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Segunda Lista
9 de fevereiro de 2015
Primeira Questão
Usando a relação de Maxwell(
∂T
∂v
)
s
= −
(
∂p
∂s
)
v
e a relação matemática(
∂x
∂y
)
z
(
∂y
∂z
)
x
(
∂z
∂x
)
y
= −1
obtenha as demais relações de Maxwell.
Solução
I A princípio, equações de estado estabelecem a relação entre
uma variável de estado e duas outras. As relações de Maxwell
(quatro) são convenientes para explicitar tais relações em
termos de grandezas facilmente mensuráveis.
I Dividindo a equação(
∂x
∂y
)
z
(
∂y
∂z
)
x
(
∂z
∂x
)
y
= −1
por
(
∂z
∂x
)
y , teremos(
∂x
∂y
)
z
(
∂y
∂z
)
x
= −
(
∂x
∂z
)
y
ou (
∂x
∂z
)
y
= −
(
∂x
∂y
)
z
(
∂y
∂z
)
x
Solução
I A princípio, equações de estado estabelecem a relação entre
uma variável de estado e duas outras. As relações de Maxwell
(quatro) são convenientes para explicitar tais relações em
termos de grandezas facilmente mensuráveis.
I Dividindo a equação(
∂x
∂y
)
z
(
∂y
∂z
)
x
(
∂z
∂x
)
y
= −1
por
(
∂z
∂x
)
y , teremos(
∂x
∂y
)
z
(
∂y
∂z
)
x
= −
(
∂x
∂z
)
y
ou (
∂x
∂z
)
y
= −
(
∂x
∂y
)
z
(
∂y
∂z
)
x
Solução
I Fazendo x = s, y = T e z = v :(
∂s
∂v
)
T
= −
(
∂s
∂T
)
v
(
∂T
∂v
)
s
mas como
(
∂T
∂v
)
s = −
(
∂p
∂s
)
v(
∂s
∂v
)
T
=
(
∂s
∂T
)
v
(
∂p
∂s
)
v
=
(
∂p
∂T
)
v
ou (
∂s
∂v
)
T
=
(
∂p
∂T
)
v
Solução
I Fazendo x = v , y = p e z = T :(
∂v
∂T
)
p
= −
(
∂v
∂p
)
T
(
∂p
∂T
)
v
I Usando
(
∂s
∂v
)
T =
(
∂p
∂T
)
v(
∂v
∂T
)
p
= −
(
∂v
∂p
)
T
(
∂s
∂v
)
T
ou (
∂v
∂T
)
p
= −
(
∂s
∂p
)
T
Solução
I Fazendo x = v , y = p e z = T :(
∂v
∂T
)
p
= −
(
∂v
∂p
)
T
(
∂p
∂T
)
v
I Usando
(
∂s
∂v
)
T =
(
∂p
∂T
)
v(
∂v
∂T
)
p
= −
(
∂v
∂p
)
T
(
∂s
∂v
)
T
ou (
∂v
∂T
)
p
= −
(
∂s
∂p
)
T
Solução
I Fazendo x = T , y = s e z = p :(
∂T
∂p
)
s
= −
(
∂T
∂s
)
p
(
∂s
∂p
)
T
I Usando
(
∂v
∂T
)
p = −
(
∂s
∂p
)
T(
∂T
∂p
)
s
=
(
∂T
∂s
)
p
(
∂v
∂T
)
p
=
(
∂v
∂s
)
p
ou (
∂T
∂p
)
s
=
(
∂v
∂s
)
p
Solução
I Fazendo x = T , y = s e z = p :(
∂T
∂p
)
s
= −
(
∂T
∂s
)
p
(
∂s
∂p
)
T
I Usando
(
∂v
∂T
)
p = −
(
∂s
∂p
)
T(
∂T
∂p
)
s
=
(
∂T
∂s
)
p
(
∂v
∂T
)
p
=
(
∂v
∂s
)
p
ou (
∂T
∂p
)
s
=
(
∂v
∂s
)
p
Quinta Questão
I Ponto de partida:
CV ,real = CV ,ideal +
ˆ V
∞
T
(
∂2p
∂T 2
)
V
dV
I para um mol de um gás de van der Waals:
p =
RT
(V − b) −
a
V 2
e como esta é uma função linear de T , a derivada
(∂2p/∂T 2)V = 0. Com isso a integral se anula e
CV ,real = CV ,ideal
Quinta Questão
I Ponto de partida:
CV ,real = CV ,ideal +
ˆ V
∞
T
(
∂2p
∂T 2
)
V
dV
I para um mol de um gás de van der Waals:
p =
RT
(V − b) −
a
V 2
e como esta é uma função linear de T , a derivada
(∂2p/∂T 2)V = 0. Com isso a integral se anula e
CV ,real = CV ,ideal
Sexta Questão
I Usando a relação
Ureal (T ,V ,N) = Uideal (T ,N) +
ˆ V
∞
T 2
(
∂
∂T
p
T
)
V
dV
para a equação de Berthelot
p =
RT
v − b −
a
Tv2
I Teremos que
p
T
=
NR
V − b −
aN2
T 2V 2
−→ ∂
∂T
( p
T
)
= − 2aN
2
T 3V 2
e a integral
ˆ V
∞
T 2
(
∂
∂T
p
T
)
V
dV =
ˆ V
∞
2aN2
T
1
V 2
dV = −2aN
2
TV
Sexta Questão
I Usando a relação
Ureal (T ,V ,N) = Uideal (T ,N) +
ˆ V
∞
T 2
(
∂
∂T
p
T
)
V
dV
para a equação de Berthelot
p =
RT
v − b −
a
Tv2
I Teremos que
p
T
=
NR
V − b −
aN2
T 2V 2
−→ ∂
∂T
( p
T
)
= − 2aN
2
T 3V 2
e a integral
ˆ V
∞
T 2
(
∂
∂T
p
T
)
V
dV =
ˆ V
∞
2aN2
T
1
V 2
dV = −2aN
2
TV
Sexta Questão
I Portanto
Ureal (T ,V ,N) = Uideal (T ,N)− 2aN
2
TV
Décima Questão
I Sendo definido
µJ ≡
(
∂T
∂p
)
h
temos que, primeiro, encontrar uma expressão para dh.
I Sabendo que h = h(T , p), temos
dh =
(
∂h
∂T
)
p
dT +
(
∂h
∂p
)
T
dp
I A primeira lei fornece
dh = Tds + vdp
= T
[(
∂s
∂T
)
p
dT +
(
∂s
∂p
)
T
dp
]
+ vdp
= T
(
∂s
∂T
)
p
dT +
[
v + T
(
∂s
∂p
)
T
]
dp
Décima Questão
I Sendo definido
µJ ≡
(
∂T
∂p
)
h
temos que, primeiro, encontrar uma expressão para dh.
I Sabendo que h = h(T , p), temos
dh =
(
∂h
∂T
)
p
dT +
(
∂h
∂p
)
T
dp
I A primeira lei fornece
dh = Tds + vdp
= T
[(
∂s
∂T
)
p
dT +
(
∂s
∂p
)
T
dp
]
+ vdp
= T
(
∂s
∂T
)
p
dT +
[
v + T
(
∂s
∂p
)
T
]
dp
Décima Questão
I Sendo definido
µJ ≡
(
∂T
∂p
)
h
temos que, primeiro, encontrar uma expressão para dh.
I Sabendo que h = h(T , p), temos
dh =
(
∂h
∂T
)
p
dT +
(
∂h
∂p
)
T
dp
I A primeira lei fornece
dh = Tds + vdp
= T
[(
∂s
∂T
)
p
dT +
(
∂s
∂p
)
T
dp
]
+ vdp
= T
(
∂s
∂T
)
p
dT +
[
v + T
(
∂s
∂p
)
T
]
dp
Décima Questão
I Das relações de Maxwell(
∂s
∂p
)
T
= −
(
∂v
∂T
)
p
e da definição
cp = T
(
∂s
∂T
)
p
temos finalmente que
dh = cpdT +
[
v − T
(
∂v
∂T
)
p
]
dp
Décima Questão
I Se h é constante
0 = cpdT +
[
v − T
(
∂v
∂T
)
p
]
dp
e
µJ =
(
∂T
∂p
)
h
=
1
cp
[
T
(
∂v
∂T
)
p
− v
]