Q01 - Duas variáveis aleatórias X e Y são conjuntamente distribuídas de acordo com a função de densidade: /wir - I 24XV' **€(0,l)cy€(0,l-z) * \o, caso contrário Calcule P(o ) 4 FX{w)Fy(w) Q04 - Seja N o numéro de clientes que entram em uma loja em urn dado dia. Suponha que sabemos E\N| e Var(N). Seja Xi a quantidade de dinheiro que o cliente numéro i gasta em média na loja. Assumimos que as variâveis Xi sào independentes entre si e também independentes de N. Também assumimos que i?|Xt| E\X\ e N Var(Xi) Var(X). A receita total da loja no dia é dada por X^t=i -^t- Encontre os valores de E\Y\ e Var{Y) e assinale a alternativa corn as expressôes corretas: A E\Y\ E\X\E\N\cVar(Y)= E\N\Var(X) t E2\X\Var{N) B E\Y\ E[X\E\N]eVar(Y) = E[N]Var(X) E2\X\Var{N) C E\Y\ E|X|E|JV| E\X]cVar(Y) E\X\Var(N) | E2[N]Var(X) D E\Y\ E|X|fî|JV| f E\X] c Var(Y) E\X\Var{N) E2\N]Var(X) E E\Y\ E|X|E|JV] ElATj c Var(Y) = E\N\Var(N) f E2\X\Var(X) Q05 - Seja fxY(x>y) = xe z^+1^ para x ç (0,co) e y ç (0,oo), e zero no conjunto complementar. Encontre os valores para as funcöes de densidade marginais fx(x) e fY(y): A ftW=rIefl'(ï)~)2 B fx(x) = xe~zefY(y) = jj±[) 2 C /x(i) = 2i6-Ie/r(y) = (^f)2 D E Mx) = e-Ie/K(y) = -i Q06 - Seja X1,.... Xn uma sequência de variaveis independentes e identicamente distribuidas, com distribuição Bernoulli com parâmetro p. Seja Xn=i=1nXin. Assinale a alternativa correta: A Pela Lei Fraca dos Grandes Nümeros, lim p(\x n~P\ >€) = 1 n—>co B Pela Lei Fraca dos Grandes Nümeros. P\ lim \X n -p\ ce 1 = 1 ' \ n-> oo / C Pelo Teorema Central do Limite, y/n(X n - p) converge em distribuiçào para N(p,p - p2) D Pela Lei Fraca dos Grandes Nümeros Um P(\X „-p|<€) = l n—>00 E Pelo Teorema Central do Limite, y/n(X n-p) converge em distribuiçào para jV(0,1) Q07 - Sobre a desigualdade de Chebyshev, assinale a alternativa correta. A P(\X-E[X\\ >fi) = 0seVar[X] = S‘ B P(\X - E[J¥l|<^) = lsei = yJVar [X\ C P[\X-E[X]\ S)=0seS= y/VEFJX] Q08 - Sejam X1,.... Xn uma amostra aleatôria de uma distribuiçâo N(n,o^)) e que X n = Xi e 2 1 n — 2 S = —£2i=i(Xi - X n) • Assinale a alternativa incorreta: A x ne S2 sâo variéveis aleatörias independentes B x n tem uma distribuiçâo 2 C (n~^^em uma distribuiçâo qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade D x n e nâo sâo variéveis aleatörias independentes E y »(-y_n uma distribuiçâo ;v(o, 1) Q09 - Sejam Xi, ...,Xn variaveis aleatorias nd com tunçao de distribuiçao acumulada continua Fx(x), e suponha que E[Xj]=0.5. Defina as variaveis aleatôrias Yi, ...,Yn por: Y, = se X, > 0.5 se X, S 0.5 n Encontre a distribuiçâo de Ya= e assinale a alternativa correspondente. A i Yi ~ BemouUHp 0.5 Fxiß)) B i Yi ~ BemouUi{p 0.5 -f Fx(ß)) © Ya=1 Yi ~ Bcmoulli(n,p= 1 - FX{n)) D E<=1 Yi ~ BcmauUifap Fx(n)) E Todas as alternativas estäo incorretas Q10 - Seja To tempo necessàrio para concluir uma tarefa. Para estimar a média e a variància de T, foi observada uma amostra aleatôria composta por cinco tempos: Ti,TÏ,T3,T4,l% Os valores observados foram: 10,10,15,18,50 Considerando a média amostral T , a variància amostral S2, calculada corn denominador n 1, e o desvio- padrào amostral S, assinale a alternativa que apresenta corretamente os valores obtidos, corn arredondamento para duas casas décimais. A f~ = 13,25, S2 = 15,58, S= 3,94 B T~ = 20,60, S2 = 225,44, S= 15,01 C T~ 20,60, S2 =56,36, S= 15,01 18,00, S =281,89, 5= 16,79 20,60, S2 E T281,89, 5 = 16,79