Apostila Integral Multipla

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Notas de Aula de Cálculo
Integração Múltipla
Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal
1 de dezembro de 2013
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
Material elaborado como resultado do projeto REUNI - PROPESP No: 033128/2012
- coordenado pelas professoras Bárbara Rodriguez, Cinthya Meneghetti e Cristiana
Poffal com participação da bolsista REUNI: Elizangela Pereira.
1 Notas de aula de Cálculo - FURG
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Sumário
1 Integração Múltipla 3
1.1 Integral simples de funções de 2 variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Propriedades da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Integrais iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Integrais duplas e o cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Regiões verticalmente simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Regiões horizontalmente simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Integrais duplas e o cálculo de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Volumes de regiões com domínio de integração retangular . . . 24
1.4.2 Volumes de regiões com domínio de integração não retangular 27
1.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.1 Massa de uma lâmina plana de densidade variável . . . . . . . 36
1.5.2 Momentos e Centro de Massa de uma lâmina plana de densi-
dade variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.3 Centróides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6 Integral tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6.1 Propriedades da integral tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.2 Integral tripla como integral iterada . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.3 Integrais iteradas em regiões não retangulares . . . . . . . . . 47
1.7 Integral tripla e o cálculo de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.8 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.8.1 Massas e Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.8.2 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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Capítulo 1
Integração Múltipla
Neste capítulo estuda-se o o conceito de integração múltipla e suas apli-
cações ao cálculo de áreas e volumes.
1.1 Integral simples de funções de 2 variáveis
Calculam-se as derivadas parciais de funções de 2 variáveis derivando
estas funções em relação à variável indicada e considerando a outra como constante.
Do mesmo modo, pode-se calcular a integral indefinida de funções de 2 variáveis,
ou seja, integram-se essas funções em relação à variável indicada no elemento de
integração e se considera como constante a outra variável.
Exemplo 1.1.1. Calcule I =
∫
12x2y3 dy.
Solução:
Para calcular I com o elemento de integração dy, considera-se x2 como
constante:I = 12x2
∫
y3 dy = 12x2
y4
4
+ Cx.
É importante lembrar que a constante Cx engloba tanto números quanto
fatores com potências de x, pois x foi considerado como constante.
Assim, I = 3x2y4 + Cx.
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1.1. INTEGRAL SIMPLES DE FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS
Exemplo 1.1.2. Considere a função f(x, y) =
x3y3
3
− 2y3 + 4, calcule:
a)
∂f
∂x
(x, y)
b) Ib =
∫
∂f
∂x
(x, y) dx
c)
∂f
∂y
(x, y)
d) Id =
∫
∂f
∂y
(x, y) dy.
Solução:
a)
∂f
∂x
(x, y).
Para calcular a derivada parcial em relação à variável x, considera-se
y como constante, assim:
∂
∂x
(
x3y3
3
− 2y3 + 4
)
=
3x2y3
3
∂f
∂x
(x, y) = x2y3.
b) Ib =
∫
∂f
∂x
(x, y) dx.
Do item anterior, reescreve-se Ib:
Ib =
∫
x2y3 dx.
A integral Ib, com elemento de integração dx é
Ib =
∫
x2y3 dx = y3
∫
x2 dx =
y3x3
3
+ Cy.
Portanto, Ib =
x3y3
3
+ Cy. É importante lembrar que a constante Cy
engloba tanto números quanto fatores com potências de y, pois y foi considerado
como constante.
c)
∂f
∂y
(x, y).
Para calcular a derivada parcial em relação à variável y, considera-se
x como constante, assim:
∂
∂y
(
x3y3
3
− 2y3 + 4
)
=
3x3y2
3
− 6y2
∂f
∂y
(x, y) = x3y2 − 6y2.
4 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
d) Id =
∫
∂f
∂y
(x, y) dy.
Do item anterior, reescreve-se Id:
Id =
∫
(x3y2 − 6y2) dy.
Para calcular a integral com elemento de integração dy, deve-se con-
siderar x como constante.
Id =
∫
(x3y2 − 6y2) dy = x3
∫
y2 dy − 6
∫
y2 dy =
x3y3
3
− 6y
3
3
+ Cx.
Portanto, Id =
x3y3
3
− 2y3 + Cx. É importante lembrar que a cons-
tante Cx engloba tanto números quanto fatores com potências de x, pois x foi
considerado como constante. No entanto, comparando Ib e Id com f(x, y) é
possível identificar Cy e Cx respectivamente.
Observação 1.1.1. Note que o cálculo da integral não retorna à função origi-
nal. No entanto, comparando Ib e Id com f(x, y) é possível identificar Cy e Cx
respectivamente.
1.2 Integral Dupla
Notação: A integral
∫∫
R
f(x, y) dxdy é denominada integral dupla de
f(x, y) em R, onde R é uma região do plano xy.
Há muitas semelhanças entre as integrais simples e as integrais duplas, a
saber:
a) ambas são definidas como somas de Riemann;
b) uma integral dupla representa um volume, com sinal, assim como a integral
simples representa a área, com sinal;
c) calculam-se integrais duplas usando o Teorema Fundamental do Cálculo, basta
aplicá-lo duas vezes.
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1.2. INTEGRAL DUPLA
Uma característica importante no caso de funções de 2 variáveis é que o
domínio de integração desempenha um papel de destaque. O domínio de integração
de uma integral simples
∫ b
a
f(x) dx é um intervalo [a, b], mas em 2 variáveis, o
domínio de integração é uma região R do plano com uma curva fronteira mais geral,
conforme a Figura 1.1.
Figura 1.1: Domínio de integração para integral dupla
Seja P uma partição da região R do plano xy (ver Figura 1.1). A norma
de P , denotada por ‖P‖, é o comprimento da diagonal do maior sub-retângulo
[xi−1, xi] × [yk−1, yk], onde 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ k ≤ m. Note que quando ‖P‖ → 0
tem-se que tanto o comprimento quanto a largura de todos sub-retângulos tendem
a zero.
Definição 1.2.1. A integral dupla de uma função contínua f(x, y) em uma região
R do plano xy (se o limite existir) é definida como:∫∫
R
f(x, y) dA = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
m∑
k=1
f(Pik)∆Aik,
onde Pik ∈ [xi−1, xi] × [yk−1, yk], ∆Aik = (xi − xi−1)(yk − yk−1) e f(Pik)∆Aik é o
elemento de volume. Neste caso, diz-se que f(x, y) é integrável em R.
6 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
1.2.1 Propriedades da integral dupla
Sejam f(x, y) e g(x, y) funções contínuas num retângulo R. Então f(x, y)
e g(x, y) são integráveis em R e valem as seguintes propriedades:
a)
∫∫
R
[f(x, y)± g(x, y)] dA =
∫∫
R
f(x, y) dA±
∫∫
R
g(x, y) dA.
b) Para qualquer constante C,
∫∫
R
C f(x, y) dA = C
∫∫
R
f(x, y) dA.
c) Se f(x, y) ≥ 0 em R, então
∫ ∫
R
f(x, y) dA ≥ 0.
d) Se f(x, y) ≥ g(x, y) em R, então
∫∫
R
f(x, y) dA ≥
∫∫
R
g(x, y) dA.
e) Se R for a união de duas regiões que não se sobrepõem, R1 e R2, então∫∫
R
f(x, y) dA =
∫∫
R1
f(x, y) dA+
∫∫
R2
f(x, y) dA.
Exemplo 1.2.1. Seja R = [0, 1] × [0, 1] e considere R1 a parte sobre a diagonal
y = x, e R2 a parte sob a diagonal y = x conforme Figura 1.2. Suponha que:∫∫
R1
f(x, y) dxdy = 6,
∫∫
R1
g(x, y) dxdy = −4,∫∫
R2
f(x, y) dxdy = 10
∫∫
R2
g(x, y) dxdy = 2.
Determine:
a) Ia =
∫∫
R
f(x, y) dxdy
b) Ib =
∫∫
R
[4f(x, y)− 5g(x, y)] dxdy.
Solução:
a) Ia =
∫∫
R
f(x, y) dxdy.
Aplicando a propriedade c, tem-se:
Ia =
∫∫
R1
f(x, y) dxdy +
∫∫
R2
f(x, y) dxdy
Ia = 6 + 10.
Portanto, Ia = 16.
7 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
Figura 1.2: Regiões R1 e R2
b) Ib =
∫∫
R
[4f(x, y)− 5g(x, y)] dxdy.
Aplicando a propriedade a, pode-se reescrever Ib como:
Ib =
∫∫
R
4f(x, y) dxdy −
∫∫
R
5g(x, y) dxdyIb = 4
∫∫
R
f(x, y) dxdy − 5
∫∫
R
g(x, y) dxdy.
Aplica-se a propriedade c e logo em seguida a propriedade b, obtém-
se:
Ib = 4
[∫∫
R1
f(x, y) dxdy +
∫∫
R2
f(x, y) dxdy
]
−
5
[∫∫
R1
g(x, y) dxdy +
∫∫
R2
g(x, y) dxdy
]
Ib = 4(6 + 10)− 5(−4 + 2).
Logo, Ib = 74.
Exemplo 1.2.2. Considere a função f(x, y) =
x3y3
3
− 2y3 + 4, calcule:
a) Ia =
∫ (∫
f(x, y)dx
)
dy
b) Ib =
∫ (∫
f(x, y)dy
)
dx.
Solução:
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1.2. INTEGRAL DUPLA
a) Ia =
∫ (∫
f(x, y)dx
)
dy.
Escrevendo a função f na integral iterada, obtém-se:
Ia =
∫ [∫ (
x3y3
3
− 2y3 + 4
)
dx
]
dy
Ia =
∫ [
y3
3
∫
x3dx− 2y3
∫
dx+ 4
∫
dx
]
dy
Ia =
∫ (
x4y3
12
− 2xy3 + 4x
)
dy
Ia =
x4
12
∫
y3dy − 2x
∫
y3dy + 4x
∫
dy.
Portanto, Ia =
x4y4
48
− xy
4
2
+ 4xy + C.
b) Ib =
∫ (∫
f(x, y)dy
)
dx.
Ib =
∫ [∫ (
x3y3
3
− 2y3 + 4
)
dy
]
dx
Ib =
∫ [
x3
3
∫
y3dy − 2
∫
y3dy + 4
∫
dy
]
dx
Ib =
∫ (
x3y4
12
− y
4
2
+ 4y
)
dx
Ib =
y4
12
∫
x3dx− y
4
2
∫
dx+ 4y
∫
dx.
Logo, Ib =
x4y4
48
− xy
4
2
+ 4xy + C.
Note que, neste caso tem-se Ia = Ib.
1.2.2 Integrais iteradas
Com exceção dos casos mais simples, é trabalhoso calcular uma integral
dupla usando o limite da definição 1.2.1. A principal técnica para calcular integrais
duplas tem como base o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), como no caso
de 1 variável. Para usar o TFC, é necessário expressar a integral dupla como uma
integral iterada.
9 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
Definição 1.2.2. Uma integral iterada é uma expressão do tipo
I =
∫ b
a
(∫ d
c
f(x, y) dy
)
dx.
Note que a definição 1.2.2 é um caso particular da definição 1.2.1 em
que o domínio de integração é uma região retangular R = [a, b]× [c, d].
Exemplo 1.2.3. Calcule a integral I =
∫ 4
1
∫ 9
3
yx3 dydx.
Solução:
Para proceder com o cálculode I, é necessário expressar a integral dupla
como uma integral iterada, assim:
I =
∫ 4
1
(∫ 9
3
yx3 dy
)
dx
I =
∫ 4
1
(
x3
∫ 9
3
y dy
)
dx
I =
∫ 4
1
[
x3y2
2
] ∣∣∣∣9
3
dx
I =
∫ 4
1
[
x3(9)2
2
− x
3(3)2
2
]
dx
I =
∫ 4
1
72x3
2
dx
I = [9x4]
∣∣4
1
.
Portanto, I = 2.295.
Exemplo 1.2.4. Calcule as integrais iteradas:
a) Ia =
∫ 4
2
∫ 9
1
yex dydx
b) Ib =
∫ pi
2
0
∫ pi
2
0
sen(2x+ y) dxdy.
Solução:
a) Ia =
∫ 4
2
∫ 9
1
yex dydx.
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1.2. INTEGRAL DUPLA
Escrevendo a integral dupla na forma de integrais iteradas, obtém-se:
Ia =
∫ 4
2
(∫ 9
1
yex dy
)
dx
Ia =
∫ 4
2
[
exy2
2
] ∣∣∣∣9
1
dx
Ia =
∫ 4
2
40ex dx
Ia = [40e
x]
∣∣4
2
.
Logo, Ia = 40e2(e2 − 1).
b) Ib =
∫ pi
2
0
∫ pi
2
0
sen(2x+ y) dxdy.
Escreve-se a integral dupla na forma de integral iterada e obtém-se:
Ib =
∫ pi
2
0
(∫ pi
2
0
sen(2x+ y) dx
)
dy
Ib =
∫ pi
2
0
[
−cos(2x+ y)
2
] ∣∣∣∣pi2
0
dy
Ib =
∫ pi
2
0
− cos(pi + y) + cos(y)
2
dy
Ib =
∫ pi
2
0
−cos(pi + y)
2
dy +
∫ pi
2
0
cos(y)
2
dy
Ib =
[
−1
2
sen(pi + y)
] ∣∣∣∣pi2
0
+
[
1
2
sen(y)
] ∣∣∣∣pi2
0
.
Portanto, Ib = 1.
Exercício 1.2.1. Mostre que∫∫
R
sen(x+ y) dA = 0,
onde R = [0, pi]× [0, 2pi]. Interprete o resultado geometricamente.
Exemplo 1.2.5. Se f(x, y) for uma constante positiva, qual será o resultado da
integral I =
∫∫
R
f(x, y) dA?
Solução:
11 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
Seja R = [a, b]× [c, d] e f(x, y) = h, h constante, então pelo teorema de
Fubini tem-se:
I =
∫∫
R
f(x, y)dA =
∫ d
c
∫ b
a
h dxdy =
∫ b
a
∫ d
c
h dydx.
Aplicando as propriedades de integral dupla, obtém-se como resultado:
I = h(d− c)(b− a) = h(b− a)(d− c),
que expressa o volume de um paralelepípedo de base R e altura h.
Exemplo 1.2.6. Verifique que
∫ 1
0
∫ 4
2
x2y3 dydx =
∫ 4
2
∫ 1
0
x2y3 dxdy.
Solução:
Para facilitar a demonstração, chama-se de Ia a integral dupla à esquerda
da igualdade e de Ib a integral dupla à direita.
Resolvendo a integral iterada Ia, obtém-se:
Ia =
∫ 1
0
(∫ 4
2
x2y3 dy
)
dx
Ia =
∫ 1
0
[
x2y4
4
] ∣∣∣∣4
2
dx
Ia =
∫ 1
0
60x2 dx
Ia = [20x
3]
∣∣∣∣1
0
.
Assim, Ia = 20.
Para a integral iterada Ib, tem-se:
Ib =
∫ 4
2
(∫ 1
0
x2y3 dx
)
dy
Ib =
∫ 4
2
[
x3y3
3
] ∣∣∣∣1
0
dy
Ib =
∫ 4
2
y3
3
dy
Ib =
[
y4
12
] ∣∣∣∣4
2
.
Dessa forma, Ib = 20.
Portanto, verifica-se a igualdade Ia = Ib.
12 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
O exemplo anterior motiva a seguinte questão: será que se pode inverter a
ordem de integração para qualquer região R e obter o mesmo resultado? O Teorema
de Fubini esclarece quando isso será possível.
Teorema 1.2.1 (Teorema de Fubini). A integral dupla de uma função contínua
f(x, y) num retângulo R = [a, b]×[c, d] é igual à integral iterada, em qualquer ordem:∫∫
R
f(x, y) dA =
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y) dydx =
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y) dxdy.
13 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
Exemplo 1.2.7. Calcule I =
∫∫
R
(8− 2y) dA, onde R = [0, 3]× [0, 4].
Solução:
Aplicando o teorema de Fubini, tem-se:
I =
∫ 3
0
(∫ 4
0
(8− 2y)dy
)
dx
I =
∫ 3
0
[8y − y2]
∣∣∣4
0
dx
I =
∫ 3
0
16 dx
I = [16x]
∣∣∣3
0
Logo, I = 48.
Exemplo 1.2.8. Calcule I =
∫∫
R
(5− x) dA, onde R = [0, 5]× [0, 3].
Solução:
Aplica-se o teorema de Fubini, obtendo-se:
I =
∫ 5
0
(∫ 3
0
(5− x)dy
)
dx
I =
∫ 5
0
[5y − xy]∣∣3
0
dx
I =
∫ 5
0
(15− 3x) dx
I =
[
15x− 3x
2
2
] ∣∣∣∣3
0
Portanto, I =
75
2
.
14 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
Exemplo 1.2.9. Determine I =
∫∫
R
√
9− y2 dA, onde R = [0, 4]× [0, 2].
Solução:
Aplicando o teorema de Fubini, obtém-se:
I =
∫ 4
0
(∫ 2
0
√
9− y2dy
)
dx
I =
∫ 4
0
[
y
2
√
9− y2 + 9
2
arcsen
(y
3
)] ∣∣∣∣2
0
dx
I =
∫ 4
0
[√
5 +
9
2
arcsen
(
2
3
)]
dx
I =
[√
5x+
9x
2
arcsen
(
2
3
)] ∣∣∣∣4
0
Logo, I = 4
√
5 + 18 arcsen
(
2
3
)
.
O exemplo a seguir mostra a não aplicabilidade do teorema de Fubini,
pois a região de integração não é retangular.
Exemplo 1.2.10. Determine I =
∫ 2
1
∫ x
1
(
2x2
y2
+ 2y
)
dydx.
Solução:
Escreve-se a integral dupla na forma de integral iterada e obtém-se:
I =
∫ 2
1
(∫ x
1
(
2x2
y2
+ 2y
)
dy
)
dx
I =
∫ 2
1
[
−2x
2
y
+ y2
] ∣∣∣∣x
1
dx
I =
∫ 2
1
(−2x+ 3x2 − 1) dx
I = [−x2 + x3 − x]∣∣2
1
.
Portanto, I = 3.
A tentativa de aplicar o teorema de Fubini, alterando a ordem de inte-
gração em I, resulta em Ia =
∫ x
1
(∫ 2
1
(
2x2
y2
+ 2y
)
dx
)
dy.
15 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. INTEGRAL DUPLA
Resolvendo Ia, obtém-se:
Ia =
∫ x
1
(∫ 2
1
(
2x2
y2
+ 2y
)
dx
)
dy
Ia =
∫ x
1
[
−2x
3
3y2
+ 2yx
] ∣∣∣∣2
1
dy
Ia =
∫ x
1
(
16
3y2
+ 8y
)
dy.
Como resolver essa integral?
Observe que o limite de integração superior depende da variável x cuja
integral já foi resolvida. Portanto, o teorema de Fubini não pode ser aplicado nessa
situação.
Exercício 1.2.2. Calcule a integral repetida.
a)
∫ 3
0
∫ 1
0
xexydydx
b)
∫ 1
0
∫ 2
0
x4y2dydx
c)
∫ pi
2
0
∫ 1
0
xy cos(xy2)dydx
d)
∫ 2
0
∫ √y
0
x3dxdy
e)
∫ pi
3
0
∫ sen(x)
0
dydx√
1− y2
f)
∫ pi
2
0
∫ 2 cos(θ)
0
φ cos(θ)dφdθ
g)
∫ 5
1
∫ x
3
√
x
1
x
dydx
h)
∫ pi
4
0
∫ sen(x)
0
4e−y cos(x)dydx.
Respostas
1.2.2
a) e3 − 4
b)
8
15
c)
1
2
d)
2
3
e)
pi2
18
f)
4
3
g) 7− 3 3√5
h) 4e−
√
2
2 + 2
√
2− 4.
16 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE ÁREAS
1.3 Integrais duplas e o cálculo de áreas
Existem dois tipos básicos de regiões planas: as verticalmente simples
e as horizontalmente simples. Em ambos os casos, pode-se usar a integral dupla
para o cálculo da área de tais regiões. Saber reconhecer o domínio de integração ou
região de integração é fundamental para o cálculo de integrais duplas. Outro ponto
importante é o reconhecimento das curvas que delimitam a região de integração.
Muitas vezes é conveniente escrever essas curvas em função de x, isto é, y = f(x) e
outras, como função de y, isto é, x = g(y). Essa conveniência é devido a maior ou
menor dificuldade no cálculo do valor da integral.
1.3.1 Regiões verticalmente simples
Na Figura 1.3, considere a região R do plano limitada por a ≤ x ≤ b e
g1(x) ≤ y ≤ g2(x), onde g1 e g2 são funções contínuas no intervalo [a, b].
A área de R é dada por:
A =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
dydx. (1.3.1)
Figura 1.3: Região no plano definida pelas curvas g1(x) e g2(x) para a ≤ x ≤ b
De fato,
∫ b
a
∫g2(x)
g1(x)
dydx =
∫ b
a
y
∣∣g2(x)
g1(x)
dx =
∫ b
a
(g2(x)− g1(x)) dx.
17 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE ÁREAS
Exemplo 1.3.1. Use a integral repetida para calcular a área da região limitada
pelos gráficos de f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) entre x =
pi
4
e x =
5pi
4
.
Solução:
Trata-se de uma região verticalmente simples no plano xy, e pode ser
descrita como:
R :

pi
4
≤ x ≤ 5pi
4
cos(x) ≤ y ≤ sen(x)
.
A região pode ser visualizada na Figura 1.4.
Figura 1.4: Exemplo 1.3.1
Escreve-se a área de R como:
A =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
dydx
A =
∫ 5pi
4
pi
4
∫ sen(x)
cos(x)
dydx
A =
∫ 5pi
4
pi
4
(∫ sen(x)
cos(x)
dy
)
dx
A =
∫ 5pi
4
pi
4
[y]
∣∣sen(x)
cos(x)
dx
A =
∫ 5pi
4
pi
4
[(sen(x)− cos(x)]dx
A = [− cos(x)]∣∣ 5pi4pi
4
− [sen(x)]∣∣ 5pi4pi
4
.
Portanto, A = 2
√
2 u.a.
18 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE ÁREAS
1.3.2 Regiões horizontalmente simples
A área de uma região R definida por c ≤ y ≤ d e h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
(Figura 1.5), onde h1(y) e h2(y) são funções contínuas no intervalo [c, d], é dada por:
A =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
dxdy.
Figura 1.5: Região no plano definida pelas curvas h1(y) e h2(y) para c ≤ y ≤ d
De fato,∫ d
c
∫ h2(x)
h1(x)
dxdy =
∫ d
c
y
∣∣h2(x)
h1(x)
dy =
∫ d
c
(h2(x)− h1(x)) dy.
Exemplo 1.3.2. Considere a integral I =
∫ 2
0
∫ 4
y2
dxdy.
a) Esboce a região cuja área é dada pela integral.
b) Determine outra integral repetida usando a ordem dydx que representa a mesma
área.
c) Calcule o valor da área da região.
Solução:
a) A área da região expressa pela integral I =
∫ 2
0
∫ 4
y2
dxdy, onde x varia entre as
curvas y2 e x = 4 e 0 ≤ y ≤ 2, está representada na Figura 1.6.
19 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE ÁREAS
Figura 1.6: Exemplo 1.3.2 a
b) Observando a Figura 1.7, verifica-se que y varia de 0 a
√
x e 0 ≤ x ≤ 4. Portanto
outra integral repetida pode ser representada por:
Ia =
∫ 4
0
∫ √x
0
dydx.
Figura 1.7: Exemplo 1.3.2 b
c) Resolvendo a integral I dada, obtém-se:
I =
∫ 2
0
(∫ 4
y2
dx
)
dy
I =
∫ 2
0
[x]
∣∣4
y2
dy
I =
∫ 2
0
(4− y2)dy
I =
[
4y − y
3
3
] ∣∣∣∣2
0
Logo, a área da região é
16
3
u.a.
20 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE ÁREAS
Exemplo 1.3.3. Determine a área da região R localizada abaixo da parábola y =
4x− x2, acima do eixo das abscissas e acima da reta y = −3x+ 6.
Solução:
Esboça-se o gráfico da região para melhor identificação dos limites de
integração que irão compor a integral que representa a área em questão. O esboço
pode ser visto na Figura 1.8.
Figura 1.8: Exemplo 1.3.3
Assim, tem-se duas regiões, R1 onde y varia entre as curvas y = −3x+6
e y = 4x−x2 e 1 ≤ x ≤ 2, e a região R2 onde y varia entre 0 e 4x−4x2e 2 ≤ x ≤ 4.
A área da região então, é dada por:
A =
∫∫
R1
dA+
∫∫
R2
dA.
A =
∫ 2
1
∫ 4x−x2
−3x+6
dydx+
∫ 4
2
∫ 4x−x2
0
dydx
A =
∫ 2
1
[y]
∣∣∣∣4x−x2
−3x+6
dx+
∫ 4
2
[y]
∣∣∣∣4x−x2
0
dx
A =
∫ 2
1
(7x− x2 − 6) dx+
∫ 4
2
(4x− x2) dx
A =
[
7x2
2
− x
3
3
− 6x
] ∣∣∣∣2
1
+
[
2x2 − x
3
3
] ∣∣∣∣4
2
.
Logo, a área da região é
15
2
u.a.
21 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE ÁREAS
Exercício 1.3.1. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração das
integrais duplas:
a) Ia =
∫ 4
0
∫ y
0
f(x, y) dxdy b) Ib =
∫ 4
0
∫ 2
√
y
f(x, y) dxdy.
Exercício 1.3.2. Para cada integral dada:
i. Esboce a região cuja área é dada pela integral.
ii. Determine outra integral repetida usando a ordem dydx que representa a mesma
área.
iii. Calcule o valor da área da região.
a)
∫ 1
0
∫ √1−y2
−
√
1−y2
dxdy
b)
∫ 2
0
∫ x
0
dydx +
∫ 4
2
∫ 4−x
0
dydx
c)
∫ 2
0
∫ 1
x
2
dydx.
Exercício 1.3.3. Use a integral repetida para determinar a área da região limitada
pelos gráficos das equações dadas:
a) 2x− 3y = 0, x+ y = 5, y = 0
b) xy = 9, y = x, y = 0, x = 9
Exercício 1.3.4. Determine a área da região limitada pelas curvas:
a) y = x2 e y = 4x− x2
b) y = x3 e y = x2
c) y = x2 − 9 e y = 9− x2
d) y = x3, y = x+ 6 e y = −x
2
22 Notas de aula de Cálculo - FURG
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-
1.3. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE ÁREAS
e) y = ex, y = e−x e x = 2.
Exercício 1.3.5. Calcule a área da região compreendida por y = x, y = −x,
y = 6 + 2x, y = 6− 2x, y = 2− x2 e y = 4.
Exercício 1.3.6. Seja f(x, y) = mxy2, onde m é uma constante. Determine o valor
de m de modo que
∫ ∫
R
f(x, y) dxdy = 1, onde R = [0, 1]× [0, 2].
Respostas dos exercícios
1.3.1
a)
∫ 4
0
∫ 4
x
f(x, y)dydx.
b)
∫ 2
0
∫ x2
0
f(x, y)dydx.
1.3.2
a) A =
pi
2
u.a. b) A = 4 u.a. c) A = 1 u.a.
1.3.3
a) A = 5 u.a. b) A =
9
2
+ 9 ln(3) u.a.
1.3.4
a)
8
3
u.a. b)
1
12
u.a. c) 72 u.a. d) 22 u.a. e) e2− 1
e2
−2 u.a.
1.3.5
23
3
u.a. 1.3.6 m =
3
4
.
23 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
1.4 Integrais duplas e o cálculo de volumes
Se f(x, y) ≥ 0 em R, então
∫∫
R
f(x, y) dxdy pode ser interpretado como
o volume limitado superiormente pela superfície z = f(x, y), inferiormente por R e
lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Observe a Figura
1.9.
Figura 1.9: Volume limitado superiormente pela superfície z = f(x, y)
1.4.1 Volumes de regiões com domínio de integração retan-
gular
De acordo com o teorema de Fubini, o volume V da região compreendida
nos intervalos a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e f(x, y) ≥ 0 (Figura 1.10), pode ser calculado
como:
V =
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y) dydx. (1.4.1)
Analogamente, quando se escreve V como uma integral iterada na ordem
dxdy, calcula-se V como a integral:
V =
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y) dxdy. (1.4.2)
24 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
Figura 1.10: Representação gráfica da região limitada superiormente por f(x, y)
Exemplo 1.4.1. Determine o volume da região sólida entre a superfície
z = 16− x2 − 3y2 e o retângulo R = [0, 3]× [0, 1].
Solução:
A região R do plano xy descrita como:
R :
 0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
representa a base do sólido limitado superiormente pelo parabolóide.
Assim, o volume é
V =
∫ 3
0
∫ 1
0
(16− x2 − 3y2) dydx
V =
∫ 3
0
[
16y − x2y − y3] ∣∣1
0
dx
V =
∫ 3
0
(15− x2) dx
V =
[
15x− x
3
3
] ∣∣∣∣3
0
.
Logo, o volume da região é 36 u.v..
25 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
Figura 1.11: Exemplo 1.4.1
Exemplo 1.4.2. Determine o volume do sólido entre a superfície z = 4 − y2 e o
retângulo R = [0, 3]× [0, 2].
Solução:
O volume da região sólida representada na Figura 1.12, em que a região
R do plano xy é definida como:
R :
 0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2 ,
Figura 1.12: Exemplo 1.4.2
26 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
é calculado por:
V =
∫ 2
0
∫ 3
0
(4− y2) dxdy
V =
∫ 2
0
[
4x− y2x] ∣∣3
0
dy
V =
∫ 2
0
(12− 3y2) dy
V = [12y − y3]∣∣2
0
.
Portanto, o volume do sólido é 16 u.v..
1.4.2 Volumes de regiões com domínio de integração não re-
tangular
Nessa seção estudam-se as integrais duplas em regiões cujo domínio de
integração não corresponde a retângulos, por exemplo, as integrais da forma∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dydx e
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f(x, y) dxdy.
Nesses casos, os limites de integração interiores podem ser funções da
variável de integração exterior. Entretanto, os limites de integração exteriores não
podem depender de nenhuma das variáveis. Após calcular a integral interior, obtém-
se uma expressão que é constante ou que depende somente da variável de integração
exterior.
Exemplo 1.4.3. Considere o sólido limitado pelo plano z = f(x, y) = 2− x− 2y e
pelos três eixos coordenados. Determine o volume desse sólido.
Solução:
Primeiramente determinam-se os limites de integração conforme Figura
1.13. A região R do plano xy a ser considerada é definida como:
O volume do sólido é:
27 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
R :
 0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 2− x
2
.
Figura 1.13: Exemplo 1.4.3
V =
∫ 2
0
∫ 2−x
2
0
(2− x− 2y) dydx
V =
∫ 2
0
[
2y − xy − y2] ∣∣ 2−x2
0
dx
V =
∫ 2
0
[
2− x− x
(
2− x
2
)
−
(
2− x
2
)2]
dx
V =
∫ 2
0
[
1− x+ x
2
4
]
dx
V =
[
x− x
2
2
+
x3
12
] ∣∣∣∣2
0
.
Portanto, V =
2
3
u.v.
Exemplo 1.4.4. Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide
z = 4− x2 − 2y2 e o plano xy.
Solução:
A região R do plano xy pode ser vista na Figura 1.14 e é descrita como:
R :

−2 ≤ x ≤ 2
−
√
4− x2√
2
≤ y ≤
√
4− x2√
2
.
28 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
Figura 1.14: Região de integração do Exemplo 1.4.4
Para o volume do sólido, tem-se:
V =
∫ 2
−2
∫ √4−x2√
2
−
√
4−x2√
2
(4− x2 − 2y2) dydx
V =
∫ 2
−2
[
4y − x2y − 2y
3
3
] ∣∣∣∣
√
4−x2√
2
−
√
4−x2√
2
dx
V =
∫ 2
−2
[
2(4− x2) 32√
2
− 4
3
(4− x2) 32
2
√
2
]
dx
V =
∫ 2
−2
4(4− x2) 32
3
√
2
dx.
Utilizando substituição trigonométrica, onde x = 2 sen(θ) e dx = 2 cos(θ) dθ
com −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
, tem-se:
V =
∫ pi
2
−pi
2
64
3
√
2
cos3(θ) 2 cos(θ) dθ
V =
128
3
√
2
∫ pi
2
−pi
2
cos4(θ) dθ
V =
128
3
√
2
∫ pi
2
0
(
1 + cos(θ)
2
)2
dθ
V =
128
3
√
2
∫ pi
2
0
1 + 2 cos(θ) + cos2(2 θ) dθ
V =
32
3
√
2
[
θ + 2
sen(2 θ)
2
] ∣∣∣∣pi2
0
+
32
3
√
2
∫ pi
2
0
1 + cos(4θ)
2
dθ
V =
32
3
√
2
(pi
2
+ 0
)
+
16
3
√
2
[
θ +
sen(4 θ)
4
] ∣∣∣∣pi2
0
.
29 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
Assim, V = 8pi
√
2 u.v.
Exemplo 1.4.5. Calcule a integral I =
∫ ∫
R
(x + y) dA, onde R corresponde à
região limitada por y = x2 e y = 2x.
Solução:
A região R do plano xy representada na Figura 1.15, é descrita como:
R :
 0 ≤ x ≤ 2x2 ≤ y ≤ 2x .
Figura 1.15: Exemplo 1.4.5
Assim, a integral I é escrita como:
I =
∫ 2
0
∫ 2x
x2
(x+ y) dydx
I =
∫ 2
0
[
xy +
y2
2
] ∣∣∣∣2x
x2
dx
I =
∫ 2
0
(
2x2 +
4x2
2
− x3 − x
4
2
)
dx
I =
[
4x3
3
− x
4
4
− x
5
10
] ∣∣∣∣2
0
.
Assim, I =
52
15
.
Exemplo 1.4.6. Determine o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico
de z = 4− x− y, inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e
y =
1
4
x +
1
2
e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R (veja
Figura 1.16).
30 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
Figura 1.16: Exemplo 1.4.6
Solução:
A região R do plano xy a ser considerada é definida por:
R :
 0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 1
4
x+
1
2
.
O volume do sólido é:
V =
∫ 2
0
∫ 1
4
x+ 1
2
0
(4− x− y) dydx
V =
∫ 2
0
[
(4− x)y − y
2
2
] ∣∣∣∣ 14x+ 12
0
dx
V =
∫ 2
0
[
(4− x)
(
1
4
x+
1
2
)
− 1
2
(
1
4
x+
1
2
)2]
dx
V =
∫ 2
0
(
−9x
2
32
+
3x
8
+
15
8
)
dx
V =
[
−3x
3
32
+
3x2
16
+
15x
8
] ∣∣∣∣2
0
.
Portanto, V =
15
4
u.v.
31 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
Exemplo 1.4.7. Calcule a integral dupla I =
∫ ∫
R
sen(x)dA, sendo R a região
limitada pelas retas y = 2x, y =
1
2
x e x = pi.
Solução:
A região R do plano xy representada na Figura 1.17 é descrita como:
R :
 0 ≤ x ≤ pi1
2
x ≤ y ≤ 2x
.
Figura 1.17: Exemplo 1.4.7
Dessa forma, a integral I é reescrita como:
I =
∫ pi
0
∫ 2x
1
2
x
sen(x)dydx
I =
∫ pi
0
[y sen(x)]
∣∣∣∣2x
1
2
x
dx
I =
∫ pi
0
(
2x sen(x)− x
2
sen(x)
)
dx
I =
3
2
∫ pi
0
[x sen(x)] dx.
A integral I deve ser resolvida através da integração por partes. A escolha
mais conveniente é tomar u = x e dv = sen(x) dx. Logo, du = dx e v =
∫
sen(x) dx =
− cos(x). Assim, tem-se:
I = uv −
∫
v du
I =
3
2
[−x cos(x)]∣∣pi
0
− 3
2
∫ pi
0
[− cos(x)]dx
I =
3
2
[−x cos(x)]∣∣pi
0
+
3
2
[sen(x)]
∣∣pi
0
.
Portanto, I =
3
2
pi.
32 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
Exercício 1.4.1. Calcule o volume da superfície limitada pelas curvas abaixo, por
integração dupla:
a) z = 4− x2, x = 0, y = 6, z = 0 e y = 0
b) 2y2 = x,
x
4
+
y
2
+
z
4
= 1, z = 0 e y = 0.
Figura 1.18: Gráfico do Exercício 1.4.1 a)
Figura 1.19: Gráfico do Exercício 1.4.1 b)
Exercício 1.4.2. Calcule o volume da superfície limitada pelas curvas abaixo,
usando integração dupla:
a) z = 4− x
2
9
− y
2
16
, x = 3, y = 2, x = 0, y = 0, z = 0
33 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
b)x2 + y2 = 4, x2 + z2 = 4 no primeiro octante
c) z = 9− x2, y = 3, x = 0, y = 0, z = 0.
Figura 1.20: Gráfico do Exercício 1.4.2 a)
Figura 1.21: Gráfico do Exercício 1.4.2 b)
Exercício 1.4.3. Mostre que:
a)
∫ pi
0
y
(∫ y2
0
1
y
sen
(
x
y
)
dx
)
dy =
pi2 + 4
2
b)
∫ 1
0
y
(∫ y2
0
1
y
e
x
y dx
)
dy =
1
2
34 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES
Figura 1.22: Gráfico do Exercício 1.4.2 c)
c)
∫ 1
0
∫ y
y2
√
x
y
dxdy =
1
7
d)
∫ pi
3
0
∫ sen(x)
0
dydx√
1− y2 =
pi2
18
e)
∫ pi
4
0
∫ sen(x)
0
4e−y cos(x) dydx = 4e
−√2
2 + 2
√
2− 4.
Exercício 1.4.4. Calcule as integrais:
a) Ia =
∫ 2
−1
∫ 2
0
x2y3 dydx
b) Ib =
∫ 1
−1
∫ pi
0
x2 sen(y) dydx
c) Ic =
∫ 1
0
∫ 2
0
(x+ 4y3) dxdy
d) Id =
∫ 1
0
∫ 3
2
√
x+ 4y dxdy.
Respostas do exercícios
1.4.1
a) 32 u.v. b)
17
5
u.v.
1.4.2
35 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.5. APLICAÇÕES
a)
43
2
u.v. b)
16
3
u.v. c) 54 u.v.
1.4.4
a) 12
b)
4
3
c) 4
d)
49
√
7− 36√6
15
1.5 Aplicações
1.5.1 Massa de uma lâmina plana de densidade variável
Se ρ(x, y) é uma função densidade contínua para a lâmina correspondente
a uma região plana R, então a massa m da lâmina é dada por
m =
∫ ∫
R
ρ(x, y) dA.
Exemplo 1.5.1. Determine a massa de uma lâmina triangular com vértices O(0, 0),
A(0, 3) e B(2, 3), sabendo que a densidade de massa em P (x, y) é ρ (x, y) = 2x+ y.
Solução:
Primeiramente determina-se a região de integração R do plano xy, con-
forme esboço na Figura 1.23.
R :
 0 ≤ x ≤ 23x
2
≤ y ≤ 3
.
Figura 1.23: Exemplo 1.5.1
36 Notas de aula de Cálculo - FURG
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