Independencia do Caminho

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2 Indepêndencia do caminho
O valor de uma integral de linha geralmente depende da curva ou caminho entre dois pontos A e
B. Entretanto, há exceções. Em outras palavras, existem integrais de linha que são independentes
do caminho entre A e B. Porém, antes de continuarmos com a discussão principal, vamos ver os
seguintes conceitos.
Definição 2.1 Diferencial - funções de duas variáveis
O diferencial de uma função de duas variáveis φ(x, y) é
dφ =
∂φ
∂x
dx+
∂φ
∂y
dy
Uma expressão P (x, y)dx+Q(x, y)dy é dita ser uma diferencial exata se existe uma função φ
tal que dφ = P (x, y)dx+Q(x, y)dy. Por exemplo, a expressão x2y2 dx+x2y2 dy é uma diferencial
exata, pois ela é a diferencial de φ(x, y) = 1
3
x3y3.
Definição 2.2 Diferencial - funções de três variáveis
O diferencial de uma função de três variáveis φ(x, y, z) é
dφ =
∂φ
∂x
dx+
∂φ
∂y
dy +
∂φ
∂z
dz
Uma expressão P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz é dita ser uma diferencial exata se
existe uma função φ tal que dφ = P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz.
Definição 2.3 Independência do caminho. Uma integral de linha cujo valor é o mesmo para
toda curva ou caminho que conecta A e B é dita ser independente do caminho.
Exemplo 2.0.1 A integral
´
C
y dx + x dy tem o mesmo valor em cada caminho C entre (0, 0) e
(1, 1), onde y = x2 , x = y.
Solução:
ˆ
C
y dx+ x dy = 1
Teorema 2.0.1 Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Suponha que existe uma função φ(x, y) tal que dφ = P dx + Qdy; isto é, P dx + Qdy é uma
diferencial exata. então,
´
C
P dx+Qdy depende apenas dos pontos finais A e B do caminho C, e
ˆ
C
P dx+Qdy = φ(B)− φ(A). (1)
Exemplo 2.0.2 No exemplo anterior podemos notar que d(xy) = y dx+ x dy; isto é, y dx+ x dy
é uma diferencial exata. Portanto,
´
C
y dx + x dy independente do caminho entre quaisquer dois
pontos A e B. Suponhamos que A = (0, 0) e B = (1, 1), temos então,
Solução:
ˆ (1,1)
(0,0)
y dx+ x dy =
ˆ (1,1)
(0,0)
d(xy) = xy
](1,1)
(0,0)
= 1
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Teorema 2.0.2 Teste para independência do caminho
Considere P e Q tendo derivadas parciais primeiras contínuas em uma região conexa aberta.
Assim
´
C
P dx+Qdy é independente do caminho C se e somente se
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
(2)
para todo (x, y) na região.
Exemplo 2.0.3 Mostre que a integral
´
C
(x2−2y3) dx+(x+5y) dy não é independente do caminho
C.
Solução:
∂P
∂y
= −6y2
e
∂Q
∂x
= 1
Exemplo 2.0.4 Mostre que
´
C
(y2 − 6xy + 6) dx + (2xy − 3x2) dy é independente de qualquer
caminho C entre (−1, 0) e (3, 4). Calcule.
Solução:
∂P
∂y
= 2y − 6x
e
∂Q
∂x
= 2y − 6x
Como ∂P
∂y
= ∂Q
∂x
a integral é independente do caminho, e assim existe uma função φ tal que
∂φ
∂y
= y2 − 6xy + 6 e ∂φ
∂x
= 2xy − 3x2. para obtermos a função φ, podemos integrar ∂φ
∂y
ou ∂φ
∂x
.
Integrando ∂φ
∂x
em relação a x, temos φ = y2x − 3x2y + 6x + g(y), onde g(y) é "constante"de
integração. Tomando as derivadas parciais dessa última expressão em relação a y e igualando os
resultados a Q (isto é, ∂φ
∂y
), temos
∂φ
∂y
= 2yx− 3x2 + g′(y) = 2yx− 3x2
,
o que implica que g(y) = 0, e assim g(y) = c, uma constante c e tomar φ = xy2 − 3x2y + 6x.
Segue-se do teorema fundamental para integrais de linha que
ˆ (3,4)
(−1,0)
(y2 − 6xy + 6)dx + (2xy − 3x2)dy =
ˆ (3,4)
(−1,0)
d(xy2 − 3x2y + 6x)
= (xy2 − 3x2y + 6x)
](3,4)
(−1,0)
= (48− 108 + 18)− (−6) = −36
.
9
Teorema 2.0.3 Teste para independência do caminho
Considere P , Q e R tendo derivadas parciais primeiras contínuas em uma região do espaço
simplesmente conexa aberta. Assim
´
C
P dx + Qdy + Rdz é independente do caminho C se e
somente se
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,
∂P
∂z
=
∂R
∂x
,
∂Q
∂z
=
∂R
∂y
.
Exemplo 2.0.5 Mostre que
´
C
(y+ yz) dx+(x+3z3+xz) dy+(9yz2+xy− 1) dz é independente
de qualquer caminho C entre (1, 1, 1) e (2, 1, 4). Calcule.
Solução:
∂P
∂y
= 1 + z =
∂Q
∂x
,
∂P
∂z
= y =
∂R
∂x
,
∂Q
∂z
= 9z2 + x =
∂R
∂y
.
logo, concluímos que a integral é independente do caminho. Além disso (y+yz) dx+(x+3z3+
xz) dy + (9yz2 + xy − 1) dz é uma diferencial exata, e assim existe φ(x, y, z) tal que
∂φ
∂x
= P,
∂φ
∂y
= Q,
∂φ
∂z
= R.
Integrando a primeira equação em relação a x, temos
φ = xy + xyz + g(y, z).
A derivada dessa última expressão em relação a y tem que ser igual a Q
∂φ
∂y
= x+ xz +
∂g
∂y
= x+ 3z3 + xz
logo,
∂g
∂y
= 3z3
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e então
g = 3yz3 + h(z)
Consequentemete,
φ = xy + xyz + g = 3yz3 + h(z).
A derivada parcial dessa última expressão em relação a z tem que ser igual a R:
∂φ
∂z
= xy + 9yz2 + h′(z) = 9yz2 + xy − 1.
A partir disso obtemos h′(z) = 1 e h(z) = −z + C. Desconsiderando C, podemos escrever
φ = xy + xyz + 3yz3 − z.
E finalmente
ˆ (2,1,4)
(1,1,1)
(y + yz) dx+ (x+ 3z3 + xz) dy + (9yz2 + xy − 1) dz =
ˆ (2,1,4)
(1,1,1)
d(xy + xyz + 3z3 − z)
= (xy + xyz + 3z3 − z)
](2,1,4)
(1,1,1)
= 198− 4 = 194
2.1 Aplicação a campos vetoriais conservativos
Se
´
C
P dx+Qdy é independente do caminho C. Sabemos que existe uma função φ tal que
dφ =
∂φ
∂x
dx+
∂φ
∂y
dy = Pdx+Qdy = (P~i+Q~j).(dx~i+ dy~j) = ~F d~r
onde ~F = P~i + Q~j é um campo vetorial e P = ∂φ
∂x
, P = ∂φ
∂y
. Em outras palavras, o campo
vetorial ~F é um gradiente da função φ. Como ~F = ∇φ, ~F é dita ser um campo gradiente e a
função φ é então dita ser uma função potencial para ~F . Em um campo gradiente de força ~F , o
trabalho realizado pela força sobre uma partícula que se move a partir de A para posição B é o
mesmo para todos os caminhos entre os pontos. Além disso, o trabalho realizado pela força ao
longo de um caminho fechado é zero. Por essa razão, tal campo de força é dito ser conservativo.
Em um campo conservativo ~F , a lei de conservação da energia mecânica se aplica: para a partícula
que se move ao longo de um caminho em um campo conservativo.
energia cinética+energia potencial=constante
Em uma região simplesmente conexa, as hipóteses do teorema do teste de independência do
caminho, implicam que um campo de força ~F (x, y) = P (x, y)~i + Q(x, y)~j é um campo gradiente
(isto é, conservativo) se e somente se ∂P
∂y
= ∂Q
∂x
.
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Exemplo 2.1.1 Mostre que o campo vetorial ~F = (y2 + 5)~i+ (2xy − 8)~j é um campo gradiente.
Determine uma função potencial para ~F
Solução:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= 2y
Portanto ~F é um campo gradiente, assim existe uma função potencial φ satisfazendo
∂φ
∂x
= y2 + 5 e
∂φ
∂y
= 2xy − 8
Procedendo como o exemplo anterior, obtemos φ = xy2 − 8y + 5x .
Confira: ∇φ = ∂φ
∂x
~i+ ∂φ
∂y
~j = (y2 + 5)~i+ (2xy − 8)~j
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