Estimativa e teste de hipotese

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Estimativas e Testes Estatísticos
 Tudo que vamos ver nessa aula, baseia-se no 
Teorema do Limite Central:
ALICAÇÃO I: Estatística Descritiva
 A Estatística Descritiva tem por objetivo resumir ou 
descrever características importantes de dados 
populacionais ou amostrais conhecidos;
 Inferência Estatística é o processo pelo qual tiram-se 
conclusões ou generalizações acerca de uma 
população usando informações de uma amostra.
Estimativa
 Um estimador é uma estatística amostral utilizada para 
obter uma aproximação de um parâmetro populacional.
 Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único 
usado para aproximar um parâmetro populacional.
◦ A média amostral é a melhor estimativa pontual para a média 
populacional.
◦ Outra estimativa pontual é a variância amostral para a variância 
populacional.
1. Estimativa Pontual
 𝑥 é uma estimativa pontual para 𝜇;
 Isto é, a média amostral é um valor usado para 
aproximar a média populacional;
 𝑥 =
1
𝑛
 
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛
𝑥1 +⋯+ 𝑥𝑛
 Onde (𝑥1, … , 𝑥𝑛) é uma amostra.
Problema
 A maioria crê que a temperatura média do corpo 
humano é 98,6ºF. Uma amostra de dados parece sugerir 
que a média 98,2ºF. Sabemos que as amostras tendem a 
variar, de forma que talvez a verdadeira temperatura 
média seja 98,6ºF e a média amostral 98,2ºF seja 
resultado de uma flutuação aleatória.
◦ Para quais valores, em relação à média 98,6ºF, e considerando um 
determinado erro, a média da amostra seria aceitável? (n = 106)
2. Estimativa Intervalar 
 Quão boa é a estimativa pontual da média da população?
Definição
Estimativa intervalar (ou intervalo de confiança) é o intervalo de valores 
que contém a média da população com uma determinada 
probabilidade de acerto. 
O intervalo de confiança está associado a um grau de confiança que é 
uma medida de nossa certeza de que o intervalo contém o parâmetro 
populacional com alta probabilidade (prob = 1-α, com α < 5%).
2. Estimativa Intervalar
 A construção do intervalo para μ é baseada na distribuição 
amostral da média amostral e no grau de confiança. 
 Não é necessário que a suposição de normalidade para os 
dados seja adequada.
 A variância pode ou não ser conhecida. Para cada caso, usa-
se diferentes distribuições.
◦ 2.1 Estimativa Intervalar para variância conhecida;
◦ 2.2 Estimativa Intervalar para variância desconhecida.
2.1 Variância conhecida
 Usando o teorema central do limite, a média 
amostral 𝑥 é uma variável aleatória que tem 
distribuição normal com:
◦ Média 𝜇; 
◦ Desvio padrão 
𝜎
𝑛
; 
 Transformando 𝑥 em uma variável aleatória normal 
padrão, temos: 𝑍 =
 𝑥−𝜇
𝜎/ 𝑛
2.1 Variância conhecida
 −𝑍 𝛼 2 e 𝑍 𝛼 2 são valores críticos;
 Um valor crítico é um número na fronteira que separa 
estatísticas amostrais que têm chance de ocorrer 
daquelas que não têm. 
Nível de 
confiança
2.1 Variância conhecida
Com o desvio padrão 
𝜎
𝑛
e valores críticos −𝑍 𝛼 2 e 
𝑍 𝛼 2, podemos definir os valores do intervalo de 
confiança para a média populacional 𝜇: 
−𝑍 𝛼 2 ≤
 𝑥 − 𝜇
 
𝜎
𝑛
≤ 𝑍 𝛼 2
2.1 Variância conhecida
A margem de erro E é a diferença máxima provável (com 
probabilidade 1-α) entre a média observada (a média 
amostral) e a verdadeira média (média populacional);
O erro máximo é dado por:
𝐸 = 𝑍 𝛼 2 ⋅
𝜎
𝑛
Logo,
 𝑥 − E ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝐸
Exemplo
As medidas dos pesos de uma amostra aleatória de 100 
caminhões que foram medidos pela Polícia Rodoviária tem 
média de 3,2 toneladas e desvio padrão de 0,8 toneladas. Qual 
o intervalo de confiança para o grau de confiança de 95%?
𝐸 = 1,96 ⋅
0,8
10
= 0,157
3,2 − 0,157 ≤ 𝜇 ≤ 3,2 + 0,157
Intervalo: 3,043 ≤ 𝜇 ≤ 3,357
2.2 Variância desconhecida
1. Estima-se a variância populacional através da variância amostral;
𝑠2 =
1
𝑛 − 1
 
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥
2
2. Usa-se s para calcular o intervalo de confiança para a média 
populacional e o valor 𝑡 𝛼 2 da tabela t-Student com n-1 graus de 
liberdade.
−𝑡 𝛼 2 ≤
 𝑥 − 𝜇
 
𝑠
𝑛
≤ 𝑡 𝛼 2
Intervalo de Confiança 
Devemos ser cuidadosos para interpretar corretamente os intervalos 
de confiança. Considere o intervalo de confiança 0,476 ≤ μ ≤ 0,544.
Correta: “Estamos 95% confiantes de que o intervalo de 0,476 a 0,544 
realmente contém o verdadeiro valor de μ.”
Errada: “Há uma chance de 95% de que o verdadeiro valor de μ estará entre 
0,476 e 0,544.” ou “95% de todos os valores amostrais estão entre 0,476 e 
0,544”. 
Justificativa: μ é uma constante fixa (embora desconhecida), não uma 
variável aleatória. E o intervalo de confiança não descreve o 
comportamento de médias amostrais individuais.
Exercício
1. As medidas dos diâmetros de uma amostra 
aleatória de 200 rolamentos esféricos produzidos 
por certa máquina, durante uma semana, 
apresentam a média de 0,824 polegada e o desvio 
padrão de 0,042 polegada. Determine os limites 
de confiança de (a) 95%, (b) 99%, para o diâmetro 
médio de todos os rolamentos esféricos. 
APLICAÇÃO II: Teste de Hipótese
Definição
Uma hipótese estatística é uma afirmação acerca dos parâmetros de uma ou mais 
populações (testes paramétricos) ou acerca da distribuição da população. É uma afirmação 
sobre uma população, e não sobre amostra.
Normalmente são formuladas duas hipóteses:
H0: (hipótese nula) que é a hipótese que não se quer testar;
Ha: (hipótese alternativa) que será aceita se não for possível provar que H0 é verdadeira.
Exemplo
H0: mulheres vivem o mesmo ou mais que os homens;
Ha: mulheres vivem menos que os homens.
Teste de Hipótese
Exemplo
Em um estudo para avaliar um novo motor instalado em automóveis, um grupo 
de pesquisa está buscando evidências para concluir que o novo motor aumenta 
a média de quilômetros por litro. 
H0: µ ≤ 15 (hipótese nula)
Ha: µ > 15 (hipótese alternativa)
Neste exemplo a hipótese alternativa é a hipótese de pesquisa. Em tal caso as 
hipóteses nula e alternativa devem ser formuladas de modo que a rejeição de H0
suporte a conclusão e ação que estão sendo procuradas.
Teste de Hipótese
As hipóteses podem ter várias formas:
Onde µ0 é o valor numérico específico que está sendo considerado
nas hipóteses nula e alternativa.
H0: µ ≤ µ0
Ha: µ > µ0
H0: µ ≥ µ0
Ha: µ < µ0
H0: µ = µ0
Ha: µ ≠ µ0
Teste
1. Bilateral
2. Unilateral
2.1. À direita
2.2. À esquerda
Erros de decisão
 Erro tipo I: rejeitar H0 quando está verdadeira;
 Erro tipo II: não rejeitar H0 quando está falsa;
 A probabilidade de cometer erro tipo I é denominada “nível 
de significância” e é denotada por α (geralmente < 5%). 
 Estatisticamente, recomenda-se que seja usado a declaração 
“não rejeitar H0” em vez de aceitar H0. 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Não rejeitar H0 Decisão Correta Erro tipo II
Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão Correta
Como realizar Testes de Hipótese
Passo 1
Interprete a situação de modo a obter a média μ;
Passo 2
Construa as hipóteses, dizendo se é bilateral ou unilateral, 
considerando a média em questão;
Passo 3
Obtenha o grau de significância;
Passo 4
Verifique qual o tipo de distribuição mais apropriado (normal ou t-
Student);
Como realizar Testes de Hipótese
Passo 5
Calcule a estatística de teste, usando:
◦ 𝑍 =
 𝑥−𝜇
 𝜎 𝑛
(para a normal)
◦ 𝑡 =
 𝑥−𝜇
 𝑠 𝑛
(para a t-Student)
Como realizar Testes de Hipótese
Passo 6
Interprete a estatística de teste para verificar se a hipótese nula será 
ou não rejeitada. Se z ou t corresponder a valores daregião crítica, 
rejeite H0, caso contrário, não rejeite H0.
Região crítica
Diferentes níveis de significância podem gerar diferentes conclusões. Com um 
nível de 5%, H0 poderá ser rejeitado, mas com 1% poderá ser aceito. 
Como realizar Testes de Hipótese
 Para amostras pequenas (n ≤ 30) ou quando σ for 
desconhecido, usamos s ao invés de σ e 
consideramos o grau de liberdade como n-1;
 Para σ desconhecido, a distribuição é uma t, não 
uma normal, mas para amostras de tamanho muito 
grandes, as diferenças entre as distribuições normal 
e t são desprezíveis, mas o uso da distribuição t dá 
melhores resultados.
1. Testes de Hipótese Bilateral
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻𝑎: 𝜇 ≠ 𝜇0
α/2 α/2
Rejeitar H0 Rejeitar H0Não rejeitar H0
1. Testes de Hipótese Bilateral
Exemplo
Um comprador de tijolos julga que a qualidade dos tijolos está deteriorando. Sabe-se pela 
experiência passada que a média de resistência ao esmagamento destes tijolos é de 400 
libras com desvio padrão de 20 libras. Uma amostra de 100 tijolos deu uma média de 395 
libras. Verifique se a qualidade foi alterada (considere o nível de significância de 5%).
𝐻0: 𝜇 = 400
𝐻𝑎: 𝜇 ≠ 400
𝑍 =
 𝑥 − 𝜇
 
𝜎
𝑛
=
395 − 400
 20
100
=
−5
2
= −2,5
Para 5%, zc = 1,96 
Conclusão: rejeitamos H0, isto é, a 
resistência não é mais de 400 libras.
zc = -1,96 zc = 1,96
2.1 Testes de Hipótese Unilateral a direita
𝐻0: 𝜇 ≤ 𝜇0
𝐻𝑎: 𝜇 > 𝜇0
Não rejeitar H0 Rejeitar H0
2.1 Testes de Hipótese Unilateral a direita
Exemplo
Um trecho de uma rodoviária, quando é utilizado o radar, são verificadas em 
média 7 infrações diárias por excesso de velocidade. O chefe da polícia acredita 
que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido 
por 10 dias consecutivos. Os resultados foram: 8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10. Os 
dados trazem evidências do amento das infrações?
𝐻0: 𝜇 ≤ 7
𝐻𝑎: 𝜇 > 7
Média amostral =
8+9+5+7+8+12+6+9+6+10
10
= 8
Não conhecendo σ, estimamos s, onde s = 2,1
Usando t-Student: 𝑡 =
 𝑥−𝜇
 𝑠 𝑛
=
8−7
 
2,1
10
= 1,5
t = 1,5 tc = 1,83 
2.2 Testes de Hipótese Unilateral a esquerda
𝐻0: 𝜇 ≥ 𝜇0
𝐻𝑎: 𝜇 < 𝜇0
Rejeitar H0 Não rejeitar H0
Exercício
1) A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas 
fluorescentes produzidas por uma companhia foi 
calculada em 1570 horas, com desvio padrão de 
120 horas. Se µ é a vida média de todas as 
lâmpadas produzidas pela companhia, teste a 
hipótese µ = 1600 horas, em face da hipótese 
alternativa µ ≠ 1600 horas, adotando o nível de 
significância 0,05 e 0,01 . 
Exercício
2) Em um estudo para avaliar um novo motor instalado 
em automóveis, um grupo de pesquisa está buscando 
evidências para concluir que o novo motor aumenta a 
média de quilômetros por litro. Numa amostra de 25 
carros com o motor antigo, a média de km/l foi de 12 
e desvio padrão de 0,5. O que se pode concluir a 
respeito desse novo motor, sabendo que o fabricante 
garante uma média de 13km/l? Considere nível de 
significância de 5%.