Medidas Diretas e Indiretas

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Medidas Diretas e Indiretas 
 
 1 INTRODUÇÃO 
 
 Há muito tempo, o homem necessita das medidas para executar seus trabalhos e 
também criar um padrão para passar o conhecimento de certas atividades adiante. Com o 
passar do tempo e o considerável avanço tecnológico, tornou-se necessário a obtenção de 
medidas cada vez mais precisas, e assim novos instrumentos de medida foram criados. 
 Hoje, dividimos as medidas em dois tipos: as diretas e as indiretas. As medidas diretas 
são aquelas obtidas diretamente, ou seja, através de um instrumento como uma régua 
graduada. Através dela, podemos medir o comprimento de uma cortina e a largura de um 
móvel, por exemplo. 
 Já as medidas indiretas, são aquelas obtidas através de cálculos, como o volume de um 
recipiente, o perímetro de um terreno e sua área. 
Na prática do presente relatório, foram utilizados como instrumentos de medida três 
réguas, uma graduada em metros (𝑚), outra em decímetros (𝑑𝑚), outra em milímetros (𝑚𝑚) 
(que também possuía graduação em centímetros) e também um transferidor para a obtenção 
dos ângulos de um triângulo. 
Apesar de utilizado três unidades (𝑚, 𝑑𝑚 e 𝑚𝑚), os valores colocados nas tabelas 
foram apenas 𝑐𝑚 e 𝑚𝑚 e, para isso, utilizamos as conversões: 
 1𝑚𝑚 =0,1𝑐𝑚 
 1𝑑𝑚 =10𝑐𝑚 
 1𝑚 =100𝑐𝑚 
Para medir o comprimento (C) de qualquer objeto, devemos colocar o ponto 0 do 
instrumento de medição em uma das extremidades e o módulo do comprimento será o valor 
que coincidir com a outra extremidade. Ao valor obtido, devemos adicionar a incerteza, que 
denotaremos por 𝜎 . 
Logo, um comprimento C qualquer deve ser escrito da forma: C = c ± 𝜎, em que c é o 
valor obtido na medição e 𝜎 a sua incerteza. 
Essa incerteza pode estar definida no instrumento de medição, mas caso não esteja, 
consideramos o seu valor como a metade da precisão do instrumento. 
A precisão de um instrumento, por sua vez, é a menor unidade que o equipamento 
consegue mensurar. Por exemplo, uma régua graduada em milímetro possui precisão de 1mm, 
 
pois é o menor valor que conseguimos medir nela. 
Podem existir situações em que o comprimento do objeto de estudo é superior ao 
comprimento do instrumento de medição. Neste caso, devemos fazer a primeira medição 
como descrito acima, e o valor da extremidade que indica o módulo do comprimento deve ser 
marcado com um lápis, giz, caneta ou com qualquer outro modo de destacar o local. Em 
seguida, utilizamos o mesmo instrumento de medição para medir o restante, iniciando desta 
vez, com o ponto 0 do instrumento sobre a marca feita no objeto, obtendo assim, a segunda 
medição. Após essa etapa, somamos os dois comprimentos obtidos com a equação: 
 
C=C1+C2 ±𝜎 c (1) 
 
Em que C1= comprimento 1, C2= comprimento 2 e 𝜎 c é a propagação da incerteza 
calculada por 𝜎 c =√(𝜎 𝐶1) 2 + (𝜎 𝐶2) 2 , onde 𝜎 c 1 é a incerteza do comprimento 
1 e 𝜎c2 é a incerteza do comprimento 2 . 
O perímetro de uma figura geométrica plana é obtido somando-se todos os seus lados. 
Porém, essa equação pode ser reduzida para o retângulo, pois ele é definido como uma figura 
geométrica de 4 lados, formado por 4 ângulos retos (ângulos com 90º) e 2 pares de lados 
iguais como o da figura 1. 
 
Figura 1- Exemplo de um retângulo. 
 
Fonte: própria autoria. 
 
Dado um retângulo qualquer, seu perímetro (PB) pode ser calculado com a equação: 
 
PB=2L+2C± 𝜎PB (2) 
 
Em que L= largura do retângulo, C= comprimento do retângulo e 𝜎PB é a incerteza 
calculada por 𝜎PB = 2√(𝜎 𝐶) 2 + (𝜎 𝐿) 2 , onde 𝜎 c é a incerteza do comprimento 
e 𝜎L é a incerteza da largura. 
 L 
C 
AB 
 
Ainda com relação a figura 1, para calcular a área (AB) do retângulo, utilizando a 
equação: 
AB=LC±𝜎AB (3) 
 
Em que L= largura do retângulo, C= comprimento do retângulo e 𝜎AB é a incerteza 
propagada, calculada por 𝜎 AB =√𝐿2(𝜎 𝐶) 2 + 𝐶2 (𝜎 𝐿) 2 , cuja fórmula se encontra 
deduzida no apêndice A. 
Para calcular o perímetro(PT) de uma superfície triangular, basta somar todos os seus 
lados, como detalha a equação: 
PT=a+b+c±𝜎PT (4) 
 
Em que a, b e c são lados do triângulo, e 𝜎 PT é a propagação da incerteza da medição, 
calculada por 𝜎 PT =√(𝜎 𝑎) 2 + (𝜎 𝑏) 2 + (𝜎 𝑐) 2 , onde 𝜎a, 𝜎b e 𝜎c são as 
incertezas dos lados a, b e c respectivamente. 
Ainda com relação às medições dos lados, pode-se calcular a área (AT) da superfície 
triangular da seguinte forma: 
AT=
𝑎𝑏
2
± 𝜎AT (5) 
Em que a é o lado referente a base do triângulo, b é altura do triângulo e 𝜎 AT é a 
incerteza da medição calculada por 𝜎 AT = 0,5√𝑏2(𝜎 𝑎) 2 + 𝑎2 (𝜎 𝑏) 2 . Observe 
que o cálculo de 𝜎 AT é muito parecido com o cálculo da propagação de incerteza da área do 
retângulo, porém, multiplicado por 0,5 (ou dividido por 2). Isso ocorre porque a área de um 
triângulo retângulo equivale a metade da área de um retângulo. 
 Para calcular o volume de uma pirâmide triangular, devemos multiplicar a área da 
base (calculada a partir da altura e base da superfície) pela altura da pirâmide, que em nosso 
caso é a espessura. Então, a fórmula para o cálculo do volume (VT) de uma pirâmide 
triangular é: 
 
VT=ATe±𝜎VT (6) 
 
 Em que AT é a área da superfície triangular do triângulo, e é a espessura do triângulo e 
 
 𝜎 VT é a incerteza da medição calculada por 𝜎 VT =√𝑒2(𝜎 𝐴𝑇) 2 + ( 𝐴𝑇)2 (𝜎 𝑒) 2 . 
Existe outra forma de calcular o volume de uma pirâmide de base triangular, mas vamos nos 
ater a essa pela sua simplicidade. 
 O objetivo geral do experimento foi compreender a relação das medidas e suas 
incertezas. Os objetivos específicos foram: 
a) aprender a utilizar o instrumento de medição adequado ao experimento a ser realizado; 
b) efetuar operações matemáticas com algarismos significativos; 
c) estimar incertezas em medidas diretas e efetuar cálculos de propagação de incertezas das 
medidas indiretas. 
 
1.1 Erros 
 As medidas, obviamente, são passíveis a erros que são devidos à vários 
motivos. Esses erros são classificados em dois grandes grupos: erros sistemáticos ou erros 
aleatórios. 
 Segundo Toginho Filho e Andrello (2010), os erros sistemáticos são aqueles que 
resultam de discrepâncias observacionais persistentes, tais como erros de paralaxes e ocorrem 
principalmente em experimentos que estão sujeitos a mudanças de temperatura, pressão e 
umidade. Esses erros devem ser eliminados ou minimizados através da avaliação dos 
instrumentos a fim de saber se estão corretamente calibrados e se estão sendo usados de forma 
correta. 
 Já os erros aleatórios, ainda segundo Toginho Filho e Andrello (2010), são aqueles 
que existem mesmo com a minimização ou correção dos erros sistemáticos e que não podem 
ser eliminados por completo. Há ainda os erros grosseiros, que são os que ocorrem devido à 
falta de prática ou até distração do operador. 
 
1.2 Algarismos significativos 
 
A identificação dos algarismos significativos é feita através das regras: 
● Todos os algarismos não-nulos são significativos. Exemplos: 3,14; 2118 e 
7,832. 
● Todos os zeros que estão entre dois algarismos significativos também são 
significativos. Exemplo: 2018 e 900009 são números em que todos os zeros 
são significativos. 
 
● Zeros que estão totalmente à esquerda não são significativos. Exemplos: 0,314 
e 0,000478 possuem apenas 3 algarismos significativos. 
● Zeros à direita que estão no final do número só são significativos se estão 
depois da vírgula decimal. Exemplos: 314,0 ; 31,40 e 0,003140 são números 
com 4 algarismos significativos. 
● Zeros finais à direita não são significativos em números maiores que1. 
Exemplo: 1000, 100 e 10 têm apenas 1 algarismo significativo. 
 
1.3 Teoria das aproximações 
 
 As aproximações (mais conhecidas como arredondamentos) dos números, são feitas de 
acordo com as regras: 
● Se o último algarismo à direita for 0, 1, 2, 3 ou 4, ele é desprezado. Exemplo: 
3,142é arredondado para 3,14. 
● Se o último algarismo à direita for 5, 6, 7, 8 ou 9, ele também é desprezado, 
mas é adicionado uma unidade ao novo último algarismo. Exemplo: 3,147 é 
arredondado para 3,15. 
● Se o arredondamento for de um número que contenha mais de um dígito, só é 
possível adicionar uma unidade ao último algarismo se a porção a ser 
arredondada for maior ou igual a 50, 500, 5000, etc. Exemplos: 3,1448 é 
arredondado para 3,14. Já 3,1452 é arredondado para 3,15. 
● Numa multiplicação ou divisão, é arredondado a resposta para o mesmo 
número de algarismos significativos do dado menos preciso. Exemplo: 3,148 𝑥 
6,0 =18. 
● Numa aplicação de adição ou subtração, a resposta é arredondada para a casa 
decimal igual a do dado menos preciso. Exemplo: 3,148 + 6,7 = 9,8. 
 
 2 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Para a realização do experimento, os seguintes materiais foram utilizados: 
a) uma régua graduada em milímetros; 
b) uma régua graduada em decímetros; 
c) uma régua graduada em metros; 
d) um transferidor com medição em graus; 
 
e) uma peça triangular de madeira. 
Os instrumentos de medição citados acima nos itens a, b, c e d são analógicos e suas 
precisões e incertezas estão descritas na tabela a seguir. 
 
Tabela 1 - Precisão e incertezas dos instrumentos de medição utilizados. 
Instrumento de medida Precisão Precisão (cm) Incerteza Incerteza (cm) 
Régua graduada em milímetros 1mm 0,1 0,5mm 0,05 
Régua graduada em decímetros 1dcm 10 0,5dcm 5 
Régua graduada em metros 1m 100 0,5m 50 
Transferidor 1º - 0,5º - 
 Fonte: própria autoria. 
 
O experimento consistiu inicialmente em medir o tamanho do tampo da mesa do 
Laboratório de Física 2, localizado na sala 2304 do prédio 2 na Universidade Federal de 
Itajubá - Campus Itabira. As grandezas medidas foram: comprimento (C1 e C2) e largura (L), 
sendo o comprimento medido duas vezes devido ao tamanho da mesa ser superior ao tamanho 
das 3 réguas utilizadas, que possuíam o comprimento de 1 metro cada. 
Para a obtenção dos comprimentos C1 e C2, foi realizada a primeira medida e 
demarcado o local na mesa com um lápis, possibilitando a medição do restante do 
comprimento ao colocar o ponto 0 da régua no local marcado e direcionando-a para o restante 
do comprimento da mesa que ainda não foi mensurado. 
Posteriormente, foram realizadas medições em uma peça triangular de madeira com 
duas réguas: a graduada em milímetros e a graduada em decímetros. Com esses instrumentos 
de medição, foram obtidos os valores dos lados a, b e c, em que a e b são catetos e c é a 
hipotenusa oposta ao ângulo reto, além da espessura e. Também foram medidos os ângulos do 
triângulo com um transferidor. 
 
Figura 2 - Exemplo de um triângulo reto com os lados semelhantes a peça em estudo. 
 
Fonte: própria autoria. 
 
 
O cálculo das medições indiretas foi efetuado logo após as medições diretas serem 
anotadas, utilizando as equações de (1) a (6) explicadas na introdução e detalhadas nos 
Apêndices A (para as medições indiretas do tampo da mesa) e Apêndice B (para as medições 
indiretas da peça triangular), a fim de se obter o comprimento (C), perímetro (PB) e a área 
(AB) do tampo da mesa e o perímetro (PT), a área (AT) e o volume (VT) do triângulo, com suas 
respectivas incertezas propagadas. 
 
 3 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS 
 
 Os resultados obtidos nas medições diretas e nos cálculos das medições indiretas para 
o tampo da mesa e para a peça triangular estão inseridos nas tabelas abaixo com suas 
respectivas incertezas. 
 
 
 
Tabela 2 - Medidas Diretas e Indiretas no Tampo da Mesa 
 Medidas Diretas Medidas Indiretas 
Instrumento de 
Medida 
L (cm) C1 (cm) C2 (cm) C (cm) PB (cm) AB (cm²) 
Régua graduada 
em metros 
67 ± 50 100 ± 50 82 ± 50 182 ± 71 498 ± 174 12194±10268 
Régua graduada 
em decímetros 
67 ± 5 100 ± 5 82 ± 5 182 ± 7 498 ± 17 12194±1024 
Régua graduada 
em milímetros 
67,00 ± 0,05 100,00 ± 0,05 81,50 ± 0,05 181,50 ± 0,07 497,00±0,17 12160,50±10,22 
 Fonte: própria autoria. 
 
 
 
Tabela 3 - Medidas Diretas do Triângulo (parte 1). 
Instrumento de 
Medida 
a (mm) b (mm) c (mm) e (mm) 
Régua graduada 
em decímetros 
270 ± 50 280 ± 50 388 ± 50 14 ± 50 
Régua graduada 
em milímetros 
270,0 ± 0,5 280,0 ± 0,5 389,0 ± 0,5 15,0 ± 0,5 
 
Fonte: própria autoria. 
 
 
Tabela 4 - Medidas Diretas do Triângulo (parte 2). 
Instrumento de α (º) β (º) φ (º) 
 
Medida 
Transferidor 45,0 ± 0,5 47,0 ± 0,5 90,0 ± 0,5 
 
Fonte: própria autoria. 
 
 
Tabela 5 - Medidas Indiretas do Triângulo. 
Instrumento de 
Medida 
PT (mm) AT (mm²) VT (mm³) 
Régua graduada 
em decímetros 
938 ± 87 37800 ± 9724 529200 ± 1894897 
Régua graduada 
em milímetros 
939,0 ± 0,9 37800,0 ± 97,2 567000 ± 18956,2 
Fonte: própria autoria. 
 
 
 
Através das tabelas de resultado 2, 3 e 5, é possível interpretar que para réguas 
graduadas em menores escalas (como o milímetro) proporcionará resultados mais precisos do 
que as que são graduadas com unidades maiores (como o metro). No experimento que este 
relatório relata, essa maior precisão foi devido ao olhar do operador que, quando com uma 
régua graduada em milímetros, consegue enxergar e determinar melhor uma medida devido à 
precisão do instrumento. Essa diferença de precisão pôde ser observada, matematicamente, 
através das incertezas que foram maiores para aqueles instrumentos com unidades de medidas 
maiores. 
 
3.1 Verifique qual é o instrumento de medida mais preciso para cada situação. 
 No que se refere à precisão, tanto no caso do tampo da mesa quanto no triângulo, o 
melhor instrumento de medida foi a régua graduada em milímetros. Isso é perceptível através 
das incertezas de cada régua e também para as suas propagações, que são menores para as 
medidas com a régua em milímetros. 
 
3.2 Compare o número de algarismos significativos das áreas calculadas com 
cada instrumento de medida e indique a mais confiável. Explique. 
 No caso do tampo da mesa, a área encontrada através de cálculo foi igual a 
12194±10268cm² para a régua graduada em metros, contendo então cinco algarismos 
significativos. Para a régua graduada em decímetros foi 12194±1024cm², contendo também 
cinco algarismos significativos e, para a régua graduada em milímetros, foi 
12160,50±10,22cm², possuindo sete algarismos significativos. Números com mais algarismos 
 
significativos indicam uma maior precisão e confiabilidade, portanto, o instrumento mais 
confiável foi a régua em milímetros. 
 Já no triângulo, a área obtida através dos cálculos com valores encontrados pela régua 
graduada em decímetros foi de 37800 ± 9724mm² (três algarismos significativos) e, para a 
régua em milímetros, foi de 37800,0 ± 97,2mm² (seis algarismos significativos). Aqui, a régua 
em milímetros também foi a que produziu um valor mais confiável, uma vez que a área obtida 
possui mais algarismos significativos. 
 
 
 
3.3 Uma medida com maior quantidade de números significativos que outra, com 
a mesma unidade de medida, é mais precisa? Explique. 
 Quando uma medida, com uma mesma unidade, possui mais algarismos 
significativos que outra, pode-se dizer que ela é mais precisa. Isso ocorre porque os 
algarismos significativos são aqueles que você sabe que são confiáveis e mostram a real 
medida, diferente de algarismos duvidosos.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 Os resultados da experiência que este relatório relata foram satisfatórios, apresentando 
poucas diferenças entre as medidas, mostrando que o objetivo de ensinar o uso dos 
instrumentos de medida foi alcançado. Também foram atingidos os objetivos que dizem 
questão aos cálculos com algarismos significativos e a determinação de incertezas e seus 
cálculos de propagação. 
 
 
 REFERÊNCIAS 
 
TOGINHO Filho, D. O.; ANDRELLO, A.C.; Conceitos de medidas e teoria de erros. 
Catálogo de Experimentos do Laboratório Integrado de Física Geral. Departamento de Física. 
Universidade Estadual de Londrina, jun. 2010. 
 
NAGASHIMA, Haroldo Naoyuki. Laboratório de física I. Ilha Solteira-SP, 2011. 108 p. 
 
NETO, Ernesto Soares De Freitas. FISI03 - Laboratório de física A: Aula 01. Itabira-MG, 
2018. 30 p.