Apostila Analise Sistemas Lineares CES CL

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Análise de Sistemas Lineares
1 Revisão sobre Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é um método vantajoso quando necessitados resolver equações diferen-
ciais. Com a transformada de Laplace é possível converter funções comuns em funções algébricas
de uma variável complexa s. Operações como derivações e integrações podem ser substituídas por
operações algébricas no plano complexo.
Uma vez resolvida a equação algébrica em s, em termos da variável dependente, será possível
obter a solução da EDO pela transformada de Laplace inversa; com o auxílio da tabela que contém os
pares da transformada.
Um número complexo possui uma parte real e uma parte imaginária, sendo ambas constantes. Se
a parte real e/ou imaginária forem constantes, o número complexo será dito uma variável complexa.
Na transformada de Laplace utiliza-se a notação s para variável complexa, isto é:
s = σ + jω
Em que σ é a parte real e ω é a parte imaginária.
1.1 Teoremas da Transformada de Laplace
1.1.1 Teorema da Derivação Real
A transformada de Laplace da derivada de uma função f(t) é dada por:
L
[
df(t)
dt
]
= sF (s)− f(0)
Em que f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t = 0.
De modo semelhante, podemos obter a expressão refente à segunda derivada de f(t)
L
[
d2f(t)
dt2
]
= s2F (s)− sf(0)− f ′(0)
Em que f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t = 0; e f ′(0) (ou f˙(t)) é o valor de
df(t)
dt
calculado em t = 0.
Expandindo-se esta definição:
L
[
dnf(t)
dtn
]
= snF (s)− s(n−1)f(0)− s(n−2)f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)
1.1.2 Teorema da Integração Real
A transformada de Laplace da integral de uma função f(t) é dada por:
L
[∫
f(t)dt
]
=
F (s)
s
+
f−1(0)
s
Em que f−1(0) é o valor
∫
f(t)dt calculado em t = 0.
1
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1.1.3 Exercícios
Como exemplo, vamos aplicar os teoremas nos termos abaixo:
• L
[
d2f(t)
dt2
]
=
• L
[
d5f(t)
dt5
]
=
• L
[
d8f(t)
dt8
]
=
• L
[∫
f(t)dt
]
=
1.2 Transformada de Laplace Inversa
Para aplicarmos a transformada de Laplace inversa é necessário que a transformada de Laplace esteja
de uma forma imediatamente reconhecível na tabela. Se uma transformada de Laplace F (s) não
puder ser encontrada imediatamente na tabela, basta expandi-la em frações parciais e escrever F (s)
em termos de funções simples de s para as quais as transformadas inversas já são conhecidas.
1.2.1 Propriedades da Transformada de Laplace
É preciso, também, relembrar algumas propriedades da Transformada de Laplace:
• L [f(t)] = F (s);
• L [Af(t)] = AF (s);
• L [f(t)± g(t)] = F (s)±G(s)
1.3 Expansão em Frações Parciais
Nos problemas de análise de sistemas de controle, frequentemente a função F (s), que é a transfor-
mada de Laplace de f(t), ocorre sob a forma:
F (s) =
B(s)
A(s)
Em queA(s) eB(s) são polinômios em s. Na expansão de F (s) em frações parciais, é importante
que a maior potência de s em A(s) seja superior à maior potência de s em B(s). Se não for o caso,
inicialmente, deve-se dividir o numerador B(s) pelo denominador A(s).
Para a expansão em frações parciais, é necessário que A(s) seja reescrito em sua forma fatorada,
assim:
F (s) =
B(s)
A(s)
=
B(s)
(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pn)
Na teoria de controle, as raízes do polinômioB(s) são chamadas de zeros e as raízes do polinômio
A(s), de pólos. Com esta consideração podemos reescrever:
F (s) =
B(s)
A(s)
=
K(s+ z1)(s+ z2) · · · (s+ zm)
(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pn) , para m < n.
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Na decomposição em frações parciais podemos verificar os seguintes casos (vamos resolver estes
exemplos!):
1. Frações parciais - pólos reais e diferentes
F (s) =
s+ 3
s2 + 3s+ 2
=
s+ 3
(s+ 1)(s+ 2)
2. Frações parciais - pólos reais e diferentes
F (s) =
s3 + 5s2 + 9s+ 7
(s+ 1)(s+ 2)
3. Frações parciais - pólos reais e iguais
F (s) =
s2 + 3s+ 2
(s+ 1)3
4. Frações parciais - pólos complexos
F (s) =
2s+ 12
s2 + 2s+ 5
1.3.1 Exercício
1. Encontre a solução x(t) da equação diferencial:
d2x(t)
dt2
+ 2
dx(t)
dt
+ 5x = 3, x(0) = 0 e
dx(0)
dt
= 0
2. Obter a transformada de Laplace de f(t) = te−5t.
3. Determine a transformada de Laplace inversa de F (s) =
10
s(s+ 2)(s+ 3)2
.
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2 Introdução
Sistemas de controle são parte integrante da sociedade moderna. Inúmeras aplicações estão presentes
no nosso dia a dia: controle de temperatura, controle de níveis de iluminação, controle de níveis de lí-
quidos, controle de velocidades, controle de fluxo de fluidos nas mais diversas aplicações, controle de
posição de satélites, direcionamento de navios e aeronaves, direcionamento automático de mísseis e
sistemas de rastreamento de alvos, controle de processos na indústria química, siderúrgica, eletrônica,
farmacêutica, etc.. .
A própria natureza nos mostra muitas formas de controle natural, como por exemplo, o equilíbrio
da vida em ecossistemas. Os animais, incluindo o homem executam diversas funções de controle
como por exemplo atuar para manter a temperatura do corpo constante, reagir em situações que colo-
cam o corpo sob risco, etc.
Sistemas de controle não se caracterizam somente para sistemas físicos. É possível estabelecer
modelos para o controle automático dos mais variados aspectos do comportamento humano, como por
exemplo desempenho de estudantes, onde a variável de entrada é representada pelo tempo disponível
para dedicar aos estudos e a variável de saída, ou variável controlada são as notas obtidas. O modelo
pode ser usado para prever o tempo necessário de estudo para se alcançar determinada melhoria nas
notas, se um determinado aumento no tempo de estudo for possível. Usando o modelo, pode-se
determinar se vale a pena ou não o esforço de aumentar o tempo de estudo na última semana do
semestre para se alcançar determinado nível de desempenho.
2.1 Definição de Sistemas de Controle
Um sistema de controle consiste em subsistemas e processos (ou plantas) reunidos com o propósito
de controlar as saídas dos processos. Por exemplo, um forno produz calor como resultado do fluxo
de combustível. Neste processo, subsistemas chamados de válvulas de combustíveis e atuadores
de válvulas de combustíveis são usados para regular a temperatura de um ambiente, controlando a
produção de calor do forno. Outros subsistemas, tais como termostatos, que agem como sensores,
medem a temperatura do ambiente. Na sua forma mais simples, o sistema de controle leva a uma
saída ou reposta para um dado estímulo ou entrada. Isto pode ser verificado na Figura 1.
Figura 1: Descrição simplificada de um sistema de controle.
2.2 Benefícios dos Sistemas de Controle
Com sistemas de controle podemos movimentar e posicionar equipamentos de grande porte com ní-
veis de precisão, que de outra forma seria impossível. Podemos posicionar com precisão enormes
antenas de forma a captar sinais de rádio das mais remotas distâncias do universo, pode-se controlar o
comportamento de uma nave espacial não tripulada, desde o lançamento até o seu destino final, como
o acoplamento à outro sistema no espaço. Pode-se controlar a aterrissagem de um avião de passagei-
ros à noite e com condições climáticas desfavoráveis. Graças aos sistemas de controle, elevadores nos
transportam rápida e confortavelmente, parando automaticamente no andar escolhido. Sem os mes-
mos, não poderíamos fornecer a potência requerida para transportar o peso à velocidade desejada ou
requerida; motores fornecem a potência e os sistemas de controle regulam a posição e a velocidade.
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São quatro as razões básicas para se construir sistemas de controle:
1. Amplificaçãode potência;
2. Controle remoto;
3. Conveniência na forma do sinal de entrada ou referência;
4. Compensação de distúrbios.
Por exemplo, uma antena de radar, posicionada pela rotação, a entrada ou referência, requer ele-
vada potência para executar o movimento de rotação. O sistema de controle pode produzir a amplifi-
cação de potência requerida, ou seja, o ganho de potência.
Robôs projetados com os princípios de sistemas de controle podem compensar inabilidades hu-
manas. Sistemas de controle são também bastante convenientes em locais remotos ou perigosos. Por
exemplo, um braço de robô com controle remoto pode ser usado para pegar e movimentar material
em um ambiente radioativo.
Sistemas de controle também podem ser usados para a conveniência de mudar a forma da referên-
cia. Por exemplo, em um sistema de controle de temperatura, a entrada é a posição em um termostato.
A saída é o calor. Portanto, uma entrada na forma de posição, que é conveniente, leva a uma saída
desejada, na forma térmica.
Vamos agora olhar para outra vantagem de um sistema de controle, a habilidade de compensar
distúrbios (perturbações). Tipicamente, controlamos variáveis tais como temperatura em sistemas
térmicos, posição e velocidade em sistemas mecânicos, e tensões e correntes elétricas em sistemas
elétricos. O sistema deve ser capaz de fornecer uma saída correta, mesmo com a presença de distúr-
bios. Por exemplo, considere um sistema de antena que aponta para uma posição comandada. Se o
vento força a antena de sua posição de referência, ou se ruído se faz presente internamente, o sistema
deve ser capaz de detectar o distúrbio e corrigir a posição da antena. Obviamente, a referência do
sistema não vai mudar para se fazer a correção. Consequentemente, o sistema por si mesmo deve (1)
medir a intensidade com que o distúrbio reposicionou a antena e (2) retornar a antena para a posição
comandada originalmente pela referência.
2.3 História dos Sistemas de Controle
• Controle Nível-Líquido
Utilizado pelos gregos, por volta de 300a.C., em um relógio de água, inventado por Ktesibios; cujo
tempo era marcado pelo gotejamento constante de um tanque (reservatório de alimentação) para outro
tanque (reservatório medidor). Para que o tempo fosse marcado corretamente, o nível do reservatório
alimentador deveria permanecer constante, utilizando-se assim, um processo semelhante ao da bóia
utilizado em caixas d’água - sistema com retroação.
Ainda baseado nesta ideia, um lampião a óleo foi idealizado por Fílon. Em que dois reservató-
rios, conectados por tubos, faziam a transferência de um reservatório a outro, mantendo o nível do
reservatório ’para queima’ constante.
• Controle de Pressão de Vapor e Temperatura
Denis Papin, em 1681, inventou uma válvula de segurança para regulação de pressão de vapor,
adaptada com um peso na parte superior da válvula. Montada em uma caldeira, esta válvula abria,
liberando vapor (pressão), quando a pressão interna da caldeira aumentava muito. Caso contrário,
permanecia fechada.
Também no século XV II , Cornelis Drebbel (Holanda) inventou um sistema de controle de tem-
peratura, exclusivamente mecânico, para chocar ovos.O dispositivo utilizava um pequeno frasco de
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álcool e mercúrio com um flutuador. O flutuador era conectado a um abafador que controlava a chama.
Pela expansão do mercúrio, à elevação de temperatura, a queima era diminuída.
• Controle de Velocidade
O controle de velocidade foi aplicado a um moinho de vento, em 1745, por Edmund Lee. Um
aumento na intensidade do vento posicionava as pás de modo a expor uma menor área delas. Quando
o vento diminuía, uma área maior das pás ficava disponível. Ideia que foi aperfeiçoada em 1809 por
Willian Cubitt.
No século XV III , James Watt inventou o regulador de velocidade de esferas para controlar a
velocidade de máquinas a vapor. Em que, duas esferas em rotação se elevam quando a velocidade
angular aumenta. Uma válvula de vapor conectada ao mecanismos das esferas fecha com um movi-
mento ascendente destas e abre com um movimento descendente, regulando a velocidade.
• Estabilidade, Estabilização e Condução
A teoria de controle, como é conhecida hoje, começou a se firmar na segunda metado do século
XIX . Em 1868, James Clerk Maxwell publicou o critério de estabilidade para um sistema de 3a
ordem baseado nos coeficientes de uma equação diferencial. Em 1874, Edward John Routh, usando
uma sugestão antes ignorada por Maxwell, foi capaz de estender os critérios de estabilidade para
sistema até 5a ordem. Em 1877 um artigo intitulado ’Um tratado sobre estabilidade de um dado
estado de movimento’, foi submetido por Routh; tendo ganhado um prêmio com o mesmo. Este
artigo contém o que hoje é conhecido como o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Alexander
Lyapunov estendeu os resultado de Routh para sistemas não lineares em 1892.
• Desenvolvimento do Século XX
A pilotagem automática de navios não pôde ser realizada senão no início dos anos 1900. Em 1922
a Sperry Gyroscope Company instalou um sistema automático de pilotagem que usou os elementos
de compensação e de controle adaptativo para melhorar o desempenho.
Grande parte da teoria geral de sistemas de controle automático é atribuída a Nicholas Minorsky,
um russo que estudou sobre o desenvolvimento teórico aplicado por ele na pilotagem automática de
embarcações, que resultou no que hoje chamamos de controlador proporcional, integral e derivativo
(PID), ou controlador de 3 modos.
Existem muito mais informações sobre a história da teoria de controle.
2.4 Características de Resposta e Configurações de Sistemas
2.4.1 Entrada e Saída
É necessário desenvolver uma linguagem comum ao se falar em engenharia de controle. Para tanto,
serão verificadas algumas características de resposta dos sistemas de controle.
Conforme comentado, um sistema de controle fornece uma saída ou resposta para uma dada en-
trada ou estímulo. A entrada representa a resposta desejada; a saída é a resposta real. Por exemplo,
a Figura 2, mostra que um botão foi acionado para que um elevador seguisse para o quarto andar. O
elevador sobe até o quarto andar com uma velocidade e um nivelamento projetados para o conforto
do passageiro.
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Figura 2: Resposta do elevador.
A entrada representa o que gostaríamos que a saída fosse depois que o elevador parasse; o eleva-
dor, em si, segue o deslocamento descrito pela curva denominada resposta do elevador.
Dois importantes fatores influenciam nesta resposta. A entrada teve uma mudança instantânea,
enquanto que o elevador mostrou uma mudança gradual em sua posição. Entidades físicas não podem
mudar seus estados instantaneamente. O estado se altera segundo a trajetória que se relaciona com o
dispositivo físico e ao modo como ele armazena ou dissipa energia. A esta mudança gradual, em que
o elevador sobre do primeira ao quarto andar, chamamos de resposta transitória.
Depois da resposta transitória, um sistema físico tende à resposta de estado estacionário, que é
uma aproximação da resposta comandada ou desejada. A função de saída já não apresenta grandes
variações em seu valor, à medida que o tempo varia. Já a precisão do do nivelamento do elevador
com o piso do andar é um segundo fator que poderia tornar a saída diferente do comando de entrada.
Chamamos esta diferença de erro de estado estacionário, ou erro em regime permanente.
O erro em estado estacionário é inerente ao sistema, e o engenheiro de controle e automação
determina se esse erro conduz ou não à uma degradação relevante das funções do sistema.
2.4.2 Sistemas em Malha Aberta
Um sistema a malha aberta consiste em subsistema chamado transdutor de entrada, que converte a
forma de entrada que é utilizada pelo controlador. O controlador age sobreum processo ou planta. A
entrada às vezes é chamada de referência, ao passo que a saída pode ser chama de variável contro-
lada. Outros sinais, como perturbações, podem ser somados às saídas do controlador e do processo
por meio de junções de adição, as quais produzem a soma algébrica de seus sinais de entrada usando
sinais associados.
A característica que distingue um sistema a malha aberta é que este não pode compensar a ação
de quaisquer perturbações que sejam adicionadas ao sinal atuante do controlador. Por exemplo, torra-
deiras são sistemas a malha aberta; a variável controlada é a cor da torrada (variável de saída). Caso
seja utilizado pães de ’cores’ diferentes, este controle de cor da torrada será mas difícil.
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Figura 3: Diagrama de blocos de sistemas de controle - sistema em malha aberta.
2.4.3 Sistemas a Malha Fechada
Uma desvantagem de sistema a malha aberta é, sem dúvida, a sensibilidade a perturbações e a in-
capacidade de corrigir os problemas ocasionados por elas. Com o intuito de corrigir este problema,
vejamos as características de um sistema a malha fechada.
Um transdutor de entrada converte o sinal para a forma utilizada pelo controlador. A primeira
junção de adição adiciona algebricamente o sinal de entrada ao sinal de saída, que chega pelo canal
de retroação, o percurso de retorno da saída para a junção de adição. Pela figura do slide a seguir, o
sinal de saída é subtraído do sinal de entrada. O resultado geralmente é chamado de sinal atuante.
O sistema a malha fechada compensa perturbações medindo a resposta da saída e retornando esta
medição através de um canal de retroação e comparando esta resposta com a entrada do sinal da
junção. Se existir alguma diferença entre estes sinais, o sistema age sobre a planta, por meio do sinal
atuante, para fazer a correção.
Obviamente, os sistemas a malha fechada são mais vantajosos, por apresentarem maior preci-
são que os sistemas a malha a aberta. São menos sensíveis a perturbações, ruídos e mudanças nas
condições ambiente.
Figura 4: Diagrama de blocos de sistemas de controle - sistema em malha fechada.
2.5 Objetivos da Análise de Projeto
• Resposta transitória;
• Resposta de estado estacionário;
• Estabilidade
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2.5.1 Resposta Transitória
A resposta transitória é importante. No caso do elevador, a resposta transitória não pode ser tão lenta,
a ponto de os passageiros ficarem impacientes, mas também não pode ser excessivamente rápida,
pois causaria desconforto aos mesmos. Se o elevador oscilar, pode causar náuseas nos passageiros;
também por razões estruturais, uma resposta rápida pode causar danos físicos a permanentes.
2.5.2 Resposta de Estado Estacionário
Outro objetivo da análise e do projeto focaliza resposta em estado estacionário (regime permanente).
Esta é a parte da resposta que permanece depois que a resposta transitória tende a zero. O interesse é
na precisão desta resposta em regime estacionário. Por exemplo, o elevador deve estar suficientemente
nivelado, permitindo a entrada e saída de passageiros do elevador. Assim, já pensamos também no
erro em regime permanente, é preciso projetar a ação corretiva de modo a reduzir o erro de estado
estacionário.
2.5.3 Estabilidade
Para um sistema que não é estável, não faz sentido falar em resposta transitória e erro de estado
estacionário. Para explicar a estabilidade de sistemas, começamos a partir do fato de que a resposta
total de um sistema é a soma da resposta natural (solução geral) e da resposta forçada (solução
particular). A resposta natural descreve o modo pelo qual o sistema dissipa ou acumula energia. A
forma ou a natureza desta resposta depende somente do sistema, não da entrada. Já a natureza da
resposta forçada é dependente da entrada.
Resposta total = Resposta natural + Resposta forçada
Para que um sistema de controle seja útil, a resposta natural deve (1) tender a zero, desta maneira
deixando somente a resposta forçada, ou (2) oscilar. Em alguns sistemas, contudo, a resposta natural
cresce sem limites em vez de diminuir até zero ou oscilar. Finalmente, a resposta natural é tão maior
que a resposta forçada que o sistema não é mais controlado. Esta condição é chamada de instabili-
dade e pode conduzir à autodestruição do dispositivo físico se não houver batentes limitadores como
parte do projeto.
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3 Modelos de Sistemas - Modelo Matemático
Os modelos matemáticos de sistemas são importantes para a análise de suas características dinâmicas.
São definidos como um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema com a máxima
precisão possível.
A dinâmica dos sistemas pode ser descrita por meio de equações diferenciais. A obtenção do
modelo matemático é a parte mais importante da análise do sistema de controle.
Os modelos matemáticos podem assumir diferentes formas. Dependendo do que se deseja anali-
sar, algum modelo matemático pode ser mais adequado do que outros. Uma das formas de obtenção
destes modelos é por meio de sua função de transferência (FT), definida pela transformada de Laplace
de saída pela transformada de Laplace da entrada:
L{saida}
L {entrada}
Já verificamos o que significa regime transitório e do regime permanente de um sistema. Para
realizar tais considerações sobre a resposta de um sistema, é necessário que o sistema tenha estabili-
dade. Para explicar estabilidade devemos nos lembrar que a resposta de um sistema é a soma de sua
resposta natural e da resposta forçada. Ao estudar E.D.O.s nos referíamos à estas respostas como
solução homogênea e solução particular, respectivamente.
Veremos posteriormente que, para que um sistema de controle seja útil, a resposta natural deve
tender a zero à medida que o tempo tende ao infinito, ou oscilar. Sistemas que respondam desta
maneira, serão chamados de estáveis ou marginalmente estáveis. Caso ocorra o contrário, ou seja, a
resposta natural aumenta sem limites, chamamos o sistema de instável. A instabilidade pode conduzir
à destruição do sistema físico, caso não haja limitadores no projeto.
3.1 Função de Transferência
3.1.1 Pólos e zeros do sistema
A partir do modelo de um sistema, por meio de sua função de transferência, é possível utilizar "parâ-
metros"que nos dão informações acerca da estabilidade do mesmo e, ainda, condições do projeto de
controladores. Estes parâmetros são os pólos e zeros da FT, levantados como se segue:
Y (s)
X(s)
=
K(s+ z1)(s+ z2)(s+ z3)...s+ zm)
(s+ p1)(s+ p2)(s+ p3)...s+ pn)
, em que m < n
3.2 Funções de Teste
Algumas funções bem características são utilizadas na análise da resposta de sistemas dinâmicos,
visando estabelecer parâmetros de controle ideais. Abaixo, algumas formas de onda de teste usadas
em sistemas de controle:
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Figura 5: Funções de teste utilizadas em sistemas de controle.
3.3 Função de Transferência Circuitos Elétricos
A tabela a seguir traz as relações entre tensão e corrente, tensão e carga e impedância, para os diversos
elementos presentes em circuitos elétricos.
Figura 6: Relações entre grandezas elétricas de elemento de circuito.
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Como exemplo, obtenha a F.T. (função de transferência) relacionando a tensão da fonte como
entrada e a corrente na malha como saída do sistema abaixo.
Figura 7: Circuito RLC.
Determine a função de transferência,
Vc(s)
V (s)
, para o circuito a seguir:
Figura 8: Circuito RLC, com duas malhas.
3.3.1 Exercícios
1. Determine a FT, G(s) =
VL(s)
V (s)
, para o circuito da Figura 9:
Figura 9: Circuito RLC, com três malhas.
2. Determine a função de transferênciaG(s) =
VL(s)
V (s)
para cada circuito da Figura 10:
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Figura 10: Circuitos RLC.
3. Determine a FT
Vs(s)
Ve(s)
para cada circuito mostrado na Figura 11:
Figura 11: Circuitos RLC.
4. Para o circuito da Figura 11, letra (a), determine a função de transferência considerando a tensão
da fonte como entrada e a carga no capacitor como saída do sistema.
3.4 Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Translacionais
Assim como feito para os circuitos elétricos, é possível modelar, matematicamente, sistema mecâni-
cos de translação, obtendo sua função de transferência. Os sistemas mecânicos se assemelham aos
circuitos elétricos. É possível fazer analogias entre seus componentes. Dos elementos dos sistemas
mecânicos de translação, dois deles, a massa e a mola, são elementos armazenadores de energia;
enquanto que o amortecedor viscoso dissipa energia.
As analogias entre os sistemas elétricos e mecânicos vão além das características de seus compo-
nentes. Podemos verificar que a força mecânica é análoga à tensão elétrica e a velocidade mecânica é
análoga à corrente elétrica. E, novamente, por meio da conservação de energia, conseguiremos obter
as equações dos sistemas mecânicos de translação.
Na tabela representada na Figura 12 veremos como os elementos se relacionam com as gran-
dezas de força e deslocamento. As constantes K, fv e M são respectivamente, constante de mola,
coeficiente de atrito viscoso e massa.
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Figura 12: Relações força-velocidade, força-deslocamento e impedância translacional para molas,
amortecedores viscosos e massa.
Como exemplos vamos resolver os exercícios a seguir:
1. Obtenha a F.T. (função de transferência) relacionando a força como entrada e o movimento do
bloco como saída do sistema da Figura 13:
Figura 13: Sistema massa, mola, amortecedor.
Descrevendo as forças que atuam no bloco (Figura 14):
Figura 14: Diagrama de corpo livre do sistema massa, mola, amortecedor em (a) e em (b) Diagrama
de corpo livre transformado.
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2. Obtenha a FT do sistema representado na Figura 15, relacionando a força como entrada e o
movimento do bloco 2 como saída:
Figura 15: Diagrama de corpo livre do sistema massa, mola, amortecedor em (a) e em (b) Diagrama
de corpo livre transformado.
3.4.1 Exercícios
1. Determine a FT,
X1(s)
F (s)
, para o sistema mecânico translacional da Figura 16:
Figura 16: Sistema mecânico translacional, uma ’malha’.
2. Determine a FT,
X2(s)
F (s)
, para o sistema mecânico translacional da Figura 17:
Figura 17: Sistema mecânico translacional.
3. Determine a FT,
X2(s)
F (s)
, para o sistema mecânico translacional da Figura 18. Sugestão: coloque
uma massa nula em x2(t).
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Figura 18: Sistema mecânico translacional.
4. Determine a FT,
X1(s)
F (s)
, para o sistema mecânico translacional da Figura 19.
Figura 19: Sistema mecânico translacional.
5. Escreva, mas não resolva, as equações de movimento para o sistema mecânico translacional
mostrado na Figura 20.
Figura 20: Sistema mecânico translacional.
6. Determine a FT,
X3(s)
F (s)
, para cada sistema mostrado na Figura 21.
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Figura 21: Sistema mecânico translacional.
7. Determine a FT,
X2(s)
F (s)
, para cada sistema mostrado na Figura 22.
Figura 22: Sistema mecânico translacional.
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3.5 Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Rotacionais
Os sistemas mecânicos de rotação são manipulados da mesma maneira que os sistemas mecânicos em
translação, exceto que o torque substitui a força e o deslocamento angular, o deslocamento de trans-
lação. Os componentes mecânicos dos sistema de rotação são os mesmos dos sistemas de translação,
porém realizam rotação.
A tabela a seguir mostra os componentes e as relações entre torque e velocidade angular e entre
torque e deslocamento angular.
Figura 23: Relações torque-velocidade-deslocamento - rotação.
A massa foi substituída por inércia (J).
As equações são obtidas de forma análoga aos sistemas de translação. Primeiro giramos um ponto
e mantemos os demais parados. O processo é repetido para cada um dos pontos de movimento.
Figura 24: Sistema mecânico rotacional.
Descrição das forças atuantes no ponto J1:
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Figura 25: Descrição das forças atuantes em J1.
Descrição das forças atuantes no ponto J2:
Figura 26: Descrição das forças atuantes em J2.
3.5.1 Exercícios
1. Obter a função de transferência (a)
θ1(s)
T (s)
e (b)
ω2(s)
T (s)
Figura 27: Sistema mecânico de rotação.
2. Obter a função de transferência:
θ3(s)
T (s)
:
Figura 28: Sistema mecânico de rotação.
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
CES-CL - Engenharia Elétrica 20
4 Diagrama de Blocos
Sistemas mais complexos são representados pela interconexão de diversos subsistemas. Uma vez que
a resposta de uma única função de transferência pode ser calculada, desejamos representar subsis-
temas múltiplos através de uma única função de transferência. Assim, podemos aplicar as técnicas
analíticas e obter as informações da resposta transitória relativa ao sistema como um todo.
Subsistemas múltiplos podem ser representados em diagramas de blocos. Embora não seja uma
representação específica de nenhuma técnica da análise ou projetos, os diagramas de blocos geral-
mente são utilizados para análise e projeto no domínio da frequência.
Desenvolveremos técnicas para reduzir a representação a uma única função de transferência. A
álgebra de diagramas de blocos será utilizada para reduzir os diagramas de blocos.
4.1 Construção do Diagrama de Blocos
Um sistema de controle possui vários componentes. Para mostrar todas as funções executadas por
estes componentes e o fluxo de sinais entre eles normalmente utiliza-se o diagrama de blocos.
As variáveis são ligadas umas às outras por blocos funcionais, ou simplesmente blocos. E estes
blocos possuem setas que indicam o sentido do fluxo de sinais (Figura 29).
Figura 29: Elemento de um digrama em blocos.
Para construir um diagrama de blocos:
• Escreve-se as equações que descrevem o comportamento do dinâmico do sistema;
• Deve-se obter a transformada de Laplace destas equações, admitindo-se condições iniciais nu-
las;
• Representa-se individualmente, em forma de bloco, a transformada de Laplace de cada equação;
• Agrupa-se os elementos em um diagrama de blocos completo.
Figura 30: Circuito RC e equações do circuito, no domínio do tempo.
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CES-CL - Engenharia Elétrica 21
Figura 31: Equações em s e blocos individuais do circuito.
4.2 Elementos do Diagrama de Blocos
Além dos blocos, os diagramas possuem somadores, representados por um círculo com um X e que
indica uma operação entre duas grandezas de mesmas dimensão e unidade, e pontos de ramificação
(ou derivação), a partir do qual um mesmo sinal vai para outros blocos ou para pontos de soma.
Figura 32: Sistema em malha fechada.
Quando a saída é realimentada ao somador para comparação com a entrada é necessário converter
a forma do sinal de saída à do sinal de entrada. Esta conversão é realizada por meio do elemento de
realimentação cuja F.T. está representada por H(s) na Figura 33.
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
CES-CL - Engenharia Elétrica 22
Figura 33: Sistema em malha fechada.
4.3 Relações entre Sinais no Diagrama em Blocos
Com relação ao diagrama mostrado na Figura 33, podemoslevantar a função de transferência de
malha aberta, que será a relação entre os sinais de realimentação B(s) e o sinal de erro atuante E(s):
B(s)
E(s)
= G(s)H(s) (1)
ou podemos obter a função de transferência de ação direta, que relaciona o sinal de saída C(s)
e o sinal de erro atuante E(s):
C(s)
E(s)
= G(s) (2)
A saída C(s) e a entrada R(s) estão relacionadas como:
C(s) = G(s)E(s)
E(s) = R(s)−B(s) = R(s)−H(s)C(s)
C(s) = G(s)[R(s)−H(s)C(s)]
Assim,
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)H(s)
(3)
4.4 Redução (simplificação) do Diagrama em Blocos
Figura 34: Blocos em cascata.
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
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A função de transferência de blocos em paralelo é a soma da função de transferência desses blocos.
Figura 35: Blocos em paralelo.
Mover um bloco para trás de ponto de derivação
Figura 36: Movimento de blocos.
Mover um bloco para frente de ponto de derivação
Figura 37: Movimento de blocos.
Mover um bloco para trás de um ponto de soma
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
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Figura 38: Movimento de blocos.
Mover um bloco para frente de um ponto de soma
Figura 39: Movimento de blocos.
Exemplo:
Figura 40: Diagrama de blocos para simplificação.
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
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Figura 41: Simplificação - passo 1.
Figura 42: Simplificação - passo 2.
Figura 43: Simplificação - passo 3.
Figura 44: Simplificação - passo 4.
5 Representação no Espaço de Estado
Devido ao aumento da complexidade dos sistemas, das tarefas complexas realizadas e da necessidade
de respostas com boa precisão, desenvolveu-se a teoria de controle moderno. Sistemas complexos
podem ter muitas entradas e muitas saídas, variantes no tempo - representação em espaço de estado.
O conceito de estado vem de encontro ao aumento da complexidade de sistemas e da possibilidade da
utilização de computadores de grande porte.
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
CES-CL - Engenharia Elétrica 26
Teoria de controle convencional - sistemas com uma entrada e uma saída, com enfoque no domí-
nio da frequência (s) versus teoria de controle moderno - sistemas com entradas e saídas múltiplas,
lineares ou não, abordagem no domínio do tempo (t). Assim como a teoria de controle clássico, o
controle moderno pode ser aplicado a qualquer tipo de sistema.
Ao se construir um espaço de estado, são necessárias três tipos de variáveis: variáveis de entrada,
variáveis de saída e variáveis de estado.
x˙(t) = f(x,u, t)
y(t) = g(x,u, t)
Em que u(t) e y(t) são matrizes de entrada(s) e saída(s) respectivamente, e x(t), a matriz de
variáveis de estado. Das duas igualdades acima, a primeira é chamada de equação de estado e a
segunda, equação de saída.
Expandindo o conjunto de equações, do slide anterior, em torno estado de operação do sistema ,
poderemos escrever modelos no espaço de estados da seguinte maneira:
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Em que:
A - é a matriz de estado;
B - é a matriz de entrada;
C - é a matriz de saída;
D - é a matriz de transmissão direta.
Representando o espaço de estado sob a forma de diagrama em blocos:
Figura 45: Diagrama em blocos representado no espaço de estados.
Exemplo 3.2 do Livro Ogata (3a edição):
Figura 46: Sistema mecânico.
A equação que descreve o sistema será:
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my¨ + by˙ + ky = u
Como é um sistema de segunda ordem, indica que envolve dois integradores. Definiremos as
variáveis de estado x1(t) e x2(t) como se segue:
x1(t) = y(t)
x2(t) = y˙(t) ou ainda x2(t) = x˙1(t)
Assim:
x˙1(t) = x2(t)
x˙2(t) =
1
m
(−ky − by˙) + 1
m
u
E,
x˙1(t) = x2(t)
x˙2(t) = − k
m
x1 − b
m
x2 +
1
m
u[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
− k
m
− b
m
] [
x1
x2
]
+
[
0
1
m
]
u
y =
[
1 0
] [x1
x2
]
6 Resposta no Domínio do Tempo
6.1 Análise da Resposta Transitória
Uma vez obtido o modelo de um sistema é possível utilizar métodos que analisarão o desempenho
destes. Estes métodos levam em consideração tanto o comportamento transitório quanto o regime
permanente (estado estacionário) dos sistemas.
Figura 47: Posição de um elevador.
Na análise e projeto de sistemas de controle, é necessário um ponto de partida para comparar o
comportamento desses sistemas. Esta análise inicial pode ser obtida aplicando-se alguns sinais de
teste como entradas dos sistemas e comparando sua saída com o esperado para a entrada utilizada.
Como foi visto anteriormente, alguns destes sinais são as funções impulso e degrau unitário, rampa,
senoide etc. A partir destes sinais, tanto a análise matemática quanto a análise experimental podem
ser realizadas facilmente, uma vez que estes sinais são funções temporais simples.
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
CES-CL - Engenharia Elétrica 28
6.2 Sinais de teste
Uma diferença entre a utilização de determinado sinal de teste, em detrimento de outro, diz respeito
ao que se deseja analisar. Como pode ser analisado na próxima figura.
Figura 48: Sinais de teste.
6.3 Conceitos sobre estabilidade
Para se projetar um sistema de controle, deve ser possível prever o comportamento dinâmico do
sistema. A característica mais importante do comportamento dinâmico de um sistema de controle
é a estabilidade absoluta, isto é, se o sistema é estável ou instável. Um sistema de controle linear
e invariante no tempo é estável se a saída retorna ao seu estado de equilíbrio quando o sistema é
submetido a uma condição inicial. será criticamente estável se, na presença de uma condição inicial, o
sinal de saída apresenta oscilações que permanecem indefinidamente. Pode também ser caracterizado
como instável se, após uma condição inicial, a saída do sistema atinge valores cada vez maiores. Na
prática, os sinais de saída de sistemas físicos só pode aumentar até certo valor.
Outra característica a ser analisada é o erro estacionário. A partir de determinada entrada, o sis-
tema pode apresentar oscilações até atingir um estado ou regime estacionário. Se a saída do sistema
não coincidir exatamente com o sinal de entrada aplicado, diz-se que o sistema apresenta erro estaci-
onário. E este erro indica a classe de exatidão do sistema.
6.4 Sistemas de 1a Ordem
A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta natural e a resposta forçada.
Para analisar como cada parte desta resposta total influencia no comportamento de um sistema, tome
como exemplo a função de transferência G(s) =
(s+ 2)
(s+ 5)
submetida à uma entrada degrau unitário
1
s
.
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CES-CL - Engenharia Elétrica 29
Figura 49: Sistema de 1a ordem.
A função de saída, resultante, será do tipo:
C(s) =
1
s
(s+ 2)
(s+ 5)
Que, se resolvida pela transformada de Laplace inversa, tem resposta temporal:
c(t) =
2
5
+
3
5
e−5t
Com base na resposta obtida anteriormente, pode-se concluir que:
• Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada (o pólo na origem gerou a
função degrau na saída);
• Um pólo da função de transferência gera a forma da resposta natural (isto é, o pólo em −5
gerou e−5t);
• Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial. Quanto mais à esquerda fique si-
tuado o pólo sobre o semi eixo real negativo, tanto mais rápido será o decaimento da resposta
transitória exponencial para zero;
• Os pólos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas, natural e forçada, de acordo
com o cálculo de A e B do exemplo.
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
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Figura 50: Pólos e zeros.
No plano complexo, x representará pólos do sistema (raízes do polinômio do denominador), en-
quanto que o representará os zeros(raízes do polinômio do numerador).
Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de transferência em (a),
com representação no plano complexo demonstrada em (b).
Figura 51: Representação em plano complexo.
A resposta ao degrau unitário para este sistema é dada por:
c(t) = cf (t) + cn(t) = 1− e−at
Para analisar a importância do parâmetro a, que descreve a resposta transitória, faremos t = 1
a
:
c(t)|t= 1
a
= 1− e−at|t= 1
a
= 1− 0, 37 = 0, 63
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6.4.1 Constante de tempo
Chamamos 1
a
de constante de tempo da resposta, denotada por τ (tau). Esta constante de tempo mostra
o tempo necessário para que a resposta a degrau alcance 63% de seu valor final. Esta constante indica
quão rápido é o sistema. Quanto menor é a constante de tempo de um sistema, mais rapidamente ele
responderá a uma entrada.
τ =
1
a
6.4.2 Outras especificações da resposta transitória
Tempo de subida - Tr: é o tempo necessário para que o sistema passe de 0, 10 à 0, 90 de seu valor
em regime permanente. O tempo de subida é obtido pela diferença entre os valores de t para os quais
c(t) = 0, 90 e c(t) = 0, 10. Portanto:
Tr =
2, 31
a
− 0, 11
a
=
2, 2
a
= 2, 2τ
Tempo de assentamento - Ts: é o tempo necessário para que o sistema (ou função) atinja cerca
de 98% de seu valor em regime permanente. Fazendo c(t) = 0, 98:
Ts =
4
a
= 4τ
Figura 52: Constantes do sistema de 1a Ordem,
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6.4.3 Função de transferência obtida experimentalmente
Podemos constatar que o valor final da função é aproximadamente 0, 72. A constante de tempo pode
ser obtida no ponto onde a função atinge 63% de seu valor final: 0, 63x0, 72 = 0, 45, correspondente
à 0, 13 segundos. Qual é a função de transferência do sistema?
Exercício: Um sistema possui uma função de transferência G(s) =
50
s+ 50
. Obtenha a constante
de tempo de sistema, o tempo de assentamento e o tempo de subida.
6.5 Sistemas de 2a Ordem
Os sistemas de segunda ordem apresentam maior variedade na forma com que se apresentam as
respostas temporais. Pequenas mudanças em alguns de seus parâmetros podem ocasionar diferentes
tipos de comportamentos do sistema. Os sistemas de 2a ordem podem apresentar comportamento
semelhantes aos de 1a ordem, ou até mesmo apresentarem oscilações puras ou amortecidas como
resposta transitória.
Vamos utilizar um caso mais geral, em que o denominador da função de transferência é somente
um número. Novamente, o numerador sendo uma constante de valor igual ao termo independente do
polinômio do denominador indica que o sistema possui ganho unitário (à entrada degrau unitário, o
sistemas estabilizará em 1).
Figura 53: Sistema de 2a ordem.
6.5.1 Sistema Superamortecido
Para o sistema abaixo, sujeito à entrada ao degrau unitário:
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CES-CL - Engenharia Elétrica 33
C(s)
R(s)
=
9
s2 + 9s+ 9
• Quais são os pólos dos sistema?
• E a resposta temporal?
6.5.2 Sistema Subamortecido
Para o sistema abaixo, sujeito à entrada ao degrau unitário:
C(s)
R(s)
=
9
s2 + 2s+ 9
Sua função possui um pólo na origem, que vem da entrada ao degrau unitário, e dois pólos comple-
xos provenientes do sistema. Os pólos que geram a resposta natural estão situados em s = −1± j√8.
A parte real do pólo coincide com a frequência de decaimento da oscilação, enquanto que a parte
imaginária coincide com frequência de oscilação da resposta transitória.
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6.5.3 Sistema Sem Amortecimento
Para o sistema abaixo, sujeito à entrada ao degrau unitário:
C(s)
R(s)
=
9
s2 + 9
Sua função possui um pólo na origem, que vem da entrada ao degrau unitário, e dois pólos com-
plexos provenientes do sistema, contendo somente a parte imaginária. É chamado de sistema sem
amortecimento, uma vez que a frequência das oscilações não decai, pela ausência de uma parte real
no par de pólos, que corresponderia ao decaimento da oscilação.
6.5.4 Sistema Criticamente Amortecido
Para o sistema abaixo, sujeito à entrada ao degrau unitário:
C(s)
R(s)
=
9
s2 + 6s+ 9
Sua função possui um pólo na origem, que vem da entrada ao degrau unitário, e dois pólos reais
múltiplos, provenientes do sistema. É chamado de sistema criticamente amortecido. Possui respostas
mais rápidas possíveis sem a ultrapassagem que é característica da resposta amortecida.
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6.5.5 Resposta ao degrau - sistemas de 2a ordem
6.5.6 Exercícios
• Calcule os pólos dos sistemas representados abaixo e classifique-os quanto ao amortecimento:
1. G(s) =
400
s2 + 12s+ 400
2. G(s) =
900
s2 + 90s+ 900
3. G(s) =
225
s2 + 30s+ 225
4. G(s) =
625
s2 + 625
6.5.7 Parâmetros dos Sistemas de 2a Ordem
Os sistemas de 2a ordem, que não apresentam zeros, podem ser descritos, genericamente, por:
G(s) =
k
s2 + 2ζωns+ ω2n
Em que ωn → frequência natural; ζ → coeficiente de amortecimento.
• Frequência natural (ωn) - frequência natural de oscilação do sistema. Dada por ωn = 2pif ;
• Coeficiente de amortecimento (ζ) - Compara a frequência de decaimento das oscilações (expo-
necial) com a frequência natural do sistema.
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A partir das relações entre ωn e ζ é possível verificar as mesmas características de respostas, de
acordo com o amortecimento do sistema, para ’tipo’ de pólos estudados anteriormente.
Para os sistemas representados abaixo, calcule ζ e ωn, e caracterize os sistemas quanto ao amor-
tecimento:
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Sistemas Subamortecidos
0 < ζ < 1 e pólos em p1,2 = −σd ± jωd
A resposta temporal, a uma excitação ao degrau unitário, para estes sistemas são do tipo:
c(t) = A+Be−σdtcos(ωdt− θ)
Quanto menor o valor de ζ mais oscilatória será a resposta, antes de entrar em regime estacionário.
As grandezas a serem observadas neste tipo de sistema são:
• TP - tempo de pico;
• MP - máximo sobressinal (%) - overshoot
• TR - tempo de subida - quando o sistema passa pela primeira vez pelo seu valor final (função
saída);
• TD - tempo de atraso - 50% do valor final;
• TS - tempo de assentamento (acomodação) - 95% ou 98% do valor final (função saída).
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• Tempo de pico (TP )
TP =
pi
ωd
• Máximo sobressinal (MP )
MP =
valormaximo− valorfinal
valorfinal
× 100%
MP = e
−(σd/ωd)pi × 100% ζ = −ln (MP/100)√
pi2 + ln2 (MP/100)
• Tempo de subida (TR)
TR =
pi − β
ωd
em que β = tg−1
(
ωd
σd
)
(Obs.: Calculadora em RAD)
• Tempo de assentamento (TS) - acomodação:
TS = 4T =
4
σd
=
4
ζωn
- critério de 2% (98%)
TS = 3T =
3
σd
=
3
ζωn
- critério de 5% (95%)
T =
1
σd
é definido como sendo uma constante de tempo.
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CES-CL - Engenharia Elétrica 39
7 Estabilidade
Trabalhando com sistemas de ordem superior (maior que 2), a resposta transitória deste tipo de sis-
tema, dada uma certa entrada, pode ser determinada por simulação computacional. Caso seja neces-
sário obter um expressão analítica, será necessário fatorar o polinômio para encontrar suas raízes.
Se todos os pólos de malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então os termos
exponenciais e os termos exponenciais amortecidos tenderão a zero à medida que o tempo aumentar.
Vimos que três requisitos fazem parte do projeto de um sistema de controle: resposta transitória,
estabilidade e erros em regime permanente. Até agora cobrimosa resposta transitória, e estamos
agora prontos para discutir o requisito seguinte, a estabilidade.
A estabilidade é a especificação de sistema mais importante. Caso um sistema seja instável, a
resposta transitória e os erros em regime permanente são uma questão irrelevante. Um sistema instável
não pode ser projetado para ter uma resposta transitória específica ou para atender um requisito de
erro em regime permanente. O que, então, é estabilidade?
Verificamos que podemos controlar a saída de um sistema se a resposta em regime permanente
consistir apenas na resposta forçada. Porém, a resposta total de um sistema é a soma das respostas
forçada e natural, ou
c(t) = cforcada(t) + cnatural(t)
Utilizando esses conceitos, apresentamos as seguintes definições de estabilidade, instabilidade e
estabilidade marginal:
• Um sistema linear e invariante do tempo (LIT) é estável se a resposta natural tender a zero
quando o tempo tender a infinito;
• Um sistema LIT é instável se a resposta natural crescer, sem limites, à medida que o tempo
tender a infinito;
• Um sistema LIT é marginalmente estável quando a resposta natural nem cresce e nem se atenua,
permanecendo constante ou oscilante, à medida que o tempo tende ao infinito.
Dessa forma, a definição de estabilidade implica que apenas a resposta forçada permanece à me-
dida que a resposta natural tende a zero.
Uma definição alternativa de estabilidade, diz respeito sobre a resposta total,
• Um sistema linear e invariante do tempo (LIT) é estável se toda entrada limitada gerar uma saída
limitada. Chama-se esta definição de estabilidade entrada-limitada saída-limitada (Bounded-
Input Bounded-Output), ou estabilidade BIBO;
• Um sistema LIT é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada;
• Para sistemas marginalmente estáveis, pode se comportar de maneira estável para algumas en-
tradas ou instável para outras.
Fisicamente, um sistema instável cuja resposta natural aumente sem limites pode causar danos ao
sistema, às instalações adjacentes ou à vida humana. Muitas vezes, os sistemas são projetados com
limites de parada para evitar uma perda total de controle. Da perspectiva do gráfico da resposta no
tempo de um sistema físico, a instabilidade é apresentada por transitórios que crescem sem limites e
consequentemente a resposta total não tende a um valor em regime permanente ou a outra resposta
forçada.
Como determinamos se um sistema é estável? Vamos nos focar nas definições de estabilidade da
resposta natural. Recorde de nosso estudo sobre polos do sistema que polos no semiplano da esquerda
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
CES-CL - Engenharia Elétrica 40
(spe) produzem respostas naturais de decaimento exponencial puro ou senoides amortecidas. Essas
respostas naturais tendem a zero à medida que o tempo tende a infinito. Assim, se os polos do sistema
em malha fechada estiverem na metade esquerda do plano s e consequentemente tiverem parte real
negativa, o sistema será estável. Isto é, os sistemas estáveis possuem funções de transferência em
malha fechada com polos apenas no semiplano da esquerda.
7.1 Critério de Routh-Hurwitz
O método de Routh-Hurwitz fornece informações sobre a estabilidade de sistemas, sem precisarmos
calcular os pólos de malha fechada. A partir dele, é possível dizer quantos pólos do sistema a malha
fechada estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito ou no eixo jω.
O método requer dois passos: (1) gerar uma tabela (tabela de Routh) e (2) interpretar a tabela.
Inicialmente, vamos considerar o sistema em malha fechada abaixo:
Pelo critério de Routh, a montagem da tabela seria, inicialmente:
Cujos coeficientes serão calculados da seguinte maneira:
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
CES-CL - Engenharia Elétrica 41
Exemplo: Seja o sistema
• Calcule a expressão da função de transferência em malha fechada;
• Construa a tabela de Routh.
7.1.1 Interpretando a tabela de Routh
A tabela de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes de um polinômio que estão no semi-
plano da direita é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna.
Consequentemente, para um sistema estável, que possui todos os pólos no semiplano s da es-
querda, não haverá trocas de sinal na primeira coluna da tabela.
7.1.2 Casos especiais
Dois casos especiais podem ocorrer e requerem um tratamento especial na construção da tabela:
1. Quando a tabela apresentar zero na primeira coluna;
2. Quando a tabela apresentar uma linha inteira de zeros.
Quando o primeiro elemento de uma linha for zero, a divisão por zero para obtenção da próxima
linha se fará necessária. Como este cálculo inviabiliza a continuação da construção da tabela, deve-se
atribuir um valor � (épsilon) em substituição ao zero na primeira coluna. Faz-se, então com que �
tenda a zero por valores positivos ou negativos, após o que os sinais dos elementos da primeira coluna
podem ser determinados.
Para o polinômio característico à seguir, construa e analise a tabela de Routh-Hurwitz
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
CES-CL - Engenharia Elétrica 42
P (s) = s5 + 2s4 + 3s3 + 6s2 + 5s+ 3
Ao atribuir valores positivos e negativos para �, a tabela mostrou duas mudanças de sinal. Assim,
o sistema é instável e possui dois pólos no semiplano da direita.
Outras vezes, ao construir a tabela, é possível que ao longo dos cálculos apareça uma linha com-
pleta com zeros. Considerando o polinômio característico:
P (s) = s5 + 7s4 + 6s3 + 42s2 + 8s+ 56
Construindo a tabela de Routh, podemos inicialmente dividir todos os termos da segunda linha
por 7, para que os cálculos tornem-se mais fáceis.
Ao obter uma linha completa por zeros, voltamos a linha imediatamente acima e utilizamos os
coeficientes para formar um polinômio auxiliar.
Assim,
T (s) = s4 + 6s2 + 8
Em seguida, derivamos este polinômio. Estes serão os novos coeficientes da tabela:
T (s) = 4s3 + 12s+ 0
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CES-CL - Engenharia Elétrica 43
Quando ocorre uma linha inteira de zeros na tabela de Routh, significa que o polinômio par, do
polinômio característico, possui somente raízes simétricas em relação à origem. Que podem ser:
• Raízes simétricas e reais;
• Raízes simétricas e imaginárias; ou
• Raízes quadrantais.
7.1.3 Exercícios
Para as funções de transferência a seguir determine quantos pólos estão no semiplano direito e no
semiplano esquerdo, do plano s:
a. T (s) =
20
s8 + s7 + 12s6 + 22s5 + 39s4 + 59s3 + 48s2 + 38s+ 20
;
b. T (s) =
s3 + 7s2 − 21s+ 10
s6 + s5 − 6s4 + 0s3 − s2 − s+ 6 .
Considere o seguinte sistema em malha fechada:
Determine os valores de K que tornam o sistema estável.
Análise de Sistemas Lineares - (Ap1V1)
CES-CL - Engenharia Elétrica 44
O critério de Routh-Hurwitz oferece uma prova nítida de que mudanças no ganho de um sis-
tema de controle com realimentação resultam em diferenças na resposta transitória em decorrência de
mudanças nas posições dos polos em malha fechada. O próximo exemplo demonstra este conceito.
Veremos que para sistemas de controle, como os mostrados na Figura 54, variações de ganho podem
mover os polos de regiões estáveis do plano s para o eixo j? e, em seguida, para o semiplano da
direita.
Figura 54: Jason é um veículo subaquático controlado remotamente, que foi utilizado para explorar
os destroços do Lusitania. O manipulador e a câmara abrangem alguns dos sistemas de controle do
veículo.
7.1.4 Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Determine a faixa de valores de ganho, K, para o sistema da Figura 55, que fará com que o sistema
seja estável, instável e marginalmente estável. Admita K > 0.
Figura 55: Sistema de controle com realimentação.
1. Obtenha a F.T. de malha fechada;
2. Construa a tabela de Routh-Hurwitz resolvendo-a;
3. Proceda com a análise, de acordo com o comportamento desejado parao sistema.
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7.1.5 Fatoração via Routh-Hurwitz
O critério de Routh-Hurwitz é frequentemente utilizado em aplicações limitadas para fatorar polinô-
mios contendo fatores pares. Vamos ver um exemplo:
Fatore o polinômio
s4 + 3s3 + 30s2 + 30s+ 200
Ao construir a tabela de Routh, você irá verificar que a linha s1 é uma linha de zeros. Construa
agora o polinômio par na linha s2. Que ficará P (s) = s2 + 10.
Este polinômio é derivado em relação a s para completar a tabela de Routh. Entretanto, como este
polinômio é um fator do polinômio original, podemos dividir o polinômio inicial por s2 + 10, que irá
resultar em (s2 + 3s+ 20) como o outro fator. Portanto,
s4 + 3s3 + 30s2 + 30s+ 200 = (s2 + 10)(s2 + 3s+ 20)
7.1.6 Exercício
Para um sistema com realimentação unitária com a função de transferência abaixo
G(s) =
K(s+ 20)
s(s+ 2)(s+ 3)
determine a faixa de valores de K que torna o sistema estável.
7.2 Estabilidade no Espaço de Estado
Após os sistemas serem modelados no espaço de estados, onde a representação no espaço de estados
consistiu de uma equação de estado e de uma equação de saída, nos perguntamos como os modelos
seriam utilizados. Considerando então a equação de estado
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t)
e a equação de saída
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Se aplicarmos à elas a transformada de Laplace
sX(s)− x(0) = AX(s) + BU(s)
Para isolar X(s), precisamos nos valer do elemento neutro da multiplicação de matrizes, a matriz
identidade, com a mesma ordem do sistema
(sI − A)X(s) = x(0) + BU(s)
e multiplicando os dois lados da equação por (sI − A)−1, teremos como solução final
X(s) = (sI − A)−1x(0) + (sI − A)−1BU(s)
=
adj(sI − A)
det(sI − A) [x(0) + BU(s)]
Aplicando Laplace na equação de saída
Y(s) = CX(s) + DU(s)
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7.2.1 Autovalores e Pólos da Função de Transferência
Os pólos da função de transferência determinam a natureza da resposta transitória do sistema. For-
malmente as raízes de det(sI?A) = 0 são os autovalores da matriz do sistema, A. Vamos demonstrar
então que os autovalores são iguais aos pólos da F.T. de um sistema. Considerando x(0) = 0, e
resolvendo a função de transferência
Y (s)
U(s)
temos como resultado
Y (s)
U(s)
= C
[
adj(sI − A)
det(sI − A)
]
B +D
ou
Y (s)
U(s)
=
Cadj(sI − A)B +Ddet(sI − A)
det(sI − A)
A relação entre os autovalores de A e os pólos do sistema, para a função de transferência acima,
mostram a característica dos pólos do sistema. Veremos no exemplo a seguir.
Dado o sistema representado no espaço de estados
x˙ =
 0 1 00 0 1
−24 −26 −9
x+
00
1
 e−t
y =
[
1 1 0
]
x
x(0) =
10
2

1. Resolva a equação de estado precedente e obtenha a saída para a entrada exponencial fornecida;
2. Determine os autovalores e os pólos do sistema.
Resolução no caderno!
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