Relatório 07 Constante de tempo em circuitos RC

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Física 
FIS123 – Física Geral de Experimental III-E 
 
 
 
Alexandre Duarte Hsu Andrade 
Matheus Radamés S. Barbosa 
 
 
 
Experiência 07 
Constante de tempo em circuitos RC 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador 
2018 
1 Objetivos 
 O presente relatório tem como objetivo mostrar os resultados da medida da 
constante de tempo em um circuito capacitivo, bem como a medida da resistência interna 
de um voltímetro e da capacitância de um circuito através da constante de tempo auferida. 
 
2 Introdução 
 A estrutura formada por duas armaduras condutivas separadas por um meio não 
condutor é chamada de capacitor. Existem em diversos formatos, como capacitores 
esféricos, cilíndricos e de placas paralelas. Este último é um dos mais comuns e é 
justamente o que será retratado neste experimento. Quando conectado à uma fonte de 
tensão, o capacitor é induzido a possuir uma carga +Q em uma de suas armaduras e –Q 
na outra. A capacitância, que é a capacidade de armazenar energia na forma de campo 
elétrico, é definida a partir da tensão que se aplica sobre o dispositivo e a carga que o 
mesmo retém, da seguinte forma: 
𝐶 =
𝑄
𝑉𝑐
 
E a unidade de medica da capacitância é Farad (F), que é igual a Coulomb (C) sobre Volt 
(V). 
 A capacitância de um dispositivo feito por placas paralelas, em termos 
geométricos, é dada pela seguinte expressão: 
𝐶 = 𝜀𝑜
𝐴
𝑑
 
em que A é a área das placas, d é a distância entre elas e 𝜀𝑜 é uma propriedade de do 
material que preenche o espaço entre as armaduras (usualmente o vácuo). Para alterar as 
propriedades do capacitor é adicionado ao espaço d um dielétrico que, em geral, eleva a 
capacitância do dispositivo. 
 Quando ligamos um circuito RC, a tensão do capacitor leva um tempo para atingir 
a tensão Vo da fonte de tensão. À exemplo do circuito abaixo, quando ligamos a fonte de 
tensão a carga Q do capacitor leva um tempo de carga t1 para se estabelecer. 
 
Figura 1 – Circuito RC 
Sabendo que 𝐼 = 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 , que 𝑉 = 𝑅 ∙ 𝐼 e que, pela lei das malhas 𝑉𝑜 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶, podemos 
escrever a equação diferencial que representa a variação da carga do capacitor no tempo 
t1 como: 
 𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
𝑄
𝐶
= 𝑉𝑜 ( 1) 
E como é uma equação diferencial linear e de primeira ordem, é facilmente resolvida 
através do fator integrante e sua solução é do tipo: 
 𝑄(𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑉𝑜(1 − 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶) ( 2) 
Podemos provar este resultado substituindo Q e dQ/dt diretamente na equação diferencial 
supracitada. Temos que: 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑉𝑜 ∙ (
𝑒−
𝑡
𝑅𝐶
𝑅𝐶
) 
Assim, 
𝑅 ∙ 𝑉𝑜 ∙ (
𝑒−
𝑡
𝑅𝐶
𝑅𝐶
) +
[𝑉𝑜 (𝐶 − 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶)]
𝐶
= 𝑉𝑜 
𝑉𝑜
𝐶
∙ [𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 + 𝐶 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶] = 𝑉𝑜 
𝑉𝑜 = 𝑉𝑜 
Podemos ver que a equação (1) satisfaz a (2), que representa a variação da carga do 
capacitor. 
Quando fazemos t1 = RC em (1), temos: 
𝑄
𝐶
= 𝑉𝑐 = 𝑉𝑜 (1 −
1
𝑒
) = 0,63 ∙ 𝑉𝑜 
Ou seja, quando a constante de carga RC é atingida o capacitor alcança 63% de sua carga 
total. 
 Neste mesmo circuito, quando a chave é conectada ao ponto 3, temos que 𝑉𝐶 +
𝑉𝑅 = 0, e então podemos escrever uma equação diferencial do tipo: 
 
𝑑𝑄
𝑄
= −
𝑑𝑡
𝑅𝐶
 ( 3) 
na qual a sua solução é da forma: 
 𝑄 = 𝑄𝑂 ∙ 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶 ( 4) 
E então 𝑉𝐶 = 𝑉𝑜 ∙ 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶, em que RC é a constante de descarga t2. 
 Podemos provar que (4) é solução de (3) através de substituição direta. Visto que 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −
𝑄𝑂 ∙ 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶
𝑅𝐶
 
então, 
−
𝑄𝑂 ∙ 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶
𝑅𝐶
= −
𝑄𝑂 ∙ 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶
𝑅𝐶
 
Fica evidente que (4) satisfaz (3). 
 
3 Desenvolvimento Experimental 
 3.1 Materiais utilizados 
 Fonte de tensão 
 Voltímetro 
 Capacitor de valor desconhecido 
 Resistor de 5kΩ 
 Placa de ligação 
 Cronômetro 
 Chave com 3 posições 
 Fios 
 
3.2 Procedimento Experimental 
 Inicialmente foi necessário estabelecer o valor da resistência R através da década 
de resistores. Era preciso que esse valor fosse da ordem de k Ω. Sem nenhuma justificativa 
maior, utilizamos o valor de 5kΩ para prosseguir com o experimento. Em seguida, através 
do voltímetro pudemos observar qual era a resistência RV demarcada em sua estrutura. 
Esta resistência tinha o valor de 20kΩ/V, ou seja, utilizando a escala de 10V, a resistência 
RV assumia o valor de 10x20kΩ, logo, RV = 200kΩ. O desvio avaliado do multímetro, 
para a escala utilizada, foi de 0,1V. Em seguida, montamos o circuito abaixo: 
 
Figura 2 – Circuito geral do experimento 
O circuito funciona da seguinte forma: ao ligarmos a fonte Vo (6V) com a chave 
posicionada em 1, a corrente circula pelo resistor R e pelo capacitor C. Nesse momento o 
capacitor passa a se carregar até atingir sua carga máxima. Caso mudemos a chave para 
a posição 3, a fonte de tensão fica fora do circuito e a energia armazenada em C passa a 
funcionar como fonte de alimentação para a malha composta por R e C, e por conta disso 
o capacitor passa a se descarregar. Uma vez carregado, se o voltímetro estiver conectado 
em paralelo ao capacitor e a chave posicionada em 2, o capacitor se descarrega somente 
na resistência RV, como mostra o esquema a seguir. 
 
Figura 3 – Descarga do capacitor sobre Rv 
 Após a montagem do circuito, com a chave em 3, medimos a diferença de 
potencial entre os pontos 1 e D, para verificar se a tensão registrada na fonte era a mesma 
entregue ao circuito. 
𝑉1𝐷 = 6𝑉 
Em seguida, alteramos a chave para a posição 1 e medimos a tensão entre os pontos E e 
D, ou seja, a tensão aplicada sobre o capacitor. Foi necessário esperar que a mesma se 
estabilizasse, tendo em vista que o capacitor leva um tempo até que se carregue 
totalmente. A tensão registrada entre os pontos E e D foi de 5,8V. 
 Na etapa seguinte, pusemos a chave em 3 novamente para poder medir a constante 
de descarga t3 do capacitor. Este tempo foi medido com o cronômetro até que o capacitor 
atingisse 37% de sua carga total, ou seja, 0.37x5,8V. O capacitor então descarregou-se 
por completo para que pudéssemos iniciar a nova etapa. 
 Num procedimento similar ao anterior, posicionamos a chave em 1 e deixamos o 
capacitor se carregar até que atingisse 63% de seu valor máximo, afim de estabelecer a 
medida de t1, a constante de carga do capacitor. E posteriormente deixamos o capacitor 
se carregando totalmente para que a próxima etapa pudesse ser efetuada. 
 Em seguida, posicionamos a chave em 2, e registramos o tempo t2 de descarga do 
capacitor. Verificamos que este é um tempo muito superior a t3. Esta diferença será 
discutida na seção seguinte deste relatório. O procedimento de carga e descarga do 
capacitor foi repetido até que tivéssemos 3 valores de cara constante de carga e descarga, 
afim de estabelecer uma média destas grandezas. 
 Por fim, com o capacitor totalmente carregado, posicionamos a chave em 2 e 
determinamos um intervalo de 20s para registrar os valores da capacitância nestes marcos, 
com o objetivo de construir uma tabela como cerca de 20 pontos com respeito à descarga 
do capacitor sobre a resistência do voltímetro. 
 
4 Resultadose discussão 
Para determinar a resistência do voltímetro a partir dos valores de V1D e VED 
podemos utilizar a seguinte expressão: 
𝑉𝐸𝐷 =
𝑅𝑉
𝑅𝑉 + 𝑅
∙ 𝑉1𝐷 
E com alguma modelagem algébrica podemos colocar RV em evidência e calcular o seu 
valor: 
𝑅𝑉 =
𝑉𝐸𝐷
𝑉!𝐷 − 𝑉𝐸𝐷
∙ 𝑅 = 145𝑘Ω 
É possível também utilizar os valores das constantes de carga e descarga para determinar 
o valor de RV, através das expressões abaixo: 
𝑡1 =
𝑅 ∙ 𝑅𝑉
𝑅 + 𝑅𝑉
∙ 𝐶 
𝑡2 = 𝑅𝑉 ∙ 𝐶 
Substituindo C = t2 / RV na equação de cima, teremos 
𝑡2
𝑅𝑉
= 𝑡1 ∙
𝑅 + 𝑅𝑉
𝑅 ∙ 𝑅𝑉
 
Explicitando RV encontramos 
𝑅𝑉 =
𝑡2 − 𝑡1
𝑡1
∙ 𝑅 = 169,200 𝑘Ω 
Observa-se que os valores encontrados a partir dos dois métodos são diferentes entre si e 
em relação ao valor teórico fornecido pelo fabricante do voltímetro. Isso se dá por conta 
dos erros que podem ocorrer na medida dos tempos de carga e descarga, bem como na 
medida das tensões utilizadas no primeiro método utilizado. É importante lembrar que os 
valores das constantes de tempo serão apresentados logo em seguida. 
O erro percentual para cada método pode ser calculado a partir da seguinte 
expressão: 
𝐸% = |
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
| ∙ 100 
𝐸% = 27,5% 
para o cálculo com as tensões e 
𝐸% = 15,4% 
para o cálculo utilizando as constantes de carga e descarga. 
 A partir do roteiro de prática podemos mostrar que, teoricamente, os tempos de 
carga e descarga do capacitor são iguais, tendo em vista que 
𝑡1 =
𝑅 ∙ 𝑅𝑉
𝑅 + 𝑅𝑉
∙ 𝐶 
𝑡3 =
𝑅 ∙ 𝑅𝑉
𝑅 + 𝑅𝑉
∙ 𝐶 
Dividindo uma equação pela outra mostramos que t1 = t3. 
Durante o procedimento experimental fizemos as medições das constantes de 
tempo de carga e descarga do capacitor 3 vezes para cada grandeza, a partir disso 
extraímos uma média de cada um dos tempos e construímos a tabela abaixo. 
Medida 1ª 2ª 3ª Média 
t1(s) 8,9 9,22 9,1 9,073333 
t2(s) 313 316 320 316,3333 
t3(s) 7,48 8,03 7,55 7,686667 
Tabela 1 – Constantes de tempo 
Os valores da constante de carga e descarga t1 e t3, respectivamente, apresentam valores 
diferentes, sendo o tempo de carga um pouco superior. Isso pode ocorrer devido ao erro 
de marcação com o cronômetro e até mesmo ao próprio erro desse dispositivo. Refazendo 
o cálculo de RV com o valor do tempo de descarga (t3) no lugar da constante de carga, 
percebemos que a resistência se aproxima mais do valor indicado pelo fabricante do 
voltímetro, o que nos leva a crer que o valor de ambas as constantes, como teoricamente 
são iguais, se aproximam mais da média encontrada para t3. 
 Observa-se na tabela 1 que as duas constantes de descarga muito diferentes, com 
t2 > t3. Isto ocorre pois quando a chave está conectada ao ponto 2 a resistência R fica em 
aberto e o capacitor tende a se descarregar somente sobre a resistência interna do 
voltímetro, numa malha única. Como Rv tem um valor bastante elevado, a corrente 
elétrica tem dificuldade para circular e não assume um valor elevado. Como a corrente 
elétrica é definida como a passagem de carga no tempo, se a quantidade de cargas que 
circulam é pequena, o tempo para uma determinada carga circule aumenta, e é justamente 
isso que torna t2 tão diferente de t3. 
 Além disso, é possível deduzir algo que não é intuitivo: a constante RC tem 
unidade de tempo. 
[𝑅] ∙ [𝐶] =
[𝑉]
[𝐼]
∙
[𝑄]
[𝑉]
=
[𝑄]
[𝐼]
 
[𝑅] ∙ [𝐶] =
[𝑄]
[𝐼]
= [𝑄] ∙ [𝑠] ∙ [𝑄]−1 
[𝑅] ∙ [𝐶] = [𝑠] 
Portanto, para o produto ohm (Ω) por Farad (F) a unidade correta é o segundo (s). 
 Na etapa final do procedimento experimental, coletamos as tensões do capacitor 
com o passar do tempo e foi possível construir a seguinte tabela. 
t2(s) Vc(V) Log(Vc) 
0 5,8 0,763428 
20 5,4 0,732394 
40 5 0,69897 
60 4,8 0,681241 
80 4,4 0,643453 
100 4,2 0,623249 
120 4 0,60206 
140 3,8 0,579784 
160 3,5 0,544068 
180 3,3 0,518514 
200 3,1 0,491362 
220 3 0,477121 
240 2,8 0,447158 
260 2,6 0,414973 
280 2,5 0,39794 
300 2,3 0,361728 
320 2,2 0,342423 
340 2 0,30103 
360 2 0,30103 
380 1,9 0,278754 
400 1,8 0,255273 
Tabela 2 – Tensões do capacitor com o aumento do tempo 
A partir da tabela, pudemos construir o seguinte gráfico 
 
 
Gráfico 1 – Vc (V) x t (s) 
Observando o gráfico é possível perceber que se 𝑡 → ∞, 𝑉𝑐 → 0. É possível linearizar 
este gráfico aplicando logaritmo aos valores da tensão no capacitor, através da equação 
abaixo: 
𝑉𝐶 = 𝑉𝑜 ∙ 𝑒
−𝑡
𝑅𝐶 
log 𝑉𝐶 = log 𝑉𝑂 −
𝑡
𝑅𝐶
∙ log 𝑒 
Fazendo log(Vc) = V, log(Vo) = b e (-log(e)/RC) = a, podemos reescrever a equação 
como: 
𝑉 = 𝑏 + 𝑎𝑡 
 e então plotar o gráfico linearizado, na qual a partir da constante a = (-log(e)/RC) 
podemos determinar a constante C, tendo em vista que os outros valores já foram 
determinados. Segue abaixo o gráfico linearizado. 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Vc (V) x t(s)
Como a = -0,0013, então podemos encontrar o valor de C: 
𝐶 =
log 𝑒
5000 ∙ 𝑎
=̃ 113𝑛𝐹 
 
Gráfico 2 – Gráfico linearizado 
A partir da equação 𝑉𝐸𝐷 =
𝑅𝑉
𝑅𝑉+𝑅
∙ 𝑉1𝐷 podemos calcular o desvio de RV. 
Escrevendo Rv em função de R e VED, temos 
𝑅𝑉 =
𝑉𝐸𝐷
𝑉!𝐷 − 𝑉𝐸𝐷
∙ 𝑅 
∆𝑅𝑉 = |∆𝑅 ∙
𝛿𝑅𝑉
𝛿𝑅
+ ∆𝑉𝐸𝐷 ∙
𝛿𝑅𝑉
𝛿𝑉𝐸𝐷
+ ∆𝑉1𝐷 ∙
𝛿𝑅𝑉
𝛿𝑉!𝐷
| 
∆𝑅𝑉 |∆𝑅 ∙
𝑉𝐸𝐷
𝑉!𝐷 − 𝑉𝐸𝐷
+ ∆𝑉𝐸𝐷 ∙
𝑅 ∙ (𝑉!𝐷 − 𝑉𝐸𝐷) − ((−1) ∙ (𝑉𝐸𝐷 ∙ 𝑅)
(𝑉!𝐷 − 𝑉𝐸𝐷)2
+ ∆𝑉1𝐷 ∙ (−𝑉𝐸𝐷 ∙ 𝑅)| 
Substituindo os valores, calculamos: 
∆𝑅𝑉 = 79350 = 79,35𝑘Ω 
Desta forma, podemos escrever RV como 𝑅𝑉 ± ∆𝑅𝑉. Como obtivemos dois valores de Rv 
com dois método diferentes, temos: 
𝑅𝑉 = 145,00 ± 79,35𝑘Ω 
e 
y = -0,0013x + 0,7533
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Log(Vc) x t(s)
𝑅𝑉 = 169,20 ± 79,35𝑘Ω 
Já para o desvio da capacitância podemos utilizar a equação 
𝐶 =
𝑡2
𝑅𝑉
 
e então calcular o seu desvio ∆𝐶, da forma: 
∆𝐶 = |∆𝑅𝑉 ∙
𝛿𝐶
𝛿𝑅𝑉
+ ∆𝑡2 ∙
𝛿𝐶
𝛿𝑡2
| 
∆𝐶 = |∆𝑅𝑉 ∙ (−
𝑡2
𝑅𝑉
2) + ∆𝑡2 ∙ (
1
𝑅𝑉
)| 
Substituindo os valores encontramos: 
∆𝐶 ± 870𝜇𝐹 
 As medidas aferidas tiveram como fontes de erros: a imprecisão do operador no 
uso do cronômetro e na leitura da tensão. Em algumas medidas o voltímetro precisava 
estabilizar a sua medida durante um intervalo de tempo. Além disso o desvio avaliado do 
cronômetro, da resistência e do voltímetro propagam o seu erro para os cálculos 
posteriores. 
 
5 Conclusão 
Demonstramos experimentalmente o comportamento dos circuitos RC. Entende-
se que a carga do capacitor é devida à tensão que se aplica sobre ele e a descarga deste 
mesmo dispositivo é devida à diferença de potencial que ocorre sobre as resistências 
existentes no circuito. 
Através dos estudos e das análises gráficas e algébricas fomos capazes de definir 
o valor aproximado da capacitância do capacitor utilizado no experimento, bem como 
demonstrado o erro de sua medição. Resolvendo as equações diferenciais, chegamos a 
um estudo matemático dos fenômenos físicos envolvidos nos circuitos RC. 
O experimento foi feito com sucesso, contribuindo para o entendimento dos 
alunos com relação ao conteúdo envolvido na prática. 
 
6 Referências 
- Roteiro de Prática. Disponível em: <http://www.fis.ufba.br/laboratorio-3>