P1 marcus vinicius G.A

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Primeira Prova de Geometria Anal´ıtica - Turma K – 05/04/2016
Nome: RA:
• Resolver 5 questo˜es.
• Respostas sem justificativas ou justificativas contendo apenas representac¸o˜es gra´ficas ou desenhos na˜o sera˜o valoradas.
As justificativas devera˜o ser dadas usando o conteu´do desenvolvido na disciplina.
1. Considerar o seguinte sistema linear:
 x + 2y − 3z = 43x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a+ 2
Encontrar, caso existam, valores de
a tal que o sistema:
a) na˜o tenha soluc¸a˜o. b) tenha infinitas soluc¸o˜es. c) tenha soluc¸a˜o u´nica.
Justificar suas respostas.
2. Encontrar, caso existam, os valores reais de a para os quais a matriz M =
 1 0 a0 a 0
1 0 1
 e´ invers´ıvel. Usar o me´todo
de escalonamento de Gauss-Jordan para encontrar, caso exista, a inversa da matriz M.
3. Responder se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se for verdadeira,
demonstre-a usando argumentac¸a˜o matema´tica envolvendo vetores e suas propriedades. Se for falsa, apresentar um
contraexemplo.
a) Se �u e �v possuem versores iguais, enta˜o �u e �v sa˜o vetores iguais.
b) Se �u+ �v e´ paralelo a` �u, enta˜o �v e´ paralelo a` �u.
4. Dado um triaˆngulo ABC, mostrar, usando vetores, que o segmento que liga os pontos me´dios dos lados AB e AC e´
paralelo ao lado BC e tem a metade de seu comprimento.
5. Verificar se os pontos A = (1, 3, 0), B = (−1, 1, 2) e C = (2, 4,−1) sa˜o colineares. Se forem colineares, determinar qual
desses pontos esta´ entre os outros dois. Se na˜o forem colineares, verificar se o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles.
6. Encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta bissetriz do aˆngulo interno ao ve´rtice B do triaˆngulo ABC, em que
A = (5, 5, 7), B = (4, 3, 5) e C(0, 5, 9).