2
√
u
. Vamos calcular agora
du
dx
usando a regra do quociente.
du
dx
=
(tan(x2 − x))′ ln(1− x3)− tan(x2 − x) (ln(1− x3))′
(ln(1− x3))2 .
Pela Proposic¸a˜o 2.5, (tan(x2 − x))′ = (2x− 1) (1 + tan2(x2 − x)) e pela Proposic¸a˜o
2.3,
(
ln(1− x3))′ = − 3x2
1− x3 . Logo,
du
dx
=
(2x− 1) (1 + tan2(x2 − x)) ln(1− x3) + tan (x2 − x) 3x
2
1− x3
(ln(1− x3))2 .
Finalmente,
df
dx
=
(
1
2
√
u
)(2x− 1) (1 + tan
2 (x2 − x)) ln(1− x3) + tan(x2 − x) 3x
2
1− x3
(ln(1− x3))2

=
 1
2
√
tan(x2−x)
ln(1−x3)

(2x− 1) (1 + tan
2(x2 − x)) ln(1− x3) + tan(x2 − x) 3x
2
1− x3
(ln(1− x3))2

=
 1
2
√
tan(x2−x)ln(1−x3)
((2x− 1) (1 + tan2 (x2 − x))
ln(1− x3) +
3x2 tan (x2 − x)
(1− x3) (ln(1− x3))2
)
=
(2x− 1) (1 + tan2 (x2 − x))
2
√
tan(x2 − x) ln(1− x3) +
3x2
√
tan (x2 − x)
(1− x3)
√
(ln(1− x3))3
=
(2x− 1) (1 + tan2 (x2 − x))
2
√
tan(x2 − x) ln(1− x3) +
3x2
1− x3
√
tan(x2 − x)
(ln(1− x3))3 .
F. Rivero e T. Salvador 92 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.5. REGRA DA FUNC¸A˜O INVERSA
2.5 Regra da func¸a˜o inversa
Nesta sec¸a˜o vamos usar a regra da cadeia para calcular o derivada da func¸a˜o inversa de
outra func¸a˜o. Mas primeiro temos que definir o que e´ uma func¸a˜o inversa.
Vamos pensar nas func¸o˜es exponencial f(x) = ln(x) e g(x) = ex. Pela definic¸a˜o de
func¸a˜o logaritmo (ver Subsec¸a˜o 4.2 da Revisa˜o), o valor real y = ln(x0) e´ o nu´mero
que precisamos colocar no exponente da base e para obter x0. Assim, se x0 = e, enta˜o
ln(e) = ln(e1) = 1 porque e1 = e. Do mesmo modo, se x0 = e
2, enta˜o ln(e2) = 2 ou se
x0 = e
k, ln(ek) = k. Logo, para qualquer valor x real, ln(ex) = x. Assim,
f(g(x)) = ln(ex) = x,
e f(g(x)) e´ a func¸a˜o identidade Id2.
Com essa ide´ia podemos definir a func¸a˜o inversa.
Definic¸a˜o 2.4 Sejam A e B conjuntos de R e f e g duas func¸o˜es reais cont´ınuas tais
que f : A −→ B e g : B −→ A. Dizemos que g e´ func¸a˜o inversa de f se
f(g(x)) = Id(x) = x, para todo x ∈ B,
g(f(x)) = Id(x) = x, para todo x ∈ A.
Sejam f e g func¸o˜es inversas como na definic¸a˜o anterior. Vamos aplicar a regra da
cadeia na composic¸a˜o delas. Por um lado, temos que
d
dx
Id(x) =
d
dx
x = 1. Por o outro,
d
dx
f(g(x)) = f ′(g(x))g′(x).
Portanto,
1 =
d
dx
Id(x) =
d
dx
f(g(x)) = f ′(g(x))g′(x).
Resolvendo para g′(x) obtemos uma fo´rmula para a derivada da func¸a˜o inversa em
termos da derivada da func¸a˜o f .
g′(x) =
1
f ′(g(x))
.
2A func¸a˜o identidade Id : R→ R e´ uma func¸a˜o que leva cada valor x de R em si mesmo, Id(x) = x.
F. Rivero e T. Salvador 93 Matema´tica para Economia I
2.5. REGRA DA FUNC¸A˜O INVERSA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Se denotamos a inversa de f por a notac¸a˜o usual g(x) = f−1(x) podemos escrever o
anterior como um teorema.
Teorema 2.2 Seja f : R −→ R uma func¸a˜o cont´ınua com inversa f−1 : R −→ R. Enta˜o,
se f e´ deriva´vel e f ′ (f−1(x)) 6= 0 para x real, enta˜o a func¸a˜o inversa e´ deriva´vel no valor
x e
d
dx
f−1(x) =
1
f ′ (f−1(x))
.
Observac¸a˜o: Cuidado para na˜o confundir a notac¸a˜o de func¸a˜o inversa f−1 com a
poteˆncia de exponente −1.
f−1(x) 6= (f(x))−1 = 1
f(x)
.
Exemplo 2.19 Vamos calcular a derivada da func¸a˜o g(x) = ln(x) usando o Teorema
2.2. Como g(x) e´ a inversa da func¸a˜o exponencial f(x) = ex, obtemos
d
dx
ln(x) =
d
dx
g(x) =
1
f ′(g(x))
=
1
eln(x)
.
Como g(x) = ln(x) e´ a inversa de f(x) = ex, enta˜o ln(ex) = eln(x) = x. Enta˜o
d
dx
ln(x) =
1
eln(x)
=
1
x
.
Vamos definir e calcular as derivadas das func¸o˜es inversas das func¸o˜es trigonome´tricas.
Usualmente, sa˜o chamadas de func¸a˜o de arco, pois retornam o arco correspondente a certa
func¸a˜o trigonome´trica.
1. Func¸a˜o arco seno: Func¸a˜o inversa da func¸a˜o seno definida no intervalo
[
−pi
2
,
pi
2
]
com imagem no intervalo [−1, 1], e´ a func¸a˜o arcsen(x) = sen−1(x), com domı´nio
D(arcsen) = [−1, 1] e imagem Im(arcsen) =
[
−pi
2
,
pi
2
]
.
Na Figura 2.15 podemos observar o gra´fica da func¸a˜o.
A derivada da func¸a˜o arcsen pode ser determinada usando o Teorema 2.2. Cha-
mando de f(x) = sen(x) e g(x) = arcsen(x),
d
dx
arcsen(x) =
1
f ′(g(x))
=
1
cos(arcsen(x))
.
F. Rivero e T. Salvador 94 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.5. REGRA DA FUNC¸A˜O INVERSA
Figura 2.15: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = arcsen(x).
Como sen2(x0) + cos
2(x0) = 1 para todo x0 real,
sen2(x0) + cos
2(x0) = 1⇔ cos(x0) =
√
1− sen2(x0).
Chamando de x0 = arcsen(x)) e usando que as func¸o˜es sen(x) e arcsen(x) sa˜o
inversas,
cos(arcsen(x))) =
√
1− sen2(arcsen(x))) =
√
1− x2.
Logo,
d
dx
arcsen(x) =
1√
1− x2 .
Na Figura 2.16 podemos observar distintas retas tangentes nos pontos
(
−1
2
,−pi
6
)
,(√
2
2
,
pi
4
)
e
(√
3
2
,
pi
3
)
do gra´fico da func¸a˜o f(x) = arcsen(x). O v´ıdeo associado a`
figura mostra a derivada da func¸a˜o.
F. Rivero e T. Salvador 95 Matema´tica para Economia I
2.5. REGRA DA FUNC¸A˜O INVERSA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Figura 2.16: Retas tangentes no gra´fico da func¸a˜o f(x) = arcsen(x) [Video]
2. Func¸a˜o arco cosseno: A func¸a˜o inversa da func¸a˜o cosseno definida no intervalo [0, pi]
com imagem no intervalo [−1, 1], e´ a func¸a˜o arccos(x) = cos−1(x), com domı´nio
D(arccos) = [−1, 1] e imagem Im(arccos) = [0, pi].
Na Figura 2.17 podemos observar o gra´fica da func¸a˜o.
Vamos calcular a derivada da func¸a˜o arccos usando o Teorema 2.2. Chamando de
f(x) = cos(x) e g(x) = arccos(x),
d
dx
arccos(x) =
1
f ′(g(x))
= − 1
sen (arccos(x))
.
F. Rivero e T. Salvador 96 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.5. REGRA DA FUNC¸A˜O INVERSA
Figura 2.17: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = arccos(x).
Como sen2(x0) + cos
2(x0) = 1 para todo x0 real,
sen2(x0) + cos
2(x0) = 1⇔ sen(x0) =
√
1− cos2(x0).
Chamando de x0 = arccos(x)) e usando que as func¸o˜es cos(x) e arccos(x) sa˜o inver-
sas,
sen(arccos(x))) =
√
1− cos2(arccos(x))) =
√
1− x2.
Logo,
d
dx
arccos(x) = − 1√
1− x2 .
Na Figura 2.18 podemos observar distintas retas tangentes nos pontos
(
−1
2
,
2pi
3
)
,(√
2
2
,
pi
4
)
e
(√
3
2
,
pi
6
)
do gra´fico da func¸a˜o f(x) = arccos(x). O v´ıdeo associado a`
figura mostra a derivada da func¸a˜o.
F. Rivero e T. Salvador 97 Matema´tica para Economia I
2.5. REGRA DA FUNC¸A˜O INVERSA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Figura 2.18: Retas tangentes no gra´fico da func¸a˜o f(x) = arccos(x) [Video]
3. Func¸a˜o arco tangente: A func¸a˜o inversa da func¸a˜o tangente definida para todo valor
x real e´ a func¸a˜o arctan(x) = tan−1(x), com domı´nio D(arctan) = R e imagem
Im(arctan) =
(
−pi
2
,
pi
2
)
.
Na Figura 2.19 (a) podemos observar o gra´fica da func¸a˜o.
Pelo Teorema 2.2 e chamando de f(x) = tan(x) e g(x) = arctan(x), temos que a
derivada da func¸a˜o arco tangente e´
d
dx
arctan(x) =
1
f ′(g(x))
=
1
1 + tan2(arctan(x))
.
Como tan2(arctan(x)) = tan(arctan(x))2 = x2, enta˜o
d
dx
arctan(x) =
1
1 + x2
.
Na Figura 2.19 (b) podemos observar distintas retas tangentes nos pontos
(
−1,−pi
4
)
,
(0, 0) e
(√
3
3
,
pi
6
)
do gra´fico da func¸a˜o f(x) = arctan(x). O v´ıdeo associado a` figura
mostra a derivada da func¸a˜o.
F. Rivero e T. Salvador 98 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.5. REGRA DA FUNC¸A˜O INVERSA
(a) Gra´fico da func¸a˜o f(x) = arctan(x)
(b) Retas tangentes no gra´fico da func¸a˜o f(x) = arctan(x) [Video]
Figura 2.19: Figuras da func¸a˜o f(x) = arctan(x).
F. Rivero e T. Salvador 99 Matema´tica para Economia I
2.6. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
2.6 Derivadas de ordem superior
Declarac¸o˜es sobre a taxa de variac¸a˜o de uma taxa de variac¸a˜o sa˜o usados com frequeˆncia
em economia. Em tempos de inflac¸a˜o, por exemplo, voceˆ pode ouvir um economista do
governo assegurar a nac¸a˜o que embora a inflac¸a˜o esta´ aumentando, o faz a uma taxa
decrescente. Ou seja, os prec¸os ainda esta˜o subindo, mas na˜o ta˜o rapidamente como eles
eram antes. A informac¸a˜o que eles esta˜o usando e´ ba´sicamente a func¸a˜o derivada da
func¸a˜o derivada da func¸a˜o que modeliza a inflac¸a˜o.
Sabemos que a derivada de y = x5 e´ y′ = 5x4. Tambe´m podemos determinarderivada
da func¸a˜o derivada porque ela e´ outra func¸a˜o mesma. Assim, a derivada de y′ = 5x4 e´
chamada de derivada de segunda ordem (ou simplesmente derivada segunda) de y
e denotada por y′′ (onde as duas linhas indicam que a func¸a˜o foi derivada duas vezes) ou
por
d2y
dx2
, isto e´,
d
dx
(
dy
dx
)
. Assim, y′′ = 20x3.
Derivando agora y′′ = 20x3 obtemos a derivada terceira y′′′ = 60x2, e assim por
diante.
De modo geral, o resultado de duas ou mais derivac¸o˜es sucessivas de uma func¸a˜o e´
uma derivada de ordem superior.
A derivada de ene´sima ordem de uma func¸a˜o e´ obtida derivando-se a func¸a˜o n
vezes e e´ denotada por
y(n =
dny
dxn
= f (n(x)
Exemplo 2.20
1. As quatro primeiras derivadas de y = 2x3 + 5x2 − x+ 8 sa˜o:
i) y′ = 6x2 + 10x− 1.
ii) y′′ = 12x+ 10.
iii) y′′′ = 12.
iv) y(4 = 0.
2. Se f(x) = 7x2− 5
x2
, enta˜o
i)
df
dx
= 14x+
10
x3
.
ii)
d2f
dx2
= 14− 30
x4
.
F. Rivero e T. Salvador 100 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
iii)
d3f
dx3
=
120
x5
.
3. Seja g(x) = sen(x2). Logo
i) g′(x) = 2x cos(x2).
ii) g′′(x) = 2 cos(x2)− 4x2 sen(x2) = 2(cos(x2)− 2x2 sen(x2)).
iii) g′′′(x) = 2(−2x sen(x2)−4x sen(x2)−4x3 cos(x2)) = −4x(3 sen(x2)+2x2 cos(x2)).
2.7 Regra de L’Hoˆpital
Nesta sec¸a˜o vamos aplicar a derivac¸a˜o para o ca´lculo de limites indeterminados. De modo
geral, se temos um limite da forma lim
x→c
f(x)
g(x)
em que f(x)→ 0 e g(x)→ 0 quando x→ c,
enta˜o o limite pode ou na˜o existir, e e´ chamado forma indeterminada do tipo
0
0
.
Calculamos alguns limites desse tipo no Cap´ıtulo 1 utilizando recursos alge´bricos. Por
exemplo
lim
x→2
x2 + 5x+ 6
x2 + 3x+ 2
= lim
x→2
(x+ 2)(x+ 3)
(x+ 2)(x+ 1)
= lim
x→2
x+ 3
x+ 1
= −1.
Esses recursos, no entanto, na˜o funcionam, por exemplo, para determinar o valor do
lim
x→3
ln(x2 − 8)
3− x .
Se temos um limite da forma lim
x→c
f(x)
g(x)
onde f(x) → ∞ (ou −∞) e g(x) → ∞ (ou
−∞) quando x→ c, enta˜o o limite pode ou na˜o existir, e e´ chamado forma indeterminada
do tipo
∞
∞ .
Os teoremas introduzidos no Cap´ıtulo 1 tambe´m na˜o permitem calcular o lim
x→∞
e4x
2x+ 5
que esta´ associado a uma forma indeterminada do tipo
∞
∞ .
O teorema a seguir estabelece um me´todo simples que usa a derivada para calcular li-
mites associados a formas indeterminadas do tipo
0
0
ou
∞
∞ chamado regra de L’Hoˆpital.
F. Rivero e T. Salvador 101 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Teorema 2.3 Sejam f e g func¸o˜es deriva´veis reais em um intervalo aberto I. Suponha
que g(x) 6= 0, para todo x 6= a, onde a ∈ R.
i) Suponha que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0. Logo, se existe o limite lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
, enta˜o
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
.
ii) Suponha que lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = ±∞. Logo, se existe o limite lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
,
enta˜o
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
.
Observac¸o˜es:
1. A regra de L’Hoˆpital pode ser aplicada a` determinac¸a˜o de limites laterais e de limites
no infinito.
2. Cuidado: A regra de L’Hoˆpital envolve a derivada do numerador e do deno-
minador separadamente. Um erro comum e´ derivar o quociente inteiro usando
a regra de derivac¸a˜o de quocientes.
Exemplo 2.21 Vamos calcular os limites mostrados ao inicio da sec¸a˜o e alguns mais
usando a Regra do L’Hoˆpital.
1. lim
x→−2
x2 + 5x+ 6
x2 + 3x+ 2
.
Soluc¸a˜o: Sejam f(x) = x2 + 5x + 6 e g(x) = x2 + 3x + 2. Como f(−2) = 0 e
g(x) = 0, enta˜o o limite leva a uma forma indeterminada do tipo
0
0
. Logo, como
f ′(x) = 2x+ 5 e g′(x) = 2x+ 3, pelo Teorema 2.3
lim
x→−2
x2 + 5x+ 6
x2 + 3x+ 2
= lim
x→−2
2x+ 5
2x+ 3
=
−4 + 5
−4 + 3 = −1.
Se fatoramos os polinoˆmios anteriores, obtemos que f(x) = (x + 2)(x + 3) e que
g(x) = (x+ 2)(x+ 1). Enta˜o, para todo x 6= −2 tem-se que
x2 + 5x+ 6
x2 + 3x+ 2
=
(x+ 2)(x+ 3)
(x+ 2)(x+ 1)
=
���
�(x+ 2)(x+ 3)
���
�(x+ 2)(x+ 1)
=
x+ 3
x+ 1
.
F. Rivero e T. Salvador 102 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
Calculando agora o limite usando o Teorema 1.4 do Cap´ıtulo 1, obtemos
lim
x→−2
x2 + 5x+ 6
x2 + 3x+ 2
= lim
x→−2
x+ 3
x+ 1
=
−2 + 3
−2 + 1 = −1,
chegando ate´ o mesmo resultado.
Observac¸a˜o: No caso de quociente de polinoˆmios na˜o precisamos da Regra de
L’Hoˆpital, mas as vezes as regras de L’Hoˆpital sa˜o nosso u´nico recurso para o ca´lculo
de um limite.
2. lim
x→0
sen(x)
x
.
Soluc¸a˜o: Quando tentamos calcular o limite, observamos que temos uma forma
indetermindada do tipo
0
0
pois sen(0) = 0. Usando o Teorema 2.3,
lim
x→0
sen(x)
x
= lim
x→0
sen′(x)
x′
= lim
x→0
cos(x) = cos(0) = 1.
Na Figura 2.20 podemos observar o gra´fico da func¸a˜o
sen(x)
x
e da func¸a˜o cos(x), a
u´ltima numa vizinhanc¸a de x = 0. Podemos observar como o limite das duas func¸o˜es
quando x→ 0 e´ o mesmo, embora o valor na˜o esteja definido para a primeira func¸a˜o.
3. lim
x→3
ln(x2 − 8)
3− x .
Soluc¸a˜o: Chamando de f(x) = ln(x2 − 8) e g(x) = 3 − x e avaliando as func¸o˜es
para x = 3, obtemos que f(3) = ln(1) = 0 e g(3) = 0. Vamos calcular o quociente
das derivadas. Como f ′(x) =
2x
x2 − 8 e g
′(x) = −1, enta˜o
f ′(x)
g′(x)
= − 2x
x2 − 8 .
Assim, pela Regra do L’Hoˆpital,
lim
x→3
ln(x2 − 8)
3− x = limx→3
(
− 2x
x2 − 8
)
= − 2 · 3
32 − 8 = −6.
F. Rivero e T. Salvador 103 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Figura 2.20: Gra´fico da func¸a˜o
sen(x)
x
e da func¸a˜o cos(x).
4. lim
x→∞
e4x
2x+ 5
.
Soluc¸a˜o: Como f(x) = e4x e g(x) = 2x + 5 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em todo R e
na˜o limitadas, temos que o limite e´ uma forma indeterminada do timpo
∞
∞ . Enta˜o,
pela Regra do L’Hoˆpital
lim
x→+∞
e4x
2x+ 5
= lim
x→+∞
d
dx
e4x
d
dx
2x+ 5
= lim
x→+∞
4e4x
2
= lim
x→+∞
2e4x = +∞.
Podemos pensar em este u´ltimo limite como un quociente de velocidades. Isto e´,
temos que a func¸a˜o f(x) = e4x cresce muito ma´s ra´pido do que a func¸a˜o g(x) =
2x + 5 quando a varia´vel x aumenta. Por isso, o valor do limite vai para infinito,
porque a func¸a˜o f e´ mais ra´pida do que a func¸a˜o g quando x→∞. Na Figura 2.21
podemos observar isto.
F. Rivero e T. Salvador 104 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
Figura 2.21: Gra´fico das func¸o˜es e4x e 2x+ 5.
5. lim
x→−∞
3x+ pi
ex2
.
Soluc¸a˜o: Neste caso, chegamos a uma forma indeterminada da forma
∞
∞ . Logo,
chamando f(x) = 3x+ pi e g(x) = ex
2
, pela Regra de L’Hoˆpital,
lim
x→−∞
3x+ pi
ex2
= lim
x→−∞
(3x+ pi)′
(ex2)
′ = lim
x→−∞
3
2xex2
= 0.
Algumas vezes, a aplicac¸a˜o da regra de L’Hoˆpital a uma forma indeterminada conduz
a uma nova forma indeterminada. Quando isso acontece, uma segunda aplicac¸a˜o da regra
pode ser necessa´ria. Em alguns casos, e´ preciso aplicar a regra va´rias vezes para eliminar
a indeterminac¸a˜o, como no exemplo a seguir.
F. Rivero e T. Salvador 105 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Exemplo 2.22 Vamos calcular lim
x→∞
e3x
x3
.
Como temos uma forma indeterminada do tipo
∞
∞ , vamos aplicar a Regra do L’Hoˆpital.
Assim,
lim
x→∞
e3x
x3
= lim
x→∞
3e3x
3x2
= lim
x→∞
e3x
x2
,
o que e´, de novo uma forma indeterminada
∞
∞ . Portanto, podemos aplicar novamente a
Regra do L’Hoˆpital, obtendo
lim
x→∞
e3x
x2
= lim
x→∞
3e3x
2x
.
Aplicando por terceira vez L’Hoˆpital,
lim
x→∞3e3x
2x
= lim
x→∞
9e3x
2
=∞.
Portanto, temos que lim
x→∞
e3x
x3
=∞.
Vamos ver mais um exemplo
Exemplo 2.23 Calcular o limite lim
x→∞
ln(x+ ex)
x
.
Soluc¸a˜o: Para calcular o limite vamos aplicar a Regra de L’Hoˆpital va´rias vezes.
lim
x→∞
ln(x+ ex)
x
= lim
x→∞
(ln(x+ ex))′
x′
Forma indeterminada
∞
∞
= lim
x→∞
1+ex
x+ex
1
= lim
x→∞
1 + ex
x+ ex
Forma indeterminada
∞
∞
= lim
x→∞
(1 + ex)′
(x+ ex)′
= lim
x→∞
ex
1 + ex
Forma indeterminada
∞
∞
= lim
x→∞
(ex)′
(1 + ex)′
= lim
x→∞
ex
ex
= lim
x→∞
1 = 1.
Neste caso, quando os valores de x sa˜o muito grandes, o valor de x + ex e´ quase o
mesmo que o valor de ex, portanto a func¸a˜o f(x) = ln(x + ex) mostra uns valores muito
F. Rivero e T. Salvador 106 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
pro´ximos para o valor da func¸a˜o ln(ex) = x. Por isso e´ que o limite no infinito tem valor
de 1.
Ha´ casos em que a indeterminac¸a˜o persiste na˜o importando quantas vezes a regra
seja aplicada e outros recursos, ale´m da regra de L’Hoˆpital, precisam ser utilizados para
determinar o limite. E´ o caso, por exemplo, do lim
x→0+
e−1/x
x
. Aplicando a regra de L’Hoˆpital
(duas vezes) obtemos
lim
x→0+
e−1/x
x
= lim
x→0+
e−1/x
x2
= lim
x→0+
e−1/x
2x3
,
que continua indeterminado. Para determinar o limite, devemos fazer uma mudanc¸a de
varia´vel z =
1
x
. Da´ı, x =
1
z
. Enta˜o
lim
x→0+
e−1/x
x
= lim
z→+∞
e−z
1/z
= lim
z→+∞
z
ez
Forma indeterminada
∞
∞
= lim
z→+∞
z′
(ez)′
= lim
z→+∞
1
ez
= 0.
2.7.1 Outras formas inderteminadas
Embora a Regra de L’Hoˆpital pode ser aplicada apenas as formas indeterminadas
0
0
ou
∞
∞ , outras formas indeterminadas podem ser calculadas usando a Regra de L’Hoˆpital e
um pouco de a´lgebra.
Forma indeterminada 0 · ∞
Vamos calcular lim
x→0+
x ln(x). Temos que, depois de um primeiro ca´lculo, o limite e´
0 · (−∞), o que e´ uma forma indeterminada. Observamos que
x = (x−1)−1 =
1
x−1
.
F. Rivero e T. Salvador 107 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Logo,
lim
x→0+
x ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1/x
,
chegando agora a uma forma indeterminada do tipo
∞
∞ . Enta˜o podemos aplicar a Regra
de L’Hoˆpital
lim
x→0+
x ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1/x
Forma indeterminada
∞
∞
= lim
x→0+
(ln(x))′
(1/x)′
= lim
x→0+
1/x
−1/x2 = limx→0+(−x) = 0.
De forma geral, se f e g sa˜o func¸o˜es reais e c un valor real ou ±∞ tais que
lim
x→c
f(x) = 0 e lim
x→c
g(x) = ±∞,
enta˜o podemos calcular o limite lim
x→c
f(x) · g(x) aplicando a Regra de L’Hoˆpital usando a
igualdade
lim
x→c
f(x) · g(x) = lim
x→c
f(x)
1/g(x)
.
Exemplo 2.24 Calcular lim
x→+∞
x2e3−x.
Soluc¸a˜o: Temos que o limite e´ uma forma indeterminada do tipo 0 ·∞. Logo, usando
que e3−x =
1
e−(3−x)
=
1
ex−3
lim
x→+∞
x2e3−x = lim
x→+∞
x2
ex−3
.
Enta˜o,
lim
x→+∞
x2e3−x = lim
x→+∞
x2
ex−3
Forma indeterminada
∞
∞
= lim
x→+∞
(x2)′
(ex−3)′
= lim
x→+∞
2x
ex−3
Forma indeterminada
∞
∞
= lim
x→+∞
(2x)′
(ex−3)′
= lim
x→+∞
2
ex−3
= 0.
F. Rivero e T. Salvador 108 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
Formas indeterminadas exponenciais
Sa˜o as formas do tipo 00, ∞0 e 1∞. Para aplicar a Regra de L’Hoˆpital vamos usar
a exponente natural e o logaritmo neperiano para poder trocar o exponente por uma
multiplicac¸a˜o.
Seja lim
x→0+
xx. Aqui temos uma indeterminac¸a˜o 00. Para conseguir mudar o exponente
para uma multiplicac¸a˜o, vamos aplicar a func¸a˜o logaritmo neperiano. Assim,
xx = eln(x
x) = ex ln(x)
Portanto,
lim
x→0+
xx = lim
x→0+
ex ln(x).
Para calcular o limite, precisamos calcular lim
x→0+
x ln(x), mas ja´ sabemos que x ln(x)
vai para 0 quando x→ 0+. Logo,
lim
x→0+
xx = lim
x→0+
ex ln(x) = e0 = 1.
Observac¸a˜o: Para poder aplicar o logaritmo neperiano, precisamos que o argumento
da func¸a˜o seja positivo, por isso estamos calculando o limite lateral x→ 0+.
De forma geral, sejam as func¸o˜es reais f e g e c um valor real ou ±∞. Se lim
x→c
f(x)g(x)
e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo exponencial e f(x) > 0 para todo valor x perto do valor c,
enta˜o
f(x)g(x) = eln(f(x)
g(x)) = eg(x) ln(f(x)).
Logo,
lim
x→c
f(x)g(x) = lim
x→c
eg(x) ln(f(x)) = eL,
onde L = lim
x→c
g(x) ln(f(x)).
Exemplo 2.25 Calcular lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
.
Soluc¸a˜o: O limite e´ uma forma indeterminada do tipo 1∞. Chamando de f(x) = 1 +
1
x
e de g(x) = x, temos que f(x) > 0 para todo x > 0. Logo,(
1 +
1
x
)x
= eln((1+
1
x)
x
) = ex ln(1+
1
x).
F. Rivero e T. Salvador 109 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Precisamos calcular agora lim
x→+∞
x ln
(
1 +
1
x
)
, que e´ de novo uma indeterminac¸a˜o da
forma 0 · ∞. Enta˜o,
lim
x→+∞
x ln
(
1 +
1
x
)
= lim
x→+∞
ln
(
1 + 1
x
)
1/x
Forma indeterminada
0
0
= lim
x→+∞
(
ln
(
1 + 1
x
))′
(1/x)′
= lim
x→+∞
−1/x2
(1+1/x)
−1/x2
= lim
x→+∞
���−1/x2
(1+1/x)
���
�−1/x2
= lim
x→+∞
1
1 + 1
x
= 1.
Portanto,
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e1 = e.
Observac¸o˜es:
i) A regra de L’Hoˆpital se aplica somente a limites associados a formas indeterminadas
0
0
ou
∞
∞ (ou as outras formas que podem ser mudadas para este tipo de indeter-
minac¸o˜es). Assim, e´ importante verifica´-lo antes de aplicar a regra de L’Hoˆpital.
Por exemplo, se aplicamos a Regra de L’Hoˆpital para calcular lim
x→∞
e−x
1 + e−x
obtemos
lim
x→+∞
e−x
1 + e−x
= lim
x→+∞
−e−x
−e−x = limx→+∞ 1 = 1,
mas
lim
x→+∞
e−x
1 + e−x
=
0
1 + 0
= 0.
ii) Na˜o sa˜o formas indeterminadas:
• 0∞ = 0.
• ∞∞ =∞.
• ∞ ·∞ =∞.
• +∞+∞ = +∞.
F. Rivero e T. Salvador 110 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
Relac¸a˜o de exerc´ıcios - 2: Derivada de func¸o˜es de uma varia´vel real
1. Ache as derivadas aplicando as regras ba´sicas
(a) f(x) = x5 − 3x3 + 1
(b) f(x) = 5x6 − 9x4
(c) f(x) = x8 − 2x7 + 3x+ 1
(d) f(x) = 5x−5 − 25x−1
(e) f(x) =
3
√
x4
(f) f(x) =
3x2
4
− 4
5x
(g) f(x) = x2(3x3 − 1)
(h) f(x) = (x2 + 1)(2x3 + 5)
(i) f(x) = (x3 − 1)(3x2 − x)
(j) f(x) =
1
7
(x5 − 2x3 + 4)
(k) f(x) =
x4 − 1
2
(l) f(x) =
1
2− x
(m) f(x) =
2x+ 7
3x− 1
(n) f(x) =
3x2 + 7
x2 − 1
(o) f(x) =
x2
x2 − x
(p) f(x) =
1− x
x2 + 1
(q) f(x) =
x3 + 7
x
(r) f(x) =
x2 − 2
x2 + 4
2. Calcule-se o valor de f ′(4) em cada caso
(a) f(x) =
x3
3
− 1
(b) f(x) =
4x
2− x
(c) f(x) =
4√
x
(d) f(x) = (x2 + 1)(1− x)
3. Determine a taxa de variac¸a˜o de f(x) em relac¸a˜o a x para o valor especificado
(a) f(x) = x3 − 3x+ 5 em x = 2. (b) f(x) = x−√x+ 1
x2
em x = 1.
4. O custo de produc¸a˜o de x unidades de uma mercadoria e´ dado por C(x) = 40 +
3x+ 16
√
x reais. Ache o custo marginal quando sa˜o produzidas 64 unidades.
5. Sabe-se que 60− x unidades de um produto sa˜o vendidas quando o prec¸o e´ x reais
por unidade. Determine a taxa de variac¸a˜o da receita em relac¸a˜o ao prec¸o unita´rio
quando x = 10.
6. Suponha que o custo semanal, em reais, para a fabricac¸a˜o de x geladeiras seja dado
pela func¸a˜o C(x) = 8000 + 400x–0.2x2 com 0 ≤ x ≤ 400. Determine a taxa de
variac¸a˜o da func¸a˜o custo em relac¸a˜o a x quando x = 250.
F. Rivero e T. Salvador 111 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO2. DERIVAC¸A˜O
7. Um fabricante observa que quando produz e vende x pacotes de biscoito, o lucro
(em reais) e´ dado por L(x) = 50x–0.1x2–10 para 0 ≤ x ≤ 250. Determine a taxa de
variac¸a˜o do lucro em relac¸a˜o a x para um n´ıvel de produc¸a˜o de 200 pacotes.
8. Um fabricante observa que quando produz e vende x caixas de chocolate por semana,
o lucro (em reais) e´ dado por L(x) = 0.02x2 + 15x− 1000. Qual e´ o lucro marginal
para um n´ıvel de produc¸a˜o de 100 caixas por semana?
9. A receita obtida com a venda de x unidades de um produto e´ dada por R(x) =
220x− 4x2 e o custo de produc¸a˜o e´ dado por C(x) = 900 + 44x. Para que n´ıvel de
produc¸a˜o x a receita marginal e´ igual ao custo marginal?
10. Um fabricante estima que o custo de produc¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado,
em reais, pela func¸a˜o C(x) = 0.2x2 +
100
x
+ 50x+ 100. Determine o custo marginal
quando x = 5.
11. ) Um empresa´rio estima que quando produz e vende x unidades de um produto, o
lucro em reais e´ dado pela func¸a˜o L(x) = −0.5x2 + 22x − 98. Determine o lucro
marginal para um n´ıvel de produc¸a˜o e venda de 12 unidades.
12. Os registros mostram que x anos depois de 1994, o imposto predial me´dio que incidia
sobre um apartamento de treˆs quartos em certo munic´ıpio era T (x) = 20x2 + 40x+
600 reais. Qual a taxa de aumento do imposto no in´ıcio do ano 2000?
13. O custo de fabricac¸a˜o (em reais) de x de unidades de um produto e´ dado pela func¸a˜o
C(x) =
3x2
4
+ 50x+ 62. Determine o custo marginal para um n´ıvel de produc¸a˜o de
6 unidades.
14. Calcule as derivadas usando a Regra da Cadiea
(a) y = (5− 2x)10
(b) y = (4x+ 1)−5
(c) y = (2x4 − x+ 1)−4
(d) y = (x2 − 3x+ 2)7
(e) y =
√
x2 + 2x− 1
(f) y =
3
√
x2 + 5
(g) y =
1√
4x2 + 1
(h) y =
3
(1− x2)4
(i) y = 5x2(2x+ 3)4
(j) y = 6x(2x− 1)3
(k) y = (x2 − x)(2x+ 1)4
(l) y = (5x+ 2)(x2 + 1)5
(m) y = (2x+ 1)3(x3 − 5)
(n) y = (3x+ 1)4(2x− 1)5
(o) y =
(
x− 1
x
)4
(p) y =
(
4x+ 1
x+ 2
)3
F. Rivero e T. Salvador 112 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
(q) y =
(
x− 1
x+ 1
)3
(r) y =
(
4x
x+ 1
)−2
15. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f(x) = 3
√
3x2 + 5 em
x = 1.
16. Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = (2x–3)5 quando x = 2.
17. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + 4x no
ponto (1, 5).
18. Sabendo que x e y esta˜o relacionados pela equac¸a˜o x2 + y2 = 25, determine
dy
dx
e
dx
dy
utilizando derivac¸a˜o impl´ıcita.
19. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = f(x)
definida implicitamente pela equac¸a˜o dada para o valor indicado.
(a) x2 = y3; x = 8. (b) xy = 2; x = 2. (c) x2y3−x = −2; x = 1.
20. Determine a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = f(x) definida implicitamente
na equac¸a˜o 2x2 + y3 + y–7 = 3xy no ponto (–1, 1).
21. Suponha que o prec¸o p (em reais) e as vendas mensais x (em milhares de unidades)
de certo bem satisfac¸am a equac¸a˜o de demanda 2p3 + x2 = 4500. Determine a taxa
com a qual as vendas esta˜o variando, quando o prec¸o unita´rio e´ R$10.00 e esta´
diminuindo a uma taxa de R$0.50 por meˆs.
22. Os custos semanais de produc¸a˜o y de uma fa´brica e a sua produc¸a˜o x esta˜o re-
lacionados pela equac¸a˜o y2–5x3 = 4 com y sendo dado em milhares de reais e x
em milhares de unidades. Determine a taxa com a qual os custos esta˜o variando,
quando x = 4, y = 18 e a produc¸a˜o esta´ aumentando a uma taxa de 0.3 mil unidades
por semana.
23. Suponha que o prec¸o p (em reais) e a quantidade x (em milhares de unidades) de
uma mercadoria satisfac¸am a equac¸a˜o 6p + 5x + xp = 50. Determine a taxa de
variac¸a˜o da demanda quando o prec¸o unita´rio e´ R$3.00 e esta´ diminuindo a uma
taxa de R$0.16 por meˆs
24. Um fabricante esta´ disposto a colocar por semana no mercado, x milhares de unida-
des de um produto por um prec¸o unita´rio p. Sabe-se que a relac¸a˜o entre x e p e´ dada
pela equac¸a˜o de oferta x2–3xp+p2 = 5. Com que rapidez a oferta do produto estara´
variando, quando p = 11, x = 4 e o prec¸o aumentar a uma taxa de 10 centavos por
semana?
F. Rivero e T. Salvador 113 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
25. A equac¸a˜o de demanda de um produto e´ 9p + x + xp = 141 onde x milhares de
unidades sa˜o demandadas por meˆs quando p reais e´ o prec¸o unita´rio. Supondo
que o prec¸o unita´rio e´ R$9.00 e esta´ aumentando a uma taxa de R$2.00 por meˆs,
encontre a taxa de variac¸a˜o da demanda.
26. Suponha que p e´ o prec¸o de um saco de laranjas, x o nu´mero de centenas de sacos
ofertados diariamente e px–20p–3x+ 105 = 0 a equac¸a˜o de oferta. Se a oferta dia´ria
esta´ decrescendo a uma taxa de 250 sacos por dia, em que taxa os prec¸os esta˜o
variando quando a oferta dia´ria e´ de 500 sacos?
27. Suponha que y seja o nu´mero de trabalhadores na forc¸a de trabalho necessa´ria para
produzir x unidades de determinado produto e que 4y2 = x. Se a produc¸a˜o este ano
e´ de 250.000 unidades e a produc¸a˜o esta´ aumentando a` taxa de 18.000 unidades por
ano, qual e´ a taxa a que a forc¸a de trabalho devera´ crescer?
28. A equac¸a˜o de demanda de certo produto e´ px+25p = 4000 onde p reais e´ o prec¸o de
uma caixa do produto e x milhares de caixas e´ a quantidade procurada por semana.
Se o prec¸o e´ R$80.00 por caixa e esta´ aumentando a` taxa de R$0.20 por semana,
encontre a taxa de variac¸a˜o da demanda.
29. Ache as derivadas aplicando suas regras:
(a) f(x) = ln(9x+ 4)
(b) f(x) = ln(x4 + 1)
(c) f(x) = ln(2− 3x)5
(d) f(x) = ln(5x2 + 1)3
(e) f(x) = ln
(√
7− 2x3)
(f) f(x) = 7x
(g) f(x) = 5−x
(h) f(x) = log2(x
4 + 3x2 + 1)
(i) f(x) = log3(6x− 7)2
(j) f(x) = 9
√
x
(k) f(x) = ln
(
3
√
6x+ 7
)
(l) f(x) = ln(3x2 − 2x+ 1)
(m) f(x) = 8x
2+1
(n) f(x) = ln(4x3 − x2 + 2)
(o) f(x) = ln
(
3
√
4x2 + 7x
)
(p) f(x) = ln
(√
1− x2)
(q) f(x) = 53x−4
(r) f(x) = 32−x
2
(s) f(x) = x ln(x)
(t) f(x) = ln (
√
x) +
√
ln(x)
(u) f(x) = ln (x3) + (ln x)3
(v) f(x) =
1
ln(x)
+ ln
(
1
x
)
(w) f(x) = ln
(√
4 + x2
4− x2
)
(x) f(x) = ln ((5x− 7)4(2x+ 3)3)
(y) f(x) = ln
(
3
√
x2 − 1
x2 + 1
)
(z) f(x) = ln(ln(x))
F. Rivero e T. Salvador 114 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
30. Determine as derivadas das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = e−5x
(b) f(x) = e3x
(c) f(x) = e3x
2
(d) f(x) = e1−x
2
(e) f(x) =
√
1 + e2x
(f) f(x) =
1
ex + 1
(g) f(x) = e
√
x+1
(h) f(x) = xe−x
(i) f(x) = x2e−2x
(j) f(x) =
√
e2x + 2x
(k) f(x) =
ex
x2 + 1
(l) f(x) =
x
ex2
(m) f(x) = (e4x − 5)3
(n) f(x) = (e3x − e−3x)4
(o) f(x) = e
1
x +
1
ex
(p) f(x) = e
√
x +
√
ex
(q) f(x) =
ex − e−x
ex + e−x
(r) f(x) = ee
x
31. Em cada caso3, determine f ′(x)
(a) f(x) = sen (8x+ 3)
(b) f(x) = cos
(x
2
)
(c) f(x) = sec
(√
x− 1)
(d) f(x) = csc(x2 + 4)
(e) f(x) = cot(x− 2x)
(f) f(x) = tan
(
3
√
5− 6x)
(g) f(x) = cos(3x2)
(h) f(x) = tan3(6x)
(i) f(x) = cos2(3x)
(j) f(x) = sen (e−2x)
(k) f(x) =
cos(4x)
1− sen (4x)
(l) f(x) =
sec(2x)
tan(2x) + 1
32. Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para calcular
dy
dx
em cada caso
(a) 3y − x2 + ln(xy) = 2
(b) x ln(y)− y ln(x) = 1
(c) y2 + ln
(
x
y
)
− 4x+ 3 = 0
(d) y3 + x2 ln(y) = 5x+ 3
(e) exy − x3 + 3y2 = 11
(f) y3 + xex = 3x2 − 10
(g) xey + 2x− ln(y + 1) = 3
(h) xey − yex = 2
3Lembre-se sec(x) =
1
cos(x)
, csc(x) =
1
sen (x)
e cot(x) =
1
tan(x)
F. Rivero e T. Salvador 115 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
33. Calcule as derivadas de primeirae segunda ordem, simplificando o resultado em
cada etapa:
(a) f(x) = e5x
3−x
(b) u(x) = 25x
3−x
(c) f(x) = 10−7x+2
(d) b(s) = e−
1
s
(e) f(x) = 33x
2
(f) y = (4x+ e3x)e2x
(g) f(x) =
√
e4x + 5
(h) h(x) =
e2x
2x3
(i) f(u) =
eu + 1
eu
(j) f(x) = ex ln(x)
(k) h(y) = ln(4 + 5y)
(l) f(x) = ln
(√
4 + 5x
)
(m) M(x) = ln(8− 2x)5
(n) N(z) = (ln(3z + 1))2
(o) f(x) = ln
(√
1 + 4x2
)
(p) z = log(3x2 − 2x+ 1)2
(q) f(x) = log2 (
√
x)
(r) f(x) =
√
lnx
(s) f(y) = ln
(
3
y
)
(t) G(v) =
ln v
v
(u) f(x) = 3x4 − 4x2 + x− 2
(v) g(x) = 3x8 − 2x5
(w) H(s) =
√
3s+
2
s2
(x) y = sec2(3x)
(y) l(t) = sen (t)− t cos(t)
(z) f(u) =
√
tan(u)
34. Use a regra de L’Hoˆpital para determinar os limites abaixo
(a) lim
x→−2
2x2 + 3x− 2
3x2 − x− 14
(b) lim
x→2
x4 − 16
x− 2
(c) lim
x→1
1− x+ lnx
x3 − 3x+ 2
(d) lim
x→0+
ln(e2x + 1)− ln 2
x2
(e) lim
x→2
ln(2x− 3)
ln(3x− 5)
(f) lim
x→∞
x2
lnx
(g) lim
x→∞
lnx
x2
(h) lim
x→1
4x3 − 5x+ 1
lnx
(i) lim
x→∞
ex + 1
x4 + x3
(j) lim
x→∞
e4x
x2
(k) lim
x→∞
ln(x+ ex)
x
(l) lim
x→∞
lnx
x+ 2
(m) lim
x→0
√
x2 + 1− 1
x
(n) lim
x→1
lnx
x−√x
(o) lim
x→0+
x− ex + 1
x3
F. Rivero e T. Salvador 116 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL
(p) lim
x→1
(
x3 − 3x+ 2
x2 − 2x+ 1
)2
(q) lim
x→−∞
(6x2 − 1)1/x2
(r) lim
x→+∞
(
1− 6
x
)x2
(s) lim
x→0
(3 sen (5x))x
(t) lim
x→−1
(cos(x2 − 1))1/(x+1)
F. Rivero e T. Salvador 117 Matema´tica para Economia I
2.7. REGRA DE L’HOˆPITAL CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
F. Rivero e T. Salvador 118 Matema´tica para Economia I
Cap´ıtulo 3
Aplicac¸a˜o de derivadas
Vimos no Cap´ıtulo 2, que a derivada de uma func¸a˜o pode ser interpretada como o coefici-
ente angular da reta tangente ao seu gra´fico. Neste cap´ıtulo, vamos explorar este fato e de-
senvolver te´cnicas para o uso da derivada como aux´ılio a` construc¸a˜o de gra´ficos. Tambe´m
esta˜o inclu´ıdas neste cap´ıtulo, aplicac¸o˜es da derivada a “problemas de otimizac¸a˜o”.
3.1 Func¸o˜es crescentes e func¸o˜es decrescentes
Os conceitos de func¸a˜o crescente e de func¸a˜o decrescente podem ser introduzidos atrave´s
dos gra´ficos de f(x) = 2x+ 3 e g(x) = –2x3 na Figura 3.1.
(a) Observamos como a func¸a˜o f(x) = 2x + 3 e´
crescente.
(b) Observamos como a func¸a˜o f(x) = −2x3 e´
decrescente.
Figura 3.1: Gra´ficos de func¸o˜es crescente e decrescente
Na Figura 3.1 (a) observamos que os valores de f(x) crescem a` medida que os valores
de x aumentam. Dizemos, enta˜o, que f e´ crescente em R. Na Figura 3.1 (b), os valores
119
3.1. FUN. CRESCENTE E DECRESCENTE CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
de g(x) decrescem a` medida que os valores de x aumentam. Neste caso, dizemos que g e´
decrescente em R.
Em geral, estabelecemos a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 3.1 Dizemos que una func¸a˜o real f e´ cerscente em um intervalo I se se a`
medida que os valores de x ∈ I aumentam, os valores de f(x) tambe´m aumentam, isto e´,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Dizemos que una func¸a˜o real f e´ decerscente em um intervalo I se se a` medida que
os valores de x ∈ I aumentam, os valores de f(x) diminuem, isto e´,
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
Nas Figuras 3.2 e 3.3 podemos observar outros exemplos onde as func¸o˜es sa˜o crescentes
em alguns intervalos e decrescentes em outros.
A Figura 3.2 (a) mostra como a func¸a˜o f(x) = x2 − 2x e´ decrescente no intervalo
(−∞, 1) e crescente no intervalo (1,+∞). A func¸a˜o g(x) = 4−x2 e´ crescente no intervalo
(−∞, 0) e decrescente no intervalo (0,+∞), como observamos na Figura 3.2 (b).
(a) Func¸a˜o f(x) = x2−2x decrescente em (−∞, 1)
e crescente em (1,+∞)
(b) Func¸a˜o g(x) = 4− x2 crescente em (−∞, 0) e
decrescente em (0,+∞)
Figura 3.2: Gra´ficos de func¸o˜es quadra´ticas crescentes e decrescentes em distintos inter-
valos
Na Figura 3.3 (a) mostra como a func¸a˜o h(x) = cos(x) e´ decrescente nos intervalos
da forma (2kpi, (2k + 1)pi) e crescente nos intervalos da forma ((2k − 1)pi, 2kpi) para todo
valor para k ∈ Z. A func¸a˜o l(x) = ln(x) e´ crescente em todo seu domı´nio D(l) = R+.
O crescimento ou decrescimento de uma func¸a˜o tem relac¸a˜o com o valor da derivada.
Quando o valor da derivada num ponto e´ positiva, enta˜o o coeficiente angular da reta
F. Rivero e T. Salvador 120 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.1. FUN. CRESCENTE E DECRESCENTE
(a) Func¸a˜o h(x) = cos(x) decrescente em
(2kpi, (2k + 1)pi) e crescente em ((2k − 1)pi, 2kpi)
para k ∈ Z
(b) l(x) = ln(x) e´ crescente em R+
Figura 3.3: Gra´ficos das func¸o˜es cos(x) e ln(x)
tangente e´ positivo e temos una reta crescente, o que mostra que a tendeˆncia da func¸a˜o
e´ de aumentar. da mesma forma, se a derivada e´ negativa, enta˜o a reta tangente e´
decrescente e a tendeˆncia da func¸a˜o e´ diminuir. Na Figura 3.4 podemos observar como
nos intervalos onde os coeficientes angulares das retas tangentes sa˜o positivos, a func¸a˜o
e´ crescente, e que nos intervalos onde os coeficientes angulares das retas tangentes sa˜o
negativos, a func¸a˜o e´ decrescente.
Figura 3.4: Intervalos de crescimento e decrescimento
F. Rivero e T. Salvador 121 Matema´tica para Economia I
3.1. FUN. CRESCENTE E DECRESCENTE CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Podemos enta˜o descobrir onde uma func¸a˜o deriva´vel f e´ crescente ou decrescente,
verificando o sinal de sua derivada, ja´ que f ′(x) fornece a inclinac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f em (x, f(x)). Onde f ′(x) > 0, a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ positiva e f e´
crescente; onde f ′(x) < 0, a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ negativa e f e´ decrescente.
Portanto temos o seguinte resultado:
Teorema 3.1 (Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento)
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua de valores reias em um intervalo aberto I.
i) Se f ′(x) > 0 em I enta˜o f(x) e´ crescente em I.
ii) Se f ′(x) < 0 em I enta˜o f(x) e´ decrescente em I.
Exemplo 3.1 Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das se-
guintes func¸o˜es estudando o sinal da func¸a˜o derivada.
1. f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1.
Soluc¸a˜o: A derivada da func¸a˜o f e´ a func¸a˜o f ′(x) = 3x2 − 12x + 9, que e´ uma
para´bola positiva com ra´ızes nos valores 1 e 3. Portanto a derivada e´ positiva se x
e´ menor que 1 ou maior que 3 e e´ negativa se 1 < x < 3. Enta˜o, pelo Teorema 3.1,
obtemos que a func¸a˜o f e´ crescente nos intervalos (−∞, 1) e (3,+∞) e decrescente
no intervalo (1, 3), como mostra a Figura 3.5 (a).
2. f(x) =
3
√
x2.
Soluc¸a˜o: Como a derivada da func¸a˜o f e´ f ′(x) =
2
3 3
√
x
, tem-se que f ′(x) < 0
se x < 0 e f ′(x) > 0 se x > 0. Portanto a func¸a˜o f e´ decrescente no intervalo
(−∞, 0) e crescente no intervalo (0,+∞). Na Figura 3.5 (b) podemos ver o gra´fico
da func¸a˜o f y da sua derivada.
F. Rivero e T. Salvador 122 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.1. FUN. CRESCENTE E DECRESCENTE
(a) Intervalos de crescimento e decrescimento para f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento para f(x) =
3
√
x2
Figura 3.5: Intervalos de crescimento e decrescimento usando o Teste da Derivada Pri-
meira. [Video]
F. Rivero e T. Salvador 123 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
3. f(x) = arctan(x).
Soluc¸a˜o: Como a derivada de f e´ f ′(x) =
1
1 + x2
e e´ sempre positiva, a func¸a˜o f
e´ crescente para todo valor real, isto e´, f(x) = arctan(x) e´ crescente em todo R.
4. g(x) = e−x.
Soluc¸a˜o: Como a derivada de g e´ g′(x) = −e−x e e´ sempre negativa, a func¸a˜o f e´
decrescente para todo valor real.
Os gra´fico das func¸o˜es f(x) = arctan(x) e g(x) = e−x e suasderivadas esta˜o na
Figura 3.6.
(a) Intervalos de crescimento e decrescimento
f(x) = arctan(x)
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento
g(x) = e−x
Figura 3.6: Intervalos de crescimento e decrescimento usando o Teste da Derivada Pri-
meira. [Video]
3.2 Extremos relativos
Na sec¸a˜o anterior mostramos como usar o sinal da func¸a˜o derivada para determinar
os intervalos de crescimento e decrescimento de uma func¸a˜o. Agora temos interesse em
estudar o que´ acontece nos valores onde o valor da func¸a˜o e´ zero.
O esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2 + 5 da Figura 3.7, mostra que o
ponto (0, 5) esta´ mais alto do que qualquer outro ponto vizinho do gra´fico. Um ponto tal
como (0, 5) e´ chamado de ponto de ma´ximo relativo (ou de ma´ximo local) do gra´fico de f .
Analogamente, o ponto (2, 1) que esta´ mais baixo do que qualquer outro ponto vizinho
do gra´fico de f e´ denominado ponto de mı´nimo relativo (ou de mı´nimo local) do gra´fico
de f .
F. Rivero e T. Salvador 124 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.2. EXTREMOS RELATIVOS
Se uma func¸a˜o possui um ma´ximo ou um mı´nimo relativo em um ponto P , dizemos
que possui um extremo relativo (ou extremo local) em P .
Definic¸a˜o 3.2 Seja f uma func¸a˜o com valores reales e c um valor do domı´nio da func¸a˜o.
i) Dizemos que um ponto P = (c, f(c)) do gra´fico de f e´ um ponto de ma´ximo
relativo (ou de ma´ximo local) se existe uma vizinhanc¸a I de c onde f(c) > f(x)
para todo x no I.
ii) Dizemos que um ponto P = (c, f(c)) do gra´fico de f e´ um ponto de mı´nimo
relativo (ou de miximo local) se existe uma vizinhanc¸a I de c onde f(c) < f(x)
para todo x no I.
Os pontos (0, 5) e (2, 1) sa˜o exemplos de extremos relativos no sentido de que cada
um deles representa um extremo apenas na vizinhanc¸a do ponto. Devemos considerar,
portanto, que uma func¸a˜o pode admitir va´rios extremos relativos, isto e´, va´rios mı´nimos
e ma´ximos relativos.
Figura 3.7: Ma´ximo e mı´nimo relativos da func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 + 5. [Video]
Quando conhecemos os intervalos nos quais uma func¸a˜o e´ crescente ou decrescente,
podemos identificar os seus ma´ximos e mı´nimos relativos. Um ma´ximo relativo ocorre
quando a func¸a˜o para de crescer e comec¸a a decrescer. Um mı´nimo relativo ocorre quando
a func¸a˜o para de decrescer e comec¸a a crescer. Enta˜o, o que acontece com a derivada nesses
pontos? Sabemos pelo Teorema 3.1 (Teste da Derivada Primeira) que uma func¸a˜o f e´
F. Rivero e T. Salvador 125 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
crescente quando f ′(x) > 0 e e´ decrescente quando f ′(x) < 0 enta˜o os u´nicos pontos onde
f(x) pode ter extremos relativos sa˜o aqueles onde f ′(x) = 0 ou onde na˜o existe f ′(x).
Esses pontos sa˜o chamados de pontos cr´ıticos.
Definic¸a˜o 3.3 Um valor c pertencente ao domı´nio de uma func¸a˜o f e´ chamado de valor
cr´ıtico, se f ′(c) = 0 ou se f ′(c) na˜o existe. O ponto correspondente (c, f(c)) no gra´fico
de f e´ chamado de ponto cr´ıtico.
Por queˆ precisamos dos pontos onde a derivada na˜o esta´ definida? Porque pode acon-
tecer que nesse ponto a func¸a˜o seja um bico (para acima ou para baixo). E´ claro que se o
ponto (c, f(c)) e´ um bico, enta˜o temos un extremo relativo, mas a func¸a˜o nesse ponto na˜o
e´ deriva´vel porque existem infinitas retas tangentes ao gra´fico nele. A Figura 3.8 mostra
este fato.
(a) Ma´ximo relativo de uma func¸a˜o em um ponto
onde na˜o e´ deriva´vel
(b) Mı´nimo relativo de uma func¸a˜o em um ponto
onde na˜o e´ deriva´vel
Figura 3.8: Pontos cr´ıticos onde a func¸a˜o na˜o e´ deriva´vel.
No v´ıdeo da Figura 3.7 podemos observar como a reta tangente nos extremos relativos
e´ uma reta horizontal e, portanto, o valor da derivada e´ zero.
Para encontrar todos os extremos relativos de uma func¸a˜o f , comec¸amos achando
todos os pontos cr´ıticos (que sa˜o os “candidatos” a extremos relativos). Cada ponto
cr´ıtico precisa ser testado para verificar se e´ realmente um extremo relativo. Esse teste
pode ser feito usando a derivada primeira de f .
Teorema 3.2 (Teste da derivada primeira para extremos relativos) Seja c um
nu´mero cr´ıtico da func¸a˜o f . Enta˜o,
a) Se f ′(x) > 0 a` esquerda de c e f ′(x) < 0 a` direita de c enta˜o (c, f(c)) e´ um ponto de
ma´ximo relativo.
F. Rivero e T. Salvador 126 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.2. EXTREMOS RELATIVOS
b) Se f ′(x) < 0 a` esquerda de c e f ′(x) > 0 a` direita de c enta˜o (c, f(c)) e´ um ponto de
mı´nimo relativo
Quando a derivada da func¸a˜o f e´ positiva a` esquerda do valor cr´ıtico x = c e negativa
a direita, enta˜o a func¸a˜o passa de crescente a decrescente e, portanto, o ponto (c, f(c)) e´
um ma´ximo (observar Figura 3.9).
Figura 3.9: Ma´ximo para o valor cr´ıtico x = c.
Se o que acontece e´ que a derivada da func¸a˜o f e´ negativa a` esquerda de x = c e
positiva a direita, enta˜o a func¸a˜o passa de decrescente a crescente e o ponto (c, f(c)) e´
um mı´nimo (observar Figura 3.10).
Figura 3.10: Mı´nimo para o valor cr´ıtico x = c.
F. Rivero e T. Salvador 127 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Exemplo 3.2 Determinar os pontos cr´ıticos das seguintes func¸o˜es.
1. f(x) = x4 − 2x2 + 2
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos procurar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f usando sua
derivada, isto e´, estamos procurando os valores reais onde f ′(x) = 0 ou onde a
func¸a˜o f ′ na˜o esteja definida. Como f ′(x) = 4x3 − 4x = 4x(x + 1)(x − 1), enta˜o
f ′(x) = 0 se x ∈ {0, 1,−1}. Como a derivada es um polinoˆmio, esta´ definida para
todo valor, portanto, na˜o existem mais valores cr´ıticos. Assim, os pontos cr´ıticos
do gra´fico de f sa˜o (0, f(0)) = (0, 2), (1, f(−1)) = (1, 1) e (−1, f(−1)) = (−1, 1).
Como o valor da func¸a˜o derivada e´ negativo no intervalo (−∞,−1)∪ (0, 1) e po-
sitivo no intervalo (−1, 0)∪ (1,+∞), pelo Teste da derivada primeira para extremos
relativos obtemos que os pontos (−1, 1) e (1, 1) sa˜o mı´nimos locais e o ponto (0, 2)
e´ um ma´ximo local.
Na Figura 3.11 podemos observar os ma´ximos e o mı´nimo relativos da func¸a˜o f .
Figura 3.11: Mı´nimos e ma´ximo locais para a func¸a˜o f(x) = x4 − 2x2 + 2.
2. g(x) = ex(x2 − 3)
Soluc¸a˜o: Para calcular os potos cr´ıticos, precisamos calcular a derivada da func¸a˜o
g e calcular os valores onde a derivada e´ nula. Assim,
g′(x) = ex(x+ 3)(x− 1) = 0 ⇔ x = −3, x = 1.
F. Rivero e T. Salvador 128 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.2. EXTREMOS RELATIVOS
Logo, os pontos cr´ıticos sa˜o (−3, 6e−3) e (1,−2e). Como o valor da func¸a˜o deri-
vada e´ positivo nos intervalos (−∞,−3) e (1,+∞) e negativo em (−3, 1), pelo Teste
da derivada primeira para extremos relativos obtemos que o ponto (−3, 6e−3) e´ um
ma´ximo local e (1,−2e) e´ um mı´nimos local.
Na Figura 3.12 podemos observar o ma´ximo e o mı´nimo relativos da func¸a˜o g.
Figura 3.12: Ma´ximo e mı´nimo locais para a func¸a˜o g(x) = ex(x2 − 3).
3. h(x) =
2x
x− 1
Soluc¸a˜o: derivando a func¸a˜o h obtemos
h′(x) =
2(x− 1)− 2x
(x− 1)2 = −
2
(x− 1)2 .
E´ claro que a func¸a˜o h(x) e´ distinta de zero para todo valor x no dominio de h′,
isto e´, para todo x 6= 1. Logo, pela Definic¸a˜o 3.3 o u´nico valor cr´ıtico e´ x = 1, mas
temos que 1 na˜o esta´ no domı´nio da func¸a˜o h e, portanto, na˜o pode ser um ponto
cr´ıtico.
Na Figura 3.13 podemos observar o gra´fico da func¸a˜o h.
F. Rivero e T. Salvador 129 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Figura 3.13: Gra´fico da func¸a˜o h(x) =
2x
x− 1.
4. k(x) =
x2 + 4
x
Soluc¸a˜o: Vamos usar a derivada da func¸a˜o k para determinar os pontos cr´ıticos.
Assim,
k′(x) =
2x2 − (x2 + 4)
x2
=
x2 − 4
x2
= 0 ⇔ x = ±2.
Como o valor x = 0 na˜o esta´ no domı´nio da func¸a˜o k na˜oe´ um valor cr´ıtico.
Logo temos dois pontos cr´ıticos P1 = (2, 4) e P2 = (−2,−4). Para determi-
nar se sa˜o ma´ximos o mı´nimos, pelo Teste da Derivada Primeira para Extremos
Relativos, precisamos estudar o sinal de k′. Como o denominador da derivada e´
sempre positivo, o sinal e´ dado perlo numerador. Logo, k′(x) > 0 no conjunto
(−∞,−2)∪(2,+∞) e negativo no conjunto (−2, 2). Enta˜o, (2, 4) e´ ponto de mı´nimo
relativo e (−2,−4) e´ ponto de ma´ximo relativo.
Na Figura 3.14 temos o gra´fico de k.
A derivada segunda tambe´m pode ser usada para classificar os pontos cr´ıticos de uma
func¸a˜o como ma´ximos ou mı´nimos relativos. Para isso, basta aplicar o resultado conhecido
como Teste da derivada segunda para extremos relativos.
F. Rivero e T. Salvador 130 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.2. EXTREMOS RELATIVOS
Figura 3.14: Mı´nimo e ma´ximo relativos do gra´fico da func¸a˜o k(x) =
x2 + 4
x
.
Teorema 3.3 (Teste da derivada segunda para extremos relativos) Seja a func¸a˜o
f : R −→ R uma func¸a˜o duas vezes deriva´vel e suponhamos que existe um valor c ∈ R tal
que f ′(c) = 0. Enta˜o,
a) Se f ′′(c) > 0 enta˜o f possui um mı´nimo relativo em (c, f(c)).
b) Se f ′′(c) < 0 enta˜o f possui um ma´ximo relativo em (c, f(c)).
A ide´ia do resultado anterior e´ aplicar o Teste da derivada primeira para crescimento
e decrescimento (Teorema 3.1). Se o ponto P = (c, f(c)) do gra´fico de uma func¸a˜o f e´ um
mı´nimo, enta˜o o valor da derivada f ′ a` esquerda e´ negativo (a func¸a˜o f esta´ decrescendo)
e a` direita o valor da derivada e´ positivo (a func¸a˜o f esta´ crescendo). Como o valor da
derivada pasa de negativo para positivo, chagando ao valor zero no valor x = c, enta˜o
a func¸a˜o derivada esta´ crescendo numa vizinhanc¸a do ponto P . Logo, como a func¸a˜o f ′
e´ crescente nessa vizinhanc¸a de P , a derivada da func¸a˜o f ′ e´ positiva, mas a derivada
da func¸a˜o derivada e´ a derivada segunda, isto e´ (f ′)′ = f ′′. Analogamente acontece se
P = (c, f(c)) fosse um mı´nimo.
Na Figura 3.15 temos um exemplo do Teste da derivada segunda para extremos relati-
vos de uma forma gra´fica. Podemos observar como no ponto de ma´ximo local P = (0, 5)
F. Rivero e T. Salvador 131 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
a derivada diminui numa vizinhanc¸a do ponto e, portanto, o valor da derivada segunda
e´ negativo x = 0. Da mesma forma, a derivada aumenta numa vizinhanc¸a do ponto de
mı´nimo local Q = (2, 1), sendo o valor da derivada segunda para x = 2 positiva.
Figura 3.15: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 + 5 , f ′ e f ′′ e aplicac¸a˜o do Teste da 2a
Derivada.
Exemplo 3.3 Seja a func¸a˜o f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 7. Queremos aplicar o Teste da
derivada segunda para extremos relativos para calcular os pontos de ma´ximo e de mı´nimo
locais.
Como a derivada primeira f ′(x) = 6x2 +6x−12 = 6(x+2)(x−1) se anula em x = −2
e em x = 1, os pontos correspondentes (−2, 13) e (1,−14) sa˜o os pontos cr´ıticos de f .
Para testar esses pontos, basta determinar a derivada segunda f ′′(x) = 12x+ 6 e calcular
seu valor em x = −2 e em x = 1.
Como f ′′(−2) = −18, temos que a derivada primeira pasa decrescendo por (−2, 13) e,
enta˜o, e´ positiva a` esquerda e negativa a` direita do punto. Logo, (−2, 13) e´ um ponto de
ma´ximo relativo.
Como f ′′(1) = 18, a derivada primeira pasa crescendo pelo ponto (1,−14) e e´, por-
tanto, negativa a` esquerda e positiva a` direta. Logo, o ponto (1,−14) e´ um ponto de
mı´nimo relativo.
Observac¸a˜o: Embora tenha sido fa´cil usar o Teste da derivada segunda para classi-
ficar os pontos cr´ıticos no exemplo anterior, ele apresenta algumas limitac¸o˜es. O teste se
F. Rivero e T. Salvador 132 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.3. CONCAVIDADE
aplica aos pontos cr´ıticos nos quais a derivada primeira e´ nula, mas na˜o aos pontos em
que a derivada primeira na˜o existe. Ale´m disso, se tanto f ′(c) como f ′′(c) sa˜o nulas, o
teste da derivada segunda na˜o permite chegar a nenhuma conclusa˜o.
3.3 Concavidade do gra´fico de uma func¸a˜o
Vamos apresentar, agora, um me´todo para determinar se a concavidade do gra´fico de
uma func¸a˜o e´ “para cima” (positiva) ou “para baixo” (negativa). Para termos uma ideia
do que isso significa, vamos analisar os gra´ficos esboc¸ados na Figura 3.16 abaixo.
(a) Concavidade positiva (b) Concavidade negativa
Figura 3.16: Concavidade positiva e negativa
Na figura 3.16 (a), observamos que a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f no intervalo definido aumenta quando x aumenta e que o gra´fico possui concavidade
para cima.
Na figura 3.16 (b), a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f no intervalo
definido diminui quando x aumenta e o gra´fico possui concavidade para baixo.
Essas considerac¸o˜es geome´tricas conduzem a` seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 3.4 Seja f(x) uma func¸a˜o deriva´vel em um intervalo aberto I.
a) O gra´fico de f(x) tem concavidade (ou e´ coˆncavo) para cima em I, se f ′(x) e´
crescente em I.
b) O gra´fico de f(x) tem concavidade (ou e´ coˆncavo) para baixo em I, se f ′(x) e´
decrescente em I.
F. Rivero e T. Salvador 133 Matema´tica para Economia I
3.3. CONCAVIDADE CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Para saber se a concavidade de um gra´fico e´ para cima ou para baixo, ou seja, se
f ′(x) e´ crescente ou decrescente, basta aplicar a f ′(x) o teste da derivada primeira para
func¸o˜es crescentes e decrescentes apresentado no Teorema 3.1 da Sec¸a˜o 3.1, isto e´, f ′(x) e´
crescente se sua derivada e´ positiva e f ′(x) e´ decrescente se sua derivada e´ negativa. Como
a derivada de f ′(x) e´ a derivada segunda de f , podemos estabelecer o seguinte teorema:
Teorema 3.4 (Teste da derivada segunda para concavidade de um gra´fico) Seja
f uma func¸a˜o duas vezes deriva´vel em um intervalo aberto I ⊂ R.
a) O gra´fico de f tem concavidade para cima em I, se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I.
b) O gra´fico de f tem concavidade para baixo em I, se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I.
O que acontece com os valores x = c tais que f ′′(c) = 0. esses valores correspondem
com pontos do gra´fico tais que a concavidade muda, isto e´, o gra´fico da func¸a˜o pasa de
positiva a negativa ou de negativa a positiva. Estos pontos sa˜o chamados de pontos de
inflexa˜o e podem ser definidos como:
Definic¸a˜o 3.5 Um ponto (c, f(c)) do gra´fico de f e´ um ponto de inflexa˜o se sa˜o
verificadas as duas condic¸o˜es:
a) f e´ cont´ınua em x = c,
b) a concavidade do gra´fico de f muda em (c, f(c)).
Observac¸a˜o: Para obter os pontos de inflexa˜o temos que calcular os valores c ∈ R
tais que f ′′(c) = 0 ou onde f ′′(c) na˜o este´ definida, da mesma forma que para os valores
cr´ıticos em caso de ma´ximos e mı´nimos. Uma vez tenhamos esse valores, temos que
comprovar se realmente correspondem com pontos de inflexa˜o.
Exemplo 3.4 Vamos determinar a concavidade das seguintes func¸o˜es assim como seus
pontos de inflexa˜o.
1. f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1.
Soluc¸a˜o: Precisamos determinar quando a derivada da func¸a˜o f e´ crescente e
quando e´ decrescente ou, aplicando o Teste da derivada segunda para concavidade,
determinar os intervalos onde a derivada segunda e´ positiva e os intervalos onde e´
negativa. Assim, calculando a primeira derivada de f obtemos que f ′(x) = 3x2 −
12x+ 9. Logo, f ′′(x) = 6x− 12 = 6(x− 2).
F. Rivero e T. Salvador 134 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.3. CONCAVIDADE
Como x− 2 > 0 se x > 2 e x− 2 < 0 se x < 2, temos que:
• f ′′ > 0 se x > 2, enta˜o f ′ e´ crescente no intervalo (2,+∞).
• f ′′ < 0 se x < 2, enta˜o f ′ e´ decrescente no intervalo (−∞, 2).
Podemos concluir que a func¸a˜o f tem uma concavidade positiva (ou para cima) no
intervalo (2,+∞) e negativa (ou para baixo) no intervalo (−∞, 2).
Alem disso, como a concavidade do gra´ficomuda no ponto (2, f(2)) = (2, 3) (para
x = 2 tem-se que f ′′(2) = 0), enta˜o P = (2, 3) e´ um ponto de inflexa˜o.
Na Figura 3.17 temos o gra´fico da func¸a˜o f com os intervalos de concavidade e o
ponto de inflexa˜o.
Figura 3.17: Concavidade e ponto de inflexa˜o para a func¸n˜ao f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1.
2. g(x) = ex − 3x2 + 10.
Soluc¸a˜o: Vamos calcular a segunda derivada para poder aplicar o Teste da derivada
segunda para concavidade (Teorema 3.4). Portanto,
g′(x) = ex − 6x, g′′(x) = ex − 6.
Estudando o sinal de f ′′ obtemos que
• ex − 6 > 0 se ex > 6. Logo g′′ > 0 se x > ln(6).
• ex − 6 < 0 se ex < 6. Logo g′′ < 0 se x < ln(6).
F. Rivero e T. Salvador 135 Matema´tica para Economia I
3.3. CONCAVIDADE CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Enta˜o g tem uma concavidade positiva (ou para cima) no intervalo (ln(6),+∞) e
negativa (ou para baixo) no intervalo (−∞, ln(6)).
Como no ponto do gra´fico P = (ln(6), g(ln(6))) = (ln(6), 16− 3(ln(6))2) existe
uma mudanc¸a de concavidade, enta˜o P e´ um ponto de inflexa˜o. So´ observar que
g′′(ln(6)) = 0.
Podemos observar na Figura 3.18 o gra´fico de g.
Figura 3.18: Concavidade e ponto de inflexa˜o para a func¸a˜o g(x) = ex − 3x2 + 10.
3. h(x) =
2x
x− 1 .
Soluc¸a˜o: Como h′(x) = − 1
(x− 1)2 e h
′′(x) =
2
(x− 1)3 , tem-se
• h′′ > 0 se (x− 1)3 > 0, ou seja, se x− 1 > 0.
• h′′ < 0 se (x− 1)3 < 0, ou seja, se x− 1 < 0.
Enta˜o, h′′ > 0 no intervalo (1,+∞) e h′′ < 0 no intervalo (−∞, 1). Aplicando
o Teste da derivada segunda para concavidade podemos concluir que a func¸a˜o h e´
coˆncava positiva no intervalo (1,+∞) e coˆncava negativa no intervalo (−∞, 1).
Como a derivada segunda na˜o esta´ definida no valor x = 1, o ponto P = (1, h(1))
poderia ser um ponto de inflexa˜o, mas temos que x = 1 na˜o esta´ no domı´nio da
func¸a˜o h e, portanto, h(1) na˜o esta´ definido. Logo, h na˜o tem pontos de inflexa˜o.
Podemos observar na Figura 3.19 o gra´fico de h.
F. Rivero e T. Salvador 136 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.3. CONCAVIDADE
Figura 3.19: Concavidade para a func¸a˜o h(x) =
2x
x− 1.
4. l(x) =
3
√
x2.
Soluc¸a˜o: Como l′(x) =
2
3 3
√
x
e l′′(x) = − 2
9
3
√
x4
, temos que l′′ e´ sempre negativa e a
func¸a˜o l(x) e´ coˆncava para baixo para todo valor x ∈ R. Como na˜o temos mudanc¸a
de concavidade, na˜o existem pontos de inflexa˜o.
Podemos observar na Figura 3.20 o gra´fico de g.
Figura 3.20: Concavidade para a func¸a˜o l(x) =
3
√
x2.
F. Rivero e T. Salvador 137 Matema´tica para Economia I
3.4. ESBOC¸O DE GRA´FICOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
3.4 Esboc¸o de gra´ficos
Para esboc¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o, precisamos verificar sua continuidade, os in-
tervalos nos quais e´ crescente ou decrescente, a concavidade e a existeˆncia de ass´ıntotas,
extremos relativos e pontos de inflexa˜o. Como o estudo dessas caracter´ısticas foi realizado
em va´rias sec¸o˜es anteriores, vamos estabelecer um roteiro para o trac¸ado do gra´fico
de uma func¸a˜o real f .
Vamos acompanhar o roteiro com um exemplo. Seja a func¸a˜o f(x) =
ex
x− 1.
1. Achar o domı´nio de f e determinar onde f e´ cont´ınua.
Como a func¸a˜o exponencial e´ cont´ınua para todo valor x ∈ R, enta˜o f na˜o esta´
definida onde x− 1 = 0. Logo,
D(f) = {x ∈ R : x− 1 6= 0} = R− {1}.
2. Calcular os limites envolvendo infinito para determinar, se existirem, as
ass´ıntotas horizontais e verticais.
Vamos calcular primeiro os limites quando x→ ±∞ para achar as ass´ıntotas hori-
zontais. Como lim
x→+∞
f(x) e´ uma forma indeterminada do tipo
∞
∞ , podemos aplicar
L’Hoˆpital. Assim,
lim
x→+∞
ex
x− 1 = limx→+∞
ex
1
= +∞.
Por outro lado, lim
x→−∞
f(x) = 0.
Logo, a func¸a˜o cresce ilimitadamente quando x → ∞ e converge para zero cuando
x→ −∞, tendo uma ass´ıntota horizontal em y = 0.
Vamos calcular agora as ass´ıntotas verticais. Para isso precisamos calcular os limites
no pontos onde a func¸a˜o na˜o esta´ definida. Como lim
x→1
ex
x− 1 = “
e
0
′′
, a func¸a˜o vai
para infinito e, por tanto, existe uma ass´ıntota vertical em x = 1.
Mas vamos calcular os limites laterais para obter mais informac¸a˜o do gra´fico de f .
Como a func¸a˜o exponencial e´ sempre positiva, o sinal do limite lateral depende so´
do sinal de x− 1. Como x− 1 < 0 se x < 1 e x− 1 > 0 se x > 1, temos que
lim
x→1−
ex
x− 1 = −∞ e limx→1+
ex
x− 1 = +∞.
Na Figura 3.21 (a) podemos observar a ass´ıntota horizontal e vertical do gra´fico da
func¸a˜o f .
F. Rivero e T. Salvador 138 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.4. ESBOC¸O DE GRA´FICOS
3. Intervalos de crescimento e decrescimento.
Vamos aplicar o Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento (Teo-
rema 3.1 da Sec¸a˜o 3.1). Como f ′(x) =
ex(x− 2)
(x− 1)2 e como a exponencial e o numerador
sa˜o sempre positivos, o sinal de f ′ depende so´ de x− 2. Logo,
• f ′ > 0 se x > 2 ⇒ f e´ crescente no intervalo (2,+∞).
• f ′ < 0 se x < 2 ⇒ f e´ decrescente no intervalo (−∞, 2).
4. Extremos relativos.
Os valores relativos sera˜o os valores de x tais que f ′(x) = 0 ou f ′(x) na˜o existe.
Logo temos os valores x = 2, pois f ′(2) = 0, e x = 1, pois f ′ na˜o esta´ definida nesse
valor.
Como x = 1 tambe´m na˜o esta´ no domı´nio de f , enta˜o o ponto (1, f(1)) na˜o existe
e, portanto, na˜o pode ser um extremo relativo.
Como o valor da derivada e´ negativo a` esquerda de x = 2 e positivo a` direita, temos
que o ponto P = (2, f(2)) = (2, e2) e´ um mı´nimo relativo do gra´fico de f .
Na Figura 3.21 (b) podemos observar a os intervalos de crescimento e decrescimento
do gra´fico da func¸a˜o assim como seu mı´nimo relativo.
5. Intervalos de concavidade e pontos de inflexa˜o.
Precisamos calcular f ′′(x) para usar o Teste da derivada segunda para concavidade
(Teorema 3.4 da Sec¸a˜o 3.3) e determinar os intervalos onde o gra´fico de f e´ coˆncavo
para cima (f ′′(x) > 0) e onde e´ coˆncavo para baixo (f ′′(x) < 0). Temos que
f ′′(x) =
[ex(x− 2)]′ (x− 1)2 − (ex(x− 2)) [(x− 1)2]′
(x− 1)4
=
(ex(x− 2) + ex)(x− 1)2 − 2ex(x− 2)(x− 1)
(x− 1)4
=
ex(x− 1)[(x− 1)2 − 2(x− 2)]
(x− 1)4
=
ex���
�(x− 1)(x2 − 4x+ 5)
(x− 1)���
3
4
=
ex(x2 − 4x+ 5)
(x− 1)3
Como a exponencial e sempre positiva e x2 − 4x + 5 e´ uma para´bola positiva sem
cortes com o eixo x (e´ sempre positiva), o sinal de f ′′ depende apenas do sinal de
(x− 1)3.
F. Rivero e T. Salvador 139 Matema´tica para Economia I
3.4. ESBOC¸O DE GRA´FICOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Logo,
• f ′′ > 0 se (x− 1)3 > 0 ⇒ f tem uma concavidade positiva em (1,+∞),
• f ′′ < 0 se (x− 1)3 < 0 ⇒ f tem uma concavidade negativa em (−∞, 1).
Neste caso o u´nico candidato para ponto de inflexa˜o ser´ıa o ponto (1, f(1)) porque
f ′′ na˜o esta´ definida para x = 1 pois f ′′ na˜o e´ zero para nenhum valor real, mas
x = 1 tambe´m na˜o esta´ no dominio na func¸a˜o. Enta˜o o ponto (1, f(1)) na˜o existe e
a func¸a˜o na˜o tem pontos de inflexa˜o.
Na Figura 3.21 (c) podemos observar a concavidade da func¸a˜o.
6. Pontos de corte com os eixos.
Determinar se existirem e na˜o depender de muito ca´lculo, os pontos de intersec¸a˜o
com os eixos coordenados (e alguns outros pontos fa´ceis de calcular).
Neste caso, temos que f(0) = 1 e f(x) 6= 0 para todo x ∈ R.
(a) Ass´ıntotas (b) Crescimento e extremos relativos
(c) Concavidade e pontos de inflexa˜o
Figura 3.21: Esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
ex
x− 1.
F. Rivero e T. Salvador 140 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O
3.5 Problemas de Otimizac¸a˜o
Nas aplicac¸o˜es, os valores extremos de uma func¸a˜o sa˜o chamados, a`s vezes, de valo-
res o´timos, porque sa˜o, em certo sentido, os melhores ou os mais favora´veis valores da
func¸a˜o em um determinado contexto. A tarefa de determinaresses valores constitui um
problema de otimizac¸a˜o.
Exemplo 3.5
1. O custo, em reais, de fabricac¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado por C(x) =
75+80x−x2 com 0 ≤ x ≤ 40 e cada unidade e´ vendida por 200−3x reais. Determine
o valor de x que maximiza o lucro e o lucro ma´ximo correspondente.
Soluc¸a˜o: O problema pedi obter o valor ma´ximo do lucro e o nu´mero de unidades
necessa´rias para obter esse valor. Enta˜o primeiro precisamos determinar a func¸a˜o
lucro em func¸a˜o das unidades produzidas. Para obter o lucro precisamos calcular a
renda obtida pela venda de unidades e substraer o custo de fabricac¸a˜o. Ou seja,
Lucro de x unidades = Receita − Custo.
Ja´ que cada unidade x e´ vendida por um prec¸o de 200− 3x, a func¸a˜o receita e´
R(x) = prec¸o de cada unidade × unidades vendidas = (200− 3x)x.
Assim,
L(x) = R(x)− C(x) = (200− 3x)x− (75 + 80x− x2) = −2x2 + 120x− 75.
Para obter os pontos cr´ıticos calculamos a derivada de L e resolvemos quando
L′(x) = 0. Logo,
L′(x) = −4x+ 120 = 0 ⇔ x = 30.
Usando o Teste da derivada segunda para extremos relativos obtemos que L′′(x) =
−4 e, portanto, L′′(30) < 0. Enta˜o o ponto (30, L(30)) = (30, 1.725) e´ um ma´ximo
do gra´fico de L.
Resposta: Para obter um lucro ma´ximo de R$1.725 tem que ser fabricadas 30 uni-
dades do produto.
F. Rivero e T. Salvador 141 Matema´tica para Economia I
3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
2. Um empresa´rio pode produzir gravadores por R$20,00 a unidade e estima que se os
gravadores forem vendidos por p reais a unidade, os consumidores comprara˜o 120−p
gravadores por meˆs. Determine o prec¸o de venda que resulta no lucro ma´ximo.
Soluc¸a˜o: De novo, o lucro sera´ a diferenc¸a entre a receita e o custo de produc¸a˜o.
Como o nu´mero de gravadores produzidos e´ de 120− p, enta˜o o custo sera´
C(p) = custo unita´rio × unidades produzidas = 20(120− p).
Para a func¸a˜o receita R temos
R(p) = prec¸o unita´rio × unidades vendidas = p(120− p).
Portanto a func¸a˜o lucro em func¸a˜o do prec¸o de venda sera´
L(p) = R(p)− C(p) = p(120− p)− 20(120− p) = −p2 + 140p− 2400.
Para determinar o lucro ma´ximo vamos calcular os pontos cr´ıticos da func¸a˜o usando
a derivada primeira. Assim,
L′(p) = −2p+ 140 = 0 ⇔ p = 70.
Como L′ > 0 se p < 70 e L′ < 0 se p > 70, o ponto do gra´fico (70, L(70)) =
(70, 2.500) e´ um ma´ximo relativo.
Resposta: O prec¸o de venda para obter um lucro ma´ximo de R$2.500 e´ de R$70,00
por gravador.
3. O custo total da fabricac¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado por C(x) = 3x2 −
240x+ 5000. Determine o valor de x que resulta no custo mı´nimo.
Soluc¸a˜o: Vamos usar o Teste da derivada primeira para pontos cr´ıticos. Logo,
C ′(x) = 6x− 240 = 0 ⇔ x = 40.
Como C ′′(x) = 6, C ′′(40) > 0 e o ponto (40, C(40)) = (40, 200) e´ um ponto de
mı´nimo no gra´fico da func¸a˜o C(x).
Resposta: O nu´mero de unidades onde e´ atingido o custo mı´nimo de R$200 por
unidade e´ de 40 unidades produzidas.
F. Rivero e T. Salvador 142 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O
Relac¸a˜o de exerc´ıcios - 3: Aplicac¸o˜es da derivada
1. Para as seguintes func¸o˜es, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f, determinando:
i) os intervalos onde f e´ crescente e onde e´ decrescente,
ii) os intervalos onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para baixo e onde
tem concavidade voltada para cima,
iii) os pontos de ma´ximos e mı´nimos relativos e os pontos de inflexa˜o do gra´fico
de f.
(a) f(x) = x3 + 6x2 + 9x
(b) f(x) = x3 − 3x+ 2
(c) f(x) = 1 + 3x2 − x3
(d) f(x) = x3 + 3x2 − 2
(e) f(x) = x3 − 3x2
(f) f(x) = x3
2. Nas func¸o˜es embaixo, determine, se existirem:
i) os intervalos onde f e´ crescente e onde e´ decrescente;
ii) os intervalos onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para baixo e onde
tem concavidade voltada para cima;
iii) os pontos de ma´ximos e mı´nimos relativos e os pontos de inflexa˜o do gra´fico
de f ;
iv) as equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais e das ass´ıntotas horizontais.
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(a) f(x) =
−4
x− 2
(b) f(x) =
x+ 1
x− 2
(c) f(x) =
1
1− x
(d) f(x) =
4
x− 2
(e) f(x) =
x
(x+ 1)2
(f) f(x) =
2x
x2 + 1
3. O lucro obtido com a produc¸a˜o e venda de x unidades de certa mercadoria e´ dado
pela func¸a˜o L(x) = −0,02x2 + 140x− 300. Determine o valor de x que maximiza o
lucro.
4. A func¸a˜o receita de um produto e´ R(x) = 6x− 1
2
x2. Ache o valor de x que maximiza
a receita.
F. Rivero e T. Salvador 143 Matema´tica para Economia I
3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
5. O custo total da fabricac¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado por C(x) =
4x2 − 240x+ 9.000. Determine o valor de x que resulta no custo mı´nimo.
6. A func¸a˜o custo de uma firma que produz e vende x unidades de um produto e´ dada
por C(x) = x3 − 6x2 + 13x + 15 e a func¸a˜o receita e´ R(x) = 28x. Ache o valor de x
que maximiza o lucro.
7. C(x) = 0,001x2 +0,02x+500 e´ o custo de fabricac¸a˜o de x unidades de um produto e
cada unidade e´ vendida por R$8,00. Determine o nu´mero de unidades que maximiza
o lucro.
8. Ache a quantidade x que maximiza o lucro, sabendo que a receita e o custo sa˜o,
respectivamente, R(x) = 5x− 0,003x2 e C(x) = 1,1x+ 300 com 0 < x ≤ 1.000.
9. O custo por unidade de produc¸a˜o tambe´m e´ importante na Economia. Essa func¸a˜o
e´ chamada de custo me´dio e sua derivada e´ o custo me´dio marginal. Se C(x) e´ o
custo total associado a` produc¸a˜o de x unidades de um produto, o custo me´dio e´
CM(x) =
C(x)
x
. Sabendo que C(x) = 2x2 − 15x + 3.200 e´ o custo de fabricac¸a˜o
de x unidades de um produto, determine o valor de x que resulta no custo me´dio
mı´nimo.
10. As func¸o˜es custo e receita de x unidades de um produto sa˜o em reais, respectiva-
mente, C(x) = 10 + 2x e R(x) = 50x− 0,1x2. Determine o lucro ma´ximo.
11. A func¸a˜o de demanda para um produto e´ dada por p(x) = 4 − 0,0002x onde p e´ o
prec¸o unita´rio em reais e x e´ a quantidade demandada. O custo total da produc¸a˜o
de x unidades e´ dado pela func¸a˜o C(x) = 600+3x. Determine o nu´mero de unidades
que maximiza o lucro e o prec¸o unita´rio correspondente.
12. A func¸a˜o de demanda de certo produto e´ dada por q(p) = −6p + 780 onde q e´ a
quantidade demandada e p o prec¸o unita´rio. Escreva a receita como func¸a˜o de p e
determine o prec¸o que resulta na receita ma´xima.
13. As func¸o˜es custo e receita de uma fa´brica que produz e vende x unidades de um
produto sa˜o, respectivamente, C(x) = −x2 + 80x + 75 e R(x) = −3x2 + 200x com
0 ≤ x ≤ 40. Determine o valor de x que maximiza o lucro e o lucro ma´ximo
correspondente.
14. Uma fa´brica produz estantes a um custo de R$80,00 a unidade. Estima-se que se as
estantes forem vendidas por x reais a unidade, aproximadamente 100− x unidades
sera˜o vendidas por meˆs. Escreva o lucro mensal como uma func¸a˜o do prec¸o de venda
x e ache o prec¸o o´timo de venda.
F. Rivero e T. Salvador 144 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O
15. As func¸o˜es custo e receita de x unidades de um produto sa˜o em reais, respectiva-
mente, C(x) =
1
8
x2 + 4x+ 200 e R(x) = 49x − x2. Determine o valor de x que
maximiza o lucro.
16. Suponha que o lucro de um fabricante de ra´dios seja dado por L(x) = 400(15 −
x)(x − 2) onde x e´ o prec¸o unita´rio pelo qual os ra´dios sa˜o vendidos. Encontre o
prec¸o de venda que maximiza o lucro.
F. Rivero e T. Salvador 145 Matema´tica para Economia I
3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
F. Rivero e T. Salvador 146 Matema´tica para Economia I
Cap´ıtulo 4
Func¸o˜es de va´rias varia´veis
4.1 Definic¸a˜o e exemplos
Em muitas situac¸o˜es, o valor de um “bem” pode depender de dois ou mais fatores.
Por exemplo, o lucro da vendade um produto pode depender do custo de produc¸a˜o e
do prec¸o que tem o produto no mercado. Relac¸o˜es deste tipo podem frequ¨entemente ser
representadas por func¸o˜es matema´ticas que teˆm mais de uma varia´vel.
Definic¸a˜o 4.1 Uma func¸a˜o f de duas varia´veis x e y com valores em R f : R×R→
R e´ uma regra que associa a cada par ordenado (x, y) de nu´meros reais em algum conjunto
um e somente um nu´mero real z denotado por z = f(x, y).
Na equac¸a˜o z = f(x, y), chamamos z de varia´vel dependente e nos referimos a x e y
como varia´veis independentes.
Do mesmo modo que definimos o domı´nio e a imagem para uma func¸a˜o de uma varia´vel,
podemos definir o domı´nio e a imagem para func¸o˜es de duas varia´veis.
Definic¸a˜o 4.2 O domı´nio de uma func¸a˜o f : R×R→ R e´ o conjunto de todos os pares
ordenados (x, y) de nu´meros reais para os quais f(x, y) pode ser calculada. A imagem
de uma func¸a˜o f e´ o conjunto dos nu´meros reais z tais que z = f(x, y) para (x, y) no
domı´nio da func¸a˜o.
Exemplo 4.1 Seja a func¸a˜o f(x, y) =
3x2 + 5y
x− y . Para calcular o valor de f(1,−2) basta
substituir os valores x = 1 e y = −2 na regra. Assim,
f(1,−2) = 3 · 1
2 + 5 · (−2)
1− (−5) = −
7
6
.
147
4.1. DEFINIC¸A˜O E EXEMPLOS CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Como a divisa˜o por qualquer nu´mero real exceto zero e´ poss´ıvel, o domı´nio de f consiste
em todos os pares ordenados (x, y) tais que x − y 6= 0, ou seja, o conjunto de todos os
pares ordenados de nu´meros reias (x, y) tais que x 6= y.
Exemplo 4.2 Suponhamos agora que f(x, y) =
√
12− x2 − y2. Enta˜o o domı´nio de f e´
o conjunto de todos os pares de nu´meros reais (x, y) tais que 12− x2 − y2 ≥ 0, isto e´, os
valores (x, y) tais que x2 + y2 ≤ 12. A imagem do ponto (√2,−3) por f e´
f(
√
2,−3) =
√
12− (
√
2)2 − (−3)2 =
√
1 = 1.
Nos cap´ıtulos anteriores vimos como as func¸o˜es de uma varia´vel podem ser represen-
tadas graficamente como curvas desenhadas nos eixos cartesianos, isto e´, num sistema
de duas coordenadas ou bidimensional. As func¸o˜es de duas varia´veis com valores reais
podem ser representadas como superf´ıcies em um sistema de treˆs coordenadas ou tri-
dimensional. Para construir um sistema de coordenadas tridimensional, adicionamos un
terceiro eixo (eixo z) que e´ perpendicular aos eixos x e y ja´ conhecidos. O sentido positivo
deste novo eixo e´ para cima e o negativo e´ para baixo. Cada ponto do espac¸o tem treˆs
coordenadas e sa˜o representadas como na Figura 4.1.
Figura 4.1: Sistema tridimensional
Para plotar uma func¸a˜o f(x, y), os pares (x, y) sa˜o tomados no plano dos eixos x e
y e o valor z = f(x, y) associa a varia´vel dependente com as independentes. Na Figura
4.2 temos a representac¸a˜o de uma func¸a˜o em um sistema de treˆs coordenadas com seu
domı´nio e sua imagem. Infelizmente, na˜o ha´ modo ana´logo de visualizar func¸o˜es de mais
de duas varia´veis.
F. Rivero e T. Salvador 148 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.1. DEFINIC¸A˜O E EXEMPLOS
Figura 4.2: Func¸a˜o em um sistema tridimensional
Vamos ver uma aplicac¸a˜o de func¸o˜es de duas varia´veis a` economia
Exemplo 4.3 Uma loja de artigos esportivos em Nitero´i vende dois tipos de raquetes de
teˆnis o modelo A e o modelo B. A demanda do consumidor para cada tipo depende de
seu prec¸o e do prec¸o do concorrente. As vendan indicam que se o modelo A vende por
x reais cada raquete e o modelo B por y reais cada, a demanda pela raquete A sera´ de
D1 = 300− 20x+ 30y raquetes por ano, e pelas raquetes B sera´ de D2 = 200 + 40x− 10y
por ano. Expresse a receita anual total da loja proveniente da venda dessas raquetes em
func¸a˜o dos prec¸os x e y e calcule o valor dessa receita quando o modelo A tem um prec¸o
de 100 reais e o modelo B tem um valor de 75 reais.
Soluc¸a˜o: Fac¸a R denotar a receita mensal total. Enta˜o,
R = nu´mero de raquetes A vendidas × prec¸o por raquete A
+ nu´mero de raquetes B vendidas × prec¸o por raquete B.
Assim,
R(x, y) = (300− 20x+ 30y)x+ (200 + 40x− 10y)y
= 300x+ 200y + 70xy − 20x2 − 10y2.
Substituindo os valores para x = 20 e y = 18,
R(100, 75) = 300 · 100 + 200 · 75 + 70 · 100 · 75− 20 · 1002 − 10 · 752 = 313.750.
Enta˜o a receita total por ano para os prec¸os dados e´ de R$313.750.
F. Rivero e T. Salvador 149 Matema´tica para Economia I
4.1. DEFINIC¸A˜O E EXEMPLOS CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
A produc¸a˜o Q de uma fa´brica e´ frequ¨entemente interpretada como uma func¸a˜o da
quantidade K de capital investido e do tamanho L de ma˜o-de-obra. As func¸o˜es de
produc¸a˜o da forma Q(K,L) = AKαL1−α, onde A e α sa˜o constantes positivas e 0 < α < 1,
teˆm se mostrando especialmente u´teis em ana´lise econoˆmicas. Tais func¸o˜es sa˜o conhecidas
como func¸o˜es de utilidade de Cobb-Douglas1.
Exemplo 4.4 Suponha que, em uma determinada fa´brica, a produc¸a˜o seja dada pela
func¸a˜o de produc¸a˜o de Cobb-Douglas Q(K,L) = 60K1/3L2/3 unidades, onde K e´ o capital
investido medido em unidades de R$1000 e L a ma˜o-de-obra medida em TH (trabalhadores-
hora).
1. Calcule a produc¸a˜o se o capital for de $512000 e 1000 TH de ma˜o-de-obra forem
contratados.
2. Mostre que a produc¸a˜o do item anterior dobrara´ se tanto o capital o capital investido
quanto a ma˜o-de-obra forem dobrados.
Soluc¸a˜o:
1. Para calcular a produc¸a˜o, substituimos os valores de K = 512 e L = 1000 na func¸a˜o
de Cobb-Douglas do exemplo:
Q(512, 1000) = 60 · 5121/3 · 10002/3 = 48000.
Resposta: A produc¸a˜o sera´ de 48.000 unidades se o capital e´ de R$512000 e 1000
trabalhadores-hora sa˜o contratados.
2. Vamos supor que temos um capital de L mil reais e K trabalhadores contratados.
Se dobramos o capital, enta˜o teremos um capital de 2L mil reais e se dobramos
o nu´mero de trabalhadores, teremos 2K trabalhadores. Logo, colocando os novos
valores na func¸a˜o de Cobb-Douglas, obtemos:
Q(2L, 2K) = 60(2K)1/3(2L)2/3
= 60 · 21/3 ·K1/3 · 22/3 · L2/3
= 2(1/3)+(2/3)
(
60K1/3L2/3
)
= 2Q(L,K),
o que mostra que o valor de Q(2L, 2K) = 2Q(L,K).
1A Func¸a˜o de Cobb-Douglas e´ usada extensamente na economia para representar o relacionamento de
uma determinada sa´ıda e a`s diversas entradas. Foi proposto inicialmente por Knut Wicksell, matema´tico-
estat´ıstico ingleˆs e testado ao encontro da evideˆncia estat´ıstica de construc¸a˜o naval por Paul Douglas
e por Charles Cobb, construtores navais, finalmente em 1928 foi publicado um livro dida´tico sobre o
desenvolvimento matema´tico da produc¸a˜o de forma geral, apo´s a construc¸a˜o em um Pool de estaleiros
navais dos navios Titanic e Louziaˆnia, estaleiros esses reunidos na Inglaterra.
F. Rivero e T. Salvador 150 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.2. DERIVADAS PARCIAIS
Nota sobre o limite e a continuidade de func¸o˜es de duas varia´veis
Vimos anteriormente que o limite de uma func¸a˜o de uma varia´vel f(x) quando x → c
existe se, e somente se, os limites laterais lim
x→c+
f(x) e lim
x→c−
f(x) existem e sa˜o iguais.
Tratando de limites de uma func¸a˜o f de duas varia´veis quando o ponto (x, y) tende para
o ponto (a, b), devemos supor que o ponto (x, y) se aproxima do ponto (a, b) na˜o apenas
pela direita ou pela esquerda, mas tambe´m por qualquer outra direc¸a˜o; inclusive podemos
supor que (x, y) se aproxima de (a, b) ao longo de uma curva, como mostra a Figura 4.3.
Logo, a definic¸a˜o de limite e continuidade para func¸o˜es de mais de uma varia´vel e´ mais
complicada pois temos uma infinidade de formas de nos aproximar de um ponto.
Figura 4.3: Exemplos de aproximac¸a˜o para um ponto em dimensa˜o dois
4.2 Derivadas parciais
Em muitos problemas que envolvem func¸o˜es de duas varia´veis, a meta e´ encontrar a
taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o em relac¸a˜o a uma de suas varia´veis enquanto a outra e´ mantida
constante. Isto e´, a meta e´ derivar a func¸a˜o em relac¸a˜oa uma varia´vel em particular,
enquanto mantemos a outra fixa. Este processo e´ conhecido como derivac¸a˜o parcial, e
cada derivada resultante e´ dita ser uma derivada parcial da func¸a˜o.
Suponha que z = f(x, y) e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis com valores em R definida
por f(x, y) = 2x3y. Vamos colocar um valor constante para a varia´vel y, por exemplo
y = 5. Assim temos que a func¸a˜o f(x, 5) = 2x3 · 5 e´ uma func¸a˜o somente da varia´vel x
porque y tem um valor fixo. Portanto podemos calcular a derivada da func¸a˜o f(x, 5) em
relac¸a˜o a varia´vel x aplicando as mesmas regras para func¸o˜es de uma varia´vel. Logo,
∂
∂x
f(x, 5) =
∂
∂x
(2x3 · 5) = 6x2 · 5.
F. Rivero e T. Salvador 151 Matema´tica para Economia I
4.2. DERIVADAS PARCIAIS CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Observe que usamos a notac¸a˜o
∂
∂x
para derivada parcial para func¸o˜es de duas varia´veis
diferente de
d
dx
para func¸o˜es de uma varia´vel.
A varia´vel y pode ter qualquer valor dentro do domı´nio da func¸a˜o f (neste caso o
domı´nio de f sa˜o todos os pares de valores reais (x, y)). Assim, podemos pegar um valor
constante qualquer e podemos derivar de novo a func¸a˜o f tal que a varia´vel y tem um
valor fixo que chamamos de b, isto e´, y = b. Enta˜o,
∂
∂x
f(x, b) =
∂
∂x
(2x3 · b) = 6x2 · b.
Colocar a letra b no lugar de y e´ somente uma notac¸a˜o e tanto faz se colocamos uma
ou outra ja´ que a ideia e´ que a varia´vel y e´ considerada como uma constante no processo
de derivac¸a˜o. Assim, a derivada parcial de f em relac¸a˜o a x e´ a func¸a˜o obtida pela
derivac¸a˜o de f em relac¸a˜o a x, tratando y como uma constante, e e´ denotada por
∂f
∂x
,
∂z
∂x
, fx(x, y) ou D1f.
Do mesmo modo, a derivada parcial de f em relac¸a˜o a y e´ a func¸a˜o obtida pela
derivac¸a˜o de f em relac¸a˜o a y, tratando x como uma constante, e e´ denotada por
∂f
∂y
,
∂z
∂y
, fy(x, y) ou D2f.
Nenhuma regra e´ necessa´ria para o ca´lculo das derivadas parciais. As te´cnicas, regras
e fo´rmulas desenvolvidas no Cap´ıtulo 2 para diferenciar func¸o˜es de uma varia´vel podem
ser generalizadas para func¸o˜es de duas ou mais varia´veis, considerando-se que umas das
varia´veis deve ser mantida constante e a outra diferenciada em relac¸a˜o a` varia´vel rema-
nescente.
Exemplo 4.5 Seja a func¸a˜o f(x, y) = x2 + 2xy2 +
2y
3x
. Vamos calcular as duas deriva-
das parciais de f . Para calcular fx, pensemos em f como uma func¸a˜o da varia´vel x e
derivamos termo a termo, tratando y como uma constante. Assim,
fx(x, y) = 2x+ 2y
2 − 2
3
yx−2 = 2x+ 2y2 − 2y
3x2
.
Para calcular fy, pensemos em f como uma func¸a˜o da varia´vel y e derivamos termo a
termo, tratando x como uma constante. Assim,
fy(x, y) = 0 + 4xy +
2
3
x−1 = 4xy +
2
3x
.
F. Rivero e T. Salvador 152 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.2. DERIVADAS PARCIAIS
Exemplo 4.6 Vamos determinar agora as derivadas parciais da func¸a˜o z = (x2+xy−y)5.
Mantendo y fixo e usando a regra da cadeia para derivar z em relac¸a˜o a x, obtemos
∂z
∂x
= 5(x2 + xy − y)4(2x+ y).
Mantendo x fixo e usando a regra da cadeia para derivar z em relac¸a˜o a y, obtemos
∂z
∂y
= 5(x2 + xy − y)4(x− 1).
Exemplo 4.7 Seja f(x, y) = xe−2xy. Queremos determinar suas derivadas parciais. Da
regra do produto, obtemos
fx(x, y) = e
−2xy + x(−2ye−2xy) = (1− 2xy)e−2xy,
e da regra do produto por constante,
fy(x, y) = x(−2xe−2xy) = −2x2e−2xy.
Interpretac¸a˜o geome´trica das derivadas parciais: Como vimos na Sec¸a˜o 4.1,
o gra´fico de uma func¸a˜o f : R × R → R e´ a superf´ıcie em um sistema de coordenadas
tridimensional formada pelos pontos (x, y, z) onde z = f(x, y). Para cada nu´mero fixo
y0, os pontos (x, y0, z) formam um plano vertical. Se z = f(x, y) e y e´ mantido fixo em
y = y0, os pontos correspondentes (x, y0, f(x, y0)) formam uma curva no espac¸o que e´ a
intersec¸a˜o da superf´ıcie z = f(x, y) com o plano y = y0. Da mesma maneira que para
func¸o˜es de uma varia´vel, em cada ponto desta curva , a derivada parcial
∂z
∂x
e´ a inclinac¸a˜o
da reta tangente a` curva no ponto em questa˜o na direc¸a˜o x. A situac¸a˜o esta´ ilustrada na
Figura 4.4.
Analogamente, se x e´ mantido fixo em x = x0, os pontos correspondentes (x0, y, f(x0, y))
formam uma curva que e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie z = f(x, y) com o plano x = x0. A
cada ponto dessa curva, a derivada parcial
∂z
∂x
e´ a inclinac¸a˜o da tangente na direc¸a˜o y. A
situac¸a˜o esta´ ilustrada na Figura 4.5.
4.2.1 Derivadas parciais de ordem superior
As derivadas parciais podem elas mesmas ser derivadas. As func¸o˜es resultantes sa˜o
denominadas derivadas parciais de segunda ordem. Assim, se z = f(x, y), a derivada
parcial de fx em relac¸a˜o a x e´ a func¸a˜o que resulta da derivac¸a˜o parcial de fx com respeito
a` varia´vel x e e´ denotada por
fxx = (fx)x ou
∂2z
∂x2
=
∂
∂x
(
∂z
∂x
)
.
F. Rivero e T. Salvador 153 Matema´tica para Economia I
4.2. DERIVADAS PARCIAIS CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Figura 4.4: Interpretac¸a˜o geome´trica para
∂z
∂x
Figura 4.5: Interpretac¸a˜o geome´trica para
∂z
∂y
F. Rivero e T. Salvador 154 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.2. DERIVADAS PARCIAIS
A derivada parcial de fy em relac¸a˜o a y e´ a func¸a˜o que resulta da derivac¸a˜o parcial de fy
com respeito a` varia´vel y e e´ denotada por
fyy = (fy)y ou
∂2z
∂y2
=
∂
∂y
(
∂z
∂y
)
.
A derivada parcial de fx em relac¸a˜o a y e´ a func¸a˜o que resulta da derivac¸a˜o parcial de fx
com respeito a` varia´vel y e e´ denotada por
fxy = (fx)y ou
∂2z
∂y∂x
=
∂
∂y
(
∂z
∂x
)
.
A derivada parcial de fy em relac¸a˜o a x e´ a func¸a˜o que resulta da derivac¸a˜o parcial de fy
respeto a` varia´vel x e e´ denotada por
fyx = (fy)x ou
∂2z
∂x∂y
=
∂
∂x
(
∂z
∂x
)
.
Exemplo 4.8 Seja a func¸a˜o f(x, y) = xy3+5xy2+2x+1. Determinar todas as derivadas
parciais de segunda ordem.
Soluc¸a˜o: Como fx(x, y) = y
3 + 5y2 + 2, segue-se que
fxx(x, y) = 0, fxy(x, y) = 6xy + 10x.
Como fy(x, y) = 3xy
2 + 10xy, segue-se que
fyy(x, y) = 3y
2 + 10y, fyx(x, y) = 6xy + 10x.
Exemplo 4.9 Se g(u, v) = 2e2u cos v, encontre gu, gv, guu, gvv, guv, gvu.
Soluc¸a˜o: Nesse caso,
gu(u, v) =
∂
∂u
(2e2u cos v) = 4e2u cos v
gv(u, v) =
∂
∂v
(2e2u cos v) = −2e2u sen v.
Dai,
guu(u, v) =
∂
∂u
(gu(u, v)) =
∂
∂u
(4e2u cos v) = 8e2u cos v
guv(u, v) =
∂
∂v
(gu(u, v)) =
∂
∂v
(4e2u cos v) = −4e2u sen v
gvu(u, v) =
∂
∂u
(gv(u, v)) =
∂
∂u
(−2e2u sen v) = −4e2u sen v
gvv(u, v) =
∂
∂v
(gv(u, v)) =
∂
∂v
(−2e2u sen v) = −2e2u cosu.
F. Rivero e T. Salvador 155 Matema´tica para Economia I
4.2. DERIVADAS PARCIAIS CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
As duas derivadas parciais fxy e fyx tambe´m sa˜o denominadas derivadas parciais
cruzadas ou mistas de segunda ordem de f . Note que nos exemplos anteriores essas
duas derivadas sa˜o iguais. Isto na˜o e´ por acaso. O seguinte teorema, chamado Teorema
de Clairaut2 ou Teorema de Schwarz3 mostra esse fato para duas varia´veis.
Teorema 4.1 Seja Ω um conjunto aberto de R × R e seja f : Ω → R. Se existem as
derivadas parciais cruzadas de segunda ordem e sa˜o cont´ınuas, enta˜o sa˜o iguais. Assim,
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
.
Exemplo 4.10 Calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da func¸a˜o
f(x, y) = exy + sen (x+ y).
Soluc¸a˜o: Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
fx(x, y) = ye
xy + cos(x+ y), fy(x, y) = xe
xy + cos(x+ y).
Logo,
fxx(x, y) = y
2exy − sen (x+ y)
fyy(x, y) = x
2exy − sen (x+ y)
fxy(x, y) = e
xy(1 + xy)− sen (x+ y) = fyx(x, y).
Observac¸o˜es:
i) As vezes as derivadas parciais sa˜o denotadas por D1f para fx e D2fpara fy.
ii) Da mesma maneira que podemos obter as derivadas parciais fxx, fxy, fyy e fyx, po-
demos calcular suas derivadas, obtendo
fxxx =
∂3f
∂x3
=
∂
∂x
(fxx), fxxy =
∂3f
∂y∂x2
=
∂
∂y
(fxx),
fyyy =
∂3f
∂y3
=
∂
∂y
(fyy), fyyx =
∂3f
∂x∂y2
=
∂
∂x
(fyy), . . .
Tambe´m podem ser calculadas as derivadas de fxy em relac¸a˜o a`s varia´veis x e y.
iii) Como acontece para as derivadas de func¸o˜es de uma varia´vel, as derivadas parciais
sa˜o definidas como limites nas variac¸o˜es nas varia´veis da func¸a˜o. Assim, se f :
R× R→ R e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis com valores em R, enta˜o
fx(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
e fy(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
2Alexis Claude Clairaut, foi um matema´tico, f´ısico e astroˆnomo franceˆs do se´culo XVII.
3Karl Hermann Amandus Schwarz foi um matema´tico alema˜o do final do se´culo XIX e in´ıcio do XX
conhecido por seus trabalhos no ana´lise complexo.
F. Rivero e T. Salvador 156 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.3. REGRAS DA CADEIA
4.3 Regras da Cadeia
Em muitas situac¸o˜es pra´ticas, um determinado valor pode ser dado em func¸a˜o de duas
ou mais varia´veis, cada uma das quais pode ser interpretada como uma func¸a˜o de uma
outra varia´vel como, por exemplo, o tempo. Se a meta e´ encontrar a taxa de variac¸a˜o em
relac¸a˜o a essa outra varia´vel, precisamos de uma ferramenta para calcula´-la. Por exemplo,
suponhamos que o valor z de um determinado produto depende do prec¸o x no mercado e
do prec¸o de venda y do produto da concorreˆncia e e´ dado pela func¸a˜o
z = x2 − 3xy + 1.
Mas o prec¸o dos produtos tambe´m dependem da demanda e do mercado, e sa˜o dados
pelas func¸o˜es
x(t) = 2t+ 1, y(t) = t2 − 1,
onde t representa o tempo. Logo, a varia´vel dependente z somente depende da varia´vel
t e temos uma func¸a˜o de uma varia´vel com valores em R. Do mesmo modo que temos a
derivac¸a˜o impl´ıcita para func¸o˜es de uma varia´vel, podemos enunciar a Regra da Cadeia
para derivadas parciais.
Teorema 4.2 (Primeira Regra da Cadeia) Suponha que z seja uma func¸a˜o de x e y,
as quais, por sua vez, sejam func¸o˜es de outra varia´vel t. Enta˜o, z pode ser interpretada
como uma func¸a˜o de t, e
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
Observe que a expressa˜o para
dz
dt
e´ a soma de dois termos, cada um dos quais podendo
ser interpretado atrave´s da regra da cadeia como uma func¸a˜o de uma varia´vel. Em
particular
∂z
∂x
dx
dt
= taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a t para y fixo.
∂z
∂y
dy
dt
= taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a t para x fixo.
A Primeira Regra da Cadeia para derivadas parciais diz que a taxa de variac¸a˜o total de
z em relac¸a˜o a t e´ a soma destas duas taxas “parciais”de variac¸a˜o.
No exemplo anterior, usando a Primeira Regra da Cadeia obtemos,
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
= (2x− 3y)2 + (−3x)2t,
F. Rivero e T. Salvador 157 Matema´tica para Economia I
4.3. REGRAS DA CADEIA CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
que pode ser reescrita em termos de t substituindo x = 2t+ 1 e y = t2 − 1 para obter
dz
dt
= 4(2t+ 1)− 6(t2 − 1)− 6t(2t+ 1) = −18t2 + 2t+ 10.
Assim,
Outro modo de calcular
dz
dt
e´ substituir x = 2t + 1 e y = t2 − 1 na fo´rmula de z e
derivar diretamente em relac¸a˜o a t. Assim,
z(t) = (2t+ 1)2 − 3(2t+ 1)(t2 − 1) + 1 = −6t3 + t2 + 10t+ 4,
e a derivada em relac¸a˜o a` varia´vel t e´ a mesma que obtivemos com a derivac¸a˜o impl´ıcita.
Exemplo 4.11 Seja a func¸a˜o de duas varia´veis z =
√
x2 + y2, onde x = sen (t + pi) e
y = t3. Use a Primeira Regra da Cadeia para determinar
dz
dt
.
Soluc¸a˜o:
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
=
x√
x2 + y2
(cos t) +
y√
x2 + y2
(3t2) =
x cos t+ 3t2y√
x2 + y2
.
Substituindo os valores de x e y como func¸o˜es de t, obtemos
dz
dt
=
sen (t+ pi)(cos t) + 3t2(t3)√
( sen (t+ pi))2 + (t3)2
=
sen (t+ pi) cos t+ 3t5√
sen 2(t+ pi) + t5
.
Exemplo 4.12 Uma farma´cia vende dois tipos de vitaminas, uma marca A e uma marca
B. As vendas indicam que se a marca A for vendida por x reais por vidro e a marca B
por y reais por vidro, a demanda para a marca A sera´ de Q(x, y) = 300 − 20x2 + 30y
vidros por meˆs. Estima-se que, daqui a t meses, o prec¸o da marca A sera´ de x = 2+0.05t
u.m. por vidro e o prec¸o da marca B sera´ de y = 2 + 0.01
√
t por vidro. Calcular que taxa
de demanda da marca A em relac¸a˜o ao tempo daqui a 4 meses.
Soluc¸a˜o: A meta e´ calcular
dQ
dt
quando t = 4. Usando a Primeira Regra da Cadeia,
tem-se:
dQ
dt
=
∂Q
∂x
dx
dt
+
∂Q
∂y
dy
dt
= −40x(0.05) + 30(0.005t− 12 ).
Quando t = 4, x(4) = 2 + 0.05 · 4 = 2.2, e assim,
dQ
dt
= −40 · 2.2 · 0.05 + 30 · 0.005 · 4− 12 = −4.325.
Logo, daqui a 4 meses a demanda mensal pela marca A estara´ diminuindo a uma taxa de
3.65 vidros por meˆs.
F. Rivero e T. Salvador 158 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.3. REGRAS DA CADEIA
A`s vezes, as varia´veis x e y podem depender de mais de uma varia´vel. Enta˜o precisamos
de um resultado ana´logo ao Teorema 4.2. Consideremos o caso em que a varia´vel z e´ func¸a˜o
de duas varia´veis x e y, de modo que z = f(x, y), enquanto x e y sejam func¸o˜es de outras
duas varia´veis u e v, ou seja
x = g(u, v), y = h(u, v).
Enta˜o z torna-se uma nova func¸a˜o de duas varia´veis u e v com valores em R que podemos
chamar de F
z = F (u, v) = f (g(u, v), h(u, v)) .
Suponha que, temporariamente, a varia´vel v se mantenha constante. Poder´ıamos
calcular a derivada parcial de z em relac¸a˜o a u usando a Primeira Regra da Cadeia.
Assim,
∂z
∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
.
Analogamente, se mantemos a varia´vel u contante,
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
.
Assim obtemos a Segunda Regra da Cadeia, onde vamos mudar a notac¸a˜o para que fique
mais clara
Teorema 4.3 (Segunda Regra da Cadeia) Sejam f, g, h : R×R→ R func¸o˜es de duas
varia´veis com valores em R as quais denotamos por f(x, y), g(u, v) e h(u, v). Suponhamos
que as derivadas parciais das func¸o˜es f, g e h, fx, fy, gu, gv, hu, e hv existem e definimos a
func¸a˜o F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)). Enta˜o as derivadas parciais da func¸a˜o F podem ser
calculadas como
Fu = fx(g(u, v), h(u, v))gu(u, v) + fy(g(u, v), h(u, v))hu(u, v)
Fv = fx(g(u, v), h(u, v))gv(u, v) + fy(g(u, v), h(u, v))hv(u, v).
Exemplo 4.13 Seja z = x2 − y2, x = u cos v e y = v senu. Encontre as derivadas
parciais
∂z
∂u
e
∂z
∂v
.
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos achar as derivadas parciais de cada uma das func¸o˜es an-
teriores:
∂z
∂x
= 2x,
∂z
∂y
= −2y,
∂x
∂u
= cosu,
∂x
∂v
= −u sen v,
∂y
∂u
= v cosu,
∂y
∂v
= senu.
F. Rivero e T. Salvador 159 Matema´tica para Economia I
4.3. REGRAS DA CADEIA CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Aplicando a Segunda Regra da Cadeia obtemos
∂z
∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
= 2x cos v − 2yv cosu
= 2(u cos v) cos v − 2(v senu)v cosu = 2u cos2 v − v2 sen (2u).
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
= 2x(−u sen v)− 2y senu
= 2(u cos v)(−u sen v)− 2(v senu) senu = −u2 sen (2v)− 2v sen 2u.
Exemplo 4.14 Seja f(x, y) = 4x2 + 5xy − 2y3, onde x = 3r + 5s e y = 7r2s. Calcular
as derivadas parciais fr e fs.
Soluc¸a˜o: Se chamamos x = g(r, s) e y = h(r, s), as derivadas parciais de cada uma
das func¸o˜es anteriores sa˜o:
fx(x, y) = 8x+ 5y, fy(x, y) = 5x− 6y2,
gr(r, s) = 3, gt(r, s) = 5,
hr(r, s) = 14rs, hs(r, s) = 7r
2.
Logo, chamando de F (s, r) = f(g(s, r), h(s, r)) e aplicando a Segunda Regra da Cadeia,
Fs(s, r) = fx(g(s, r), h(s, r))gr(r, s) + fy(g(r, s), h(r, s))hr(r, s)
= (8x+ 5y)3 + (5x− 6y2)14rs
= 24x+15y + 70rsx− 84rsy2
= 24(3r + 5s) + 15(7r2s) + 70rs(3r + 5s)− 84rs(7r2s)2
= −4116r5s3 + 315r2s+ 350rs2 + 72r + 120s.
Como acontece com a derivac¸a˜o impl´ıcita para func¸o˜es de uma varia´vel, na˜o precisamos
conhecer a fo´rmula da func¸a˜o f(x, y) para calcular o valor da derivada parcial em um
ponto. Somente precisamos conhecer o valor da func¸a˜o e de suas derivadas parciais nesse
ponto.
Exemplo 4.15 Sejam u(x) = 2x− 1, v(x) = cos
(pi
x
)
e H(x) = f(u(x), v(x)). Determi-
nar o valor de H ′(x) quando x = 2 sabendo que fu(3, 0) = 4 e fv(3, 0) = −2pi.
Soluc¸a˜o: Vamos aplicar a Primeira Regra da Cadeia para calcular a derivada de
H(x),
H ′(x) = fu(u(x), v(x))u′(x) + fv(u(x), v(x))v′(x)
= 2fu(u(x), v(x)) +
2pifv(u(x), v(x)) sen
(
pi
x
)
x2
.
F. Rivero e T. Salvador 160 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.3. REGRAS DA CADEIA
Quando x = 2, temos u = 3 e v = 0. Logo,
H ′(2) = 2fu(3, 0) +
2pifv(3, 0) sen
(
pi
2
)
22
= 2 · 4 + 2pi(−2pi) sen
(
pi
2
)
22
= 8− �4pi
2
�4
= 8− pi2.
Exemplo 4.16 Seja f uma func¸a˜o de duas varia´veis tal que fu(3, 1) = 2 e fv(3, 1) = −5.
Defina a func¸a˜o V = f(2x+ 3y, ex), encontre
∂V
∂x
e
∂V
∂y
quando x = 0 e y = 1.
Soluc¸a˜o: Sejam u = 2x + 3y e v = ex, ou seja V = f(u, v). Pela Segunda Regra da
Cadeia,
∂V
∂x
=
∂V
∂u
∂u
∂x
+
∂V
∂v
∂v
∂x
=
∂V
∂u
· 2 + ∂V
∂v
· ex = 2fu(u, v) + exfv(u, v).
Quando x = 0 e y = 1, temos u = 3 e v = 1. Logo
∂V
∂x
= 2fu(3, 1) + e
0fv(3, 1) = 2 · 2 + 1 · (−5) = −1.
Analogamente,
∂V
∂y
=
∂V
∂u
∂u
∂y
+
∂V
∂v
∂v
∂y
=
∂V
∂u
· 3 + ∂V
∂v
· 0 = 3fu(u, v).
Assim, quando x = 0 e y = 1, temos u = 3 e v = 1 e
∂V
∂y
= 3fu(3, 1) = 3 · 2 = 6.
4.3.1 Diferenciac¸a˜o impl´ıcita
O procedimento da diferenciac¸a˜o impl´ıcita pode ser formulado com maior rigor e
pode ser generalizado pelo uso de derivadas parciais. Por exemplo, dada uma equac¸a˜o na
qual figurem as varia´veis x e y, podemos transpor os termos para a esquerda do sinal de
igualdade e a equac¸a˜o toma a forma f(x, y) = 0, onde f e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis.
Esta equac¸a˜o define y como uma func¸a˜o de x se
f(x, y) = f(x, g(x)) = 0.
Vamos ver um exemplo para fixar as ideias.
Exemplo 4.17 Seja a equac¸a˜o x3y2 +3xy2 +5x4 = 2y+7. Encontre o valor de dy
dx
quando
x = 1 e y = 1.
F. Rivero e T. Salvador 161 Matema´tica para Economia I
4.3. REGRAS DA CADEIA CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Soluc¸a˜o: Primeiro definimos a func¸a˜o
f(x, y) = x3y2 + 3xy2 + 5x4 − 2y − 7.
Enta˜o, f(1, 1) = 0. Pela Primeira Regra da Cadeia e derivando termo a termo, temos
que se y e´ uma varia´vel que depende de x,
0 =
df
dx
= fx(x, y)
dx
dx
+ fy(x, y)
dy
dx
= (3x2y2 + 3y2 + 20x3) · 1 + (2x3y + 6xy − 2)dy
dx
.
Logo, resolvendo a equac¸a˜o anterior em
dy
dx
, obtemos
dy
dx
= −fx(x, y)
fy(x, y)
= −3x
2y2 + 3y2 + 20x3
2x3y + 6xy − 2 .
Portanto, quando x = 1 e y = 1
dy
dx
= −3 + 3 + 20
2 + 6− 2 = −
13
3
.
Assim, de uma forma geral, se f(x, y) = 0 para certos valores (x, y) e existem as
derivadas parciais da func¸a˜o f , podemos calcular dy
dx
nesses pontos usando a fo´rmula
dy
dx
= −fx(x, y)
fy(x, y)
,
para todos os pontos (x, y) tais que f(x, y) = 0.
Exemplo 4.18 Suponha que a utilidade de um consumidor proveniente de x unidades de
um bem A e y unidades de um segundo bem B e´ fornecida pela fo´rmula
x2y + cos(pi(x− y)) = y + 1
2
,
onde os dois bens sa˜o calculados em centenas. O consumidor atualmente possui 200
unidades do bem A e 100 unidades do bem B. Achar a taxa de variac¸a˜o do bem B en
func¸a˜o do bem A para esses valores.
Soluc¸a˜o: Definimos a func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y) = x2y + cos(pi(x− y))− y + 1
2
,
que tem valor zero se x = 2 e y = 1. Logo, para o ponto (2, 1) podemos calcular o valor
de
dy
dx
. Assim,
0=
df
dx
=fx(x, y)
dx
dx
+fy(x, y)
dy
dx
=(2xy−pi sen (pi(x−y)))+
(
x2 − pi sen (pi(x− y))− 1
2
)
dy
dx
.
F. Rivero e T. Salvador 162 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.4. EXTREMOS
Enta˜o,
dy
dx
= − 2xy − pi sen (pi(x− y))
x2 − pi sen (pi(x− y))− 1
2
.
Substituindo os valores x = 2 e y = 1,
dy
dx
= − 2 · 2− pi sen (pi)
22 − pi sen (pi)− 1
2
= − 4− 0
4− 0− 1
2
= −8
7
.
Resposta: O bem B esta´ diminuindo a uma taxa de
8
7
unidades.
4.4 Extremos de func¸o˜es de duas varia´veis
Nesta sec¸a˜o vamos usar as derivadas parciais para encontrar os ma´ximos e os mı´nimos
para func¸o˜es de duas varia´veis com valores reias.
Geometricamente, um ma´ximo relativo ou ma´ximo local de uma func¸a˜o de duas
varia´veis f : R×R→ R e´ uma cume local da superf´ıcie z = f(x, y), isto e´, um valor mais
alto do que todos seus pontos vizinhos sobre a superf´ıcie. Analogamente, um mı´nimo
relativo ou mı´nimo local de f(x, y) e´ o fundo de um vale, um ponto que esta´ mais
baixo do que qualquer ponto vizinho da superf´ıcie. Por exemplo, na Figura 4.6 temos que
o ponto P = (a, b) apresenta um ma´ximo relativo no ponto (a, b, f(a, b)) da superf´ıcie e o
ponto Q = (c, d) apresenta um mı´nimo relativo no ponto (c, d, f(c, d)) da superf´ıcie.
Figura 4.6: Interpretac¸a˜o geome´trica para ma´ximos e mı´nimos relativos
F. Rivero e T. Salvador 163 Matema´tica para Economia I
4.4. EXTREMOS CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Como ocorre para func¸o˜es de uma varia´vel, os pontos cr´ıticos representam um papel
importante no estudo dos ma´ximos e mı´nimos relativos. Portanto vamos definir o que e´
um ponto cr´ıtico para func¸o˜es de duas varia´veis.
Definic¸a˜o 4.3 Um ponto (a, b) no domı´nio de f(x, y) para o qual fx(a, b) = 0 e fy(a, b) =
0 e´ dito ser um ponto cr´ıtico de f .
Se as derivadas parciais de primeira ordem de f esta˜o definidas em todos os pontos
de alguma regia˜o do plano xy, enta˜o os extremos relativos de f na regia˜o podem ocorrer
somente em pontos cr´ıticos.
Para ver a conexa˜o entre pontos cr´ıticos e extremos relativos, vamos dar uma olhada na
Figura 4.7. Suponha que f(x, y) tem um ma´ximo relativo no ponto (a, b). Desse modo,
a curva formada pela intersec¸a˜o da superf´ıcie z = f(x, y) com o plano vertical y = b
tem um ma´ximo relativo e, portanto, uma tangente horizontal na reta x = a. Como a
derivada parcial fx(a, b) e´ a inclinac¸a˜o desta reta tangente (lembrar Figura 4.4, pa´g. 154),
segue que fx(a, b) = 0. Da mesma forma, a curva formada pela intersec¸a˜o da superf´ıcie
z = f(x, y) e o plano x = a tem um ma´ximo relativo em y = b, e assim fy(a, b) = 0.
Figura 4.7: Derivadas parciais e pontos cr´ıticos
Embora todos os extremos relativos de uma func¸a˜o devam ocorrer em ponto cr´ıticos,
nem todos os pontos cr´ıticos sa˜o necessariamente extremos relativos. Considere, por
exemplo a func¸a˜o f(x, y) = y2 − x2, cujo gra´fico se assemelha a uma sela (ver Figura
4.8). Neste caso, fx(0, 0) = 0 porque a superf´ıcie tem um ma´ximo relativo (e assim uma
tangente horizontal) “na direc¸a˜o x”, e fy(0, 0) = 0 porque a superf´ıcie tem um mı´nimo (e
assim uma tangente horizontal) “na direc¸a˜o y”. Desta forma, o ponto (0, 0) e´ um ponto
cr´ıtico da func¸a˜o f , mas na˜o e´ um extremo relativo porque na˜o nem um ma´ximo nem um
mı´nimo. Esses pontos sa˜o chamados de ponto de sela.
F. Rivero e T. Salvador 164 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.4. EXTREMOS
Figura 4.8: Ponto de sela
4.4.1 O teste da Derivada Segunda
Vamos generalizar o teste mostrado para func¸o˜es de uma varia´vel para decidir se um ponto
cr´ıtico e´ um ma´ximo ou um mı´nimo local de uma func¸a˜o de duas varia´veis.
Teorema 4.4 (Teste da Derivada Segunda) Suponha que (a, b) seja um ponto cr´ıtico
da func¸a˜o f : R× R→ R. Seja
D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a,b)− [fxy(a, b)]2.
Logo
1. Se D(a, b) < 0, enta˜o f tem um ponto de sela.
2. Se D(a, b) > 0,
2.1) se fxx(a, b) < 0, enta˜o f tem um ma´ximo relativo em (a, b).
2.2) se fxx(a, b) > 0, enta˜o f tem um mı´nimo relativo em (a, b).
3. Se D(a, b) = 0, o teste e´ inconclusivo e a func¸a˜o pode ter tanto um extremo relativo
quanto um ponto de sela em (a, b).
F. Rivero e T. Salvador 165 Matema´tica para Economia I
4.4. EXTREMOS CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Exemplo 4.19 Classifique os pontos cr´ıticos das seguintes func¸o˜es.
1. f(x, y) = x2 + y2.
Soluc¸a˜o: (ver Figura 4.9) Primeiro vamos achar os pontos cr´ıticos para f(x, y).
Portanto vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como fx = 2x e
fy = 2y, o u´nico ponto cr´ıtico de f e´ (0, 0). Para testar este ponto usamos o teste
da derivada segunda.
D = fxx(0, 0)fyy(0, 0)− [fxy(0, 0)]2 = 2 · 2− 02 = 4.
Isto e´, D = 4 > 0 para todo ponto (x, y) e, em particular, para (0, 0). Logo, f tem
um extremo relativo em (0, 0). Mais ainda, como fxx(0, 0) = 2 > 0, segue-se que o
extremo relativo em (0, 0) e´ um mı´nimo relativo.
Figura 4.9: Mı´nimo local de z = x2 + y2
2. f(x, y) = y2 − x2.
Soluc¸a˜o: (ver Figura 4.8, pa´g. 165) Como fx = −2x e fy = 2y, o u´nico ponto
cr´ıtico de f e´ (0, 0). Para testar ese ponto, usamos o teste da derivada segunda.
D(0, 0) = fxx(0, 0)fyy(0, 0)− [fxy(0, 0)]2 = −2 · 2− 02 = −4.
Ou seja, D(0, 0) = −4 < 0 para todo ponto (x, y) e, em particular, para (0, 0). Logo,
f tem um ponto de sela em (0, 0).
F. Rivero e T. Salvador 166 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.4. EXTREMOS
3. f(x, y) = x3 − y3 + 6xy.
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos achar os pontos cr´ıticos para f(x, y). Portanto vamos
calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como fx = 3x
2 + 6y e fy =
−3y2 + 6x, encontramos os pontos cr´ıticos de f atrave´s da soluc¸o˜es simultaˆneas das
duas equac¸o˜es {
3x2 + 6y = 0
− 3y2 + 6x = 0.
Da primeira equac¸a˜o obtemos y = −x
2
2
, e substituindo na segunda obtemos
−3x
4
4
+ 6x = 0 ou − x(x3 − 8) = 0.
As soluc¸o˜es da equac¸a˜o sa˜o x = 0 e x = 2. Substituindo os valores na equac¸a˜o
y = −x
2
2
, obtemos as correspondentes coordenadas y para as coordenadas x achadas.
Assim, temos que para x = 0 o valor de y e´ 0, e para x = 2 o valor de y e´ −2.
Segue-se que os pontos cr´ıticos de f sa˜o (0, 0) e (2,−2).
As derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) sa˜o:
fxx = 6x, fyy = −6y, fxy = 6.
Dessa forma,
D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2 = −36xy − 36 = −36(xy + 1).
Como D(0, 0) = −36 < 0, o ponto (0, 0) e´ um ponto de sela para f .
Como D(2,−2) = −36(−4 + 1) = 108 > 0 e fxx(2,−2) = 6 · 2 = 12 > 0, enta˜o f
tem um mı´nimo relativo no ponto (2,−2).
No pro´ximo exemplo vamos ver como aplicar a teoria dos extremos relativos para
resolver problemas de otimizac¸a˜o em Economia.
Exemplo 4.20 A u´nica mercearia em uma pequena comunidade rural vende duas marcas
de suco de laranja congelado, uma marca local, que ela obte´m ao custo unita´rio de 30
centavos, e uma marca nacional famosa, que ela obte´m ao custo unita´rio de 40 centavos.
O comerciante estima que, se a marca local for vendida a x centavos a lata, e a nacional a
y centavos, aproximadamente 70−5x+ 4y latas de marca local e 80 + 6x−7y da nacional
sera˜o vendidas a cada dia. Que prec¸o o comerciante deve utilizar para cada marca para
maximizar o lucro das vendas de suco de laranja? (Suponha que o ma´ximo absoluto e o
ma´ximo relativo da func¸a˜o lucro sa˜o os mesmos).
Soluc¸a˜o: Como
F. Rivero e T. Salvador 167 Matema´tica para Economia I
4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Lucro Total = Lucro da venda da marca local + Lucro da venda da marca nacional
Seque-se que o lucro dia´rio total da venda de suco de laranja e´ dado pela func¸a˜o
f(x, y) = (70− 5x+ 4y)(x− 30) + (80 + 6x− 7y)(y − 40)
= −5x2 + 10xy − 20x− 7y2 + 240y − 5300
Calculando as derivadas parciais da func¸a˜o f
fx = −10x+ 10y − 20, fy = 10x− 14y + 240.
Fazendo-as iguais a zero, obtemos
−10x+ 10y − 20 = 0, 10x− 14y + 240 = 0,
ou
−x+ y = 2, 5x− 7y = 120.
Logo, resolvendo as equac¸o˜es simultaneamente chegamos para x = 53 e y = 55. Segue-se
que o u´nico ponto cr´ıtico de f e´ (53, 55).
Agora usamos o Teste da Derivada Segunda para calcular o valor de D(x, y). Assim,
fxx = −10, fyy = −14, fxy = 10
e
D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2 = −10(−14)− 102 = 40, para tudo (x, y)
Como D(53, 55) = 40 > 0 e fx(53, 55) = −10 < 0, enta˜o f tem um ma´ximo (relativo) em
x = 53 e y = 55.
Resposta: A mercearia pode maximizar seu lucro vendendo a marca local de suco por
53 centavos a lata e marca nacional por 55 centavos a lata.
4.5 Multiplicadores de Lagrange
Suponha que um editor, condicionado a se manter dentro de um orc¸amento fixo de
$60.000, pode querer decidir como dividir essa quantia entre desenvolvimento e promoc¸a˜o,
de maneira a maximizar as futuras vendas de um novo livro. Se x denota a quantia alocada
para desenvolvimento, y a quantia alocada para promoc¸a˜o e f(x, y) o correspondente
nu´mero de livros que sera˜o vendido, o editor gostaria maximizar a func¸a˜o de vendas f(x, y)
sujeita a condic¸a˜o x+y = 60000. Neste caso precisamos obter o ma´ximo da func¸a˜o sujeita
a uma condic¸a˜o ou restric¸a˜o sobre as varia´veis. Para resolver estes problemas vamos usar
o me´todo dos multiplicadores de Lagrange, no qual a introduc¸a˜o de uma terceira varia´vel
permite resolver problemas de otimizac¸a˜o condicionados sem ter que resolver primeiro a
equac¸a˜o de restric¸a˜o para uma das varia´veis.
F. Rivero e T. Salvador 168 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
O Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange
Suponha que f(x, y) e g(x, y) sejam func¸o˜es cujas derivadas parciais de primeira ordem
existam. Para encontrar um ma´ximo e mı´nimo relativos de f(x, y), sujeitos a` restric¸a˜o
de que g(x, y) = k para alguma constante k, introduza uma nova varia´vel λ e resolva as
seguintes treˆs equac¸o˜es simultaneamente:
fx(x, y) = λgx(x, y)
fy(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = k
Se o extremo relativo procurado existir, ele sera´ encontrado entre as soluc¸o˜es resultantes
(x, y) destas equac¸o˜es.
Observac¸a˜o: Apesar de ser λ uma nova varia´vel, seu valor na˜o e´ importante para
obter os pontos cr´ıticos, portanto nem sempre precisaremos achar seu valor.
Exemplo 4.21 Encontre os valores ma´ximos e mı´nimos da func¸a˜o f(x, y) = xy, subme-
tida a` restric¸a˜o x2 + y2 = 8.
Soluc¸a˜o: Seja g(x, y) = x2 + y2. Para obter as treˆs equac¸o˜es de Lagrange precisamos
calcular as derivadas parciais das func¸o˜es f e g:
fx = y, fy = x, gx = 2x, gy = 2y.
Assim, 
fx(x, y) = λgx(x, y)
fy(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = k
⇒

y = 2λx
x = 2λy
x2 + y2 = 8
Nem x nem y podem ser nulos se essas treˆs equac¸o˜es sa˜o va´lidas e enta˜o podemos escrever
as duas primeiras equac¸o˜es como
2λ =
y
x
, 2λ =
x
y
,
o que implica que
y
x
=
x
y
ou x2 = y2. Agora, substituindo x2 = y2 na terceira equac¸a˜o de
Lagrange obtemos 2x2 = 8, o que implica x = ±2.
Se x = 2, segue-se da equac¸a˜o x2 = y2 que y = 2 ou y = −2. Analogamente, se
x = −2, enta˜o y = 2 ou y = −2. Portanto temos quatro pontos nos quais os extremos
condicionados podem ocorrer: (2, 2), (2,−2), (−2, 2) e (−2,−2). Como
f(2, 2) = f(−2,−2) = 4, f(2,−2) = f(−2, 2) = −4,
tem-se que quando x2 + y2 = 8 o valor ma´ximo para f(x, y) e´ 4, que ocorre nos pontos
(2, 2) e (−2,−2) e o valor mı´nimo de f(x, y) e´ −4, que ocorre nos pontos (2,−2) e (−2, 2).
F. Rivero e T. Salvador 169 Matema´tica para Economia I
4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Exemplo 4.22 Encontre todos os pontos cr´ıticos e os valores ma´ximos e mı´nimos da
func¸a˜of(x, y) = 3x2 − 2xy + 5y2 sujeita a` restric¸a˜o x2 + 2y2 = 6.
Soluc¸a˜o: Seja g(x, y) = x2 + 2y2. Calculamos as derivadas parciais de f e de g para
obter as equac¸o˜es de Lagrange,
fx = 6x− 2y, fy = 10y − 2x, gx = 2x, gy = 4y.
Assim,
fx(x, y) = λgx(x, y)
fy(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = k
⇒

6x− 2y = 2λx
10y − 2x = 4λy
x2 + 2y2 = 6
⇔

3x− y = λx
5y − x = 2λy
x2 + 2y2 = 6
Resolvendo a primeira equac¸a˜o para y e a segunda para x obtemos
y = x(3− λ), (4.1)
x = y(5− 2λ). (4.2)
Substituindo a varia´vel y na equac¸a˜o (4.2) obtemos
x = x(3− λ)(5− 2λ)
e, portanto
(2λ2 − 11λ+ 14)x = 0.
Analogamente, substituindo x da equac¸a˜o (4.2) na equac¸a˜o (4.1) temos,
y = y(5− 2λ)(3− λ)
e, portanto
(2λ2 − 11λ+ 14)y = 0.
Como nem x nem y podem ser nulos pela restric¸a˜o x2 + 2y2 = 6, enta˜o o coeficiente
2λ2 − 11λ+ 14 nas equac¸o˜es anteriores precisa ser zero, logo
2λ2 − 11λ+ 14 = 0, ou
(
λ− 7
2
)
(λ− 2) = 0.
Assim, λ =
7
2
ou λ = 2.
Fazendo λ =
7
2
e substituindo na equac¸a˜o y = x(3− λ), encontramos que
y = −x
2
se λ =
7
2
.
F. Rivero e T. Salvador 170 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Substituindo y = −x
2
na equac¸a˜o x2 + 2y2 = 6, obtemos x2 +
x2
2
= 6, ou seja, x = ±2.
Quando x = 2, y = −1 e quando x = −2, y = −1.
Analogamente, fazendo λ = 2 e substituindo na equac¸a˜o y = x(3 − λ), encontramos
que
y = x se λ = 2.
Substituindo y = x na equac¸a˜o x2 + 2y2 = 6, obtemos x2 + 2x2 = 6, ou seja, x = ±√2.
Quando x =
√
2, y =
√
2 e quando x = −√2, y = −√2.
Portanto, os pontos cr´ıticos procurados sa˜o (2,−1), (−2, 1), (√2,√2) e (−√2,−√2).
Vamos calcular o valor de f(x, y) nesses pontos
f(2,−1) = f(−2, 1) = 21, f(
√
2,
√
2) = f(−
√
2,−
√
2) = 12.
Logo, o valor ma´ximo de f(x, y) sujeita a` restric¸a˜o x2 + 2y2 = 6 e´ 21, que ocorre nos
pontos (2,−1) e (−2, 1), e o valor mı´nimo de f(x, y) sujeita a` restric¸a˜o x2 + 2y2 = 6 e´
12, que ocorre nos pontos
(√
2,
√
2
)
e
(−√2,−√2).
Vamos ver treˆs aplicac¸o˜es dos Multiplicadores de Lagrange para Economia.
Exemplo 4.23 Um editor alocou R$60.000 para gastar em desenvolvimento e promoc¸a˜o
de um novo livro. Estima-se que, se x mil reais em desenvolvimento e y mil em promoc¸a˜o,
aproximadamente 20x
3
2y exemplares do livro sera˜o vendidos. Quanto deveria o editor
alocar para desenvolvimento e quanto para promoc¸a˜o de modo a maximizar as vendas?
Soluc¸a˜o: A meta e´ maximizar a func¸a˜o f(x, y) = 20x
3
2y sujeita a` restic¸a˜o g(x, y) =
60 onde g(x, y) = x+ y. As equac¸o˜es de Lagrange correspondentes sa˜o
fx(x, y) = λgx(x, y)
fy(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = k
⇒

30x
1
2y = λ
20x
3
2 = λ
x+ y = 60
Das duas primeiras equac¸o˜es obtemos
30x
1
2y = 20x
3
2
Se x = 0, enta˜o λ = 0 e y = 60. Vamos supor que x 6= 0. Logo, dividindo ambos os lados
dessa equac¸a˜o por 30x
1
2 ,
y =
2
3
x.
Substituindo esta expressa˜o na terceira equac¸a˜o, tem-se
x+
2
3
x = 60 ⇒ 5
2
x = 60,
F. Rivero e T. Salvador 171 Matema´tica para Economia I
4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
da qual segue-se que x = 36 e y = 24. Logo temos dois pontos cr´ıticos: (0, 60) e (36, 24).
Como f(0, 60) = 0 e f(36, 24) = 103680, temos que a func¸a˜o f(x, y) sujeita a` restric¸a˜o
g(x, y) tem um ma´ximo no ponto (36, 24) com valor de 103.680.
Resposta: Para maximizar as vendas, o editor deve gastar $36.000 em desenvolvimento
e $24.000 em promoc¸a˜o para obter um ma´ximo de vendas de 103.680 exemplares do livro.
Exemplo 4.24 Um produtor de ketchup orga´nico quer maximizar o lucro das vendas de
suas duas variedades de ketchup: o pote normal de 220ml e o grande de 330ml. O prec¸o
de cada um e´ de R$16, 00 para o primeiro e de R$26, 00 para o segundo. A tabela abaixo
mostra as vendas do produtor nos u´ltimos 11 meses.
220ml 35 46 23 56 42 57 23 29 31 6 25
330ml 15 7 5 9 18 11 8 10 12 4 9
O produtor decidiu na˜o producir mais de 40 potes de 220ml e 12 de 330ml por meˆs.
Quantos potes de cada tipo precisa vender para maximizar o lucro das vendas?
Soluc¸a˜o: Para poder trabalhar com os multiplicadores de Lagrange precisamos da
func¸a˜o a otimizar e da restric¸a˜o. Neste caso, chamando de x ao nu´mero de potes de
220ml e y ao nu´mero de potes de 330ml, a func¸a˜o lucro seria L(x, y) = 16x+ 26y. Para
obter uma func¸a˜o de restric¸a˜o, vamos usar parte da tabela acima. Como o produtor na˜o
quer fabricar mais de 40 e 12 potes por meˆs respetivamente, enta˜o os dados que usaremos
sa˜o os seguintes:
220ml 23 23 29 31 25
330ml 5 8 10 12 9
onde tambe´m tiramos o ponto (6, 4) pois na˜o reflecte uma produc¸a˜o real por meˆs. Da´ı,
podemos calcular uma func¸a˜o que aproxime esses valores como uma coˆnica que pase por
esses cinco pontos4, obtendo a equac¸a˜o 5x2 − 16xy + 12y2 − 120x + 212y = −595. Na
Figura 4.10 podemos observar os pontos da tabela, a coˆnica e as restric¸o˜es.
Portanto a func¸a˜o restric¸a˜o para o problema e´ g(x, y) = 5x2−16xy+12y2−120x+212y.
Vamos a determinar as derivadas parciais das func¸o˜es L e g.
Lx = 16, Ly = 26, gx = 10x− 16y − 120, gy = 24y − 16x+ 212
4Existem va´rios me´todos para aproximar pontos usando func¸o˜es cont´ınuas mas esses me´todos ficam
fora do conteu´do destas notas.
F. Rivero e T. Salvador 172 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Figura 4.10: Restric¸a˜o para os cinco pontos da segunda tabela do problema. Nesta caso
temos uma coˆnica degenerada formada por dois retas secantes.
Logo,
Lx(x, y) = λgx(x, y)
Ly(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = k
⇒

16 = λ(10x− 16y − 120)
26 = λ(24y − 16x+ 212)
5x2 − 16xy + 12y2 − 120x+ 212y = −595
Enta˜o, resolvendo para λ nas duas primeiras equac¸o˜es e igualando, tem-se
10x− 16y − 120
16
=
24y − 16x+ 212
26
⇒ y = 129
200
x− 407
50
.
Colocando esse valo na restric¸a˜o e usando ferramentas computacionais como o Wol-
fram Alpha [Link] obtemos que x = 32. Para o valor da y,
y =
129
200
x− 407
50
=
129× 32
200
− 407
50
=
601
50
= 12.02
Como na˜o podemos fabricar frac¸a˜o de um pote, vamos tomar o ponto (32, 12) como
ponto cr´ıtico. Colocando o valor na func¸a˜o lucro, obtemos L(32, 12) = 848. Para saber
se o ponto cr´ıtico e´ ma´ximo ou mı´nimo, vamos comparar o valor com outro ponto como
outro ponto da restric¸a˜o como por exemplo (7, 0). Da´ı, L(7, 0) = 112 < 848 = L(32, 12).
F. Rivero e T. Salvador 173 Matema´tica para Economia I
4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Portanto o ponto (32, 12) e´ um ponto de ma´ximo e o valor ma´ximo de L(x, y) sujeita a`
restric¸a˜o g(x.y) = −595 e´ de 848.
Resposta: Para maximizar o lucro das vendas de ketchup em func¸a˜o da restric¸a˜o obtida
pelos dados de venda, o produtor precisa fabricar 32 potes de 220ml e 12 de 330ml.
Exemplo 4.25 Um consumidor tem $600 para gastar em dois produtos, o primeiro dos
quais custa $20 por unidade e o segundo, $30 por unidade. Suponha que a utilidade
do consumidor proveniente de x unidades do primeiro produto e y unidades do segundo
produto seja dada pela func¸a˜o de utilidade de Cobb-Douglas U(x, y) = 10x0.6y0.4. Quantas
unidades de cada produto deve o consumidor comprar para maximizar sua utilidade?
Soluc¸a˜o: O custo total de comprar x unidades do primeiro produto a $20 cada e y de
segundo a $30 cada e´ g(x, y) = 20x + 30y. Como o consumidor tem somente $600 para
gastar, a meta e´ maximizar a func¸a˜o U(x, y) = 10x0.6y0.4 sujeita a` restric¸a˜o g(x, y) = 600.
As treˆs equac¸o˜es de Lagrange sa˜o
fx(x, y) = λgx(x, y)
fy(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = k
⇒

6x−0.4y0.4 = 20λ
4x0.6y−0.6 = 30λ
20x+ 30y = 600Se x = 0, enta˜o λ = 0 e 30y = 600 ou y = 20. Se y = 0, enta˜o λ = 0 e 20x = 600 ou
x = 30. Logo obtemos dois pontos cr´ıticos de f(x, y): (0, 20) e (30, 0).
Suponhamos que x 6= 0 e y 6= 0, enta˜o das duas primeiras equac¸o˜es de Lagrange
obtemos
6x−0.4y0.4
20
=
4x0.6y−0.6
30
9x−0.4y0.4 = 4x0.6y−0.6
9y = 4x ⇒ y = 4
9
x.
Substituindo esta na terceira equac¸a˜o,
20x+
4
9
x = 600,
da qual segue-se que x = 18 e y = 8 e obtemos o terceiro ponto cr´ıtico, (18, 8). Os valores
da func¸a˜o utilidade U(x, y) para os treˆs pontos cr´ıticos sa˜o
U(0, 20) = U(30, 0) = 0, U(18, 8) = 10(18)0.6(8)0.4 ' 130, 137.
Logo, U(x, y) sujeito a` restric¸a˜o 20x + 30y = 600 tem um valor ma´ximo de aproximada-
mente 130, 137 no ponto (18, 8).
F. Rivero e T. Salvador 174 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Resposta: Para maximizar a sua utilidade, o consumidor deve comprar 18 unidades do
primeiro produto e 8 unidades do segundo.
Podemos aplicar o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange de uma forma mais geral
para as func¸o˜es de Cobb-Douglas. Seja uma Func¸a˜o de Cobb-Douglas geral com a forma
Q(K,L) = AKαL1−α onde 0 < α < 1 e submetida a` restric¸a˜o g(K,L) = M . O sistema
de Lagrange neste caso e´
QK(K,L) = λgK(K,L)
QL(K,L) = λgL(K,L)
g(K,L) = M
⇒

AαKα−1L1−α = λgK(K,L)
A(1− α)KαL−α = λgL(K,L)
g(K,L) = M
Fazendo o quociente entre a primeira e a segunda equac¸a˜o obtemos
AαKα−1L1−α
A(1− α)KαL−α =
λgK(K,L)
λgL(K,L)
��Aα
��A(1− α)K
�α−1−�αL1−�α+�α =
λgK(K,L)
λgL(K,L)
α
1− α
L
K
=
λgK(K,L)
λgL(K,L)
.
Logo, resolvendo para L,
L =
1− α
α
gK
gL
K.
Portanto, temos um novo sistema na˜o linear de duas equac¸o˜es a resolverL =
1− α
α
gK
gL
K
g(K,L) = M
(4.3)
No exemplo 4.25, podemos aplicar o sistema (4.3) mudando o nome das varia´veis
(x = K e y = L) e onde α = 0.6, g(K,L) = 20K + 30L e M = 600. Logo,L =
1− α
α
gK
gL
K
g(K,L) = M
⇒
L =
0.4
0.6
20
30
K =
4
9
K
20K + 30L = 600,
chegando ate´ o mesmo resultado.
F. Rivero e T. Salvador 175 Matema´tica para Economia I
4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
Relac¸a˜o de exerc´ıcios - 4: Func¸o˜es de va´rias varia´veis
1. Especifique o domı´nio das seguintes func¸o˜es e calcule os valores indicados
(a) f(x, y) = (1− x)2 + 2xy3;
f(2,−1), f(1, 2).
(b) g(x, y) =
3x+ 2y
2x+ 3y
;
g(1, 2), g(−4, 6).
(c) h(u, v) =
√
v2 − u2;
h(4, 5), h(−1, 2).
(d) f(t, s) = 10t
1
2 s
2
3 ;
f(16, 27), f(4, 0).
(e) k(x, y) =
x
ln y
;
k(−1, e3), k(ln 9, e2).
(f) h(u,w) =
euw
2− euw ;
h(1, 0), h(ln 2, 2).
2. Usando x trabalhadores especializados e y trabalhadores na˜o-especializados, um
fabricante pode fazer Q(x, y) = 10x2y unidades por dia, onde a func¸a˜o Q e´ uma
func¸a˜o de Cobb-Douglas. Atualmente ha´ 20 trabalhadores especializados e 40 na˜o-
especializados no trabalho.
(a) Quantas unidades esta˜o sendo atualmente produzidas por dia?
(b) De quanto o n´ıvel de produc¸a˜o dia´ria mudara´ se 1 trabalhador especializado
for adicionado a` atual ma˜o-de-obra?
(c) De quanto o n´ıvel de produc¸a˜o dia´ria mudara´ se 1 trabalhador na˜o-especializado
for adicionado a` atual ma˜o-de-obra?
(d) De quanto o n´ıvel de produc¸a˜o dia´rio mudara´ se 1 trabalhador especializado e
1 trabalhador na˜o-especializado forem adicionados +a atual ma˜o-de-obra?
3. A empresa de agricultura Easy-Gro estima que quando 100x trabalhadores-hora
forem empregados em y acres de terra, o nu´mero de sacas de trigo produzidas sera´
de f(x, y) = Axayb, onde A, a e bsa˜o constantes positivas. Suponha que a empresa
decida dobrar os fatores de produc¸a˜o de x e y. Determine como esta decisa˜o afetara´
a produc¸a˜o de trigo em cada um dos seguintes casos:
(a) a+ b > 1.
(b) a+ b < 1.
(c) a+ b = 1.
F. Rivero e T. Salvador 176 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
4. Calcule as derivadas de primeira ordem das func¸o˜es:
(a) f(x, y) = 2xy5 + 3x2y + x2
(b) z = 5x2y + 2xy3 + 3y2
(c) f(s, t) =
3t
2s
(d) z =
t2
s3
(e) z = xexy
(f) f(x, y) =
e2−x
y2
(g) f(u, v) = u ln(uv)
(h) z =
ln v
u2 + 2
5. Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das func¸o˜es:
(a) f(x, y) = 5x4y3 + 2xy
(b) g(x, y) =
x+ 1
y − 1
(c) h(x, y) = eyx
2
(d) z = ln(u2 + v2)
(e) z =
√
s2 + t2
(f) z = x2yex
(g) g(u, v) = eu sen v + ev senu
(h) f(x, y) = ln(x2 + y2)
6. Use a Primeira Regra da Cadeira para encontrar
dz
dt
e verifique sua resposta es-
crevendo explicitamente z em func¸a˜o de t e derivando diretamente em relac¸a˜o a
t.
(a) z = x+ 2y;x = 3t, y = 2t+ 1
(b) z = 3x2 + xy;x = t+ 1, y = 1− 2t
(c) z =
x
y
;x = t2, y = 3t
(d) z =
y
x
;x = 2t, y = t3
(e) z =
x+ y
x− y ;x = t
3 + 1, y = 1− 3t
(f) z = (2x+ 3y)2;x = 2t, y = 3t
(g) z = (x+ y2)3;x = t2, y = 2t
(h) z = xy;x = et, y = e−t
(i) z = ex
2y;x = sen t, y = cos t
(j) z = ln(x3 + y3);x = e3t, y = e−7t
7. Use a Segunda Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais das seguintes
func¸o˜es
(a) z = 3x2 − 4y2;x = uv, y = cosu+ sen v
(b) w = u2 − uv + 5v2;u = x cos(2y), v = x sen (2y)
(c) z = 4x3 − 3(xy)2;x = u cos v, y = v senu
(d) w = ln(u2 + v2);u = x2 + y2, v = 2x2 + 3xy
(e) z = e
s
t ; s = xy2, t = 5x+ 2y3
(f) F (r, s) = f(g(u, v), h(u, v)); f(x, y) = exy
2
, g(u, v) = u2v, h(u, v) = uv2
F. Rivero e T. Salvador 177 Matema´tica para Economia I
4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
8. Nas seguintes func¸o˜es, considere que a varia´vel y seja dada implicitamente como
uma func¸a˜o diferencia´vel g de x pela equac¸a˜o f(x, y) = 0. Use a derivac¸a˜o impl´ıcita
para calcular
dy
dx
nos pontos indicados.
(a) 6x2 − 12xy + 4y2 = −2; (1, 1).
(b) (x2 − y2)2 = x2y2 + 55; (3, 1).
(c) sen (x− y) + cos(x+ y) = 0;
(pi
4
,
pi
4
)
.
9. Dadas as seguintes func¸o˜es, encontre os pontos cr´ıticos e classifique cada um como
um ma´ximo relativo, um mı´nimo relativo ou um ponto de sela.
(a) f(x, y) = 5− x2 − y2
(b) g(u, v) = 2u2 − 3v3
(c) f(t, s) = ts
(d) h(x, y) = x2 + 2y2 − xy + 14y
(e) h(u, t) =
1
u
+
1
t
+
1
u+ t
(f) g(a, b) = ab+
8
a
+
8
b
(g) f(x, y) = 2x3+y3+3x2−3y−12x−4
(h) g(u, v) = senu+ sen v + cos(u+ v)
(i) k(u, v) = (x−1)2 +y3−3y2−9y+5
(j) g(a, b) = (a2 + 2b2)e1−a
2−b2
(k) h(a, b) = a ln
(
b2
a
)
+ 3a− ab2
(l) f(x, y) = x sen y
10. Um fabricante produz dois tipos de liga nas quantidades de x e y toneladas, respec-
tivamente. Se o custo total e´ expressado pela func¸a˜o C(x, y) = x2 + 100x+ y2 − xy
e a renda total e´ dada pela func¸a˜o R(x, y) = 100x − x2 + 2000y + xy, encontre o
nivel de produc¸a˜o que maximiza o lucro.
11. Uma loja de camisetas vende duas marcas concorrentes, uma assinada por Anderson
Vareja˜o e outra assinada por Pau Gasol. O proprieta´rio da loja pode obter ambas
as grifes ao custo de $2 por camiseta, e estima que se as camisetas de Vareja˜o
forem vendidas por x do´lares cada e as camisetas de Gasol por y do´lares cada, os
consumidores comprara˜o aproximadamente 40 − 50x + 40y camisetas de Vareja˜o e
20+60x−70y camisetas de Gasol por dia. Por quanto o proprieta´rio deveria vender
cada camiseta de modo a gerar o ma´ximo lucro poss´ıvel?
12. Um fabricante com direitos exclusivos de uma nova ma´quina industrial planeja ven-
der um nu´mero limitado delas e estima que, se x ma´quinas forem suplidas para o
mercado dome´stico e y para o exterior, as ma´quinas sera˜o vendidas por 150− x
6
mil
u.m. cada internamente e por 100− y
20
mill u.m. cada para exportac¸a˜o.
(a) Quantas ma´quinas deve o produtor suprir para o mercado dome´sticode forma
a gerar o maior lucro internamente?
F. Rivero e T. Salvador 178 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS 4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
(b) Quantas ma´quinas deve o produtor suprir para o mercado externo de forma a
gerar o maior lucro poss´ıvel de exportac¸a˜o?
(c) Quantas ma´quinas deve o produtor suprir para cada mercado de forma a gerar
um lucro total ma´ximo?
(d) A relac¸a˜o entre as respostas dos itens anteriores e´ acidental? Explique.
13. Usar o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos indica-
dos para cada uma das seguintes func¸o˜es. Pode supor que o extremo existe em cada
caso.
(a) Encontre o valor ma´ximo de f(x, y) = xy, sujeito a` restric¸a˜o x+ y = 1.
(b) Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo de f(x, y) = xy, sujeito a` restric¸a˜o
x2 + y2 = 1.
(c) Encontre o valor mı´nimo de f(x, y) = x2 + y2, sujeito a` restric¸a˜o xy = 1.
(d) Encontre o valor mı´nimo de f(x, y) = x2 +2y2−xy, sujeito a` restric¸a˜o 2x+y =
22.
(e) Encontre o valor mı´nimo de f(x, y) = x2 − y2, sujeito a` restric¸a˜o x2 + y2 = 4.
(f) Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo de f(x, y) = 8x2 − 24xy + y2, sujeito a`
restric¸a˜o 8x2 + y2 = 1.
(g) Encontre o valor ma´ximo de f(x, y) = xy2, sujeito a` restric¸a˜o x+ y = 1.
14. Encontre todos os pontos cr´ıticos de cada uma das func¸o˜es seguintes sujetas a`s
restric¸o˜es indicadas.
(a) f(x, y) = x2 − y2 − y com a restric¸a˜o x2 + y2 = 1.
(b) f(x, y) = 3x2 + 2
√
2xy + 4y2 com a restric¸a˜o x2 + y2 = 9.
(c) f(x, y) = x2 + y2 com a restric¸a˜o 5x2 + 6xy + 5y2 = 8.
(d) f(x, y) = x2 + y2 com a restric¸a˜o 2x2 + y2 = 1.
(e) f(x, y) = x+ y2 com a restric¸a˜o 2x2 + y2 = 1.
15. Encontre dois nu´meros na˜o-negativos a e b tais que a + b = 100 e seu produto sea
o maior poss´ıvel.
16. De acordo com as normas do correio norte-americano, o per´ımetro de uma sec¸a˜o
reta mais o comprimento dos pacotes enviados na quarta classe na˜o podem exceder
108 polegadas.
(a) Qual e´ o volume ma´ximo poss´ıvel de um pacote retangular de sec¸a˜o quadrada
que pode ser enviado na quarta clase?
F. Rivero e T. Salvador 179 Matema´tica para Economia I
4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPI´TULO 4. VA´RIAS VARIA´VEIS
(b) Qual e´ o maior volume de um cilindro que pode ser enviado pela quarta classe?
(Um cilindro de raio r e cumprimento h tem volume pihr2.)
17. Um fabricante planeja vender um novo produto ao prec¸o unita´rio de $150, e estima
que, se x mil u.m. forem gastas em desenvolvimento e y mil u.m. em propa-
ganda, aproximadamente
320y
y + 2
+
160x
x+ 4
unidades do produto sera˜o vendidas. O
custo unita´rio de fabricar o produto e´ de $50. Se o fabricante tem um total de
$8.000 para gastar em desenvolvimento e propaganda, como debe esta quantia ser
dividida para gerar un lucro ma´ximo? [Dica: Lucro = (nu´mero de unidades)(prec¸o
unita´rio-custo unita´rio)-quantia total gasta em desenvolvimento e propaganda].
F. Rivero e T. Salvador 180 Matema´tica para Economia I
Revisa˜o
1 A´lgebra ba´sica
1.1 Produtos Nota´veis
• Quadrado da soma de dois termos: (a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab.
• Quadrado da diferenc¸a de dois termos: (a− b)2 = a2 + b2 − 2ab.
• Produto da soma pela diferenc¸a de dois termos: (a+ b)(a− b) = a2 − b2.
• Cubo da soma de dois termos (a+ b)3 = (a+ b)2(a+ b) = a3 + b3 + 3a2b+ 3ab2
• Cubo da diferenc¸a de dois termos (a− b)3 = (a− b)2(a− b) = a3 − b3 − 3a2b+ 3ab2
1.2 Fatorac¸a˜o de expresso˜es alge´bricas
Fatorar uma expressa˜o alge´brica significa escreveˆ-la na forma de um produto de dois
ou mais termos (fatores). A fatorac¸a˜o e´ usada para simplificar expresso˜es e para resolver
equac¸o˜es e se baseia na lei da distributividade da multiplicac¸a˜o. Alguns dos me´todos de
fatorac¸a˜o de expresso˜es alge´bricas sa˜o:
• Fator comum.
Exemplo R.1 Vamos fatorar 4x4 + 8x3. Como os dois termos dessa expressa˜o
sa˜o divis´ıveis por 4x4, podemos usar a lei da distributividade para colocar 4x3 “em
evideˆncia” e escrever
4x4 + 8x3 = 4x3(x+ 2).
Exemplo R.2 Seja agora 10(x − 5)4(x + 1)4 + 8(x + 1)5(x − 5)3. Os dois termos
sa˜o divis´ıveis por 2(x− 5)3(x+ 1)4. Colocando esse fator em evideˆncia temos
10(x− 5)4(x+ 1)4 + 8(x+ 1)5(x− 5)3 = 2(x− 5)3(x+ 1)4[5(x− 5) + 4(x+ 1)].
181
1. A´LGEBRA BA´SICA REVISA˜O
Efetuamos os produtos nos termos entre colchetes e reduzimos os termos semelhantes
para chegar ao resultado final,
10(x− 5)4(x+ 1)4 + 8(x+ 1)5(x− 5)3 = 2(x− 5)3(x+ 1)4(9x− 21)
• Agrupamento.
Exemplo R.3 Fatore ax− bx+ 2a− 2b.
Enta˜o,
ax− bx+ 2a− 2b = x(a− b) + 2(a− b) = (a− b)(x+ 2).
• Diferenc¸a de dois quadrados. Pelos produtos nota´veis, tem-se
a2 − b2 = (a+ b)(a− b).
Exemplo R.4 4x2 − 25y2 = (2x+ 5y)(2x− 5y).
• Soma de dois cubos. a3 + b3 = (a+ b)(a2 + b2 − ab).
Exemplo R.5 x3 + 8 = x3 + 23 = (x+ 2)(x2 + 4− 2x).
• Diferenc¸a de dois cubos. a3 − b3 = (a− b)(a2 + b2 + ab).
Exemplo R.6 x3 − 8 = x3 − 23 = (x− 2)(x2 + 4 + 2x).
1.3 Simplificac¸a˜o de expresso˜es alge´bricas por fatorac¸a˜o e can-
celamento
Podemos combinar a fatorac¸a˜o e o cancelamento para simplificar frac¸o˜es alge´bricas
obtendo uma frac¸a˜o mais simples que seja equivalente a` frac¸a˜o dada.
Exemplo R.7
6a2bx
2ab3x
=
3a · 2abx
b2 · 2abx =
3a ·���2abx
b2 ·���2abx =
3a
b2
.
Exemplo R.8
a2 − b2
a2 + 2ab+ b2
=
a2 − b2
(a+ b)2
=
(a+ b)(a− b)
(a+ b)(a+ b)
=
���
�(a+ b)(a− b)
���
�(a+ b)(a+ b)
=
a− b
a+ b
.
Exemplo R.9
10xy
10x2 + 5xy
=
5x · 2y
5x(2x+ y)
=
��5x · 2y
��5x(2x+ y)
=
2y
2x+ y
.
F. Rivero e T. Salvador 182 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 1. A´LGEBRA BA´SICA
1.4 Resoluc¸a˜o e factorac¸a˜o de equac¸o˜es do 2o grau pela fo´rmula
de Ba´skara
E´ poss´ıvel encontrar as soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o do 2o grau da forma ax2 + bx+ c = 0,
com a 6= 0 usando uma expressa˜o conhecida como fo´rmula de Ba´skara:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
.
Exemplo R.10 x2−5x+6 = 0. Temos que a = 1, b = −5 e c = 6. Aplicando a fo´rmula
Ba´skara obtemos:
x =
−(−5)±√25− 24
2
=
5± 1
2
⇒ x1 = 3, x2 = 2.
Neste caso temos duas soluc¸o˜es distintas que chamamos x1 e x2.
Exemplo R.11 4x2 − 4x + 1 = 0. Temos que a = 4, b = −4 e c = 1. Aplicando a
fo´rmula Ba´skara obtemos:
x =
−(−4)±√16− 16
8
=
4± 0
8
⇒ x1 = 1
2
.
Neste caso temos somente uma soluc¸a˜o x1.
Exemplo R.12 x2 + 2x+ 3 = 0. Temos que a = 1, b = 2 e c = 3. Aplicando a fo´rmula
Ba´skara obtemos:
x =
−2±√4− 12
2
=
−2±√−8
2
.
Enta˜o na˜o existem ra´ızes reais.
Toda equac¸a˜o do segundo grau e´ fatorada por suas ra´ızes, se existissem. Se chamamos
por x1 e x2 as soluc¸o˜es da equac¸a˜o ax
2 + bx+ c = 0, enta˜o temos que
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2).
Se a equac¸a˜o tem somente uma soluc¸a˜o x1, ela e´ chamada de soluc¸a˜o dupla e sua factorac¸a˜o
e´:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x1) = a(x− x1)2.
Se a equac¸a˜o na˜o tem soluc¸o˜es reais, enta˜o na˜o ha´ fatorac¸a˜o real poss´ıvel.
F. Rivero e T. Salvador 183 Matema´tica para Economia I
1. A´LGEBRA BA´SICA REVISA˜O
Assim, nos exemplos acima temos:
- Exemplo R.10: x2 − 5x+ 6 = (x− 3)(x− 2)
- Exemplo R.11: 4x2 − 4x+ 1 = 4
(
x− 1
2
)(
x− 1
2
)
= 4
(
x− 1
2
)2
- Exemplo R.12: x2 + 2x+ 3, na˜o ha´ fatorac¸a˜o real poss´ıvel.
1.5 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es por fatorac¸a˜o
A fatorac¸a˜o pode ser usada para resolver certas equac¸o˜es. A te´cnica se baseia no fato
de que se o produto de dois ou mais termos e´ nulo, pelo menos um dos termos deve ser
nulo, isto e´, se ab = 0 devemos ter a = 0 ou b = 0.
Exemplo R.13 x3 + x2 − 4x− 4 = 0. Fatorando obtemos
x3 + x2 − 4x− 4 = x2(x+ 1)− 4(x+ 1) = (x+ 1)(x2 − 4) = (x+ 1)(x+ 2)(x− 2) = 0.
Enta˜o, x+ 1 = 0 ou x+ 2 = 0 ou x− 2 = 0⇒ x = −1 ou x = −2 ou x = 2. Assim temos
treˆs soluc¸o˜es x1 = −1, x2 = −2 e x3 = 2.
ExemploR.14 2x3 + 2x2 − 4x. Fatorando obtemos
2x3 + 2x2 − 4x = 2x(x2 + x− 2).
Aplicando a fo´rmula Ba´skara na equac¸a˜o x2 + x− 2 = 0, obtemos
x =
−1±√1 + 8
2
=
−1± 3
2
⇒ x1 = 1, x2 = −2.
Assim,
2x3 + 2x2 − 4x = 2x(x2 + x− 2) = 2x(x− 1)(x+ 2) = 0.
Enta˜o, x = 0 ou x− 1 = 0 ou x+ 2 = 0⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = −2. Assim temos treˆs
soluc¸o˜es x1 = 1, x2 = −2 e x3 = 0.
F. Rivero e T. Salvador 184 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 1. A´LGEBRA BA´SICA
Exerc´ıcios
1. Calcule os produtos nota´veis:
(a) (x+ 5)2
(b) (3x+ 4y)2
(c) (x2 + t3)2
(d) (7− z)2
(e) (6a− 3)2
(f) (9x+ 5x4)(9x− 5x4)
(g) (u+ 3)(u− 3)
(h) (y2 + 4w)(−4w + y2)
(i) (2x+ 5)3
(j) (−3 + t)3
2. Fatore os polinoˆmios:
(a) t2 + t− 2
(b) x2 + 3x− 10
(c) y2 − 7y + 12
(d) z2 + 8z + 12
(e) x2 − 2x+ 1
(f) x2 + 14x+ 49
(g) 16u2 − 81
(h) 9x2 − 25y2
(i) u3 − 1
(j) x3 − 27
(k) y7 − y5
(l) z3 + 2z2
(m) 2x2 − 8x2 − 10x
(n) t4 + 5t3 − 14t2
3. Fatore a expressa˜o dada:
(a) t2 − 4t+ ty − 4y
(b) w3 + 2w2 − w − 2
(c) 4(u− 3)2(u+ 1) + 10(u− 3)3
(d) 4(y+ 3)4(y− 2)2− 6(y+ 3)3(y− 2)3
4. use a fo´rmula de Ba´skara para resolver as equac¸o˜es dadas:
(a) y2 − 2y − 8 = 0
(b) y2 + 10y + 25 = 0
(c) y2 − 4y + 3 = 0
(d) y2 − 8y + 16 = 0
(e) y2 + 10y + 25 = 0
(f) 2y2 + 3y + 1 = 0
(g) y2 − 2y + 3 = 0
(h) 1 +
4
x
− 5
x2
= 0
F. Rivero e T. Salvador 185 Matema´tica para Economia I
2. FUNC¸O˜ES REVISA˜O
5. Simplifique o quociente dado o ma´ximo poss´ıvel:
(a)
x2 + 5x+ 6
x2 − 5x− 14
(b)
(u+ 5)3(u+ 2)− (u+ 5)2(u+ 2)2
u2 + 7u+ 10
(c)
2w(w + 1)3 − w2(w + 1)2
w2 + 3w + 2
(d)
2(1−x)3(x+3)3+4(1−x)2(x+3)4
(1−x)3
2 Func¸o˜es
Frequentemente, nas mais diversas relac¸o˜es envolvendo duas varia´veis, o valor de uma
delas depende do valor da outra. Assim, por exemplo, o valor de uma conta de energia
ele´trica depende da quantidade consumida; a poluic¸a˜o do ar em uma cidade depende do
nu´mero de ve´ıculos nas ruas; o prec¸o de uma garrafa de vinho depende do ano em que o
vinho foi fabricado.
Grande parte das relac¸o˜es apresenta a propriedade de que a cada valor de uma varia´vel
corresponde um u´nico valor da outra. Relac¸o˜es como essas muitas vezes podem ser repre-
sentadas matematicamente atrave´s de func¸o˜es.
Em termos gerais, uma func¸a˜o consiste em dois conjuntos e uma “regra” que associa
os elementos de um conjunto aos elementos do outro. Vamos supor, por exemplo, que um
fabricante esteja interessado em determinar o efeito do prec¸o sobre o nu´mero de unidades
vendidas de certo produto. Para estudar essa relac¸a˜o, e´ preciso conhecer o conjunto de
prec¸os admiss´ıveis, o conjunto de vendas poss´ıveis e uma regra para associar cada prec¸o
a um determinado nu´mero de unidades vendidas.
A definic¸a˜o de func¸a˜o que vamos adotar e´ a seguinte:
Definic¸a˜o R.4 Uma func¸a˜o e´ uma relac¸a˜o que associa a cada elemento de um conjunto
A um u´nico elemento de um conjunto B. O conjunto A e´ chamado de domı´nio da func¸a˜o
e o conjunto B de contradomı´nio.
As letras f , g e h sera˜o usadas para representar func¸o˜es embora, em situac¸o˜es pra´ticas,
seja comum usar letras que lembrem as grandezas envolvidas. Nas func¸o˜es estudadas neste
texto, o domı´nio e o contradomı´nio sera˜o conjuntos de nu´meros reais.
Um elemento gene´rico do domı´nio de uma func¸a˜o f sera´ indicado por x e seu corres-
pondente no contradomı´nio sera´ indicado por y ou por f(x). Nesse contexto, o elemento
y e´ chamado de imagem de x por f . Assim, por exemplo, quando escrevemos f(4) = 2
estamos indicando que o nu´mero que a func¸a˜o f associa ao nu´mero 4 e´ 2 ou que 2 e´ a
imagem de 4 por f . Na Figura R.1 emos um esquema onde podemos observar o domı´nio,
contradomı´nio e imagem de uma func¸a˜o.
F. Rivero e T. Salvador 186 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 2. FUNC¸O˜ES
Figura R.1: Domı´nio, contradomin´ıo e imagem de uma func¸a˜o f
Se x esta´ no domı´nio de f dizemos que f esta´ definida em x ou que f(x) existe.
Dissemos que f na˜o esta´ definida em x se x na˜o esta´ no domı´nio de f .
Usualmente definimos uma func¸a˜o f enunciando apenas uma “regra” para achar f(x).
Nesse caso, fica subentendido que o domı´nio de f e´ o conjunto de todos os nu´meros reais
que tornam poss´ıveis as operac¸o˜es indicadas na regra. Por exemplo, se f(x) =
√
x enta˜o
o domı´nio e´ o conjunto de todos os nu´meros reais maiores ou iguais a zero.
Muitas fo´rmulas que ocorrem na Matema´tica e nas cieˆncias determinam func¸o˜es. Por
exemplo, a fo´rmula S = pir2 da a´rea S de um c´ırculo de raio r associa a cada nu´mero real
positivo r exatamente um valor de S. A letra r que representa um nu´mero arbitra´rio do
domı´nio e´ uma varia´vel independente. A letra S, cujo valor depende do valor atribu´ıdo
a r, e´ uma varia´vel dependente. Quando duas varia´veis r e S esta˜o relacionadas desta
maneira dizemos que S e´ uma func¸a˜o de r.
Func¸o˜es tambe´m podem ser representadas por tabelas e descric¸o˜es por palavras. Ou-
tras se representam naturalmente com gra´ficos, como o eletrocardiograma (EKG). Embora
seja poss´ıvel construir uma fo´rmula para representar aproximadamente uma func¸a˜o EKG,
isto raramente e´ feito. O que o me´dico precisa e´ o esquema de repetic¸o˜es, e e´ muito mais
fa´cil veˆ-lo num gra´fico do que numa fo´rmula. Mas cada EKG representa uma func¸a˜o que
da´ a amplitude de impulsos ele´tricos gerados no mu´sculo card´ıaco em func¸a˜o do tempo.
F. Rivero e T. Salvador 187 Matema´tica para Economia I
2. FUNC¸O˜ES REVISA˜O
Para representar geometricamente a func¸a˜o y = f(x) em um gra´fico, costuma-se usar
um sistema de coordenadas no qual as unidades da varia´vel independente x sa˜o marcadas
no eixo horizontal e as unidades da varia´vel dependente y sa˜o marcadas no eixo vertical.
O gra´fico de uma func¸a˜o f e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) onde x pertence ao
domı´nio de f e y = f(x), ou seja, todos os pontos da forma (x, f(x)).
Exerc´ıcios
1. Especifique o maior domı´nio de cada func¸a˜o:
(a) f(x) = x2 + 2
(b) f(x) =
1
x
(c) f(x) =
√
x− 2
(d) f(x) = 3
√
x− 2
2. Calcule os valores indicados da func¸a˜o dada:
(a) f(x) = x2 + 4
i. f(−1) ii. f(0) iii. f(1
2
) iv. f(
√
2)
(b) f(x) =
1
x
i. f(7) ii. f(−1) iii. f(1
2
) iv. f(3
4
) v. f(
√
2)
(c) f(x) =
x
x2 − 1
i. f(0) ii. f(−2) iii. f(2) iv. f(5)
(d) f(x) =
√
x− 2
i. f(2) ii. f(3) iii. f(4) iv. f(6)
(e) f(x) = 3
√
x− 2
i. f(1) ii. f(2) iii. f(0) iv. f(10)
F. Rivero e T. Salvador 188 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 2. FUNC¸O˜ES
3. As seguintes func¸o˜es sa˜o “definidas por mais de uma sentenc¸a”. Determine o maior
domı´nio e os valores especificados de cada uma delas:
(a) f(x) =

1
x− 1 se x < 1
4x2 + 1 se x ≥ 1
i. f(0) ii. f(1) iii. f(3
2
) iv. f(4)
(b) f(x) =

−1 se x < 0
5 se 0 ≤ x ≤ 2
1 se x > 2
i. f(−5) ii. f(0) iii. f(2) iv. f(1
2
) v. f(11
3
)
4. O custo total5 em reais para fabricar x unidades de um produto e´ dado pela func¸a˜o
C(x) = x3–30x2 + 500x + 200. Determine o custo de fabricac¸a˜o de 20 unidades do
produto.
5. A func¸a˜o de demanda6 para um produto e´ dada por p = 35x+ 15 onde p e´ o prec¸o
unita´rio em reais e x e´ a quantidade demandada. Expresse a func¸a˜o receita7 obtida
com a venda do produto como uma func¸a˜o de x e determine a receita para x = 10.
6. As func¸o˜es custo e receita de uma fa´brica que produz e vende x unidades de um
produto sa˜o, respectivamente,C(x) = 9x + 800 e R(x) = 21x. Determine o lucro8
obtido quando sa˜o produzidas e vendidas 150 unidades.
7. Seja f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 . Determinen, se existerem:
(a) f(−2)
(b) f(−1)
(c) f(0)
(d) f(1)
5Uma func¸a˜o custo (total) descreve o custo de produc¸a˜o de determinado bem e varia, de modo geral,
em func¸a˜o da quantidade produzida dessebem. No custo de produc¸a˜o existem duas parcelas: uma parte
fixa, chamada custo fixo, que na˜o depende da quantidade produzida e corresponde aos gastos fixos de
produc¸a˜o tais como aluguel e manutenc¸a˜o do pre´dio; e uma parte varia´vel, chamado custo varia´vel,
que depende da quantidade produzida e envolve, por exemplo, compra de mate´ria prima e pagamento de
ma˜o-de-obra. A func¸a˜o custo e´ a soma dos custos fixo e varia´vel.
6Uma func¸a˜o de demanda expressa a relac¸a˜o entre o prec¸o unita´rio e a quantidade demandada de
um produto.
7A func¸a˜o receita (total) e´ obtida multiplicando o nu´mero de unidades vendidas pelo prec¸o unita´rio
8A func¸a˜o lucro (total) e´ expressa pela diferenc¸a entre as func¸o˜es receita e custo.
F. Rivero e T. Salvador 189 Matema´tica para Economia I
3. COEFICIENTE ANGULAR - EQUAC¸O˜ES DE RETAS REVISA˜O
3 Coeficiente angular - Equac¸o˜es de retas
As linhas retas num plano teˆm equac¸o˜es muito simples, relativamente a um sistema de
coordenadas cartesianas. Estas equac¸o˜es podem ser deduzidas utilizando-se o conceito de
coeficiente angular.
Definic¸a˜o R.5 Sejam (x1, y1) e (x2, y2) pontos distintos de uma reta r. Se x1 6= x2 enta˜o
o coeficiente angular (ou inclinac¸a˜o) m de r e´ dado por
m =
y2 − y1
x2 − x1 .
Exemplo R.15 Ache o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (–2, 5) e (3, –1).
Neste caso temos, m =
−1− 5
3− (−2) =
−6
5
.
Exemplo R.16 Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (7, 1) e
(3, 1).
Neste caso temos, m =
−1− 1
3− 7 =
0
−4 = 0.
Observac¸o˜es:
1. O valor de m calculado pela definic¸a˜o anterior e´ independente da escolha dos
dois pontos em r.
2. Se x1 = x2 enta˜o r e´ uma reta vertical e seu coeficiente angular na˜o esta´ definido.
Seja (x1, y1) um ponto dado de uma reta de coeficiente angular m. Enta˜o, para
qualquer outro ponto (x, y) da reta temos que
y − y1
x− x1 = m.
Da´ı, multiplicando ambos os membros por (x–x1) obtemos a equac¸a˜o da reta na forma
chamada ponto-coeficiente angular:
y − y1 = m(x− x1). (R.4)
Se o ponto conhecido e´ aquele em que a reta corta o eixo y, e e´ denotado por (0, b),
enta˜o a equac¸a˜o (R.4) torna-se
y = mx+ b. (R.5)
Neste caso, b chama-se intersec¸a˜o y da reta ou coeficiente linear e a equac¸a˜o (R.5)
chama-se equac¸a˜o reduzida da reta.
F. Rivero e T. Salvador 190 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 3. COEFICIENTE ANGULAR - EQUAC¸O˜ES DE RETAS
Exemplo R.17 Escreva a equac¸a˜o da reta que:
1. Passa pelos pontos (4,−2) e (5, 8).
Primeiro vamos calcular o valor do coeficiente angular,
m1 =
8 + 2
5− 4 = 10.
Agora, usando a fo´rmula (R.4) obtemos
y + 2 = 10(x− 4)⇔ y = 10x− 42.
2. Passa por (2,−3) e tem coeficiente angular −4.
Como temos o coeficiente angular m2 = −4, vamos usar a fo´rmula (R.4)
y + 3 = −4(x− 2)⇔ y = −4x+ 5.
3. Tem coeficiente angular m3 = 2 coeficiente linear −5.
Neste caso a equac¸a˜o da reta e´ direto por (R.5): y = 2x− 5
4. passa pelos pontos (3, 5) e (3,−1).
Neste caso temos uma reta vertical porque os dois pontos teˆm o mesmo valor na
coordenada x. Enta˜o a equac¸a˜o da reta e´ x = 3.
Na Figura R.2 temos as retas do exemplo anterior.
Exemplo R.18 Determine o coeficiente angular das retas abaixo:
1. y = 3x− 6.
Caso direto, m = 3.
2.
y
4
= x+ 1.
Primeiro escrevemos a equac¸a˜o na forma reduzida,
y
4
= x+ 1⇔ y = 4x+ 4.
Assim, m = 4.
F. Rivero e T. Salvador 191 Matema´tica para Economia I
3. COEFICIENTE ANGULAR - EQUAC¸O˜ES DE RETAS REVISA˜O
Figura R.2: Retas do Exemplo R.17
3. 5y − 2x = 4.
Primeiro escrevemos a equac¸a˜o na forma reduzida,
5y − 2x = 4⇔ 5y = 2x+ 4⇔ y = 2
5
x+
4
5
Assim, m = 2
5
.
4. 4x = −2y + 6.
Primeiro escrevemos a equac¸a˜o na forma reduzida,
4x = −2y + 6⇔ 2y = −4x+ 6⇔ y = −2x+ 3
Assim, m = −2.
Observac¸o˜es:
1. Como uma reta horizontal tem coeficiente angular zero, a reta horizontal que passa
pelo ponto (x1, y1) tem a equac¸a˜o y = y1.
F. Rivero e T. Salvador 192 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 3. COEFICIENTE ANGULAR - EQUAC¸O˜ES DE RETAS
2. O coeficiente angular de uma reta vertical na˜o e´ definido, por isso as fo´rmulas (R.4) e
(R.5) na˜o sa˜o apropriadas para se obter sua equac¸a˜o. No entanto, como as primeiras
coordenadas de todos os pontos de uma reta vertical sa˜o iguais, uma reta vertical
que passa pelo ponto (x1, y1) tem equac¸a˜o x = x1.
Teorema R.5 Duas retas na˜o-verticais sa˜o paralelas se e somente se seus coeficientes
angulares sa˜o iguais, isto e´, chamando as retas por r e s,
r // s⇔ mr = ms
Exemplo R.19 Seja r a reta que passa pelos pontos (−2, 9) e (1, 3) e seja s a reta que
passa pelos pontos (−4, 10) e (3,−4). Mostre que r e s sa˜o paralelas.
Apos o ca´lculo dos coeficientes angulares temos que mr = −2 e ms = −2 . Logo
mr = ms e as retas r e s sa˜o paralelas.
Na Figura R.3 observamos o gra´fico das retas e os valores de seus coeficientes angulares.
Figura R.3: As retas r e s sa˜o paralelas.
F. Rivero e T. Salvador 193 Matema´tica para Economia I
3. COEFICIENTE ANGULAR - EQUAC¸O˜ES DE RETAS REVISA˜O
Teorema R.6 Duas retas na˜o-verticais sa˜o perpendiculares se e somente se o coefici-
ente angular de uma e´ igual ao sime´trico do inverso do coeficiente angular da outra, ou
seja, chamando as retas por r e s,
r⊥s⇔ mr = −1
ms
Exemplo R.20 Seja r a reta que passa pelos pontos (2, 9) e (−1, 3) e seja s a reta que
passa pelos pontos (4,−5) e (−2,−2). Mostre que r e s sa˜o perpendiculares.
Apo´s o ca´lculo dos coeficientes angulares temos que mr = 2 e ms =
−1
2
. Logo
mr =
−1
ms
e as retas r e s sa˜o perpendiculares.
Na Figura R.4 observamos o gra´fico das retas e os valores de seus coeficientes angulares.
Figura R.4: As retas r e s sa˜o perpendiculares.
Observac¸a˜o: O coeficiente angular de uma reta e´ uma constante sempre que ele esta´
definido. O nu´mero y2 − y1 e´ a variac¸a˜o na coordenada y e x2 − x1 e´ a variac¸a˜o na
coordenada x. Dessa forma, o coeficiente angular de uma reta fornece a raza˜o entre a
variac¸a˜o de y e a variac¸a˜o de x, ou ainda, a taxa de variac¸a˜o de y em relac¸a˜o a` x.
F. Rivero e T. Salvador 194 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 4. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
4 Func¸a˜o Exponencial e Func¸a˜o Logar´ıtmica
4.1 Func¸a˜o Exponencial
Definic¸a˜o R.6 Seja b ∈ R+ com b 6= 1.9 A func¸a˜o f : R → R+ tal que f(x) = bx e
chamada de func¸a˜o exponencial de base b.
Exemplo R.21 Seja f(x) = 2x. Temos que f(3) = 23 = 8, f(−1) = 2−1 = 1
2
e
f
(
3
2
)
= 2
3
2 =
√
23 =
√
8.
Exemplo R.22 Seja f(x) =
(
1
2
)x
. Assim, alguns valores da func¸a˜o sa˜o f(4) =
1
16
,
f(−3) = 8, f(0) = 1 ou f
(
1
2
)
=
1√
2
.
Observac¸o˜es:
1. Na definic¸a˜o anterior, b ∈ R+ com b 6= 1 pois:
(a) Seja f(x) = (−2)x. Enta˜o, por exemplo, f
(
1
2
)
= (−2) 12 = √−2 /∈ R.
(b) Seja f(x) = 0x. Enta˜o, por exemplo, f(−2) = 0−2 = 1
0
na˜o esta´ definido.
2. Se b = 1, enta˜o f(x) = 1x = 1 para todo nu´mero real, isto e´, f(x) e´ uma func¸a˜o
constante.
De modo geral, o gra´fico de y = bx e´ representado por uma curva que esta´ toda acima
do eixo x, corta o eixo y no ponto (0, 1) e tem concavidade voltada para cima em R. Ale´m
disso, y = bx e´ crescente em R para b > 1 e e´ decrescente em R para 0 < b < 1, como
mostra a Figura R.5.
9O conjunto R+ e´ o subconjunto dos nu´mero reais estritamente positivos, isto e´, todos os x de R tais
que x > 0
F. Rivero e T. Salvador 195 Matema´tica para Economia I
4. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA REVISA˜O
(a) Gra´fico de y = bx para b > 1. O gra´fico e´
crescente e com concavidade para cima
(b) Gra´fico de y = bx para 0 < b < 1. O
gra´fico e´ decrescente e com concavidade para
cima
Figura R.5: Gra´ficospara a func¸a˜o exponencial com distintos valores da base
Sejam a, b ∈ R+ e x e y nu´meros reais. Enta˜o, as func¸o˜es exponenciais sa˜o cont´ınuas
em R e obedecem a`s seguintes propriedades:
1. bx = by ⇔ x = y.
2. bxby = bx+y.
3.
bx
by
= bx−y.
4. (bx)y = bxy.
5. (ab)x = axbx.
6.
(a
b
)x
=
ax
bx
.
4.2 Logaritmo e Func¸a˜o logar´ıtmica
Definic¸a˜o R.7 Sejam a, b ∈ R+ com b 6= 1. Chamamos de logaritmo de a na base b ao
x tal que bx = a e indicamos por logb a. Assim,
logb a = x⇔ bx = a.
Exemplo R.23 log2 8 = 3 pois 2
3 = 8.
Exemplo R.24 log3 81 = 4 pois 3
4 = 81.
F. Rivero e T. Salvador 196 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 4. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
Exemplo R.25 log5
1
125
= −3 pois 5−3 = 1
53
=
1
125
.
As bases mais usadas na pra´tica sa˜o a base 10 e a base e (onde e representa o nu´mero
irracional cujo valor e´ aproximadamente 2, 718).
Os logaritmos de base 10 sa˜o chamados de logaritmos decimais e denotados sem
indicar o valor da base, isto e´, log a = log10 a.
Os logaritmos de base e sa˜o chamados de logaritmos neperianos (ou naturais) e
denotados por ln isto e´, ln a = loge a.
Propriedades dos logaritmos: Sejam a, b, c ∈ R+, onde b 6= 1. Enta˜o
1. logb a = logb c⇔ a = c.
2. logb b = 1.
3. logb 1 = 0.
4. logb(ac) = logb a+ logb c.
5. logb a
c = c logb a.
6. logb
(a
c
)
= logb a− logb c.
Definic¸a˜o R.8 Seja b ∈ R+ e b 6= 1. A func¸a˜o f : R+ → R tal que f(x) = logb x e
chamada de func¸a˜o logar´ıtmica de base b.
A Figura R.6 mostra os gra´ficos de duas func¸o˜es logar´ıtmicas.
Observac¸o˜es:
1. A func¸a˜o logar´ıtmica e´ uma func¸a˜o cont´ınua em R+.
2. A func¸a˜o logar´ıtmica e´ crescente em R+ para b > 1 e e´ descrescente em R+ para
0 < b < 1.
Propriedades que relacionam as func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica como func¸o˜es
inversas:
Seja b ∈ R+ com b 6= 1, enta˜o
1. blogb x = x.
2. logb b
x = x.
F. Rivero e T. Salvador 197 Matema´tica para Economia I
5. FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS REVISA˜O
(a) Gra´fico de y = logb(x) para b > 1 (b) Gra´fico de y = logb(x) para 0 < b < 1
Figura R.6: Gra´ficos da func¸a˜o logar´ıtmica com distintas bases
5 Func¸o˜es trigonome´tricas
As func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o func¸o˜es angulares, importantes no estudo dos triaˆngulos
e na modelagem de fenoˆmenos perio´dicos. Podem ser definidas como razo˜es entre
dois lados de um triaˆngulo retaˆngulo em func¸a˜o de um aˆngulo, ou, de forma mais geral,
como razo˜es de coordenadas de pontos no c´ırculo unita´rio, onde a unidade de medida
internacional de a´ngulos e´ o radiano.
O radiano e´ um nu´mero real associado ao aˆngulo que um arco faz sobre uma circun-
fereˆncia. Quando o comprimento de um arco de circunfereˆncia e´ igual a` medida do raio,
enta˜o o a´ngulo que forma tem uma medida de 1 radiano (1rad).
Na Figura R.7 podemos observar um a´ngulo de 1rad porque do ponto B ao ponto C
e´ igual a` medida do raio OB.
Figura R.7: O a´ngulo θ tem a medida de um radiano.
F. Rivero e T. Salvador 198 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 5. FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
Uma circunfereˆncia tem um a´ngulo de 2pi radianos. Como uma volta completa equivale
a 360o, enta˜o 2pirad = 360o. Assim, as medidas dos a´ngulos mais caracter´ısticos sa˜o:
Graus 0 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
Radianos 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 pi 3pi/2 2pi
Func¸o˜es Trigonome´tricas e Gra´ficos
Vamos mostrar as treˆs func¸o˜es trigonome´tricas ba´sicas. Observando as figuras 9, 10 e
11 podemos perceber algumas caracter´ısticas importantes. Por exemplo, todas as func¸o˜es
se repetem em um determinado intervalo. Esse intervalo de repetic¸a˜o tem o nome de
per´ıodo. Outro importante destaque e´ a imagem destas func¸o˜es. Algumas func¸o˜es
trigonome´tricas teˆm todo o conjunto R como imagem, enquanto outras possuem valores
ma´ximo e mı´nimo, assumindo valores apenas num determinado intervalo. Antes de definir
as func¸o˜es trigonome´tricas precisamos definir o seno, cosseno e tangente de um aˆngulo.
O seno e o cosseno sa˜o os cocientes entre os lados de um triaˆngulo rectaˆngulo. Se
consideramos o aˆngulo α na Figura R.8 como o aˆngulo que formam a hipotenusa com o
cateto adjacente, enta˜o definimos as func¸o˜es seno e cosseno como:
sen(α) =
cateto oposto
hipotenusa
=
a
b
, cos(α) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
b
.
Figura R.8: Triaˆngulo retaˆngulo para o ca´lculo das func¸o˜es seno e cosseno.
Logo, para qualquer aˆngulo com medida de x radianos, podemos construir un triaˆngulo
retaˆngulo e determinar seu seno e seu cosseno. Assim podemos definir as func¸o˜es sen(x)
e cos(x) para cada valor x real.
F. Rivero e T. Salvador 199 Matema´tica para Economia I
5. FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS REVISA˜O
• Func¸a˜o seno: f(x) = sen(x).
A func¸a˜o seno tem um per´ıodo de comprimento 2pi e sua imagem e´ o intervalo
[−1, 1].
Figura R.9: Func¸a˜o f(x) = sen(x).
• Func¸a˜o cosseno: f(x) = cos(x).
A func¸a˜o cosseno tem um per´ıodo de comprimento 2pi e sua imagem e´ o intervalo
[−1, 1].
Figura R.10: Func¸a˜o f(x) = cos(x).
F. Rivero e T. Salvador 200 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 5. FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
A tangente de um aˆngulo e´ definida como o quociente entre o cateto oposto e o cateto
adjacente. Voltando para a Figura R.8 e calculando o valor da tangente do aˆngulo α,
temos que
tan(α) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
a
c
.
Mas, pela definic¸a˜o do seno e do cosseno, obtemos que
tan(α) =
a
c
=
a
c
· 1/b
1/b
=
a/b
c/b
=
sen(α)
cos(α)
Portanto, para cada valor x real, podemos definir a func¸a˜o tangente como
tan(x) =
sen(x)
cos(x)
A func¸a˜o tangente tem um per´ıodo de comprimento pi e tem por imagem o conjunto
R. Como a func¸a˜o e´ um quociente, na˜o esta´ definida nos pontos onde cos(x) = 0. Na
Figura R.11 podemos observar o gra´fico da func¸a˜o.
Figura R.11: Func¸a˜o f(x) = tan(x).
F. Rivero e T. Salvador 201 Matema´tica para Economia I
5. FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS REVISA˜O
Igualdades Trigonome´tricas Ba´sicas
• Relac¸a˜o fundamental: sen2(x) + cos2(x) = 1.
• Seno do aˆngulo soma: sen(x± y) = sen(x) cos(y)± sen(y) cos(x).
• Cosseno do aˆngulo soma: cos(x± y) = cos(x) cos(y)∓ sen(x) sen(y).
Por consequeˆncia,
sen(2x) = 2 sen(x) cos(x),
cos(2x) = cos2(x)− sen2(x).
Observac¸o˜es:
i) Notac¸a˜o: sen2(x) = ( sen(x))2 e cos2(x) = (cos(x))2.
ii) Cuidado: No cosseno o sinal inverte
cos(α + β) = cos(α) cos(β)− sen(α) sen(β)
cos(α− β) = cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β)
A seguir temos uma tabelas com os valores do seno, do coseno e da tangente para os
aˆngulos mais usuais.
Graus 0 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
Radianos 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 pi 3pi/2 2pi
sen 0 1/2
√
2/2
√
3/2 1 0 -1 0
cos 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0 -1 0 1
tan 0
√
3/3 1
√
3 na˜o definido 0 na˜o definido 0
F. Rivero e T. Salvador 202 Matema´tica para Economia I
REVISA˜O 5. FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
Exerc´ıcios
1. Dado os triaˆngulos retaˆngulos (a) e (b), calcule todas as razo˜es trigonome´tricas do
aˆngulo x
(a) (b)
Dica: Use o Teorema de Pita´goras para determinar o lado na˜o dado do triaˆngulo
2. Determine as demais razo˜es trigonome´tricas sabendo que sen(x) =
3
5
3. Determine a imagem e o per´ıodo das func¸o˜es:
(a) y = 3senx
(b) y = −4 cos(x)
(c) y = 1
2
tan(x)
(d) f(x) = sen(3x)
(e) f(x) = cos
(
3x
2
)
(f) f(x) = 7 + 2 tan(3x)
4. Sabendo que cos(x) = −4
5
, calcule:
(a) sen(x)
(b) tan(x)
(c) sen(2x)
(d) cos(2x)
(e) tan(2x)
(f) sen(3x)
F. Rivero e T. Salvador 203 Matema´tica para Economia I