Raciocínio logico e matemático

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Números Inteiros - Operações e Propriedades 
 
Neste material será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de 
adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. 
 
Adição 
 
Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é 
denominado soma ou total. 
1º parcela + 2º parcela = soma ou total 
A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a 
O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0 
 
Subtração 
 
O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o 
resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença. 
minuendo - subtraendo = resto ou diferença 
 
A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ 
b) 
 
Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k. 
Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k. 
A subtração é a operação inversa da adição: 
M - S = R ↔ R + S = M 
 
A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo. 
M + S + R = 2 × M 
 
Valor absoluto 
 
O Valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando 
consideramos a representação dele na reta numérica. 
 
Atenção: O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância. 
A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se "valor absoluto de n" ou 
"módulo de n".) 
 
Números simétricos 
 
Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0 
 
 
 
Exemplos: 
-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 
4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0. 
 
O oposto de 5 é -5. 
O simétrico de 6 é -6. 
O oposto de zero é o próprio zero. 
 
Dois números simétricos sempres têm o mesmo módulo. 
 
Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3 
 
 
Operações com números inteiros (Z) 
 
Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também 
um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, 
equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações. 
As divisõs, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm 
resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no 
conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três 
operações. 
 
Adições e subtrações com números inteiros 
 
Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. 
Observe os exemplos seguintes: 
 
Exemplo1: 
Calcular o valor da seguinte expressão: 
10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4 
 
Solução: 
Faremos duas somas separadas 
• uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29 
• outra só com os números negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19 
Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados: +29 - 19 = +10 
 
Atenção: É preciso dar sermpre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor 
absoluto! 
 
Exemplo2: 
Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2 
1º passo: Achar os totais (+) e (-): 
 (+): +4 + 3 = +7 
 (-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27 
 
 
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo: 
 -27 + 7 = - 20 
 
Multiplicação 
 
Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de 
multiplicação é donominado produto. 
1º fator x 2º fator = produto 
 
 
• O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator 
pode ser chamado multiplicador. 
• A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a x b = b x a 
• O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a 
• Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k 
vezes o outro fator: a x b = c ↔ (a + k) x b = c + (k x b) 
• Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado 
por k: a × b = c ↔ (a × k) × b = k × c 
• Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: a × (b 
± c) = (a × b) ± (a × c) 
 
Divisão inteira 
 
Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que: 
Q × D + R = N e 0 ≤ R < R < |D| (onde |D| é o valor absoluto de D) 
A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. 
Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: 
N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero); 
Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo). 
 
Exemplos: 
1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4. 
8 × 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < |7| 
 
2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60, o divisor é 7, o quociente é -9 e o resto é 
3. 
-9 × 7 + 3 = -60 e 0 ≤ 3 < |7| 
• Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q × D = N e diremos que a 
divisão é exataindicando-a como N ÷ D = Q. 
 
 
• Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de 
N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N. 
• O zero é divisível por qualquer número não nulo: D ≠ 0 → 0 ÷ D = 0. 
• Todo número inteiro é divisível por 1: N ÷ 1 = N. 
• Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠ 
0, o quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R × k 
< D, ou será igual ao resto da divisão de R × k por D, se R × k ≥ D. 
Multiplicação e divisões com números inteiros 
 
Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois 
termos da operação: 
 
Exemplos: 
 
Sinais iguais (+) Sinais opostos (-) 
(+) × (+) = + (+) × (-) = - 
(-) × (-) = + (-) × (+) = - 
(+) ÷ (+) = + (+) ÷ (-) = - 
(-) ÷ (-) = + (-) ÷ (+) = - 
 
Números inteiros - Exercícios Resolvidos 
 
1. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtraírmos 5 da 
segunda parcela, o que ocorrerá com o total? 
Solução: 
Seja t o total da adição inicial. 
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: 
t + 8 
Ao subtraírmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: 
t + 8 - 5 = t + 3 
Resposta: Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades. 
 
2. Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o 
valor do minuendo? 
Solução: 
Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre 
verdade que: 
 
 
m - s = r → s + r = m 
(a soma de s com r nos dá m) 
Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r, observamos que a adiçõa das duas 
últimas parcelas, s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever: 
m + (s + r) = m + m = 2m 
 
O total será sempre o dobro do minuendo. 
Deste modo, temos: 
m + s + r = 264 
2m = 264 
m = 264 ÷ 2 = 132 
 
Resposta: O minuendo será 132. 
 
3. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o 
dividendo? 
Solução: 
Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-
se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos: 
n = (quociente) × (divisor) + (resto) 
n = 5 × 12 + 11 
n = 60 + 11 
n = 71 
 
Resposta: O dividendo Procurado é 71. 
 
 
 
Princípio fundamental da contagem 
A análise combinatória é utilizada para resolverproblemas de contagem. Utilizando os 
processos combinatórios é possível determinar o número de combinações, arranjos e 
permutações possíveis. Para cada uma destas aplicações, alguns critérios devem ser 
respeitados. Iremos agora conduzir você a entender o Diagrama da Árvore. Quando conseguir 
assimilar esta estrutura será fácil entender o Princípio Fundamental da Contagem, que define 
- se como sendo: 
 
Em notação matemática isso seria o mesmo que considerarmos, que determinada atividade 
pode ser realizada em duas etapas, ou seja, de m e n maneiras distintas, o total de 
possibilidades será dado pelo produto de m por n (m x n). Iremos agora resolver um problema 
utilizando o Diagrama da Árvore para que possamos entender o Princípio Fundamental da 
Contagem: 
 
 
Problema: Jeniffer irá participar da promoção de uma loja de roupas que está dando um vale 
compras no valor de R$ 1000,00 reais. Ganhará o desafio o primeiro participante que 
conseguir fazer o maior número de combinações com o kit de roupa cedido pela loja. No kit 
temos: seis camisetas, quatro saias e dois pares de sapato do tipo salto alto. De quantas 
maneiras distintas Jeniffer poderá combinar todo o vestuário que esta no quite de roupa? 
Peças que compõem o kit de roupa 
Camisetas 
 
Saias 
 
Sapatos 
 
Utilizando o Diagrama da Árvore vamos descobrir a quantidade de combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
 
 
 
8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
Ao realizar a contagem iremos constatar a quantidade referente à 48 combinações possíveis. 
A outra forma que temos para resolver este problema é utilizando o Princípio Fundamental da 
Contagem. 
Total de camisetas X Total de Saias X Total Sapatos = Total de combinações possíveis 
6 x 4 x 2 = 48 
Observe que ao utilizarmos o Princípio Fundamental da Contagem, também foi possível 
determinar o número de combinações do Kit roupa, este número corresponde ao que foi 
encontrado quando utilizamos o Diagrama da árvore. 
 
 
 
Arranjos e permutações 
Arranjos 
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença (p < m). Os 
arranjos são distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Existem dois tipos: 
– Arranjo simples 
– Arranjo com repetição 
Arranjo simples 
 
 
No arranjo simples não encontramos a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p 
elementos. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos (1, 2, 3) 
são: 
312, 321, 132, 123, 213 e 231. 
Como pudemos perceber os elementos não se repetem. O arranjo simples tem como fórmula: 
As (m, p) = m! /(m-p)! 
Como cálculo de exemplo podemos utilizar: As(4,2) = 4! /2!=24/2=12. 
 
Foto: Reprodução 
Arranjo com repetição 
Neste caso de arranjo com repetição todos os elementos podem aparecer repetidos em cada 
grupo de elementos. Como cálculo de exemplo podemos utilizar: Ar(4,2) = 42=16 
Fórmula do arranjo com repetição: Ar (m, p) = mp 
Por exemplo: seja C = (A, B, C, D), m = 4 e p = 2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos 
tomados 2 a 2 formam 16 grupos onde encontramos elementos repetidos em cada grupo, pois 
todos os agrupamentos estão no conjunto: 
Ar = (AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD) 
Permutações 
Permutações ocorrem quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m 
elementos sejam distintos entre si pela ordem. 
As permutações podem ser de três tipos: 
• Permutações simples; 
• Permutações com repetição; 
• Permutações circulares. 
Permutações simples 
São agrupamentos formados com todos os m elementos distintos. Como cálculo de exemplo 
podemos utilizar: Ps (3) = 3! = 6 
Sua formula é: Ps (m) = m! 
 
 
Deve ser utilizada quando queremos contar quantas possibilidades existem de se organizar um 
número de objetos de forma distinta. 
Por exemplo: Se C = (A, B, C) e m = 3, então as permutações simples desses três elementos são 
seis agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em casa grupo mas 
podem aparecer na ordem trocada, isto é: 
Ps = (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) 
Permutações com repetição 
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao 
menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se 
dê pela mudança de posição entre seus elementos. 
Por exemplo: m1 = 4, m2 = 2, m3 = 1 e m = 6, então temos: 
r(6) = C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15 
Permutações circulares 
Permutações circulares são grupos com m elementos diferentes formando uma circunferência 
de círculo. Sua formula é: Pc (m) = (m-1)! 
Como cálculo de exemplo podemos utilizar: P(4) = 3! = 6 
Num conjunto de 4 crianças K = (A, B, C, D). De quantos modos diferentes estas crianças 
poderão sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma brincadeira, sem que haja 
repetição das posições? 
Teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto: 
ABCD=BCDA=CDAB=DABC 
ABDC=BDCA=DCAB=CABD 
ACBD=CBDA=BDAC=DACB 
ACDB=CDBA=DBAC=BACD 
ADBC=DBCA=BCAD=CADB 
ADCB=DCBA=CBAD=BADC 
 
 
Combinação simples 
Combinação simples é um tipo de agrupamento onde os arranjos são diferenciados pela 
natureza de seus elementos. 
Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os 
agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações 
simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza. 
 
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não 
pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar? 
 
 
 
 
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o 
agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois 
agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos 
pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos 
formados nesse exercício são combinações. 
 
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os 
agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus 
elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de 
seus elementos. 
 
Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os 
quatro pontos não colineares: 
 
ABC, BAC, CAB, DAB 
ABD, BAD, CAD, DAC 
ACB, BCA, CBA, DBA 
ACD, BCD, CBD, DBC 
ADB, BDA, CDA, DCA 
ADC, BDC, CDB, DCB 
 
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses 
representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma 
combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não 
colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem 
pela natureza de seus elementos e não pela ordem. 
 
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples 
utilizamos a seguinte fórmula: 
 
Cn,p = n! 
 p! (n – p)! 
 
n é a quantidade de elementos de um conjunto 
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que 
irão formar os agrupamentos. 
Substituindo os dados acima na fórmula teremos: 
n = 4 
p = 3 
C4,3 = 4! 
 3! (4-3)! 
 
C4,3 = 4 . 3! 
 3! . 1 
 
C4,3 =4 
 
 
Conjuntos Numéricos 
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são 
formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos. 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
Os números naturais são representados por N. Eles reúnem os números inteiros (incluindo o 
zero) e são infinitos. 
Subconjuntos dos Números Naturais 
• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, 
ou seja, sem o zero. 
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares. 
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares. 
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
Os números inteiros são representados por Z. Reúnem todos os elementos dos números 
naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z): 
Subconjuntos dos Números Inteiros 
• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números naturais 
não-nulos, ou seja, sem o zero. 
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = 
N. 
• Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero. 
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos. 
• Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero. 
Conjunto dos Números Racionais (Q) 
Os números racionais são representados por Q. Reúnem os números fracionários 
representados pelo conjunto das frações p/q sendo p e q números inteiros e q≠0. 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. 
Subconjuntos dos Números Racionais 
• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais 
sem o zero. 
• Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números 
racionais positivos e o zero. 
 
 
• Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais 
positivos, sem o zero. 
• Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números 
racionais negativos e o zero. 
• Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais 
negativos, sem o zero. 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
Os números irracionais são representados por I. Reúnem os números decimais não exatos com 
uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592 ou 1,203040. 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas 
são números decimais e que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333. 
Conjunto dos Números Reais (R) 
Os números reais são representados por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais 
(R) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R. 
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da 
mesma maneira, se ele é irracional, não é racional. 
Subconjuntos dos Números Reais 
• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
• R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
• R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos. 
Intervalos Numéricos 
Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. 
Sejam a e b números reais e a < b, temos os seguintes intervalos reais: 
Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b} 
 
Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b} 
 
Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b} 
 
 
 
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b} 
 
Propriedades dos Conjuntos Numéricos 
 
Diagrama dos conjuntos numéricos 
Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas 
propriedades: 
• O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ 
Z). 
• O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q). 
• O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R). 
• Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são 
subconjuntos dos números reais (R) 
Exercícios de Vestibular com Gabarito 
1. (UFOP-MG) A respeito dos números a = 0,499999... e b = 0,5, é correto afirmar: 
a) b = a + 0,011111 
b) a = b 
c) a é irracional e b é racional 
d) a < b 
Alternativa b: a = b 
2. (UEL-PR) Observe os seguintes números: 
I. 2,212121... 
II. 3,212223 
III. π/5 
IV. 3,1416 
V. √– 4 
Assinale a alternativa que identifica os números irracionais: 
a) I e II. 
b) I e IV. 
 
 
c) II e III. 
d) II e V. 
e) III e V. 
Alternativa c: II e III. 
3. (Cefet-CE) É unitário o conjunto: 
a) {x ∈ Z│x < 1} 
b) {x ∈ Z│x2 > 0} 
c) {x ∈ R│x2 = 1} 
d) {x ∈ Q│x2 < 2} 
e) {x ∈ N│1 < 2x < 4} 
Alternativa e: {x ∈ N│1 < 2x < 4} 
 
Razões e proporções 
Na vida cotidiana, nos negócios e na ciência existem muitas situações que necessitam do uso 
de razões e proporções. Neste artigo, vamos conhecer mais sobre cada um destes conceitos e 
suas respectivas aplicações. 
O que é razão? 
A razão é a forma mais comum e prática de se fazer a comparação relativa entre duas 
grandezas. Para isto, é necessário que ambas estejam na mesma unidade de medida. Por 
exemplo: só poderemos obter a razão entre o comprimento de duas ruas, se as duas estiverem 
em quilômetros, mas não poderemos obtê-la caso uma esteja em metros e a outra em 
quilômetros, ou qualquer outra unidade de medida diferente. Neste caso, é preciso escolher 
uma unidade de medida e converter uma das grandezas para a escolhida. 
 
Foto: Reprodução 
Para obtermos a razão entre dois números a e b, por exemplo, dividimos a por b. Vale ressaltar 
que b deve ser diferente de zero. Ou seja, chamamos de razão entre a e b o quociente a/b=k. 
(Lê-se “a está para b”). 
O numerador a recebe o nome de antecedente, e o denominador b é denominado 
consequente dessa razão. 
Veja o exemplo a seguir: 
 
 
Exemplo: Uma loja tem 1200m² de área construída e 3000m² de área livre. Qual é a razão da 
área construída para a área livre? 
Para resolvermos o problema, aplicamos a razão = área construída/área livre = 1200/3000 = 
2/5. 
Ou seja, isto significa que a área construída representa 2/5 = 0,4 ou 40% da área livre. 
O conceito de razão é ainda aplicado para calcularmos escala, velocidade média e densidade. 
O que é proporção? 
A proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. Dados quatro 
números racionais A, B, C e D diferentes de zero, a proporção pode ser expressa da seguinte 
forma: A/B = C/D. 
O antecedente da primeira razão (A) e o consequente da segunda (D) são chamados de 
extremos, enquanto o consequente da primeira razão (B) e o antecedente da segunda razão 
(C) são chamados de meios. 
A propriedade fundamental da proporção 
Uma proporção também pode ser escrita como a igualdade entre os produtos, da seguinte 
maneira: A.D = B.C. Esta é a propriedade fundamental da proporção, em que o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos. 
Exemplo: Na sala A de uma determinada escola, temos 3 meninas para cada 4 meninos,ou 
seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão é igual a 0,75. 
Na sala B da mesma escola, temos 6 meninas para cada 8 meninos, ou seja, a razão é de 6 para 
8, que é igual a 0,75. Ambas as razões são iguais a 0,75 e, por isso, são chamadas de 
proporção. 
 
 
Equações e inequações 
Equações são expressões algébricasque possuem uma igualdade. Essas expressões são 
chamadas de algébricas porque possuem pelo menos uma incógnita, que é um número 
desconhecido representado por uma letra. As inequações, por sua vez, são relações 
semelhantes às equações, contudo, apresentam uma desigualdade. 
Enquanto as equações relacionam os termos do primeiro membro aos termos do segundo, 
afirmando sua igualdade, as inequações mostram que os termos do primeiro membro são 
maiores ou menores que os elementos do segundo. 
Termos de uma equação e de uma inequação 
Termo é o nome que se dá ao produto de algum número por alguma letra. Para identificá-los, 
basta procurar pelas multiplicações separadas por sinais de adição ou subtração. Veja a 
equação seguinte: 
4x + 2x – 7x = 16 – 5x 
 
 
Os termos são: 4x, 2x, – 7x, 16 e – 5x 
Membros de uma equação e de uma inequação 
Primeiro e segundo membros são definidos pela igualdade nas equações e pela desigualdade 
nas inequações. 
Todos os termos dispostos à esquerda da igualdade ou da desigualdade compõem o primeiro 
membro de uma equação ou inequação. Todos os termos dispostos à direta da igualdade ou 
desigualdade determinam o segundo membro de uma equação ou inequação. 
Desse modo, dada a inequação: 
2x + x – 9x ≤ 15 – 4x 
Os termos 2x, x e –9x pertencem ao primeiro membro, e os termos 15 e – 4x pertencem ao 
segundo. 
O que é igualdade e desigualdade? 
Ambos determinam relações de ordem entre números e incógnitas. O sinal de igual é utilizado 
quando se quer expressar a seguinte situação: Existe um valor para as incógnitas que faz com 
que o resultado dos cálculos propostos no primeiro membro seja igual ao resultado dos 
cálculos propostos no segundo. 
A desigualdade, por sua vez, pode ser representada por um dos quatro símbolos seguintes: 
<, >, ≥ e ≤ 
Esses símbolos mostram que o conjunto de operações do primeiro membro possui um 
resultado “menor”, “maior”, “maior igual” ou “menor igual” ao resultado do segundo membro. 
Grau 
O grau de equações e de inequações pode ser encontrado da seguinte maneira: 
Se a equação ou a inequação possui apenas uma incógnita, então, o grau dela é dado pelo 
maior expoente da incógnita. Por exemplo: o grau da equação 4x3 + 2x2= 7 é 3. 
Se a equação ou inequação possui mais de uma incógnita, então, o grau dela é dado pela 
maior soma entre os expoentes de um mesmo termo. Por exemplo, o grau da equação 4xyz + 
7yz2 – 5x2y2z2 = 0 é 6. 
Exemplos de equações: 
1) 4x = 16 
2) 2x – 8 = 144 
3) 18x2 = 2x – 8 
 x 
Exemplos de inequações: 
1) 12x + x2 ≤ 12 
2) 144 ≥ 12x + 7 
 
 
3) 128 – 14x < 12x + 4 
 
Sistemas de Medidas 
Para podermos comparar um valor com outro, utilizamos uma grandeza predefinida como 
referência, grandeza esta chamada de unidade padrão. 
As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior frequencia são 
o grama, o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico. 
Além destas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por 
exemplo a medição de tempo, de temperatura ou de ângulo. 
Dependendo da unidade de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou é muito 
grande ou muito pequena, neste caso então utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. 
O grama geralmente é uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isto em geral 
utilizamos o quilograma, assim como em geral utilizamos o mililitro ao invés da própria 
unidade litro, quando o assunto é bebidas por exemplo. 
 
 
Múltiplos e Submúltiplos 
Os múltiplos e submúltiplos mais frequentemente utilizados estão expostos na tabela a seguir: 
 
 
Tabela de Múltiplos e Submúltiplos mais Utilizados das Unidades de Medida 
Múltiplos Submúltiplos 
múltiplo sigla relação com a unidade submúltiplo sigla relação com a unidade 
quilo k mil vezes a unidade deci d décima parte da unidade 
hecto h cem vezes a unidade centi c centésima parte da unidade 
deca da dez vezes a unidade mili m milésima parte da unidade 
Abaixo temos a tabela completa com todos os múltiplos e submúltiplos definidos: 
 
 
Tabela Completa de Múltiplos e Submúltiplos das Unidades de Medida 
Múltiplos Submúltiplos 
múltiplo sigla fator multiplicador submúltiplo sigla fator multiplicador 
yotta y 1 000 000 000 000 000 000 000 000 deci d 0,01 
 
 
zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 000 centi c 0,01 
exa E 1 000 000 000 000 000 000 mili m 0,001 
peta P 1 000 000 000 000 000 micro µ 0,000 001 
tera T 1 000 000 000 000 nano n 0,000 000 001 
giga G 1 000 000 000 pico p 0,000 000 000 001 
mega M 1 000 000 femto f 0,000 000 000 000 001 
quilo k 1 000 atto a 0,000 000 000 000 000 001 
hecto h 100 zepto z 0,000 000 000 000 000 000 001 
deca da 10 yocto y 0,000 000 000 000 000 000 000 001 
 
 
 
Utilização das Unidades de Medida 
Quando estamos interessados em saber a quantidade de líquido que cabe em um recipiente, 
na verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno de um 
recipiente é chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na medição de 
capacidades é o litro. 
Se estivéssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de medida 
utilizada nesta medição seria o metro cúbico. 
Para ladrilharmos um cômodo de uma casa, é necessário que saibamos a área deste cômodo. 
Áreas são medidas em metros quadrados. 
Para sabermos o comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nesta medição a 
unidade de medida utilizada será o metro ou metro linear. 
Se você for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo será 
pesado para medirmos a massadesejada. A unidade de medida de massa é o grama. 
Veja a tabela a seguir na qual agrupamos estas principais unidades de medida, seus múltiplos e 
submúltiplos do Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades - SI: 
 
 
Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Métrico Decimal 
Medida de Grandeza Fator Múltiplos Unidade Submúltiplos 
Capacidade Litro 10 kl hl dal l dl cl 
Volume Metro Cúbico 1000 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 
 
 
Área Metro Quadrado 100 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 
Comprimento Metro 10 km hm dam m dm cm 
Massa Grama 10 kg hg dag g dg cg 
 
 
Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicação pelo fator 
multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas que 
apontam para a esquerda indicam uma divisão também pelo fator. 
A conversão de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza é realizada 
multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de conversão, dependendo da unidade 
original estar à esquerda ou à direita da unidade a que se pretende chegar, tantas vezes 
quantos forem o número de níveis de uma unidade a outra. 
 
 
Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida 
Converta 2,5 metros em centímetros 
Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na 
tabela metro está à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos 
de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita. Primeiro passamos 
de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros: 
 
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita. 
Portanto: 
2,5 m é igual a 250 cmPasse 5.200 gramas para quilogramas 
Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na 
tabela grama está à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos 
de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda. Primeiro passamos 
de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente 
de hectograma para quilograma: 
 
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda. 
Portanto: 
5.200 g é igual a 5,2 kg 
 
 
 
Quantos centilitros equivalem a 15 hl? 
Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita. Multiplicaremos 
então 15 por 10 quatro vezes: 
 
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita. 
Portanto: 
150.000 cl equivalem a 15 hl. 
 
Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3? 
Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à 
esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes: 
 
Portanto: 
0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação científica 
equivalem a 14 mm3. 
 
Passe 50 dm2 para hectometros quadrados 
Para passarmos de decímetros quadrados para hectometros quadrados, passaremos três 
níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes: 
 
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda. 
Portanto: 
50 dm2 é igual a 0,00005 hm2 
 
 
 
Equivalência entre medidas de volume e medidas de capacidade 
Um cubo com aresta de 10 cm terá um volume de 1.000 cm3, medida esta equivalente a 1 l. 
Como 1.000 cm3 equivalem a 1 dm3, temos que 1 dm3 equivale a 1 l. 
Como um litro equivale a 1.000 ml, podemos afirmar que 1 cm3 equivale a 1 ml. 
1.000 dm3 equivalem a 1 m3, portanto 1 m3 é equivalente a 1.000 l, que equivalem a 1 kl. 
 
 
 
 
Exemplos de Conversão entre Medidas de Volume e Medidas de Capacidade 
Quantos decalitros equivalem a 1 m3? 
Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos de litros a decalitros, 
passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez: 
 
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda. 
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma: 
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então 
passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes: 
 
Portanto: 
100 dal equivalem a 1 m3. 
 
348 mm3 equivalem a quantos decilitros? 
Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu 
equivalente em centimetros cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivale a 0,348 ml, já 
que cm3 e ml se equivalem. 
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de 
medida de capacidade. 
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à 
esquerda. Dividiremos então por 10 duas vezes: 
 
Logo: 
348 mm3 equivalem a 0,00348 dl. 
Comprimento 
Vamos entender o que é uma medida de comprimento analisando o cubo ao lado. 
 
 
Caso você não saiba ou não se lembre, as arestas de um cubo são as linhas originadas pelo 
encontro de suas faces. 
Nosso cubo em estudo possui doze arestas, sendo onze pretas e uma vermelha. 
Como todas as seis faces de um cubo são formadas por quadrados iguais, todas as suas arestas 
possuem o mesmo tamanho. 
Pela figura identificamos que a aresta vermelha, e também as demais, já que são todas iguais, 
tem uma medida linear de 5 cm. Esta é a medida do seu comprimento. 
Já que a aresta vermelha esta na posição vertical, podemos utilizá-la para medir a altura do 
cubo, ou seja, ele mede 5 cm de altura. 
Utilizamos medidas de comprimento para a medição de alturas, larguras, profundidades. 
Como você pode notar, todos estes exemplos tem apenas uma dimensão. A aresta do cubo só 
tem uma dimensão, você tem como medir o seu comprimento, mas não a sua espessura, por 
exemplo. 
Comprimentos são extensões unidimensionais. 
 
 
Área ou Superfície 
Agora o nosso cubo tem a sua face frontal em rosa. 
Qual é a superfície desta face? 
Quando falamos em superfície estamos falando em área. 
Áreas são extensões bidimensionais, pois como podemos ver na figura, a face que estamos 
analisando possui uma altura de 5 cm e uma base, que por se tratar de um cubo, com a mesma 
medida. 
Diferentemente da aresta que possui apenas uma dimensão, o seu comprimento, a área das 
faces possui duas dimensões, altura e base, por exemplo. 
Como este cubo tem uma aresta de 5 cm, a área das suas faces será igual a 5 cm . 5 cm que é 
igual a (5 cm)2, igual a 52 cm2, ou seja, 25 cm2. 
O expoente 2 do cm2 indica que esta é uma unidade de medida com duas dimensões, portanto 
não é uma unidade de medida linear que possui apenas uma dimensão. 
 
 
 
 
Volume e Capacidade 
Agora cubo está todo em rosa. 
Qual é o volume deste cubo? 
O volume é o espaço ocupado por um sólido. Normalmente para líquidos utilizamos o 
termo capacidade. 
Nosso cubo possui altura, largura e profundidade, portanto, possui três dimensões. 
Volumes são extensões tridimensionais. O volume do nosso cubo é obtido através do 
produto 5 cm . 5 cm . 5 cm que é igual a (5 cm)3, igual a 53 cm3 que resulta em 125 cm3. 
O expoente 3 do cm3 nos diz que esta é uma unidade de medida com três dimensões, 
portanto não é uma unidade de medida linear que só possui uma dimensão, nem 
bidimensional que só possui duas. 
Como unidades de capacidade também são unidades de volume, podemos estabelecer 
relações como, por exemplo, 1 cm3equivale a 1 ml, o que nos permite transformações de 
unidade de medida de volume em unidades de medida de capacidade e vice-versa. 
Conversões entre unidades de diferentes dimensões não são possíveis, por isto as conversões 
levantadas acima pelos internautas não são permitidas. 
 
 
Princípios do Raciocínio Lógico 
Princípio da Identidade 
Esse princípio determina que tudo é igual a si proprio. 
Ex: (B=B) / um cachorro é um cachorro 
Princípio da não Contradição 
Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
Ex: "o sol é amarelo; o sol não é amarelo" 
 
 
- "o sol amarelo não é amarelo" (Essa frase não está correta segundo os princípios da não 
contradição). 
Princípio do Terceiro Excluído 
Segundo esse princípio uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, sem a possibilidade de 
terceira opção ou meio termo. 
Ex: Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. Não existe meio termo, ou estudar é 
fácil ou estudar é difícil). 
Conectivos Lógicos 
Esses conectivos são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as 
proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. Veja abaixo: 
CONJUNÇÃO (símbolo Λ) 
Usado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente 
será verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos 
uma falsa, o resultado será FALSO. Λ = “e” 
Ex: P Λ Q (O Bolo é barato e o Café não é bom.) 
Ex2: P Λ Q (Carlos é arquitero e Marcelo é médico) 
Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ): 
P Q PΛQ 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
DISJUNÇÃO (símbolo V) 
A disjunção é o conectivo representado pelo "ou" e serve para unir duas proposições. O 
resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. Ele pode ser 
dividido em disjunção inclusiva e exclusiva. 
Disjunção Inclusiva: Relaciona duas ou mais proposições simples com o conectivo "ou". 
Ex: P V Q. (Comprarei um Vestido ou uma Calça) V = “ou” 
Regrinha para o conectivo de disjunção inclusiva (V): 
P Q PVQ 
V V VV F V 
 
 
F V V 
F F F 
Disjunção Exclusiva:Relaciona dois ou mais valores lógicos. Nesse caso a proposição só é 
verdadeira quando uma das frases for falsa e a outra verdadeira. As duas não podem ser 
consideradas verdadeiras porque isso torna a operação falsa. 
Ex: P V Q. (Ou Hoje é segunda-feira ou Hoje é domingo) V = “ou” 
Regrinha para o conectivo de disjunção exclusiva (V): 
P Q PVQ 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
CONDICIONAL (símbolo →) 
Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição 
suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. Nesse caso a proposição será falsa se 
o termo da esquerda for verdadeira e o termo consequente for falso. Os termos podem ser 
substiuídos pelas palavras suficiente e necessário para compreender melhor o exemplo abaixo: 
Ex: P → Q. (Se nasci no Rio de Janeiro, então sou carioca) → = “se...então” 
-Se nasci no Rio de Janeiro suficientemente sou carioca; 
-Agora, se sou carioca necessariamentente nasci no Rio de Janeiro. 
Regrinha para o conectivo condicional (→): 
P Q P→Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
BICONDICIONAL (símbolo ↔) 
O resultado dessas proposições será verdadeiro somente se as duas forem iguais, ou seja as 
duas verdadeiras ou as duas falsas. “P” será condição suficiente e necessária para “Q” 
Ex5.: P ↔ Q. (Se 6 é maior que 5, então 5 é menor que 6) ↔ = “se e somente se” 
Regrinha para o conectivo bicondicional (↔): 
 
 
P Q P↔Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
NEGAÇÃO (símbolo ~ e ¬): 
Esse é considerado um dos conectivos mais simples e pode ser representado por dois 
símbolos. Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está 
sendo dada. 
Ex: 
~P (não P): O Pão não é barato. (É a negação lógica de P) 
~Q (não Q): O Queijo não é bom. (É a negação lógica de Q) 
- Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação vira falsa. 
- Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira verdadeira. 
Regrinha para o conectivo de negação (~): 
P ~P 
V F 
F V 
 
Diagramas Lógicos 
Os diagramas são utilizados como uma representação gráfica de proposições relacionadas a 
uma questão de raciocínio lógico. Esse tema é muito cobrado em provas que tenha por 
matéria raciocínio lógico para concursos, em questões que envolvem o termo “todo”, “algum” 
e “nenhum”. 
Conjunto: Um conjunto constitui-se em um número de objetos ou números com características 
semelhantes. Podem ser classificados assim: 
Conjunto finito: possui uma quantidade determinada de elementos; 
Conjunto infinito: como o próprio nome diz nesse caso temos um número infinito de 
elementos; 
Conjunto unitário: apenas um elemento; 
Conjunto Vazio: sem elemento no conjunto; 
Conjunto Universo: esse caso tem todos os elementos de uma situação. 
 
 
Esses elementos podem ser demonstrados da seguinte forma: 
Extensão: Os elementos são separados por chaves; {1,2,3,4...} 
Compreensão: Escreve-se a caraterística em questão do conjunto mencionado. 
Diagrama de Venn: Os elementos são inseridos em uma figura fechada e aparecem apenas 
uma vez. 
Todo A é B: Nesse caso o conjunto A é um subconjunto do B, sendo que A está contido em B. 
 
Nenhum A é B: Nesse caso os dois conjuntos não tem elementos comuns. 
 
Algum A é B: Esse diagrama representa a situação em que pelo menos um elemento de A é 
comum ao elemento de B. 
 
Inclusão 
Todo, toda, todos, todas. 
Interseção 
Algum, alguns, alguma, algumas. 
Ex: Todos brasileiros são bons motoristas 
Negação lógica: Algum brasileiro não é bom motorista. 
Disjunção 
Nenhum A é B. 
 
 
Ex: Algum brasileiro não é bom motorista. 
Negação lógica: Nenhum brasileiro é bom motorista. 
Exercícios de Diagramas Lógicos 
Questão 1: VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário) 
Pergunta: Neste grupo de pessoas, usar só chapéu ou só relógio, nem pensar. Tampouco usar 
óculos, chapéu e relógio ao mesmo tempo. Quinze pessoas usam óculos e chapéu ao mesmo 
tempo. Usam chapéu e relógio, simultaneamente, o mesmo número de pessoas que usam 
apenas os óculos. Uma pessoa usa óculos e relógio ao mesmo tempo. Esse grupo é formado 
por 40 pessoas e essas informações são suficientes para afirmar que nesse grupo o número de 
pessoas que usam óculos é 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 28 
Questão 2: VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário) 
Pergunta: Observe o seguinte diagrama. De acordo com o diagrama,pode-se afirmar que 
 
a) todos os músicos são felizes. 
b) não há cantores que são músicos e felizes. 
c) os cantores que não são músicos são felizes. 
d) os felizes que não são músicos não são cantores. 
e) qualquer músico feliz é cantor. 
Questão 3: VUNESP/2011- Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário) 
Pergunta: Todo PLATZ que não é PLUTZ é também PLETZ. Alguns PLATZ que são PLETZ também 
são PLITZ. A partir dessas afirmações, pode-se concluir que 
a) alguns PLITZ são PLETZ e PLATZ. 
b) existe PLATZ que não é PLUTZ nem é PLETZ 
c) não existe PLUTZ que é apenas PLUTZ. 
d) todo PLITZ é PLETZ. 
 
 
e) existe PLITZ que é apenas PLITZ. 
Questão 4: ESAF/2012 – Concurso CGU - Analista de Finanças e Controle (Prova 1) 
Pergunta: Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são 
empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das 
classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das 
empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao 
mesmo tempo familiares e exportadoras é 
a) 21 
b) 14 
c) 16 
d) 19 
e) 12 
Questão 5: FCC/2012 – Concurso TCE-SP – Analista de Fiscalização Financeira (Administração) 
Pergunta: Todos os jogadores são rápidos. Jorge é rápido. Jorge é estudante. Nenhum jogador 
é estudante. Supondo as frases verdadeiras pode-se afirmar que 
a) a intersecção entre o conjunto dos jogadores e o conjunto dos rápidos é vazia. 
b) a intersecção entre o conjunto dos estudantes e o conjunto dos jogadores não é vazia. 
c) Jorge pertence ao conjunto dos jogadores e dos rápidos. 
d) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos estudantes e o conjunto dos 
rápidos. 
e) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos jogadores e o conjunto dos 
rápidos. 
Questão 6: CESPE/2011 – Concurso PC-ES – Cargos de Nível Superior 
Pergunta: Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas 
entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema 
online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma 
denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de 
multa. A partir dessas informações, julgue o item seguinte. Considerando-se que também foi 
constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicação online nem das 
penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham 
conhecimento de pelo menos uma dessas questões. 
Certo 
Errado 
Resposta dos Exercícios 
Questão 1 
 
 
São 40 acessórios, mas há apenas informações de 16 deles. Sobram 24. Como o número de 
pessoas que usa apenas óculos é o mesmo que usa chapéu e relógio, 12 pessoas utilizam 
chapéu e óculos e a outra metade apenas óculos. 
Resumindo: 
• Óculos e Chapéu= 15 
• Chapéu e Relógio=12 
• Só óculos=12 
• Óculos e Relógio=1 
Total= 40 
-Quantos usam óculos: 15+12+1=28 
Questão 2 
-Como pode ser visto no diagrama, parte dos felizes não são músicos nem cantores. 
Questão3 
Proposições: 
• Todo Platz que não é Plutz é também Pletz. Ou seja, Platz e Pletz são duas coisas ao 
mesmo tempo. 
• Alguns Platz também são Plitz. Ou seja, o Plitz pode ser Platz, mas isso não é uma regra 
geral. 
• A letra E é falsa porque não existe delimitação para o conjunto Plitz e ele não fica 
sozinho; 
• A letra B também está errada porque afima que existe Platz que não é Plutz nem é 
Pletz. Mas a afirmação do enunciado garante que "Todo Platz que não é Plutz é 
também Pletz." 
• A letra C está incorreta porque essa afirmação não é dita em nenhum momento do 
enunciado. 
• A letra D está incorreta porque não há uma regra em relação a isso também. 
Questão 4 
Dados do enunciado: 
o O grupo tem 120 empresas; 
o Como ele disse que 19 empresas não se encaixam nesses grupos, pode-se 
concluir que pelo menos 101 empresas se encaixam em algum desses itens; 
 
 
 
• São 20 exportadoras dentre as empresas do nordeste: 20-x; 
• 19 empresas são familiares: 19-x; 
• Das empresas familiares 21 são exportadoras: 21-x; 
 
Sabendo-se que o Norrdeste tem 57 elementos, o azul 48 e o verde 44 pode-se criar um 
diagrama como no exemplo abaixo: 
 
(18+x+19-x+x+20-x) +8+x+21-x+3+x=101 
57+8+x+21-x+3+x=101 
x+89=101 x=12 
Questão 5 
Ao analisar as informações dadas pode-se concluir que Jorge não pertence ao grupo de 
jogadores e sim ao conjunto compreendido entre os rápidos e estudantes. 
Questão 6 
 
 
 
• Pessoas que não sabiam do sistema e nem das penalidades=10 
• Retire essas 10 pessoas do número fornecido pelo enunciado para aquelas que não 
sabiam do sistema=60 
• O resultado é 135, pois ao somarmos 60+85-10=135. 
Gabarito das Questões Resposta Certa 
Questão 1 Letra E 
Questão 2 Letra D 
Questão 3 Letra A 
Questão 4 Letra E 
Questão 5 Letra E 
Questão 6 Certa 
 
Lógica de Argumentação 
A lógica é utilizada como uma etapa do pensamento humano há vários séculos e ajuda a 
compreender e trabalhar o raciocínio. A lógica pode ser dividida de duas formas: a lógica 
formal e a lógica material. A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para 
convencer alguém de alguma coisa. Para argumentar faz-se uso de vários tipos de raciocínio 
que devem ser baseados em normas sólidas e em argumentos aceitáveis. 
A lógica formal preocupa-se com a finalização da coerência interna mesmo que ela pareça 
absurda. Os computadores funcionam dessa forma, uma vez que eles tem a capacidade de 
processar apenas as informações que já estavam inseridas em seu contexto e atestar as 
informações. No entanto, a lógica material aborda a utilização dessas operações de acordo 
com a realidade, com o raciocínio certo e o respeito a matéria do objeto em questão. 
A mente humana é capaz de realizar as seguintes operações: a simples apreensão, os juízos e o 
raciocínio. A simples apreensão refere-se a compreensão direta de uma situação formando um 
conceito que por fim passa a ter uma denominação. O juízo aborda ideias relacionadas ou 
separadas que fazem surgir um julgamento da realidade. Já o raciocínio faz parte de uma 
situação que envolve juízos e proposições no intuito de chegar em conclusões adequadas. 
Tipos de Raciocínio 
RaciocínioAnalógico 
A analogia é uma das melhores formas para utilizar o raciocínio. Nesse tipo de raciocínio usa-
se a comparação de uma situação conhecida com uma desconhecida. Uma analogia depende 
de três situações: 
• os fundamentos precisam ser verdadeiros e importantes; 
• a quantidade de elementos parecidos entre as situações deve ser significativo; 
• não pode existir conflitos marcantes. 
 
 
Raciocínio Indutivo 
A indução está relacionada a diversos casos pequenos que chegam a uma conclusão geral. 
Nesse sentido podemos definir também a indução fraca e a indução forte. Essa indução forte 
ocorre quando não existe grandes chances de que um caso discorde da premissa geral. Já a 
fraca refere-se a falta de sustentabilidade de um conceito ou conclusão. 
Raciocínio Dedutivo 
Nesse tipo específico de raciocínio não se leva em conta os problemas enfrentados na analogia 
e na indução. A dedução parte de uma premissa geral para outra mais específica. Esse tipo de 
raciocínio trabalha para provar a veracidade de uma proposição com base na veracidade de 
outras proposições. 
Noções de Lógica 
Tautologia 
É uma proposição formada por duas ou mais proposições que recebe o nome de tautologia 
quando for sempre considerada verdadeira e não leva em consideração os valores lógicos. 
Ex: Maria foi para a escola ou Maria não vai para a escola. 
A primeira proposição recebe o nome “p” e a outra será chamada de ~p. 
Situação 1: P: Maria foi para a escola. ~p: Maria não vai para a escola. 
Situação 2: P: Maria não foi estudar. ~p: Maria foi para a escola p ~p pv~p 
 P ~P pV~p 
Situação 1 V F V 
Situação 2 F V V 
Contradição 
É uma proposição que possui duas ou mais proposições recebe o nome de contradição quando 
sempre for considerada falsa não levando em consideração os valores lógicos. 
Ex: Ronaldinho é jogador do Flamengo e Ronaldinho não é jogador do flamengo. 
A primeira situação será chamada de p e a segunda de ~p. Ou seja, p^~p 
 P ~p p^~p 
Situação 1 V F F 
Situação 2 F V F 
Contingência 
É toda proposição que possui em sua tabela-verdade uma última coluna com as letras V e F 
pelo menos uma vez. 
Ex: A proposição p -->> ~p é uma contingência. 
 
 
p ~p p -> ~p 
V V V 
F V V