Lista de Exercicios 04 ED

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais – Engenharia de Produção 
Professor: Ildeu Rolla França 
 
Assunto: Aplicações de Equações Diferenciais de primeira ordem e equações de Bernoulli 
 
Exercícios 
 
1) A um objeto de massa m é dada uma velocidade inicial para baixo e este cai sob a influência 
da gravidade. Supondo que a força da gravidade é constante e a força devido à resistência do ar 
 é proporcional a velocidade do objeto. 
a) Escreva a equação diferencial que modela o problema – utilize a 2ª Lei de Newton para obter a 
equação diferencial que modela o problema: 
 ∑ 
 
sabendo que as forças que atuam no corpo são o atrito (c = constante positiva) e o peso 
do corpo . 
b) Encontre a expressão que fornece a velocidade do objeto em qualquer ponto da trajetória. 
c) Determine a velocidade terminal do objeto, obtida depois de um tempo longo 
d) Encontre a expressão que fornece a posição do objeto em qualquer ponto da trajetória. 
 
2) Um objeto de massa 3kg é abandonado do repouso 500m acima do solo e deixado cair sob a 
influência da gravidade. Suponha que a força gravitacional seja constante com e a 
força devido a resistência do ar seja proporcional à velocidade do objeto com constante de 
proporcionalidade . 
a) Determine a função que fornece a posição do objeto em qualquer instante de tempo. 
b) Determine, aproximadamente, o instante em que o objeto atingirá o solo. (Dica: observe que 
é muito pequeno quando t é grande) 
 
3) Um objeto de massa recebe uma velocidade inicial para baixo de e depois é deixado 
cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força em newtons causada pela resistência do ar 
seja , onde é a velocidade do objeto em . 
a) Determine a função que fornece a posição do objeto em qualquer instante de tempo. 
b) Se estiver inicialmente acima do solo, determine quando o objeto atingirá o solo. 
 
4) O cardume de atum do pacífico foi modelado pela equação diferencial (Equação Logística) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
onde é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no tempo 
(medido em anos), a capacidade de suporte é estimada como e por ano. 
a) Se kg, calcule a biomassa um ano depois. 
b) Quanto tempo levará para a biomassa alcançar kg? 
 
5) A população mundial era cerca de 5,3 bilhões 1990. A taxa de natalidade na década de 1990 
variou entre 35 e 40 milhões por ano, e a taxa de mortalidade variou entre 15 e 20 milhões por ano. 
Vamos supor que a capacidade de suporte para a população mundial seja 100 bilhões. 
a) Escreva a equação diferencial logística para esses dados. (Como a população inicial é pequena 
comparada a taxa à capacidade de suporte, você pode tomar como uma estimativa da taxa de 
crescimento relativo inicial) 
b) Utilize o modelo logístico para prever a população mundial em 2000 e compare com a população 
real de 6,1 bilhões. 
c) Utilize o modelo logístico para prever a população mundial nos anos 2100 e 2500. 
d) Quais seriam suas previsões se a capacidade de suporte fosse de 50 bilhões? 
 
6) Um modelo para a propagação de um boato é que a taxa de propagação é proporcional ao 
produto da fração y da população que ouviu o boato e a fração que não ouviu o boato. 
a) Escreva a equação diferencial que seja satisfeita por y. 
b) Resolva a equação diferencial. 
c) Uma pequena cidade tem 1000 habitantes. Às 8 horas 80 pessoas tinham ouvido o boato. Ao 
meio-dia metade da cidade tinha ouvido o boato. A que horas 90% da população terá ouvido o 
boato? 
 
7) Vamos modificar a equação logística como a seguir: 
 
 
 ( 
 
 
) 
a) Suponha que represente uma população de peixes no tempo , onde é medido em semanas. 
Explique o significado do termo . 
b) Quais são as soluções de equilíbrio? 
c) Resolva essa equação diferencial explicitamente. 
8) A massa inicial de uma certa espécie de peixes é de 7 milhões de toneladas. Se fosse deixada de 
lado, a massa do peixe aumentaria a uma taxa proporcional a sua massa, com uma constante de 
proporcionalidade de 2/ano. Porém, a pesca comercial remove a massa de peixe a uma taxa 
constante de 15 milhões de toneladas por ano. 
a) Quando todo o peixe desaparecerá? 
b) Se a taxa de pesca for mudada de modo que a massa de peixe permaneça constante, qual deverá 
ser essa taxa? 
 
9) Resolva as Equações de Bernoulli: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | |