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1 UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU DATA: CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo DERIVADAS PARCIAIS RESUMO 05 Derivadas Parciais de 2ª ordem As derivadas parciais de 2ª ordem são obtidas derivando ∂f ∂x e ∂f ∂y ·, em relação à x ou à y, isto é possível, pois ∂f ∂x e ∂f ∂y são funções, respectivamente, em x e em y. As derivadas parciais de 2ª ordem são indicadas utilizando um dos símbolos abaixo: ● em relação à x: Dxx = fxx = ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x (fx) ● em relação à y: Dyy = fyy = ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y (fy) Importante: Podemos efetuar a diferenciação de fx em relação à y e dessa forma obtemos: (estas derivadas são chamadas de derivadas mistas) Dxy = fxy = ∂2f ∂y ∂x = ∂ ∂y (fx) De forma análoga, podemos efetuar a diferenciação de fy em relação à x e dessa forma obtemos: Dyx = fyx = ∂2f ∂x ∂y = ∂ ∂x (fy) Observação: Em geral, fxy ≠ fyx, mas quando a função é contínua a igualdade é verificada. Exemplo Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem de f(x, y) = x3y + xy4. Solução: ●𝑓𝑥 = 3𝑥 2𝑦 + 𝑦4; ●𝑓𝑦 = 𝑥 3 + 4𝑥𝑦3; ●Dxx = fxx = ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x (fx) = 6xy; ●Dyy = fyy = ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y (fy) = 12xy 2; ●Dxy = fxy = ∂2f ∂y ∂x = ∂ ∂y (fx) = 3x 2 + 4y3; ●Dyx = fyx = ∂2f ∂x ∂y = ∂ ∂x (fy) = 3x 2 + 4y3. Note que como, f é contínua, fxy = fyx. 2 Exercícios de Sala 1. Determine as derivadas parciais de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦5 + 2𝑥4𝑦 2. Verifique se 𝑢𝑥𝑦 = 𝑢𝑦𝑥 (este resultado também é conhecido como a conclusão do Teorema de Clairaut). a) 𝑢 = 𝑥4𝑦3 − 𝑦4 b) 𝑢 = cos (𝑥2𝑦) 3. A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T(x, y) = 60 1+x2+y2 , onde T é medido em ºC e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) em (a) a direção x e (b) a direção y. 3 Exercícios de Casa 1. Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: a-) f(x, y) = x2y + xy − √2 b-) f(x, y) = cos (x4 + y2) c-) f(x, y) = ln (x2y) d-) f(x, y) = x2 x+y e-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 4+5𝑦 f-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑒𝑥 + 𝑒𝑦)6 g-) f(x, y) = x. √y + x2y2 h-) f(x, y) = exy x+y i-) f(x, y) = ex. lny 2. Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto P dado. a-) f(x, y) = x. y + x2y2; P(-1,2) b-) f(x, y) = x. √y + y2; P(3,4) c-) f(x, y) = x. √y + √xy; P(0,9) d-) f(x, y) = √x2 + y2; P(4,9) e-) f(x, y) = x3 y ; P(1,1) f-) f(x, y) = e2xln (2y); P(0,e) 3. A energia cinética, K, de um objeto de massa m e velocidade v é dada por 𝐾 = 1 2 𝑚𝑣2 Mostre que 𝜕𝐾 𝜕𝑚 . 𝜕2𝐾 𝜕𝑣2 = 𝐾. 4. Seja 𝑢 = (𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝜑𝑡 + 𝜔)𝑠𝑒𝑛𝜑𝑥, com A, a, 𝜑 e 𝜔 constantes. Verifique que 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 = 𝑎2 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2
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