Relatório Momento de Inércia do Disco - Física Experimental I

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA EXPERIMENTAL I – 5263
Momento de Inércia do Disco
Acadêmicos:
Gabriel Henrique de Aquino RA: 109551
Rafael Manzini Pedroso de Almeida RA: 109555
Gustavo Passarini Moretti RA: 109549
TURMA: 007 PROFESSOR (A): Hatsumi Mukai
Maringá, 17 de julho de 2018.
2.0 Introdução Geral
Leonard Euler, um matemático e físico suíço, formulou no século XVIII o princípio do balanço do momento linear que foi uma extensão da segunda lei de newton, baseado nisso, ele fixou as ideias da mecânica dos corpos rígidos, as quais a mecânica rotacional faz parte. Com esses princípios Euler tratou cada corpo como um objeto que tem um centro de massa definido, e também demonstrou que cada corpo tem um eixo de rotação. 
Paralelamente um outro físico alemão (Johann Andreas Von Segner) demonstrou que cada corpo tem 3 eixos de rotação que são mutuamente perpendiculares. Após esses trabalhos Euler precisou do conceito de momento inércia dos corpos, ao utilizar o torque (que é o produto vetorial do raio pela força aplicada), ele definiu o momento de inércia como o produto da massa de uma determinada partícula pelo raio ao quadrado, este raio sendo a distância da partícula em relação ao seu eixo de rotação. 
O momento de inércia então é definido pela resistência de uma determinada partícula contra o torque que é aplicado nela, ou seja, é a dificuldade para fazer a partícula começar a se movimentar em um determinado eixo com uma trajetória circular, porém, momento de inércia também se classifica como a dificuldade de uma partícula que se encontra em uma trajetória circular, com velocidade angular constante, mudar essa velocidade ou o sentido dessa trajetória, pois isso significaria que tem um torque sendo aplicado, e o momento de inércia é justamente a resistência contra essa grandeza. 
Apesar do momento de inércia ser definido pelo produto de uma constante pela componente de um vetor (raio), esta grandeza não é um caracterizada um vetor, suas componentes possuem os produtos das componentes do raio, denominado de um tensor, então definimos o tensor momento de inércia.
3.0 Objetivos
I. Objetivo(s) Geral: Investigar o movimento de translação e rotação em um sistema discos-massa.
II. Objetivo(s) específico(s): 
- Determinação do momento de inércia de um disco homogêneo experimentalmente;
- Explorar os conceitos de conservação de energia mecânica;
- Explorar o conceito de torque;
4.0 Fundamentação teórica
	Pode-se definir o momento de inércia, como o princípio da conservação de energia e torque, em relação aos movimentos de translação e rotação. Vejamos um exemplo, quando se está girando um disco, certamente ele possui uma energia cinética associada a sua rotação, porém, não se pode aplicar a equação convencional da energia cinética, logo o valor obtido, será apenas para a energia cinética do centro de massa do disco, que é zero. Então, ao tratar o disco como um conjunto de partículas com diferentes velocidades e somar essas energias cinéticas dessas partículas, obtendo a energia cinética do corpo como um todo. 
	Dada a energia cinética, sendo é a massa da partícula e a velocidade da partícula. O somatório, relaciona a todas as partículas do corpo presente, sendo representado pela a Equação (1.0) a seguir.
	Quando se aborda sobre rotação vemos que a velocidade da partícula não é igual para todas as partículas. É preciso substituir a velocidade pela relação que ela possui com a velocidade angular, expressa pela Equação (2.0) a seguir. Sendo a velocidade da partícula, a velocidade angular, expressa em radianos e o raio da partícula. 
	Então ao substituir a Equação (2.0) no lugar da velocidade da partícula da Equação (1.0).
	Como a grandeza que está entre parênteses depende da forma como a massa do corpo está distribuída em relação ao eixo de rotação. Pode-se chamar essa grandeza de momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação. Em termos gerais essa grandeza significa como a resistência que um determinado elemento oferece ao movimento de rotação. Sendo ela representado pela letra I. Diante disso, podemos escrever a Equação (3.0), onde I tem unidade no SI em quilograma-metro quadrado ().
	Com isso podemos substituir, fazendo uso da Equação (3.0), juntamente com a velocidade angular na Equação (1.0). Então, podemos representar a Equação (4.0), sendo a energia cinética de rotação de um corpo em relação ao seu eixo de rotação.
	Quando se abordamos o momento de inércia de um corpo rígido, pode-se trocar o somatório da Equação (3.0) pela ferramenta matemática, a integral. Então, integrando para todo o corpo o produto da massa em cada ponto pelo quadrado da distância até o eixo de rotação, temos a Equação (5.0) a seguir.
	Também, pode-se considerar um corpo homogêneo, possuindo sua densidade de massa constante, com isso, escrevemos a Equação (5.0) em função desta grandeza, sendo escrita em termos da densidade volumétrica (), ainda é preciso ressaltar a espessura do disco, calculado por ( , sendo r o raio do disco). Então, a seguir será representada a Equação (6.0). 
	Cada corpo possui seu momento de inércia próprio, como neste relatório teremos dois discos acoplados e centralizados, usaremos a Equação (7.0), representando o momento de inércia teórico, onde M e m são as massas dos discos maior e menor, ainda R e r são os raios dos discos maior e menor. A equação será representada a seguir.
	Já obtido a equação do momento de inércia teórico, também, é preciso encontrar a equação do momento de inércia experimental. Será utilizado um sistema onde a massa suspensa é transladada enquanto o outro rotacional em torno de um único eixo fixo. Os discos e a massa suspensa estão conectados por meio de um fio. 
	Podemos obter a equação de duas formas, via lei de conservação de energia mecânica e via conceitos da dinâmica de translação e rotação (fazendo uso do torque), essa equação será utilizada para os dados experimentais. A seguir será apresentado a Equação (8.0) por meio de conservação de energia, logo em seguida, por meio de torque.
Equação experimental obtida por meio de conservação de energia mecânica
	A seguir a Figura (1.0) representará um esquema para visualizar e entender a dedução de maneira mais eficaz, por meio da conservação de energia mecânica.
Figura 1.0 – Figura esquemática para realização do cálculo para obter a Equação (8.0) obtida por meio da conservação de energia mecânica. Figura sem proporções, somente ilustrativa. 
	Como ocorre a conservação de energia mecânica temos que:
	De acordo com a Figura (1.0), têm-se a massa em repouso, logo sua velocidade inicial é igual a zero, portanto a energia cinética é igual a zero. No fim do movimento executado a massa, encontra-se ao chão, logo sua altura é igual a zero, então sua energia potencial gravitacional final é igual a zero. Portanto, houve transferência de energia de potencial para energia cinética, sendo dois tipos de energia cinética: rotação e translação. Com isso, pode-se perceber que:
	Como a energia cinética final é a soma da energia cinética de rotação com a de translação, ao somarmos a Equação (1.0) com a Equação (4.0), temos a Equação (8.1) representando a energia cinética final. 
	Dada a energia potencial gravitacional inicial, representada pela Equação (8.2), sendo m a massa do disco, g a aceleração da gravidade e h a altura da massa suspensa até o chão.
Então ao prosseguir com os cálculos, vemos que:
Como temos na Equação (2.0), isolando a velocidade angular e substituindo a seguir, temos a Equação (8.3) abaixo.
	Para obter a velocidade, pode-se observar que é um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), temos a relação a seguir, utilizando as equações da cinemática.
Como a velocidade inicial é igual a zero,substituindo a seguir, temos que:
	Logo, pode-se substituir o valor encontrado da velocidade na Equação (8.3), logo, fica como:
	Como a massa suspensa, o tempo médio, obtemos a equação do momento de inércia, Equação (8.0), via da conservação da energia mecânica:
	Antes de obter a Equação (8.0) via o conceito de torque, é necessário realizar a definição do que é torque. Define-se torque como o produto da magnitude de uma força pela distância perpendicular desde a linha de ação da força até o eixo de rotação. Pode ser chamado também de Momento de Força. 
O torque é expresso pela a Equação (9.0), sendo o torque representado por , equivalente ao produto vetorial entre os vetores: , logo a Equação (9.0) ficará como:
	Feito a definição de torque, pode-se obter a Equação (8.0) via conceitos de torque, essa dedução será representada passo a passo.
Equação experimental obtida por meio de conservação de energia mecânica
	A seguir será apresentada a Figura (2.0) que representa um esquema, meramente ilustrativo, sem determinadas proporções. 
Figura 2.0 – Figura esquemática representado as forças aplicadas a massa suspensa (), são forças que atuam no sistema disco-massa.
	Podemos determinar o momento de inércia experimental, via torque, ao utilizar a 2º Lei de Newton, representado a seguir pela Equação (10.0).
	Ao analisar a Figura (2.0), pode-se perceber que as forças aplicadas a massa suspensa, desprezando forças dissipativas, vemos que, apenas a força peso e a tração atuam sobre o sistema, então:
	Utilizando o conceito de torque para determinar o momento de inércia experimental, temos que utilizar a Equação (10.1), representada abaixo.
	Ao considerar o raio do disco perpendicular a tração, temos um ângulo de 90º, sendo que a única força que atua sobre os discos é a tração, usando o conceito de produto vetorial para encontrar o torque, vemos que:
	Dado a relação entre a aceleração de translação com a de rotação, temos a Equação (10.2) a seguir.
	Também vemos que a força peso é calculado pela Equação (10.3) representada a seguir. 
Substituindo as Equações (10.2) e (10.3), isolando a aceleração angular, vemos que:
	Para obter a aceleração, temos que a relação entre a altura, tempo médio e a aceleração, pode ser obtida pela Equação (10.4) a seguir.
Substituindo na relação obtida entre as Equações (10.2) e (10.3), substituindo no lugar da aceleração pela Equação (10.4), temos a equação do momento de inércia experimental, sendo ela a Equação (8.0) a seguir, sendo a massa suspensa, o raio do disco menor, o tempo médio de percurso que a massa suspensa leva até percorrer determinada altura até o solo e a aceleração gravitacional.
5.0 Desenvolvimento Experimental:
5.1 Materiais utilizados:
- 2 Discos de diâmetros diferentes;
- Cilindro metálico maciço;
- Cronômetro digital Azeheb (precisão 0,01s);
- Trena Lufkin (precisão 0,5 mm);
- Régua (precisão 0,5 mm);
- Fita Adesiva;
- Paquímetro Vonder (precisão 0,05 mm);
- Balança digital Bel Engineering (precisão 0,1g);
5.2 Montagem experimental:
5.3 Descrição do experimento:
5.4. Dados obtidos experimentalmente:
	Os dados obtidos experimentalmente para o sistema discos-massa suspenso, contém: a massa do corpo suspenso, a massa do disco menor, a massa do disco maior, o diâmetro do disco menor, o diâmetro do disco maior, a altura do percurso suspenso. As massas são medidas em quilogramas (), altura e diâmetros são em metros ().
Tabela 8.1 – Dados experimentais das massas, altura e diâmetros, com seus respectivos desvios.
	
	 
	
	
	) 
	
	
	
	 
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	A seguir será apresentada a Tabela (8.2) apresentando os dados dos tempos aferidos, onde a massa suspensa percorreu a altura h fixa.
Tabela 8.2 – Dados experimentais dos tempos de percurso na vertical da massa suspensa, com os tempos acompanhados com os respectivos desvios. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
5.5 Interpretação dos Resultados:
	Após aferir os dados experimentalmente, para realizar a comparação dos resultados do ‘’tempo teórico’’ com o tempo médio e depois o momento de inércia com o experimental, é necessário calcular os valores dos raios, em relação a diâmetro menor e maior, com seus respectivos desvios. Apesar de que o desvio do raio será o mesmo que o do diâmetro.
	A seguir será apresentada a Equação (11.0), a qual, será utilizada para calcular os valores do raio do disco maior (R) e menor (r), entretanto essa Equação, refere-se de forma genérica. 
	Utilizando a Equação (11.0) para calcular o raio do diâmetro maior (R) e do raio do diâmetro menor (r), sendo o desvio o mesmo do diâmetro, temos que:
Raio do diâmetro maior
Raio do diâmetro menor
	Utilizando a Equação (7.0) para calcular o momento de inércia teórico, substituindo-se os valores nela, temos que:
	Encontrado o valor do momento de inércia teórico, é necessário encontrar o desvio desse valor. Para isso é preciso separar a Equação (7.0) em duas partes e feito o desvio de cada parte. 
	Devido a propagação de erros, como ele nunca é perdido, somente aumenta, troca-se o sinal acima. Encontrando, assim a Equação (12.0) a seguir.
Substituindo os valores obtidos na Equação (12.0) acima, temos que:
	Aplicando ln na segunda parte, em ambos os lados na relação, para encontrar o desvio padrão, teremos:
Devido a propagação de erros, como ele nunca é perdido, somente aumenta, troca-se o sinal acima. Encontrando, assim a Equação (13.0) a seguir.
Substituindo os valores experimentais na Equação (13.0), teremos: 
Então o desvio de uma soma é dos tempos teóricos é dado pela Equação (13.1), temos que:
Substituindo os valores encontrado pela Equação (12.0) e (13.0) na Equação (13.1), temos o valor do tempo teórico igual a: 
Em seguida, temos que obter o tempo médio para substituirmos na Equação (8.0) e encontrar o momento de inércia experimental. Então, realizando uma média aritmética simples, temos o tempo médio, representado pela Equação (14.0) a seguir.
	Substituindo os valores da Tabela 8.2 na Equação (14.0) para encontrar o valor do tempo médio. Então, teremos: 
	Como uma medida experimental é acompanhada de seu desvio, temos que por meio da calculadora temos o valor do desvio padrão de: . Então o valor experimental do tempo médio é: .
	Encontrado o valor do tempo médio, podemos encontrar o valor do momento de inércia experimental e seu desvio. Primeiramente, ao substituir os valores contidos na Tabela (8.1), somente o da massa do corpo suspenso e altura, o valor do raio do disco menor, o tempo médio e a atribuir a gravidade como 9,80665 m/s², na Equação (8.0), temos que:
Desvio do momento de inércia experimental
	Comparando o momento de inércia experimental com o momento de inércia teórico vemos que, ao utilizar a Equação (0.0) para obter o desvio relativo, representada a seguir.
Para obtermos o tempo teórico e assim realizarmos a comparação com o tempo médio, utiliza-se o valor do momento de inércia teórico e substituir na Equação (8.0), deixando o tempo da equação, sem substituir e assim podemos isolar o tempo teórico. Então, pode-se perceber que:
Dada a Equação (8.0), vemos que:
Comparando o valor do tempo teórico com o valor do tempo médio, realizando o desvio percentual usando a Equação (0.0)
6.0 Análise dos resultados