Resumo calculo_1_limites

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Notas das Aula de Cálculo Diferencial e Integral I – Engenharia Ambiental 
Prof.: Adriana Borssoi 
 1 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus de Londrina 
Gerência de Ensino e Pesquisa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA AMBIENTAL 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Londrina 
2010 
 
 
 
 
 
 
 
Estas Notas de Aulas foram organizadas por 
professores do Grupo de Matemática do 
Campus Cornélio Procópio e do Campus 
Londrina, e está em constante revisão e 
adaptação. O material não pretende substituir 
um bom livro de Cálculo, mas serve como um 
apoio aos alunos no acompanhamento das 
aulas. O livro texto adotado atualmente é: 
 
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. 
Cálculo. vol. 1 Tradução: Claus I. Doering. 8 
ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
 
 
 
 
 
 
Como Bibliografia Complementar sugerimos: 
 
FINNEY, R. L; WEIR, M. D; GIORDANO, F. 
R. Cálculo de George B. Thomas, vol. 2. 10ª 
edição. Trad. Cláudio H. Asano. São Paulo: 
Addison Wesley, 2003. 
 
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, 
Miriam Buss. Cálculo A.: Funções, limite, 
derivação, integração. Makron Books do 
Brasil: Editora da UFSC, 1992. 
 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, 
vol.1. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 2001. 
 
HOFFMANN, Laurence D. Cálculo: um curso 
moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2002. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria 
Analítica, vol 1. Harbra, São Paulo, SP: 1994 
 
STEWART, James. Cálculo I, 5 ed. São Paulo: 
Pioneira Thompson Learning, 2006. 
 
VILCHES, M.A; CORREA, M.L. Cálculo vol. 
1, UFRJ. (Material Eletrônico) 
 
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1. FUNÇÕES 
 
Um dos mais importantes conceitos em todo o 
Cálculo é o de Função. As funções são utilizadas 
para descrever as relações entre as quantidades 
variáveis. O uso de determinados modelos 
matemáticos os quais podem resultar em funções 
são, muitas vezes, utilizados para prever 
acontecimentos futuros. A representação de uma 
função é usualmente feita de quatro maneiras: 
• Verbalmente: descrevendo-a com palavras; 
• Numericamente: por meio de tabelas de valores; 
• Geometricamente: por meio de gráficos; 
• Algebricamente: usando uma fórmula explícita. 
 
Utilizando funções para solucionar problemas 
Muitas vezes é possível encontrar um modelo 
matemático que descreva o comportamento dos 
dados. Estes modelos podem ser funções, cuja 
análise pode nos auxiliar na compreensão e 
solução do problema em questão. Entretanto 
salientamos que para encontrar estes modelos é 
necessário um bom conhecimento matemático. 
 
 
Exemplos de situações que expressam variações 
entre diferentes grandezas. 
 
i) Competição entre duas espécies. 
 
Figura 1: Uma simulação computacional de um ciclo 
presa-predador com dependência de densidade inclusa 
no modelo de Lotka-Volterra. 
Fonte: RICKLEFS, R. A Economia da Natureza, 5a edição. 
Ed. Guanabara/ Koogan. 
 
ii) (Ferruzzi, 2003): Consumo de energia elétrica no 
Paraná 
A Tabela 1 nos apresenta o consumo de energia 
elétrica no estado do Paraná no período de 1992 à 
1999. Os dados constantes nesta tabela foram 
fornecidos pela Copel. Com base nestes dados, é 
possível prever o consumo de energia elétrica 
neste estado no ano de 2004? 
 
Tabela 1: Consumo de Energia no Paraná no 
tempo 
t n Cn em TWh 
0 1992 10,696643 
1 1993 11,432419 
2 1994 11,957966 
3 1995 12,996213 
4 1996 13,862816 
5 1997 14,600576 
6 1998 15,391161 
7 1999 16,029786 
 
Resolução: 
Para fazer esta previsão necessitamos de um 
modelo matemático o qual descreva o 
comportamento destes dados. Utilizando a 
planilha de cálculo Excel, podemos obter a 
curva de tendência destes dados. Esta curva e o 
modelo encontrado estão representados na 
Figura 2 e 3. 
 
Consumo de energia e létrica no Paraná
5
7
9
11
13
15
17
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
anos - iniciando em 1992
co
n
su
m
o
 
TW
H
 
Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
Podemos observar que se essa tendência 
permanecer, o consumo de energia elétrica no 
estado do Paraná tende a estabilizar-se. 
Considerando algumas hipóteses, um possível 
modelo para o consumo no decorrer do tempo 
é: ( ) 0,0075117,41 106,81. tC t e−= − . 
 
 
 Compo rtamento do consumo de energia elétrica no Estado do Paraná 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 
tempo em anos 
c
o
n
s
u
m
o
 
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Com este modelo podemos estimar o consumo de 
energia para qualquer tempo. Assim, para o ano de 
2004, o modelo estima um consumo de de 19,8 
TWh. 
 
O Conceito de Função 
Se uma variável y depende de uma variável x de tal 
modo que cada valor de x determina exatamente 
um valor de y, então dizemos que y é uma função 
de x, e escrevemos y = f(x). 
 
Segue uma definição mais formal de uma função 
real. 
 
 
Definição: Sejam A e B subconjuntos de R . Uma 
função f definida em A é uma regra, ou lei de 
correspondência, que atribui um único elemento de 
B a cada elemento x de A. O conjunto A é chamado 
domínio de f e B é chamado contradomínio de f. 
Escrevemos: 
:
( )
f A B
x f x
→
→
 
 
Costuma-se chamar x de variável independente, 
porque ela é livre para assumir qualquer valor do 
domínio A, e chamar y de variável dependente, 
porque seu valor numérico depende da escolha de x. 
 
 
Exemplo: Deve-se construir um tanque de aço, 
para armazenagem de gás propano, na forma de 
um cilindro circular reto de 3m de comprimento, 
com hemisférios iguais em cada extremidade 
(Figura 4). O raio r deve ser determinado. Expresse 
o volume V do tanque como função de r. 
 
 
Figura 4 
 
Solução: Recorrendo as noções básicas de 
geometria, expressamos o volume do tanque por: 
3 24 3
3
V r rpi pi= + 
 
Neste exemplo, V é a variável dependente e r a 
variável independente. Ou seja, o volume do 
tanque depende da escolha do raio. 
 
 
Domínio, Contradomínio e Imagem 
Considere a função BA:f → , representada 
pela Figura 5: 
 
 
Figura 5 
 
 
Definimos: 
Domínio: Conjunto de todos os elementos 
pertencentes ao conjunto A. Indicamos esse 
conjunto por ( )Dm f . 
 
Contradomínio: é o conjunto de todos os 
elementos pertencentes ao conjunto B. 
Indicamos esse conjunto por ( )CDm f . 
 
Imagem: É o conjunto formado pelos 
elementos de B que são correspondentes dos 
elementos do domínio. Indicamos esse 
conjunto por ( )Im f . 
 
 
Exercício 
E01: Dadas as funções ( ) 3 5f x x= − e 
2( ) 3g x x= − , determine os seguintes valores 
numéricos de cada função: 
a) (0)f = b) ( 5)f − = 
c) 1( )2f = d) ( 3)f = 
 
Determinação analítica do domínio de uma 
função 
Veremos alguns exemplos onde poderemos 
identificar o domínio de uma função: 
i) Se ( ) ( )nf x g x= , com n par, então ( )Dm f 
é tal que ( ) 0g x ≥ . 
ii) Se 1( ) ( )f x g x= , então ( )Dm f é tal que 
( ) 0g x ≠ 
iii) Se 1( )
( )n
f x
g x
= , com n par, então 
( )Dm f é tal que ( ) 0g x > . 
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Obs: Nos próximos capítulos a expressão “f é uma 
função” indica que o domínio e o contradomínio de 
f são conjuntos de números reais. 
 
Intervalos Reais 
Comumente nos referimosa certos conjuntos 
numéricos chamados intervalos que correspondem, 
geometricamente, a segmentos de reta (ou semi-
retas). Por exemplo, se a < b, o intervalo aberto, 
denotado por (a, b), é constituído por todos os 
números reais que estão entre a e b. 
As possíveis situações de intervalos reais são 
mostradas abaixo: 
 
a) Intervalo aberto: ( , )a b ou { R / }x a x b∈ < < 
a b
 
b) Intervalo fechado: [ , ]a b ou { R / }x a x b∈ ≤ ≤ 
a b
 
c) Intervalo aberto à esquerda: ( , ]a b ou 
{ R / }x a x b∈ < ≤ 
a b
 
d) Intervalo aberto à direita: [ , )a b ou 
{ R / }x a x b∈ ≤ < 
a b
 
e) Intervalo aberto: ( , )a ∞ ou { R / }x x a∈ > 
a
 
f) Intervalo fechado: [ , )a ∞ ou { R / }x x a∈ ≥ 
a
 
g) Intervalo aberto: ( , )b−∞ ou { R / }x x b∈ < 
b
 
h) Intervalo fechado: ( , ]b−∞ ou { R / }x x b∈ ≤ 
b
 
i) Intervalo aberto: ( , )−∞ ∞ ou R 
 
 
Note que o símbolo ∞ não representa um número: 
a notação ( , )a ∞ define o conjunto de todos os 
números maiores que A e o símbolo ∞ indica 
somente que o intervalo se prolonga 
indefinidamente, a partir de A, na direção positiva 
da reta numerada (para a direita do número A). 
 
Usualmente definimos uma função f enunciando 
uma fórmula ou regra para achar f(x), tal como: 
( ) 3f x x= − , onde o domínio é o intervalo 
infinito ) ,3 [ ∞+ . Assim, se x está no domínio, 
dizemos que f é definida em x, ou que f(x) 
existe. 
 
Se S é um subconjunto do domínio, então f é 
definida em S. A expressão f não é definida em 
x significa que x não está no domínio de f. 
 
Gráfico de Funções 
Em geral, as funções tratadas nesse curso 
envolvem variáveis reais e, portanto, seus 
campos de variação podem ser representados 
por um intervalo real. Se traçarmos a reta real 
onde se representa o campo de variação x 
(variável independente) na posição horizontal, 
denominado eixo das abscissas, e a reta real 
onde se representa o campo de variação y 
(variável dependente) na posição vertical, 
denominado eixo das ordenadas, de forma a se 
cruzarem em seus respectivos zeros. O 
resultado é um diagrama da Figura 6, chamado 
plano coordenado ou plano cartesiano. 
 
 
Figura 6 
 
Se utilizarmos este plano para marcar os pares 
de valores de x e de seu correspondente y, dado 
pela função, como pontos ( , )x y , então o 
conjunto de todos os pontos possíveis descreve 
um lugar geométrico que é chamado de curva 
da função ( )y f x= ou curva de ( )f x . 
 
Definição: Seja f uma função. O gráfico de f é 
o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um 
plano coordenado, onde x pertence ao domínio 
de f. 
 
Segundo a definição de função, a cada x do 
domínio é associado um único y como imagem. 
Portanto, toda reta paralela ao eixo y deverá 
interceptar o gráfico da função em no máximo 
um ponto. 
 
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Determinação do Domínio e da Imagem de uma 
função por meio do Gráfico 
Considere a função representada pelo gráfico 
abaixo. 
 
Figura 7 
 
Dado o gráfico de uma função f: Domínio é o 
conjunto formado por todas as abscissas dos 
pontos do gráfico de f, ou seja, ( ) ( , ]Dm f a b= . 
Conjunto Imagem é formado por todas as 
ordenadas dos pontos do gráfico de f, isto é, 
Im( ) ( , ]f c d= . 
 
Exercícios 
E02: Analise se os seguintes gráficos representam 
ou não funções, justificando sua resposta: 
 a) b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
E03: Analise o gráfico abaixo e obtenha: 
 
a) o domínio da função. 
b) a imagem da função. 
c) o valor de f(0). 
 
 
E04: Dada a função 2( )f x x x= − , obtenha: 
a) ( 4)f − b) ( )f a 
c) ( ) ( )f a h f a+ − d) ( )f x h+ 
e) o valor de x, tal que ( ) 49f x = 
f) o zero da função 
 
E05: Dada a função 2( ) 4 10f x x x= − + , 
obtenha os valores de x cuja imagem seja 7. 
 
Operações Algébricas com Funções 
Definições: Sejam ( )y f x= e ( )y g x= 
funções. 
i) Adição e Subtração de funções: 
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x± = ± 
 
ii) Multiplicação de Funções: 
( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x= 
 
iii) Divisão de Funções: 
( )( ) ( )
f f x
x
g g x
 
= 
 
, se ( ) 0g x ≠ . 
 
Para as funções f g+ , f g− e .f g , 
definimos o domínio como sendo a intersecção 
dos domínios de f e g; para a função f/g, 
definimos o domínio como sendo a intersecção 
dos domínios de f e g, excluídos os pontos 
onde ( ) 0g x = (para evitar a divisão por zero). 
 
Algumas Funções Elementares 
 
Funções Polinomiais 
Definição: Função polinomial é a 
função ℜ→ℜ:f definida por: 
1 2
1 2 1( ) ....n nn n of x a x a x a x a x a−−= + + + + + em 
que os coeficientes 1 2, , ,.....o na a a a , são 
números reais e os expoentes são inteiro 
positivo, se 0
n
a ≠ então f é de grau n. 
 
Exemplo: 
a) A função constante ( )f x k= é uma função 
polinomial de grau zero; 
 
b) A função ( )f x ax b= + , a ≠ 0, é uma 
função polinomial do primeiro grau; 
 
 
y 
x 
y 
x
y 
x 
 
y 
x 
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Figura 8 
 
Figura 9 
 
 
c) A função 3( )f x x= é uma função polinomial, 
chamada função cúbica, cujo gráfico está 
representado na Figura 10: 
 
d) 4( ) 1f x x= − é uma função polinomial de grau 
4, seu gráfico tem o aspecto apresentado na Figura 
11. 
 
Figura 10 
 
Figura 11 
 
Funções Racionais 
Definição: Função racional é aquela definida como 
o quociente de duas funções polinomiais, isto é, 
( )( ) ( )
p xf x
q x
= , onde ( )p x e ( )q x são polinômios e 
( ) 0q x ≠ . 
O domínio da função racional é o conjunto dos 
números reais, excluindo aqueles x tais que 
( ) 0q x ≠ . 
Exemplo: A função 1( )
1
xf x
x
−
=
+
 é uma função 
racional de domínio ( ) R { 1}Dm f = − − e está 
representada graficamente na Figura 12: 
 
Figura 12 
Exemplo: A função 
2 1( ) xg x
x
+
= é uma 
função racional com domínio ( ) R {0}Dm g = − 
O gráfico de g está representado na Figura 13. 
 
Figura 13 
 
Funções Algébricas 
Definição: São funções que podem ser 
construídas com polinômios, aplicando-se um 
número finito de operações algébricas (adição, 
subtração, divisão e extração de raízes). 
Exemplo: 
2 23( ) ( 2)f x x x= + , 
2 5( ) 3f x x
x
= + . 
As funções que não são algébricas são ditas 
transcendentes. 
 
 
Composição de Funções 
Definição: Dadas as funções f e g, a 
composição de f e g, denotada por f gο é a 
função definida por ( )( ) ( ( ))fog x f g x= . Por 
definição, o domínio de f gο consiste em todo 
x no domínio de g para o qual ( )g x está no 
domínio de f. 
 
Exemplo (ANTON, 2007, p. 29): Seja 
2( ) 3f x x= + e ( )g x x= . Encontre 
( )( )f g xο e ( )( )g f xο 
 
Exemplo (ANTON, 2007, p. 29): Encontre 
( )( ) ( ( ( )))f g h x f g h xο ο = se ( )f x x= , 
1( )g x
x
= e 3( )h x x= . 
 
Exemplo (ANTON, 2007, p. 30): Expresse 
5( ) ( 4)h x x= − como uma composição de duas 
funções. 
 
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Exemplo (STEWART, 2006, p. 22): O Problema do 
cone. Comece com um pedaço de papel com 4 
polegadas de raio como está esquematizado na 
Figura 14. Corte um setor com um comprimento de 
arco x. Junte as duas extremidades da parte 
remanescente para formar um cone com raio r e 
altura h. 
 
 
Figura 14 
 
a) Explique por que o comprimento da 
circunferência da base do cone é 8 xpi − . 
b) Expresse o raio r em função de x. 
c) Expresse a altura h em função de x. 
d) Expresse o volumeV do cone em função de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. LIMITES 
 
O conceito de limite de uma função f é uma das 
idéias fundamentais que distinguem o Cálculo da 
Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um 
físico deseje obter quanto vale determinada medida, 
quando a pressão do ar é zero. Na verdade é 
impossível obter o vácuo perfeito. Então um 
procedimento a ser adotado é experimentalmente 
efetuar-se essas medidas com valores cada vez 
menores de pressão, se os valores desta medida 
tendem para um determinado número L, admite-se 
que no vácuo ela seria igual ao valor L. Se 
representarmos por x a pressão e a medida que 
quisermos for dada por f(x), então podemos 
representar esse resultado por: 
0
lim ( )
x
f x L
→
= . 
Esta é uma situação em que se aplica o conceito 
matemático de limites. Tal conceito é de 
fundamental importância para o desenvolvimento 
teórico de derivadas e integrais que possuem várias 
aplicações na física, eletricidade, mecânica, etc. 
 
Exemplos de situações que expressam Limites 
 
i) Compressão de um Gás 
Um gás mantido a temperatura constante sofre 
alteração de volume a medida que o gás é 
comprimido. O volume V decresce até que atinja 
uma certa pressão crítica, além dessa pressão o gás 
assume forma líquida. Observando o 
comportamento do gráfico em torno da pressão 
100 podemos perceber comportamentos bem 
distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura15: Variação no volume de um Gás, à 
temperatura constante e pressão variável. 
 
ii) Curva de Decaimento 
A Figura 16 representa o decaimento do 
radiofósforo no decorrer do tempo. Na prática, 
passadas várias meias vidas, a atividade pode 
chegar a níveis desprezíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16: Representação esquemática da meia-
vida do radioisótopo 32 P . 
 
 
iii) Crescimento Populacional 
 
Figura 17: O marco dos experimentos de 
Gause sobre a coensistência de espécies em 
culturas de laboratório levou ao princípio de 
explusão competitiva. Duas espécies de 
Paramecium foram criadas em culturas 
separadas (acima) e juntas (abaixo). Embora 
ambas as espécies prosperassem quando 
criadas em separado, P. caudatum não 
persistiu na presença de P. aurelium. 
Fonte: RICKLEFS, R. A Economia da Natureza, 5a 
edição. Ed. Guanabara/ Koogan. 
 
Noção de Limite 
Inicialmente daremos uma definição informal 
de limites. 
 
Definição: Se os valores de f(x) puderem ser 
tomados tão próximos quanto queiramos de L, 
desde que tomemos os valores de x 
 
Curva de decaimento do radiofósforo
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120
tempo (d)
at
iv
id
ad
e 
(m
Ci
)
Curva de decaimento do radiofósforo
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120
tempo (d)
at
iv
id
ad
e 
(m
Ci
)
Figura 1 – Representação esquemática da meia-vida do radioisótopo 32P. 
P 
 
LÍQUIDO 
0.8 
100 
0.3 
V 
GÁS 
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suficientemente próximos de a, mas não iguais a 
a), então escrevemos lim ( )
x a
f x L
→
= , que deve ser 
lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é 
L”. 
 
Exemplo: Tomemos a função 
( )
( )
2 9
( )
3
xf x
x
−
=
−
. 
Suponha que estejamos interessados em saber de 
que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima 
de 3. Façamos uma tabela e atribuamos a x valores 
menores que 3. 
x ( )f x 
2,5 5,5 
2,8 5,8 
2,9 5,9 
2,99 5,99 
2,999 5,999 
2,9999 5,9999 
... ... 
 
Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o 
valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos 
aproximamos de x por valores menores do que 3. 
 
Tomemos agora valores próximos de três, mas 
maiores que 3. 
 
x ( )f x 
3,4 6,4 
3,2 6,2 
3,1 6,1 
3,01 6,01 
3,001 6,001 
3,0001 6,0001 
... ... 
 
Note que, quanto mais x se aproxima de 3 por 
valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 
6. 
 
Assim, parece que o limite da função quando x 
tende a 3 é 6. Matematicamente, representamos 
esta situação por 
 3
lim ( ) 6
x
f x
→
= . 
 
Limites como os referidos acima são chamados 
limites laterais. 
 
Definição: Se os valores de f(x) puderem ser 
tomados tão próximos de L quanto queiramos 
desde que tomemos os valores de x 
suficientemente próximos de a (mas maiores do 
que a), então escrevemos 
 
lim ( )
x a
f x L
+→
= e se 
os valores de f(x) puderem ser tomados tão 
próximos de L quanto queiramos desde que 
tomemos os valores de x suficientemente 
próximos de a (mas menores do que a), então 
escrevemos 
 
lim ( )
x a
f x L
−→
= . 
 
Relação entre Limites Laterais e Bilaterais 
O limite bilateral de uma função f(x) existe em 
um ponto a se, e somente se, existirem os 
limites laterais naquele ponto e tiverem o 
mesmo valor, isto é: 
lim ( )
x a
f x L
→
= se, e somente se, 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x L f x
− +→ →
= = . 
 
Exemplo: Uma fornalha para a produção de 
cristais é usada em uma pesquisa para 
determinar a melhor maneira de manufaturar 
os cristais utilizados em componentes 
eletrônicos para os veículos espaciais. Para a 
produção perfeita do cristal, a temperatura 
deve ser controlada precisamente, ajustando-se 
à entrada da potência. Duponha que a relação 
seja dada por: 2( ) 0,1 2,155 20T w w w= + + 
onde T é a temperatura em graus Celsius e w, a 
potência de entrada em watts. 
a) Qual a potência necessária para manter a 
temperatura a 200oC? 
b) Se for permitida uma variação de ± 5oC a 
partir dos 200oC, quais serão os valores das 
potências que satisfazem? 
c) Enuncie a definição formal de limite que 
considera , e lim ( )
x c
f x Lε δ
→
= e responda: O 
que é x? O que é f(x)? O que é c? O que é L? 
Qual o valor ε dado? Qual o valor 
correspondente δ ? 
 
Definição Formal de Limites 
Seja ( )f x definida num intervalo aberto I, 
contendo a, exceto possivelmente no próprio a. 
Dizemos que o limite de ( )f x quando x 
aproxima-se de a é L, e escrevemos: 
lim ( )
x a
f x L
→
= 
se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que 
( )f x L ε− < sempre que 0 x a δ< − < 
 
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 10 
 
Dando a definição acima de uma forma que não 
contenha o símbolo de valor absoluto: 
i) 0 x a δ< − < equivale a a x aδ δ− < < + e 
x a≠ . 
ii) ( )f x L ε− < equivale a ( )L f x Lε ε− < < + 
 
Reformulando a definição de limites, teremos: 
 
lim ( )
x a
f x L
→
= 
significa que, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal 
que se x está no intervalo aberto ( , )a aδ δ− + 
x a≠ , então f(x) está no intervalo aberto 
( , )L Lε ε− + . A Figura18 ilustra a definição. 
 
Figura 18 
 
Exemplo: Usando a definição de limite, prove que: 
1
lim(3 1) 2
x
x
→
− = . 
Para esta prova devemos mostrar que, 
0, 0ε δ∀ > ∃ > , tal que: (3 1)2x ε− − < sempre 
que 0 1x δ< − < . 
 
O exame da desigualdade envolvendo ε 
proporciona uma chave para escolha de δ . 
 
As seguintes desigualdades são equivalentes: 
 (3 1) 2 
 (3 3 
 3( 1) 
3. 1 
1 
3
x
x
x
x
x
ε
ε
ε
ε
ε
− − <
− <
− <
− <
− <
 
A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. 
Fazendo
3
εδ = , vem que: 
(3 1) 2x ε− − < sempre que 0 1x δ< − < 
 
Portanto, 
1
lim(3 1) 2
x
x
→
− = . 
Exemplo: Usando a definição de limite, prove 
que: 2
4
lim 16
x
x
→
= 
Devemos mostrar que, dado ε > 0, ∃ δ > 0, tal 
que: 2 16x ε− < sempre que 0 4x δ< − < 
Da desigualdade envolvendo ε, temos. 
2 16
4 . 4
x
x x
ε
ε
− < ⇔
− + < ⇔
 
Necessitamos agora substituir 4x + por um 
valor constante.Neste caso, vamos supor: 
0 < δ ≤ 1, e então, de 0 4x δ< − < , seguem 
as seguintes desigualdades equivalentes: 
4 1
1 4 1
3 5
7 4 9
x
x
x
x
− < ⇔
− < − < ⇔
< < ⇔
< + < ⇔
 
 
Portanto, 4 9.x + < 
Escolhendo ,1,
9
min 




 ε
=δ temos que se 
4x δ− < então 
2 16 4 . 4 .9 .9 
9
x x x
εδ ε− = − + < ≤ = 
logo 2
4
lim 16
x
x
→
= 
 
Observação: Se 1
 
lim ( )
x a
f x L
→
= e 
2
 
lim ( )
x a
f x L
→
= então L1 = L2 (Unicidade do 
Limite) 
 
Exercícios: Nos exercícios E05 à E08, prove os 
limites. 
E06: ( )
 1
lim 3 7 10
x
x
→ −
− + = , com 0,5ε = 
E07:
2
 1
1lim 2
1x
x
x→
−
=
−
, com 0,75ε = 
E8:
 5
1 1lim 
2 3x x→
= −
−
, com 0,25ε = 
 
Propriedades dos limites 
A seguir introduziremos propriedades que 
podem ser usadas para encontrar muitos limites, 
sem utilizar a pesquisa do número δ conforme 
definição. 
 
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 11 
 
P1. Sejam a e c números reais quaisquer, então 
lim
x a
c c
→
= isto é, o limite de uma constante é a 
própria constante. 
 
P2. Se a, b, m são números reais, então 
lim( )
x a
mx b ma b
→
+ = + 
 
Exemplo: 
4
lim(3 5) 3.4 5 7
x
x
→
− = − = 
 
P3. Se lim ( )
x a
f x L
→
= e lim ( )
x a
g x M
→
= então: 
a) 
 
lim [ ( ) ( )] 
x a
f x g x L M
→
+ = + 
b) 
 
lim [ ( ). ( )] . 
x a
f x g x L M
→
= 
c) 
 
( ) Llim = desde que M 0( ) Mx a
f x
g x→
≠ 
d) [ ]
 
lim ( ) ( p/ inteiro positivo n) n n
x a
f x L
→
= ∀ 
e) 
 
lim ( ) , desde que L 0 p/ n par nn
x a
f x L
→
= > 
f) [ ]
 
lim ln ( ) ln . , desde que L 0 
x a
f x L
→
= > 
g) lim cos[ ( )] cos( )
x a
f x L
→
= 
h) limsen[ ( )] sen( )
x a
f x L
→
= 
i) ( )
 
lim f x L
x a
e e
→
= 
 
Exemplo: Determine o seguinte limite: 
2
 2
lim ( 3 1)
x
x x
→
− + = 
3 2
 2 2 2
2 2
lim ( ) lim (3 ) lim 1
2 3.2 1 1
P
x x x
P
x x
→ → →
→ − +
→ − + = −
 
Assim, 2
 2
lim ( 3 1) 1
x
x x
→
− + = − 
 
Vemos neste exemplo que o valor de 
 
lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= 
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. 
Enunciando então, formalmente, temos: 
 
Teorema: Se f é uma função polinomial, então 
 
lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= 
 
Exemplo: Calcule 2
 2
lim ( 5 1)
x
x x
→
− + . 
2
 2
lim ( 5 1)
x
x x
→
− + 512.522 −=+−= 
 
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos 
fornecem resultados úteis para o cálculo de limites. 
 
Teorema: Se f é uma função racional, e a 
pertence ao domínio, então 
 
lim ( ) ( )
x a
q x q a
→
= 
 
Exemplo: Calcule 
2
 3
5 2 1lim
6 7x
x x
x→
− +
−
 
Resolução: 
 
2 2
 3
5 2 1 5.3 2.3 1lim
6 7 6.3 7
40 7
 = 3
11 11
x
x x
x→
− + − +
=
− −
=
 
 
 Exemplo: Calcular 3 2
 5
lim 3 4 9
x
x x
→
− + 
Resolução: 
3 2 23
 5 5
3
3
lim 3 4 9 lim(3 4 9)
 = 75-20+9
 = 64 4
x x
x x x x
→ →
− + = − +
=
 
 
Limites Indeterminados 
Em alguns casos não é possível calcular o valor 
do limite por simples substituição. Ao adotar 
tal procedimento nos deparamos com 
resultados do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
. 
 
Exemplo: Calcular o limite abaixo: 
2
2
 2
2lim ( 4)x
x x
x→
− −
−
 
Resolução: 
Seja 2( ) 2f x x x= − − e 2( ) 4f x x= − . Então 
2(2) 2 2 2 0f = − − = e 2(2) 2 4 0g = − = . 
 
Assim, ao substituirmos direto teríamos uma 
indeterminação do tipo 
0
0
, logo tal 
procedimento não pode ser utilizado. 
No caso de indeterminações do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
 
há vários métodos que podem ser aplicados de 
acordo com as funções envolvidas. Deixaremos 
estes casos quando estudarmos derivadas. 
Utilizando-se de derivadas apresentaremos um 
método prático para resolver tais casos. 
 
 
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 12 
 
Limites Laterais 
Vimos que para determinar o limite de uma função 
quando x tende para a, devemos verificar o 
comportamento da função para valores de x muito 
próximos de a, maiores ou menores que a. 
 
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x 
se aproxima de a por valores menores do que a é 
denominado limite à esquerda de f. Analogamente, 
o valor do qual f se aproxima quando x tende para 
a através de valores maiores que a é o limite à 
direita de f. 
 
Estes limites são chamados limites laterais. 
Limite à esquerda: 
 
lim ( )
x a
f x
−→
 teremos x a< , 
logo x a h= − , onde 0h > é muito pequeno. 
 
Limite à direita: 
 
lim ( )
x a
f x
+→
 teremos x a> , logo 
x a h= + , onde 0h > é muito pequeno. 
 
Quando temos o gráfico de uma função ou temos 
esta função definida por várias sentenças fica 
simples calcular os limites laterais. 
 
 
Funções Definidas por Partes 
 
Definição: São funções definidas por várias 
sentenças (leis, equações) matemáticas, para 
intervalos do seu domínio. 
 
Exemplo: 
 ( ) 
 =
 ( ) 
f x se a x b
y
g x se b x c
≤ <
 ≤ ≤
 
 
Gráfico: Para o traçado do gráfico, consideramos 
separadamente as várias sentenças matemáticas 
com seus intervalos do seu domínio. Depois, num 
mesmo sistema de eixos, traçamos o gráfico 
relativo a cada sentença, obedecendo a seu 
intervalo de variação. 
 
Exemplo: Um cientista recebeu uma substância 
desconhecida, no estado sólido, para ser analisada. 
O gráfico da Figura 19 representa o processo de 
aquecimento de uma amostra dessa substância. 
Obtenha a função ( )T t da temperatura em função 
do tempo, até o tempo de 60 minutos. 
 
Figura 19 
 
Função Modular 
Definição: Função modular é a função de ℝ 
em ℝ , definida por:
 
, se 0
 ( )
, se 0
x xf x
x x
≥
= 
− <
 
 
O gráfico da função modular é equivalente à 
reunião dos gráficos das sentenças que a 
definem, como mostra a Figura 20. 
 
Figura 20 
 
Lembre-se que: 
O módulo (valor absoluto) de um número real 
x, é definido como sendo o maior valor entre x 
e x− , e é indicado por x , isto é: 
{ , }x max x x= − 
 
Por definição: 2x x= 
 
 
Exemplo: Seja a função definida pelo gráfico 
da Figura 21, calcule: 
 a)
 1
lim ( )
x
f x
−→
 b) 
 1
lim ( )
x
f x
+→
 
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Figura 21 
 
Resolução: 
Observando o gráfico, podemos concluir que: 
 1
 1
lim ( ) 5
lim ( ) 3
x
x
f x
f x
+
−
→
→
=
=
 
 
Logo não existe o limite desta função quando x 
tende a 1. 
 
 
Exemplo: Seja a função 
2
2
1, para 2
( ) 2, para 2
9 , para 2
x x
f x x
x x
 + <

= =

− >
 
Calcule: 
 2
 2 2
lim ( ), lim ( ) e lim ( )
xx x
f x f x f x
+ − →→ →
 
 
 
 
Resolução: 
Quando 2x +→ significa 2x > , logo 
2( ) 9f x x= − . Assim 2 2
2
lim (9 ) 9 2 5
x
x
+→
− = − = . 
Quando 2x −→ significa 2x < , logo 
2( ) 1f x x= + Assim 2 2
 2
lim ( 1) 2 1 5
x
x
+→
+ = + = 
 
Como os limites laterais são iguais, concluímos 
que 
2
lim ( ) 5
x
f x
→
= . 
 
Exemplo: Calcule 
 2
lim ( )
x
f x
→
 , onde 
2
3 2( ) 
 2
x se xf x
x se x
≤
= 
>
 
 
Quando a função não está definida por várias 
sentenças, ou não temos o gráfico da função, 
teremos que usar um artifício que chamaremos de 
incremento h para encontrar os limites laterais. 
Exemplo: Calcule por mudança de variáveis os 
limites laterais à esquerda e à direita 
respectivamente, das funções abaixo, nos 
pontos indicados: 
a) 2 1, em 1y x x= + = 
b) 2 , em 2y x x= = 
c) 21 2 em 1y x x x= − + = − 
 
 
Exercícios 
E09: Considerando as funções definidas nos 
item a b e c, encontre os limites abaixo, se 
existirem 
11 1
lim ( ) , lim ( ) e lim ( ) 
xx x
f x f x f x
− + →→ →
 
a) 2
4 , se 1( )
1, se 1
x xf x
x x
− ≥
= 
− <
 
b) 3 1, se 1( )
3 - , se 1
x xf x
x x
− ≤
= 
>
 
c) 
2
 se 1
( ) 2 se 1
- 2 se 1
x x
f x x
x x
− <

= =
 >
 
 
E10: Para a função representada graficamente, 
determine, se existir, cada item abaixo. Caso 
não exista, justifique. 
a) 
0
lim ( )
x
f x
→
 b) 
3
lim ( )
x
f x
+→
 
c) 
3
lim ( )
x
f x
−→
 d) 
3
lim ( )
x
f x
→
 e) f(3) 
 
 
 
E11: Para a função representada, determine, se 
existir, cada item abaixo. Caso não exista, 
justifique. 
a) 
3
lim ( )
x
f x
−→
 b) 
3
lim ( )
x
f x
+→
 
c) 
3
lim ( )
x
f x
→
 d) 
1
lim ( )
x
f x
→
 
e) f(3) f) f(-2) 
g) 
2
lim ( )
x
f x
−→−
 h) 
2
lim ( )
x
f x
+→−
 
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E12: Para a função representada graficamente, 
determine, se existir, cada item abaixo. Caso não 
exista, justifique. 
a) 
3
lim ( ) 
x
f x
−→−
 b) 
3
lim ( )
x
f x
+→−
 
c) 
3
lim ( )
x
f x
→−
 d) 
2
lim ( )
x
f x
−→
 
e) 
2
lim ( )
x
f x
+→
 f) 
2
lim ( )
x
f x
→
 
g) (2)f h) (1)f 
i) ( 3)f − j) 
1
lim ( )
x
f x
→
 
 
 
 
E13: Para a função representada, determine, se 
existir, cada item abaixo. Caso não exista, 
justifique. 
a) 
0
lim ( )
x
f x
−→
 b) 
0
lim ( )
x
f x
+→
 
c) 
0
lim ( )
x
f x
→
 d) 
4
lim ( )
x
f x
−→
 
e) 
4
lim ( )
x
f x
+→
 f) 
4
lim ( )
x
f x
→
 
g) (4)f h) (0)f 
i) ( 5)f − j) 
5
lim ( )
x
f x
→−
 
 
E14: Calcule os seguintes limites laterais: 
a) 22
2lim
4x
x
x−→
+
−
 b) 
2
lim
2x
x
x+→ −
 
c) 
4
lim
4x
x
x−→ −
 d) 22
2lim
4x
x
x+→
+
−
 
e) 26
6lim
36x
x
x+→
+
−
 f) 23lim 9x
x
x+→ −
 
 
 
E15: Calcule o 
2
lim ( )
x
f x
→
sendo 
2 4
 se 2( ) 2
5 se 2
x
xf x x
x
 −
≠
=
−

=
 
 
E16: Usando as propriedades e os teoremas 
sobre limites, calcule os limites abaixo: 
a) 3
2
lim 3 2 7 
x
x x
→−
− + b) ( )( )2
x 2
lim 3 4x x
→
+ − 
c) 
1
2
2
3
4 6 3lim
16 8 7x
x x
x x→
− +
+ −
 d) 
x 2
lim 15
→
 
e) 
1
2
2
2
2 5 3lim
6 7 2x
x x
x x→
+ −
− −
 f) 
4
6 1lim
2 9s
s
s→
−
−
 
g)
2 3
41
(4 5 3)lim (6 5)t
t t
t→−
+ −
+
 h)
2
3
23
2 5 3lim
1x
x x
x→
+ −
−
 
i) 2 3
2
lim 3 4 3 2
x
x x
→
+ + + 
j) 2
x 3
9
, se -3
lim ( ) sendo ( )
4+x, se 3
xf x f x x
x
→−

<
= 
 ≥ −
 
k) 
3
2
, se 2lim ( ), sendo ( )
4 - 2 , se 2 x
x xf x f x
x x→
 ≤
= 
>
 
 
E17: Calcule os seguintes limites 
a) ( )
2
lim 2 3
x
x
→
− b) ( )
0
lim 5 4
x
x
→
− 
c) 
7
lim 2
x
x
→
+ d) 3
 8
lim
x
x
→
 
 
E18: Calcule os limites abaixo 
a) 
5
3 2lim 
1x
x
x→
+
−
 b) ( )32
5 2lim 
2x
x
x→
−
+
 
c) 
2
21
2 6lim 
4 4 3x
x x
x x→
+ −
− −
 d) 2
3
lim ( 9 )
x
x x
→
− − 
 
E19: Considere a função definida por 
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 15 
 
2
3 , se 1
( ) 4, se 1
1, se 1
x x
f x x
x x

− <

= =

+ >
 
Ache 
- x 1x 1 x 1
lim ( ), lim ( ) e lim ( ),f x f x f x
+ →→ →
 
 
Limites Infinitos 
Ao analisarmos
 
lim ( )
x a
f x
−→
 ou 
 
lim ( )
x a
f x
→ +
 pode 
ocorrer que, ao tender x para a, o valor f(x) da 
função ou aumente sem limite , ou decresça sem 
limite. 
 
Exemplo: Como ilustração, considere a seguinte 
função: 1( )f x
x
= 
Primeiramente devemos verificar que *: RDm . 
Atribuindo valores para x, próximos de zero pela 
direita teremos os valores abaixo: 
 
x 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 
f(x) 5 10 100 1000 10000 100000 1000000 
 
Assim: 
0
1lim
x x+→
cresce sem limite, isto é tende à 
mais infinito. Logo: 
0
1lim
x x+→
= ∞ 
 
Agora, atribuindo valores para x próximos de zero 
pela esquerda, teremos: 
 
x -0.3 -0.2 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 
f(x) -3 -5 -10 -100 -1000 -10000 -100000 
 
Assim: 
0
1lim
x x→ −
 decresce sem limite, isto é tende à 
menos infinito. Logo: 
0
1lim
x x→ −
= −∞ . 
A Figura 22 nos mostra o gráfico da função 
1( )f x
x
= 
 
O símbolo ∞ ( infinito) não representa um número 
real. É apenas uma notação para representar o 
comportamento de certas funções. 
 
 
 
Figura 22 
 
Exemplo: Analise o comportamento da função 
2( )
1
f x
x
=
−
 quando x tende a 1. 
 
Resolução: Verifique que não podemos 
substituir 1 na função para calcular o limite. 
Sendo assim, vamos utilizar os limites laterais. 
Para 1x −→ , fazemos 1x h= − , com 0h → 
 
 Lembrando-se que h é sempre positivo. Assim, 
0 0 0
2 2 1lim lim 2.lim
1 1h h hh h h→ → →
= =
− +
 
 
Pelo exemplo anterior , sabemos que 
0
1lim
h h→
= +∞ . Logo, 
0
12.lim
h h→
= +∞ 
 
Agora, para 1x +→ , fazemos 1x h= + , com 
0h → . 
0 0 0
2 2 1lim lim 2.lim
1 1h h hh h h→ → →
= = −
− − −
 
 
Como 
0
1lim
h h→
= +∞ . Logo, 
0
12.lim
h h→
− = −∞ 
Assim: 
1
lim ( )
x
f x
−→
= +∞ e 
1
lim ( )
x
f x
+→
= −∞ 
Logo não existe 
1
lim ( )
x
f x
→
. 
 
Teorema: Se n é um número positivo qualquer, 
então: 
i) 
0
1lim
n
x x+→
= +∞ 
ii) 
0
, se é par1lim
, se é ímparnx
n
nx−→
+∞
= 
−∞
 
Por enquanto nos basta a afirmação i), e 
podemos escrever que: 
 0
1lim
x x+→
= +∞Notas das Aula de Cálculo Diferencial e Integral I – Engenharia Ambiental 
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 16 
 
Exemplo: Calcule 
3
lim
3x
x
x+→ −
 
Resolução: 
Fazendo 3x h= + , com 0h → , temos: 
 0
 3
 0
 0 0
 0 0
3lim lim
3 3 3
3
 = lim
3
 = lim lim
3
 lim lim1
hx
h
h h
h h
x h
x h
h
h
h
h h
h
+ →→
→
→ →
→ →
+
=
− + −
+
+
= +
 
Como 
 0 0
3lim lim1 1
h h
e
h→ →
= +∞ = 
temos: 
 0 0
 3
 3
3lim lim lim1
3
 1
lim 
3
h hx
x
x
x h
x
x
+
+
→ →→
→
= +
−
= +∞ +
= +∞
−
 
 
Exemplo: Calcule 2
 2
lim 
- 4x
x
x+→
 
Resolução: 
Fazendo 2x h= + , com 0h → , temos: 
2 2
 0
 2
2lim lim
4 (2 ) 4hx
x h
x h+ →→
+
=
− + −
 
2 2
 0 0 0
2 2 2
= lim lim lim
4 4 4 4 (4 )h h h
h h h
h h h h h h→ → →
+ + +
= =
+ + − + +
 
Assim, 
2
 0
 2
1 2lim lim .
4 4hx
x h
x h h+ →→
+
=
− +
 
 
0 0
1 2lim .lim
4h h
h
h h→ →
+
=
+
 
2
 2
1lim .
4 2x
x
x+→
= +∞ = +∞
−
 
 
 
Limites no Infinito 
Noção Intuitiva 
Consideremos , novamente a função 1( )f x
x
= e 
analisemos, a tabela abaixo, o seu comportamento 
quando os valores de x crescem ilimitadamente 
através de valores positivos 
x 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 
f(x) 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 
 
Notamos que quando x cresce ilimitadamente 
por valores positivos os valores da função se 
aproximam cada vez mais de 0 ( zero) 
 
Simbolicamente, representamos tal fato por: 
 
1lim 0
x x→+∞
=
 
 
o que se lê: limite de f(x) , quando x tende a 
mais infinito é igual a zero. 
 
Mais uma vez lembramos que ∞ não é um 
número real e, assim, nenhuma variável x 
jamais pode ser substituída por ∞ . A 
terminologia “x se aproxima de ∞ ”, ou “x 
tende a ∞ ”, não significa que x fique cada vez 
mais próximo de algum número real. 
Intuitivamente, imaginamos x crescendo sem 
limite. 
 
O símbolo ∞ indica o comportamento da 
variável independente de x. 
 
Consideremos agora, para a mesma função, x 
decrescendo ilimitadamente através de valores 
negativos. 
 
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 
y -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 -0,000001 
 
Observando a tabela anterior, verificamos que 
quando x decresce ilimitadamente através de 
valores negativos, a função se aproxima cada 
vez mais de zero. 
 
Simbolicamente, representamos tal fato por: 
 
1lim 0
x x→−∞
=
 
 
o que se lê: limite de f(x) , quando x tende a 
menos infinito é igual a zero . 
 
Concluímos: 
 
1lim 0
x x→+∞
= e 
1lim 0
x x→−∞
= 
 
Teorema: Se n é um número inteiro positivo 
qualquer, então: 
i) 1lim 0
nx x→+∞
= 
ii) 1lim 0
nx x→−∞
= 
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 17 
 
Propriedades de Limites no Infinito 
Considere os seguintes polinômios: 
1 2
0 1 2
1 2
0 1 2
( ) ... 
( ) ...
n n n
n
n n n
n
P x a x a x a x a e
Q x b x b x b x b
− −
− −
= + + + +
= + + + +
 
P1: Limite de um Polinômio 
0
 
lim ( ) lim ( )n
x x
P x a x
→+∞ →+∞
= 
 
 
Exemplo: Calcule o limite indicado: 
3 2
 
3
 
 
lim ( ) lim ( 4 6 7 13)
lim ( ) lim ( 4 )
lim ( )
x x
x x
x
P x x x x
P x x
P x
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
→+∞
= − + − +
= −
= +∞
 
 
 
P2: Limite de uma função Racional 
Dada a função racional ( )( ) ( )
P xf x Q x= onde P e Q 
são polinômios temos: 
0
 0
( )lim lim( )
n
px x
a xP x
Q x b x→+∞ →+∞
= 
 
 
Exemplo: Calcule os limites indicados: 
a) 
3 2
2
10 8 115lim
7 10 9x
x x x
x x→∞
+ − +
− +
 
Resolução: 
3 2 3
2 2
3 2
2
3 2
2
10 8 115 10lim lim
7 10 9 9
10 8 115 10lim . lim
97 10 9
10 8 115 10lim .
97 10 9
x x
x x
x
x x x x
x x x
x x x
x
x x
x x x
x x
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞
+ − +
=
− +
+ − +
=
− +
+ − +
= ∞ = ∞
− +
 
 
b)
3 2
4 2
15 8 68lim
2 119x
x x x
x x x→−∞
− +
− + −
 
 
 
Exercícios 
E20: Considere a função abaixo: 
( )2
2 , se -1
( ) , se -1 1
-1 , se 1
x x
f x x x
x x

− <

= ≤ <

>
 determine: 
 
a) 
 -1
lim ( ) 
x
f x
→
 b )
 1
 lim ( ) 
x
f x
→
 
 
c) f(-1) d) f(1) 
 
E21: Determine os seguintes limites: 
a) 2 5lim
8x
x
x→+∞
−
+
 b) 
3
5
2 3 5lim
4 2x
x x
x→−∞
− +
−
 
c) 
2
2
2 3lim
2 5 3x
x x
x x→+∞
− +
+ −
 d) 2
1lim
8x
x
x→−∞
+
+
 
e) 
5 2
2
3 7lim
2x
x x
x→−∞
− +
−
 
 
E22: Determine o limite das funções abaixo, 
quando x tende à 3. 
a) 2, se 3( )
2 , se 3
x xf x
x x
+ ≤
= 
>
 
b) 2, se 3( )
7, se 3 
x xf x
x
+ ≠
= 
=
 
c) 2 1, se 3( )
8, se 3
x xf x
x
+ ≠
= 
=
 
 
E23: Determine o limite função abaixo, quando 
x tende à 0. 
2
, se 0( )
- , se 0
x xf x
x x
 ≥
= 
<
 
 
E24: Calcule o 
1
lim ( ) 
x
f x
→
, sendo 
2
 se 1( )
2 se 1
x xf x
x x
 <
= 
>
 
E25: Calcule os seguintes limites 
a) 2
1 3lim 5 
x x x→−∞
 
+ + 
 
 b) 2 1lim
3x
x
x→+∞
+ 
 + 
 
c) 
2 1lim
3 2x
x
x→∞
+
+
 d) 3
 
2lim 5
xx→ ∞
+ 
 
Limites Notáveis 
Vejamos na sequência, dois limites notáveis: 
Limite Fundamental Exponencial e Limite 
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 18 
 
Trigonométrico Fundamental. A fim de bem 
comprehende-los, alguns conceitos preliminares 
devem ser observados. 
 
Definição de Função Exponencial 
Definição: Chamamos função exponencial de base 
b, a função * :f +→ℝ ℝ , definida por: ( ) xf x b= 
, com 0b > e 1b ≠ 
 
Exemplos: 
a) ( ) 2xf x = b) 1( )
2
x
f x  =  
 
 c) 1( ) 3xf x += 
 
Características: Com relação ao gráfico da função 
( ) xf x b= , afirmamos que: 
a) a curva que o representa está toda acima do eixo 
das abscissas, pois xy b= para todo x∈ℝ ; 
b) corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1) ; 
c) ( ) xf x b= é crescente para 1b > e decrescente 
para 0 1b< < . 
d) ( )Dm f = ℝ e *Im( )f += ℝ . 
 
A Figura 23 ilustra três funções exponenciais 
decrescentes, no primeiro gráfico e três funções 
crescentes no segundo. 
 0 1b< < 1b > 
 
Figura 23 
Função Logarítmica 
Iniciamos por recordar a definição de logaritmo. 
Definição: O logaritmo log xb N x b N= ⇔ = , 
onde: 
 é a base
 é o logaritmando
 é o logarítmo
b
N
x





 
Condição de Existência: 0, 0, 1N b b> > ≠ 
 
É imediato que: 
loglog 1 0; log 1; b Nb b b b N= = = 
 
Propriedades: Sejam *0, 1 e ,b b a c +> ≠ ∈ℝ , então: 
P1: log ( ) log logb b bac a c= + 
 
P2: log ( / ) log logb b ba c a c= − 
P3: log ( ) lognb ba n a= 
P4: 
1log log ,mb ba a m
m
= ∈ℕ 
P5: 
loglog
log
k
b
k
a
a
b
= ,para todo * , 1k k+∈ ≠ℝ . 
P6: colog logb ba a= − , cologaritmo de a na 
base b . 
 
Definição de Função Logarítmica 
Definição: Chamamos função logarítmica de 
base b, a função*:f + →ℝ ℝ que associa a 
cada número real x o número logb x , ou seja: 
*:f + →ℝ ℝ 
( ) logbf x x= , com 0, 0, 1x b b> > ≠ . 
 
Características: Com relação ao gráfico da 
função ( ) logbf x x= , afirmamos que: 
a) a curva que o representa está toda à direita 
do eixo das ordenadas, pois a função não está 
definida para 0x ≤ ; 
b) corta o eixo das abscissas no ponto (1,0) ; 
c) ( ) logbf x x= é crescente para 1b > e 
decrescente para 0 1b< < . 
d) *( )Dm f += ℝ e Im( )f = ℝ . 
 
A Figura 24 ilustra três funções logarítmicas 
decrescentes, no primeiro gráfico e três 
funções crescentes no segundo. 
 
 0 1b< < 1b > 
 
Figura 24 
 
Observe que a função logarítmica é a inversa 
da função exponencial, pois: 
log yb x y b x= ⇔ = . Compare os gráficos das 
funções ( ) 3xf x = e 3( ) logf x x= num mesmo 
sistema cartesiano. 
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 19 
 
 
Figura 25 
 
As definições que seguem conceituam funções 
inversas: 
 
Função Inversa 
Definição: Se as funções f e g satisfazem as duas 
condições: 
( ( ))g f x x= , para todo x do domínio de f 
( ( ))f g x y= , para todo y do domínio de g 
 
Dizemos que f e g são funções inversas uma da 
outra, ou então, que f é uma inversa de g e g é uma 
inversa de f. 
Pode-se mostrar que se uma função f admite 
inversa, então essa inversa é única. Denotamos 
então a inversa de f por f -1. 
 
As seguintes relações entre domínio e imagem de 
funções inversas são verdadeiras: 
1( ) Im( )Dm f f− = e 1Im( ) ( )f Dm f− = 
 
Teorema: Se uma equação ( )y f x= pode ser 
resolvida para x como uma função de y, digamos 
( )x g y= , então f tem uma inversa, a qual é 
1( ) ( )g y f y−= . 
 
Exemplo: Determine a inversa de 3( ) 3f x x= − . 
Resolução: 
Como ( )y f x= , trocamos x por y e y por x: 
3 3x y= − 
 Isolando y: 
3 3y x= + e 
3 3y x= + 
Portanto, 1 3( ) 3f x x− = + é a função inversa de 
3( ) 3f x x= − . 
O próximo teorema estabelece a condição 
necessária e suficiente para a existência da função 
inversa: 
 
 
Teorema: Uma função f tem inversa se, e 
somente se, f é injetora. 
 
Observe que, uma função pode ser classificada 
em: 
 
a) Injetora. Dizemos que uma função 
:f A B→ é injetora quando para quaisquer 
elementos 1x e 2x de A, 1 2( ) ( )f x f x= 
implica 1 2x x= . Em outras palavras, quando 
1 2x x≠ , em A, implica 1 2( ) ( )f x f x≠ . 
 
b) Sobrejetora. Dizemos que uma função 
:f A B→ é sobrejetora quando para todo 
y B∈ , existe pelo menos um x A∈ tal que 
( )f x y= . 
 
c) Bijetora. Uma função :f A B→ chama-se 
bijetora quando é injetora e sobrejetora ao 
mesmo tempo. 
 
 
Teorema: (Teste da reta horizontal) Uma 
função f tem inversa se, e somente se, seu 
gráfico é cortado, no máximo, uma vez por 
qualquer reta horizontal. 
 
 
Teorema: Se f tiver inversa, então os gráficos 
de ( )y f x= e 1( )y f x−= são reflexões um do 
outro em relação à reta y x= . 
 
Figura 26 
 
Especialmente, definimos as funções inversas: 
 
Função Exponencial Natural e Logaritmo 
Natural 
O número 2,718291...e = (Número de Euler) é 
um número irracional de grande utilidade em 
cálculos de diferentes áreas do conhecimento. 
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 20 
 
A função exponencial de base e , ( ) xf x e= é 
denominada de função exponencial natural e sua 
função inversa é ( ) ln( )f x x= , onde ln( ) log
e
x x= . 
O ln( )x é o logaritmo de x na base e e é 
denominado de logaritmo natural. Todas as 
propriedades válidas para o exponencial e 
logaritmo em outras bases valem também para a 
base e . 
 
 
Número “e” 
No estudo dos logaritmos já nos referimos ao 
número e. Esse número é a base do sistema de 
logaritmos naturais ou neperianos. O número e 
pode ser obtido por meio de uma sucessão notável 
(sucessão de Euler), cujo termo geral é: 
11a
n
n
n
 
= + 
 
 
para: 
1
1
11 1 2
1
n a
 
= ⇒ = + = 
 
 
2
1
12 1 2,25...
2
n a
 
= ⇒ = + = 
 
 
3
1
13 1 2,36...
3
n a
 
= ⇒ = + = 
 
 
5
1
15 1 2,48...
5
n a
 
= ⇒ = + = 
 
 
6
1
16 1 2,49...
6
n a
 
= ⇒ = + = 
 
, e assim por 
diante. 
Notamos que aumentando o valor de n, 
infinitamente, an tende ao valor aproximado de 
2,71. 
 
 
Limite Exponencial Fundamental 
 
1lim 1 2,718281828.......
n
n
e
n→+∞
 
+ = ≅ 
 
 
O número “e” é irracional. 
 
Dois limites podem ser obtidos como conseqüência 
do limite exponencial fundamental. 
 
Representação gráfica de e. 
 
Figura 27 
Primeira Conseqüência: 
1
0
lim (1 ) x
x
x e
→
+ = 
De fato, fazendo 1 1x n
n x
= ⇒ = , e observando 
que quando 0x n→ ⇒ → +∞ , ficamos com 
1
0
1lim (1 ) lim 1
n
x
x n
x e
n→ →+∞
 
+ = + = 
 
, que é o 
próprio limite exponencial fundamental. 
 
Exemplo: Calcule ( )
1
*
 0
lim 1 , R .x
x
kx k
→
+ ∈ 
Solução: 
Podemos escrever: 
( ) ( ) ( )
 1 1
 
 1 1 1
k
x kx
k
kxkx kx kx
 
+ = + = + 
  
 
Fazendo kx t= , resulta que se 0 0x t→ ⇒ → 
portanto, ficamos com: 
( ) ( )
 1 1
 0 0
lim 1 lim 1 
k
kx t
x t
kx t e
→ →
 
 + = + =
 
  
 
 
Segunda Conseqüência: 
 0
1lim 1
x
x
e
x→
−
= 
Fazendo 1 1 ln( 1)x xe u e u x u− = ⇒ = + ⇒ = + , 
e é evidente que quando 0, u 0.x → → 
Daí 
 0 0 0
1 1lim lim lim 1ln( 1)
 ln( 1)
x
x u u
e u
x u
u
u
→ → →
−
= =
+ +
 
Notas das Aula de Cálculo Diferencial e Integral I – Engenharia Ambiental 
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 21 
 
1 1
 0
 0
1 1lim 
ln(1 ) lim ln(1 )
u
u u
u
u u
→
→
= =
 
 + +
 
  
 
1
 0
1 1 1
ln
ln lim (1 ) u
u
e
u
→
= = =
 
 +
 
  
 
 
A fim de estudarmos o Limite Trigonométrico 
Fundamental vamos considerar alguns conceitos 
básicos sobre funções trigonométricas. 
 
Funções Periódicas 
Definição: Dizemos que uma função ( )f x é 
periódica se existe um número real T ≠ 0 tal que 
( ) ( )f x T f x+ = para todo ( )x Dm f∈ . 
 
O número T é chamado período da função ( )f x . O 
gráfico de uma função periódica se repete a cada 
intervalo de comprimento T. 
 
Exemplos de gráficos de funções periódicas são 
dados nas Figuras 27 e 28. 
 
 
Figura 27 
 
Figura 28: O modelo Lotka-Volterra define um ciclo 
regular de populações de predadores e presas. Estas 
curvas de tamanho populacional de predadores e 
presas mostra que dois ciclos caminham 
continuamente fora de fase um com o outro. 
Fonte: RICKLEFS, R. A Economia da Natureza, 5a 
edição. Ed. Guanabara/ Koogan. 
 
As funções trigonométricas são exemplos de 
funções periódicas. 
 
Funções Trigonométricas 
 
Função Seno 
Definição: Chamamos de função seno, a 
função :f →ℝ ℝ que, a cada número real x, 
associa o seno desse número ( ) ( )f x sen x= . 
O gráfico da função ( ) ( )f x sen x= , denomina-
se senóide e encontra-se na Figura 29 
 
O domínio da função seno é o conjunto dos 
reais e o conjunto imagem é o intervalo 
[ ]1, 1− . 
A função seno é periódica e seu período é 
2 radpi , já que ( 2 ) ( )sen x sen xpi+ = . 
 
Em alguns intervalos a função é crescente e em 
outros é decrescente. Por exemplo, nos 
intervalos
 
2
 0, 




 pi
e 





pi
pi 2,
2
3
 
 a função é 
crescente. Já no intervalo 




 pipi
2
3
 ,2
 ela é 
decrescente. 
 
Figura 29 
Função Cosseno 
Definição: Chamamos de função cosseno, a 
função :f →ℝ ℝ que, a cada número real x, 
associa o cosseno desse número. 
( ) cos( )f x x= 
 
O gráfico da função ( ) cos( )f x x= , denomina-
se cossenóide e está representado na Figura 30 
O domínio da função cosseno é o conjunto dos 
reais e o conjunto imagem é o intervalo 
[ 1,1]− . 
A função cosseno é periódica e seu período é 
2 radpi , já que cos( 2 ) cos( )x xpi+ = . 
 
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 22 
 
Em alguns intervalos a função cos( )x é crescente 
e em outros é decrescente. Por exemplo, no 
intervalo [0, pi] a função é decrescente. Já no 
intervalo [pi, 2pi] ela é crescente. 
 
Figura 30 
 
De forma geral, considerando as funções: 
sen( )y a b mx n= + + e cos( )y a b mx n= + + 
Temos: ( )Dm y = ℝ , ( )CDm f = ℝ 
( ) [ , ]Im y a b a b= − + , 0b > e 2 rad
m
P pi= 
 
Outras Funções Trigonométricas 
Função Tangente 
A função tangente, designada por tg, é definida por 
( )( )
cos( )
sen x
tg x
x
= . O domínio é 
( ) { / cos( ) 0}Dm tg x x= ∈ ≠ℝ ou seja, 
( ) { R / ,com }
2
Dm tg x x K Kpipi= ∈ ≠ + ∈ℝ e a 
imagem é Im( ) { }tg x= ∈ℝ 
 
Figura 31 
 
Função Cotangente 
A função cotangente, designada por cotg, é 
definida por cos( )( ) ( )
x
cotg x
sen x
= . O domínio é 
( ) { R / ( ) 0}Dm cotg x sen x= ∈ ≠ ou seja, 
( ) { / ,com }Dm cotg x x K Kpi= ∈ ≠ ∈ℝ ℝ e a 
imagem é Im( ) { }cotg x= ∈ℝ 
 
Figura 32 
 
Função Secante 
É definida por 1( )
cos( )sec x x= , com 
(sec) { / cos( ) 0}Dm x x= ∈ ≠ℝ . 
 
Figura 33 
 
Função Cossecante 
É definida por 1( ) ( )cosec x sen x= , com 
(cos ) { / ( ) 0}Dm ec x sen x= ∈ ≠ℝ . 
 
Figura 34 
 
Funções Trigonométricas Inversas 
Função Arco Seno 
A função seno não é invertível, visto que não é 
injetora; então consideremos uma restrição em 
a um intervalo convenientemente escolhido, de 
forma a obtermos uma função injetora. Seja f a 
restrição da função seno no intervalo 
,
2 2
I pi pi = −  
. A função inversa de f é 
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 23 
 
denominada de função arco seno e representada 
por: 1( ) ( )f x arcsen x− = . Assim, 
( ) [ 1,1]Dm arcsen = − e Im( ) ,
2 2
arcsen
pi pi 
= −  
. 
Por um processo análogo, definimos a função arco 
cosseno. Porém, é necessário observar que no 
intervalo escolhido na restrição f adotada para o 
seno, a função cosseno não é injetora. 
 
Dessa forma, seja g a restrição da função cosseno 
no intervalo [ ]0,I pi= . A função inversa de g é 
denominada de função arco cosseno e representada 
por: 1( ) cos( )f x arc x− = . 
 
 
 
Figura 35: Funções arcsen e arccos, respectivamente. 
 
Com procedimento análogo ao usado para as 
funções ( )y arcsen x= e arccos( )y x= , obtemos 
as demais funções trigonométricas inversas. 
 
 
Limite Trigonométrico Fundamental 
 0
 lim 1
x
sen x
x→
= 
No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja 
AM um arco de x radianos, com 0
2
x
pi
< < . 
Na Figura 36, x AM= , ( )sen x PM= e 
( )tg x AT= . 
 
 
Figura 36 
 
Observe que o triângulo 0AM está contido no 
setor circular OAM, o qual por sua vez está 
contido no triângulo OAT. 
 
Assim podemos afirmar que: 
área OAM∆ < área setor OAM< área OAT∆ , 
isto é: 
( )21 1 1.OA.PM OA .x .OA.AT,
2 2 2
< < 
mas OA 1= 
 
logo: PM x AT< < ou ( ) ( )sen x x tg x< < 
dividindo termo a termo por ( )sen x : 
 
11
sen( ) cos( )
x
x x
< < , tomando os inversos e 
invertendo a desigualdade, ficamos com: 
( )1 cos( )sen x x
x
> > ou 
( )
cos( ) 1sen xx
x
< < 
 
Sabemos que quando 0x → , cos( ) 1x → . 
Então, para x tendendo a zero, ( )sen x
x
 
permanece entre cos( )x e 1, e portanto, pelo 
teorema do confronto*: 
 0
 lim 1
x
sen x
x→
= . 
 
[* Este teorema é chamado Teorema do 
Confronto (ou Teorema do Sanduíche), porque 
diz que, se uma função, numa certa vizinhança 
de a onde estamos interessados em estudar o 
seu comportamento, está comprimida entre 
outras duas que tendem ao mesmo limite L, 
então o seu limite nesse ponto também deve ser 
L. Veja a idéia geométrica ilustrada na Figura 
37. 
 
 
Figura 37 
 
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 24 
 
Teorema do Confronto: Sejam f, g e h funções. Se 
valem as desigualdades ( ) ( ) ( )f x h x g x≤ ≤ , para 
todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
talvez em x=a e se
 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x L
→ →
= = , 
então h tem limite e 
 
lim ( )
x a
h x L
→
= ]. 
Exemplo: Calcule 
 0
lim 1
sen( )x
x
x→
= 
Solução: 
 0 0
 0
1 1lim lim
sen( ) sen( )sen( ) limx x
x
x
x xx
x x
→ →
→
= = 
 0
lim 1
sen( )x
x
x→
= 
 
Exemplo: Calcule 
 0
( )lim
x
tg x
x→
 
Solução: 
 0 0 0
sen( )
tg( ) sen( ) 1cos( )lim lim lim
cos( )x x x
x
x xx
x x x x→ → →
= = 
 0 0 0
sen( ) 1 sen( ) 1lim lim lim
cos( ) cos( )x x x
x x
x x x x→ → →
 
= 
 
 
 0
( )lim 1
x
tg x
x→
= 
Exemplo: Calcule 
 0
1 cos( )lim
x
x
x→
−
. 
Solução: 
Exemplo: Calcule 
 0
sen(3 )lim
5x
x
x→
 
 
 
Exemplo: Calcule 
 1
ln( )lim
1x
x
x→ −
 
 Solução: 
Façamos u = x − 1 ⇒ x = u +1. 
Quando x → 1 ⇒ u → 0, portanto ficamos com: 
 1 0
ln( ) ln( 1)lim lim
1x u
x u
x u→ →
+
=
−
 
1
 0 0
1lim ln( 1) lim ln( 1)u
u u
u u
u→ →
 
 
= + = +
 
  
 
1
 0
ln lim ( 1) ln( ) 1u
u
u e
→
 
 
= + = =
 
  
 
 
Exercícios 
E27: Calcule os seguintes limites 
a) 
 0
 lim
x
tg x
x→
 b) 
0
 2lim 
x
sen x
x→
 
c) 
 0
sen(4 )lim
sen(5 )x
x
x→
 d) 
0
sen( )lim
3h
h
h→
 
e) 
2
2
 0
1 cos ( )lim
x
x
x→
−
 f) 
2
2
 0
lim
cos ( ) 1x
x
x→
−
−
 
g) 
 0
 sen( )lim
1 cos( )x
x x
x→ −
 h) 
2
 
1lim 1
n
n n
+
→ ∞
 
+ 
 
 
i) 
 
3lim 1
n
n n→ ∞
 
+ 
 
 j) 
 
lim
1
x
x
x
x→ ∞
 
 + 
 
k) 
1
 
5lim 1
x
x x
+
→ ∞
 
+ 
 
 l) ( )1
 
lim 1 sen( ) x
x
x
pi→
+ 
 
Funções Contínuas 
Intuitivamente, o gráfico de uma função pode 
ser descrito como uma curva contínua se não 
apresentar “quebras” ou “buracos”. Os gráficos 
da Figura 38 abaixo são exemplos de 
descontinuidade para algumas funções f, no 
ponto c. Observe: 
 
 
Figura 38 
A Figura 39 a seguir ilustra o tamanho da 
população de ratos no tempo, onde ocorrem 
várias descontinuidades. 
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 25 
 
 
Figura 39: Diagramas idealizados de dinâmica de 
populações: (a) dinâmica dominada por fases de 
crescimento populacional após desestres; (b) dinâmica 
dominada por limitações da capacidadede suporte do 
ambiente – capacidade de suporte alta; (c) igual a (b), a 
capacidade de suporte é baixa; (d) dinâmica em um 
local habitável dominada pelo decaimento populacional 
após episódios de colonização ou recrutamento mais ou 
menos repentinos. 
Fonte: COLIN, R. et. al. Fundamentos em Ecologia . 2a 
edicao. Ed. Artmed. Porto Alegre: 2006. 
 
Uma função real tem descontinuidade em um 
ponto, se ocorre alguma das seguintes condições: 
i) A função f não está definidaem c; 
ii) O limite de f não existe quando x tende a c; 
iii) O valor da função e o valor do limite em c são 
diferentes. 
 
Definição: Uma função f é contínua em um ponto 
c, se são satisfeitas as seguintes condições: 
i) ( )f c está definida. 
ii) lim ( )
x c
f x
→
 existe 
iii) lim ( ) ( )
x c
f x f c
→
= 
 
Inserir teorema sobre continuidade de funções 
polinomiais e racionais (Anton, 2007, p. 147) 
 
Exemplo: Verifique se a função 
( ) 2 5 3f x x x= − + é contínua no ponto 4x = . 
 
Resolução: Analisaremos uma a uma as três 
condições: 
i) (4) 3 12f = + 
ii) 
4
lim ( ) 3 12
x
f x
→
= + 
Como 
4
lim ( ) (4)
x
f x f
→
= a função é contínua em 
4x = . 
Exemplo: Verifique se a função 
2( )
2
xf x −= 
é contínua no ponto 2x = . 
 
Resolução: 
Primeiramente lembramos que: 
2
, se 22 2
22
, se 2
2
x
x
x
x
x
− +
<
− 
= 
− ≥

 
 
Analisaremos uma a uma as três condições 
i) (2) 0f = 
ii) Para obter o valor do limite precisaremos 
utilizar os limites laterais: 
 0 0
 2
 0 0
 2
(2 ) 2lim ( ) lim lim 0
2 2
2 2lim ( ) lim lim 0
2 2
h hx
h hx
h hf x
h hf x
−
+
→ →→
→ →→
− − + −
= = =

+ −
= = =

 
 
 
Logo, concluímos que a condição iii) é 
satisfeita, pois 
 2
lim ( ) (2)
x
f x f
→
= e portanto, a 
função é contúnua em 2x = . 
 
Exemplo: Verifique se a função é contínua em 
3x = . 
2 1, se 3
( ) 2, se 3
3 , se 3
x x
f x x
x x
 − <

= =

− >
 
 
Exemplo: A função 
2 1( )
1
xf x
x
−
=
−
 não é 
contínua no ponto 1x = , pois a função não é 
definida no ponto. Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
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 26 
 
Exemplo: A função 
2 1
, se 1( ) 1
1, se 1
x
xg x x
x
 −
=
=
−
 ≠
 
também não é contínua no ponto 1x = ,verifique 
algebricamente e interprete o gráfico dado. 
 
 
Exemplo: Verificar analiticamente os possíveis 
pontos de descontinuidade da função, depois 
compare o resultado com o gráfico abaixo. 
2
4 , se 0
( ) 2 , se 0 3
2 9, se 3
x x
f x x x x
x x
− <

= − ≤ ≤

− >
 
 
 
Uma vez que nos pontos de provável 
descontinuidade, verificamos que a função f é 
continua, concluímos que f é contínua para todo x 
real, e vemos que seu gráfico não tem qualquer 
tipo de salto ou interrupção. 
 
Exercícios 
E28: A Figura 40 mostra o gráfico de unidades em 
estoque versus tempo para uma companhia que 
reabastece o estoque com 0y unidades. Sabendo 
disso, responda: 
i) quais são os pontos de descontinuidade deste 
gráfico? Use a definição de continuidade para 
justificar porque a função é descontinua nesses 
pontos. 
ii) qual o significado das descontinuidades neste 
gráfico? 
0y
1y
Pontos de reabastecimento
Unidades de estoque
tempo1t 2t 3t 4t
 
Figura 40 
 
E29: Verifique se as funções abaixo são 
contínuas nos pontos indicados, e justifique sua 
resposta. 
a) 
2
2 se 2
( ) 4 se 2
se 2
x x
f x x
x x
 + <

= =
 >
 
b) 
3 2 se 0
( ) 5 se 0
2 se 0
x x
f x x
 x
+ <

= =
 >
 
 
E30: A função abaixo possui algum ponto de 
descontinuidade? Quais? Justifique. 
21 se 1
( ) 1 se 1 2
2 se 2
x x
f x x x
 x
 − ≤

= − < <
 ≥
 
 
E31: Determine os intervalos de continuidade 
da função representada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 27 
 
Propriedades especiais das funções contínuas 
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades 
especiais de funções contínuas que são usadas 
frequentemente em Cálculo. 
 
Teorema do Valor Intermediário 
Seja f uma função contínua em [ , ]a b e seja k um 
número real compreendido entre ( )f a e ( )f b , 
então existe ( , )c a b∈ tal que, ( )f c k= . 
 
Em outras palavras: toda função contínua num 
intervalo fechado não pode ir de um valor a outro 
sem passar por todos os valores intermediários. 
 
Conseqüência do Teorema do Valor 
Intermediário 
 
Teorema do Anulamento 
Seja f uma função contínua em [ , ]a b e 
( ). ( ) 0f a f b < , então a função admite pelo menos 
um zero no intervalo ( , )a b , ou seja existe 
( , )c a b∈ tal que ( ) 0f c = . 
Veja este teorema ilustrado no gráfico na Figura 41: 
 
Figura 41 
Esta propriedade é muito usada para garantir a 
existência de raízes de uma equação da forma 
( ) 0f x = em um dado intervalo. 
 
Exemplo: Mostre que a equação 3 1 0x x− − = tem 
uma raiz real entre 0 e 2. 
 
Exercícios Recomendados: ANTON, H., 
BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1 Tradução: 
Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
Páginas, de 110 à 113 
Páginas, de 121 à 122 
Páginas, de 131 à 134 
Páginas, de 152 à 155