autovetores e autovalores

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Objetivo Exercícios Referências
Autovetores e Autovalores
Bacharelado em Ciência da Computação
Algebra Linear - Professor George Ney
03 de Setembro, 2018
Autovetores e Autovalores 03 de Setembro, 2018 1 / 16
Objetivo Exercícios Referências
Sumário
1 Objetivo
2 Exercícios
3 Referências
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Objetivo Exercícios Referências
Objetivo
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Objetivo Exercícios Referências
Objetivo
Conseguir uma exposição da matéria com ênfase no uso de conceitos já
adquiridos em problemas.
Encaminhar os conceitos para a solução de exercícios.
Permitir o estudante compreender e desenvolver com mais facilidade a solução
de problemas com base na prática.
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
Exemplo 1:
Ache os autovetores e autovalores correspondentes da matriz A =
[
1 2
0 −1
]
Resolução
Achando autovalores:
det(A− λI)→det
([
1 2
0 −1
]
−
[
λ 0
0 λ
])
= det
([
1− λ 2
0 −1− λ
])
= 0
(1− λ)(−1− λ) = 0 λ′ = 1
−1 + λ− λ+ λ2 = 0 λ′′ = −1
λ = ±√1
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
Resolução
Achando autovetores:[
1− λ 2
0 −1− λ
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
λ′ = 1[
1− 1 2
0 −1− 1
]
{
y = 0
−2y = 0 →
−→v1 = (x , 0)
λ′ = −1[
1− (−1) 2
0 −1− (−1)
]
{
2x + 2y = 0
0 = 0 →
−→v2 = (−y , y)
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
Exemplo 2:
T : R2 → R2 tal que T (x , y) = (x + y , 2x + y)
Resolução
[T ] =
[
1 1
2 1
]
det (A− λI)
Achando autovalores:
1− 2λ+ λ2 − 2 = 0 λ1 = 1 + 1
√
2
λ2 − 2λ− 1 = 0 λ2 = 1− 1
√
2
λ = 2±
√
8
2
λ = 2±2
√
2
2
λ = 1± 1√2
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
Resolução
Achando autovetores:[
1− λ 1
2 1− λ
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
λ1 = 1 + 1
√
2[
1− (1 + 1√2) 1
2 1− (1 + 1√2)
] [
x
y
]
=
[−√2 1
2 −√2
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
{−√2x + y = 0
2x −√2y = 0 → y =
√
2x
−→v1 = (x ,
√
2x)
λ2 = 1− 1
√
2[√
2 1
2
√
2
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
{ √
2x + y = 0
2x +
√
2y = 0
→ y = −√2x
−→v2 = (x ,−
√
2x)
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
Exemplo 3:
Seja A =
[
1 −2
4 5
]
. Encontre f (A), com:
f (t) = t2 − 3t + 7
Resolução
A2 =
[
1 −2
4 5
] [
1 −2
4 5
]
=
[−7 −12
24 17
]
f (t) = t2 − 3t + 7 =
[−7 −12
24 17
]
+
[ −3 6
−12 −15
]
+
[
7 0
0 7
]
=
[−3 −6
12 9
]
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
Exemplo 4:
Seja B =
[
4 −1
7 2
]
. Encontre f (B), com:
f (t) = t2 − 6t + 13
Resolução
f (t) = t2 − 6t + 13 =
[
9 −6
42 −3
]
+
[−28 36
−42 −12
]
+
[
13 0
0 13
]
=
[−6 30
0 −2
]
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
Exemplo 5:
Encontre o polinômio característico ∆t da matriz a seguir: A =
1 2 33 0 4
6 4 5

Resolução
A2 =
[
1 −2
4 5
]
=
[−7 −12
24 17
]
f (t) = t2 − 3t + 7 =
[−7 −12
24 17
]
+
[ −3 6
−12 −15
]
+
[
7 0
0 7
]
=
[−3 −6
12 9
]
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Objetivo Exercícios Referências
Exercícios
Exemplo 6:
Encontre o polinômio característico ∆t do operador linear abaixo:
F:R2− > R2 definido por F (x , y) = (3x + 5y , 2x − 7y)
Resolução
Utilizamos a matriz A que representa T em relação à base canônica de R2. Temos
A =
[
3 5
2 −7
]
logo, ∆(t) = t2 − tr(A)t + |A| = t2 + 4t − 3
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Objetivo Exercícios Referências
Referências
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Objetivo Exercícios Referências
Referências
Colecação Schaum - Álgebra Linear - Quarta edição - Seymour Lipschutz e Marc
Lipson.
Álgebra Linear - Terceira edição - Boldrini/Costa e Figueiredo/Wetzler
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Objetivo Exercícios Referências
Autovetores e Autovalores
Bacharelado em Ciência da Computação
Algebra Linear - Professor George Ney
03 de Setembro, 2018
Tobias Rodrigues da Silva
Jeferson Gonçalves
Lucas Porfírio
Autovetores e Autovalores 03 de Setembro, 2018 16 / 16
	Objetivo
	Exercícios
	Referências