Resumo 9 - Divergente

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
DIVERGENTE 
 RESUMO 9 
 
CAMPO VETORIAL 
 
Definição: Seja A c IRn, e F uma função 
de A em IRn, então F(X), X ∈ A , é um vetor 
aplicado em X, ou seja, um campo vetorial. 
 
 
 
Exemplo 
 
Represente geometricamente o campo vetorial 
F dado por F(x, y) = j. 
 
Solução: 
 
 
DIVERGENTE 
 
Definição: Seja 𝐅 = (F1, F2, … , Fn) um campo 
vetorial definido em um aberto A c IRn, onde as 
componentes de F admitem derivadas parciais 
em A, e div F uma função de A em IR, então o 
campo escalar 
 
div 𝐅 = ∇ ∙ 𝐅 =
∂F1
∂x1
+ 
∂F2
∂x2
+ ⋯ +
∂Fn
∂xn
 
 
denomina-se divergente de F. 
Exemplo 
 
Seja F(x, y, z) = (x2 + z)𝐢 − y2 𝐣 + (2x + 3y +
z2) 𝐤. Calcule div F. 
 
Solução: 
 
div 𝐅 = ∇ ∙ 𝐅 = 2x − 2y + 2z. 
 
Exercícios de Aula 
 
Sejam r = xi+yj+zk e r = |r|. Verifique as 
identidades : 
a) 𝛁𝐫 = 3 
 
 
 
 
 
b) 𝛁(r𝐫) = 4r 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Determine o divergente do campo vetorial: 
2-) F(x, y, z) = x2yz𝐢 + xy2z𝐣 + xyz2𝐤 
 
 
 
 
 
 
 
3-) F(x, y, z) = xye𝑧𝐢 + yze𝑥𝐤 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-)Demonstre que div (f 𝐅) = f div𝐅 + 𝐅 ∙ 𝛁f 
admitindo que as derivadas parciais existem e 
são contínuas e (f 𝐅)(x, y, z) = f(x, y, z)𝐅(x, y, z). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Casa 
 
Represente geometricamente o campo vetorial 
dado. 
 
1-) v(x,y) = x2 𝐣 
 
2-) h(x, y) = 𝐢 + 𝐣 
 
3-) P(x,y) = x 𝐢 + xy 𝐣 
 
4-) E(x,y) = 3 𝐢 + 𝐣 
 
5-) k(x,y) = y3 𝐢 + 𝐣 
 
6-) F(x,y,z) = 
x
√x2+y2
 𝐢 +
y
√x2+y2
 𝐣 
 
7-) F(x,y,z) = 
−y
√x2+y2
 𝐢 +
x
√x2+y2
 𝐣 
 
8-) F(x,y,z) = 
x
x2+y2
 𝐢 +
y
x2+y2
 𝐣 
 
Calcule o divergente do campo vetorial dado. 
 
9-) F(x,y,z) = -y 𝐢 + x 𝐣 
 
10-) F(x,y,z) = x 𝐢 + y 𝐣 + z 𝐤 
 
11-) F(x,y,z) = -y(x2 − y2) 𝐢 + sen (x2 + y2) 𝐣 +
arctgz 𝐤 
 
12-)𝐅(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)arctg (x2 + y2 +
z2) 𝐤 
 
13-) 𝐅(x, y, z) = ex
3+y2+z4 𝐢 + tg (y2) 𝐣 + ln (
z
x
) 𝐤 
 
14-) 𝐅(x, y, z) = 𝐢 + cos z3 𝐣 +
x+4
y
 𝐤 
 
15-) 𝐅(x, y, z) = senx. seny 𝐢 +
3x
cos y
 𝐣 + 30 𝐤