8 - Texto-base - Revisão final_ CÁLCULO III - MCA003

Prévia do material em texto

28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 1/10
Introdução 
Neste texto, abordarei os principais tópicos que foram tratados nesta disciplina, com ênfase na parte
computacional, ou seja, como fazer os cálculos em cada um dos casos. Cobrirei também as dúvidas que
foram enviadas pelos alunos. 
Neste curso, aprendemos sobre integrais triplas, mudanças de variáveis em integrais, integrais de linha
(campos conservativos e teorema de Green), integrais de superfícies (teoremas de Gauss e Stokes) e
finalizamos com multiplicadores de Lagrange. 
Relembrando integrais e integrais duplas
O pré-requisito básico para este curso é a parte de integração de funções de uma e duas variáveis.
Lembre-se que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se é uma função contínua, então a
integral de no intervalo pode ser obtida pela fórmula
onde é uma primitiva de , ou seja, uma função tal que . Portanto, precisamos obter
uma primitiva da função para que possamos resolver a integral definida. Lembre-se ainda que,
originalmente, a definição de
é feita utilizando o limite de uma soma de Riemann, que no caso tem a interpretação
geométrica de representar a área entre o gráfico de e o eixo . O Teorema Fundamental do
Cálculo nos mostra outra forma bem mais simples de obter o valor desta integral, sem termos que
recorrer ao limite das somas de Riemann.
Exemplo: se então 
onde e, portanto, .
Analogamente, quando temos uma função (ou mesmo uma função definida numa
região mais geral, por exemplo onde é um aberto de ) a integral dupla
 
 onde pode ser calculada pelo limite de uma soma de Riemann, ou então pode ser
calculada, de forma iterada, por
Chamamos a integral do lado direito da equação acima de integral iterada, pois primeiro vamos resolver
uma integral com respeito à variável , e depois calcularemos uma integral com respeito à variável .
Esta integral também representa, no caso em que , o volume compreendido entre o gráfico de 
 e o plano . Note que a igualdade acima precisa ser demonstrada, e isto é feito no livro-
texto. Não iremos apresentar esta demonstração aqui. Também é verdade que
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 2/10
 .
Exemplo: se 
.
Integrais triplas
No caso de integrais triplas, seguimos como antes: se é uma função contínua definida no
conjunto então a integral tripla
pode ser calculada de forma iterada por meio da expressão abaixo (no material você encontra outras
formas de calcular esta integral, trocando a ordem das integrais):
.
Note que, também aqui, se podemos interpretar a integral acima como um volume: porém,
neste caso, será o volume de uma região de dimensão 4, compreendida entre o gráfico de 
 e o plano .
Exemplo: se e então
 .
 
Para resolver a integral do lado direito, primeiro calculamos uma primitiva de com respeito à
variável z, que é a “mais interna”. Fazendo isto, obtemos a função ; agora
calculamos
 .
Ficaremos, portanto, com
Agora calculamos uma primitiva da função que está no integrando do lado direito, só que com respeito a
y: fazendo isto, obtemos a função e daí calculamos
 Ficamos então com
 .
 
Perceba, pelo exemplo acima, que o cálculo a uma integral tripla, mesmo quando o integrando é uma
função razoavelmente simples, é algo bastante complexo, pois envolve muitos passos. É preciso ter
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 3/10
bastante atenção para fazer todos estes passos sem cometer erros. 
Mudanças de coordenadas: coordenadas polares
Quando a região de integração não é um “retângulo” ou um “paralelogramo”, também podemos em
alguns casos recorrer às integrais iteradas. Este é o caso quando a região é circular: usando
coordenadas polares , ao invés de coordenadas cartesianas pode simplificar bastante os
cálculos.
Neste sistema de coordenadas, ao invés de identificarmos um ponto no plano pelas suas coordenadas
cartesianas , iremos identificar o ponto pela distância deste ponto até a origem, que denotaremos
, e pelo ângulo que o vetor faz com o eixo , como na figura abaixo.
 
Como podemos relacionar as coordenadas e com os parâmetros ? Aqui precisamos fazer
uma breve revisão de trigonometria. 
Considere o triângulo formato pela origem , o ponto e o ponto . Lembre-se que, com
respeito ao ângulo temos que
e que
 
No nosso triângulo, o cateto adjacente mede e o cateto oposto mede , enquanto a hipotenusa mede 
. Obtemos então a relação e . Esta relação é justamente o que chamamos
de coordenadas polares do ponto . 
Exemplo: Vamos determinar as coordenadas polares do ponto . Note que a distância deste
ponto até a origem é enquanto o ângulo que o segmento faz com o eixo 
 original é (faça um desenho para conferir isto!). Logo, as coordenadas polares do ponto P são 
 .
É importante saber converter coordenadas cartesianas em polares e vice-versa, e o caminho para isto é
a relação e . Esta relação deve ser entendida como um “dicionário” entre os
dois sistemas de coordenadas.
Usando coordenadas polares em integrais duplas
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 4/10
Suponha que temos uma função contínua e queremos resolver a integral desta função sobre a
região que é um disco centrado na origem e de raio . Neste caso, não é tão simples escrever as
integrais iteradas.
Precisaremos fazer uma mudança de coordenadas para poder passar para integrais iteradas, e isto é
feito da seguinte forma:
Agora do lado direito temos uma integral iterada, mas as funções envolvidas mudaram. Perceba que a
integral “interna”, que é a integral em , vai de até (pois estamos integrando em todo o círculo). A
integral externa, em , vai de até , novamente por estarmos integrando em todo o interior do círculo
de raio .
Nós substituímos os valores de e pelas expressões das coordenadas polares, mas também
multiplicamos o integrando por . Isto sempre precisa ser feito, e a justificativa está no livro texto:
estamos multiplicando pelo determinante jacobiano da mudança de coordenadas. É muito comum que
este seja esquecido, alterando totalmente o resultado e o significado desta integral.
Exemplo: Calcule a integral da função no círculo de raio centrado na origem. Neste caso,
nossa integral fica
,
pois a integral da função com é nula.
Note que se a integral não fosse em todo o círculo, então os extremos de integração seriam diferentes.
Exemplo: Calcule a integral da função na região no primeiro quadrante entre os círculos
de raio e , ambos centrados na origem. Neste caso, nossa integral fica
,
onde que multiplica a integral vem da integral das funções trigonométricas.
 
Usando coordenadas cilíndricas em integrais triplas 
Um sistema de coordenadas muito parecido com as coordenadas polares é o sistema de coordenadas
cilíndricas. Nele, temos também a relação e , enquanto a variável z não é
modificada. 
Devemos utilizar as coordenadas cilíndricas quando a região de integral envolve um cilindro.
Por exemplo, caso a região de integração seja o interior do cilindro compreendido entre e e
cuja base se encontra dentro do círculo de raio centrado na origem, então teremos a integral
.
Novamente o integrando fica multiplicado por . Verifique que os extremos de integração nos fornecem
exatamente a região interior ao cilindro descrito acima.
Exemplo: Calcule a integral da função na região interior ao cilindro descrito por 
, com .
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 5/10
Neste caso, nossa integral é calculada fazendo
 
Usando coordenadas esféricasem integrais triplas 
No caso das coordenadas esféricas, novamente recomendo que você leia detalhadamente no livro texto
como ela é construída. Uma interpretação geométrica simples é o seguinte: você vai descrever um ponto
 pela: distância entre e a origem; ângulo que a projeção de no plano faz com
o eixo ; ângulo entre o vetor e o eixo z. Nosso “dicionário” para entender esta mudança de
coordenadas é o seguinte:
.
 
 Quando a região de integração envolve uma esfera, ou parte de uma, o sistema de coordenadas
esféricos auxilia bastante, principalmente por transformar a integral tripla numa integral iterada. Note
que, neste caso, a integral se altera, ficando:
 
Caso a integral seja em toda a esfera de raio R, então podemos tomar e .
Exemplo: calcule o volume da esfera de raio . Podemos calcular este volume integrando a função
constante sobre a esfera. Portanto, nossa integral fica
Note que as coordenadas esféricas transformam uma integral tripla numa integral iterada, que é o que
nos permite resolver a integral.
Integrais de linha
O segundo tópico que estudamos neste curso foram as integrais de linha. Neste tópico, aprendemos a
integrar um objeto diferente: um campo vetorial, e este objeto não era integrado numa região, mas sim
sobre uma curva.
Uma curva parametrizada é uma função , onde é um intervalo da reta real, e supomos
que é diferenciável. Na maioria dos teoremas supomos também que a curva é simples, ou seja, 
 e não tem auto-interseções, ou seja, a curva não faz laços.
Vamos abordar principalmente o caso de curvas planas. Desta forma, , ou seja, podemos
escrever , com chamadas de funções coordenadas.
Um campo vetorial em é uma função , onde é um aberto de . Vamos supor que
os campos vetoriais são diferenciáveis. Note que podemos representar
para certas funções .
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 6/10
Definimos a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva parametrizada por como
sendo
 
Note que o lado direito da integral anterior é uma integral em uma variável (exatamente a variável da
parametrização da curva ). Esta integral é obtida fazendo o produto interno do vetor com o
vetor . Relembre que dados dois vetores , definimos o produto interno de por 
 como sendo
Esta maneira de como calculamos integrais de linha torna o bastante simples, mas cuidado: o resultado
final da expressão no integrando do lado direito pode ser bastante complicado, dependendo da
parametrização da curva e do campo vetorial .
Exemplo: calcule a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva 
 definida para .
Temos que
.
 
Teorema fundamental das integrais de linha 
O cálculo das integrais de linha fica bastante facilitado num caso particular: quando o campo vetorial é
um campo gradiente. 
Um campo gradiente é um campo vetorial que pode ser escrito como gradiente de uma função, ou seja,
se é um campo gradiente então existe uma função , chamada de
potencial, tal que Isto implica que e 
.
O Teorema Fundamental das Integrais de Linha afirma que, se é um campo gradiente e 
 é uma curva diferenciável simples, então podemos resolver a integral de linha muito
facilmente:
,
ou seja, a integral de linha é obtida simplesmente calculando o potencial no ponto final da curva e
subtraindo disto o potencial calculado no ponto inicial da curva. Note que, se a curva for uma curva
fechada, ou seja, se , então a integral de linha será nula.
Diante disto, precisamos ter a habilidade de descobrir se um campo é ou não um campo gradiente, e
também de calcular o seu potencial. 
Para verificar se o campo vetorial é conservativo, no caso das funções coordenadas serem
diferenciáveis e estas derivadas serem contínuas, existe um critério muito útil. Perceba que se 
então e . Como estas derivadas parciais de são iguais no
caso em que é duas vezes diferenciável e a segunda derivada é contínua, temos que 
 e portanto deveremos ter .
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 7/10
Este é, então, um teste para verificar se o campo vetorial é conservativo: para que isto aconteça, é
necessário que .
Exemplo: Estude se o campo vetorial é conservativo. Para verificar
isto, se e então devemos verificar se . 
Temos que:
Como , o campo é conservativo. 
Agora veremos num exemplo como determinar o potencial de um campo conservativo.
Exemplo: Encontre o potencial do campo vetorial e calcule a
integral de linha de na curva , com . 
Para encontrar o potencial, procuramos uma função tal que
Resolvendo a equação obtemos , onde é uma função que
depende somente de . Qual o motivo desta função ali? Ela faz o papel da constante de integração. Ela
depende de , pois se derivarmos com respeito a , ela vai desaparecer.
Note que temos outra equação para resolver: . Integrando em ,
obtemos onde faz o papel da nossa constante de integração.
Como as duas expressões que obtivemos para tem que ser iguais, podemos escolher 
 obtendo assim a expressão completa de :
.
Agora vamos resolver a integral de linha de na curva indicada. Pelo Teorema
Fundamental das Integrais de Linha, esta integral pode ser calculada fazendo
.
Como e e temos que , , resulta em 
.
Teorema de Green 
Uma outra maneira muito eficiente de resolver integrais de linha é por meio do Teorema de Green. Este
teorema afirma que, se o campo vetorial tem funções coordenadas
diferenciáveis e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas num aberto e é uma
curva simples fechada contida em que limita uma região então
.
Note que o Teorema de Green troca a integral de linha do campo vetorial sobre a curva pela integral
dupla de na região interior à curva. Veremos no próximo exemplo como utilizar este teorema.
Exemplo: Seja um campo vetorial. Calcule a integral de linha deste campo vetorial na
curva que é o círculo unitário centrado na origem.
 .
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 8/10
O Teorema de Green então nos diz que
,
onde é o disco unitário. Ora, a integral do lado direito é simplesmente o dobro da área deste disco,
portanto
.
 
Integrais de superfície e Teoremas de Stokes e Gauss
O último tópico que estudamos neste curso foram as integrais de superfície. Assim como no caso das
integrais de linha, em que parametrizamos uma curva para fazer a integral, desta vez precisamos
parametrizar uma superfície.
Uma superfície parametrizada é uma função definida num conjunto 
 de e cuja imagem está em . Iremos supor que é uma função diferenciável.
Dada uma função definida num aberto contendo a imagem de , definimos a integral de 
 sobre a superfície (imagem de ) como sendo a integral dupla
.
Nesta integral, temos o módulo do produto vetorial de por . Vamos relembrar o que é isto. 
Dada a parametrização , calculamos as derivadas parciais
E daí fazermos o produto vetorial
.
 
Agora calculamos a norma:
.
 
Exemplo: Calcule a integral da função sobre a superfície definida por ,
com e .
Vamos calcular os objetos envolvidos:
 
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 9/10
Portanto
 .
Além de podermos integrar funções sobre superfícies, também podemos integrar campos vetoriais sobre
superfícies. Este tipo de integral é chamado de fluxo através da superfície. 
Seja uma superfície parametrizada com domínio imagem e um campo vetorial.
Definimos o fluxo de através de como sendo a integral
Portanto, a integral de superfície do campo vetorial sobre a superfície parametrizada é
definida como sendo a integral de superfície da função escalar , onde é um vetor unitário normal à
superfície, que pode serescolhido como fazendo com que a integral resultante
seja a integral dupla do produto interno de com no domínio da parametrização. Note que,
nesta expressão, . Vamos a um exemplo.
Exemplo: Calcule o fluxo de no cilindro com .
Vamos novamente calcular tudo que precisamos, usando a parametrização do cilindro como sendo
onde e 
Note que temos logo o fluxo procurado é nulo,
 Seja um campo vetorial. Definimos o divergente de 
 por
e o rotacional de por
,
onde em ambas as expressões, o subscrito significa a derivada parcial com respeito àquela variável. 
Uma relação importante entre estes objetos é que se tem derivadas parciais de segunda ordem
contínuas, então 
O Teorema de Stokes nos diz que se é uma superfície orientada positivamente que é limitada por uma
curva suave e é um campo vetorial cujas componentes tem derivadas parciais contínuas
numa região aberta que contém , então
28/11/2020 Texto-base - Revisão final: CÁLCULO III - MCA003
https://cursos.univesp.br/courses/3208/pages/texto-base-revisao-final?module_item_id=277323 10/10
Ou seja, trocamos uma integral de superfície (não de , mas de ) pela integral de linha de na
curva que limita da superfície.
Já o Teorema de Gauss (ou Teorema de Divergência) nos diz que se é uma região tridimensional
limitada pela superfície e é um campo vetorial cujas componentes tem derivadas parciais contínuas
num aberto que contém , então
 ,
ou seja, trocamos uma integração sobre a superfície por uma integral tripla no interior da superfície.
Vamos fazer um exemplo do uso de cada um destes teoremas.
Exemplo: Calcule o fluxo de pela superfície parametrizada por 
 com e .
Neste caso, podemos trocar o cálculo do fluxo pela integral tripla do divergente de , pelo Teorema de
Gauss. Como (confira!), segue que o fluxo é nulo. Perceba que, somente calculando o
divergente, conseguimos concluir que a integral é nula, sem nem ao menos ter que calculá-la. O
Teorema de Gauss é mesmo muito poderoso.
Exemplo: Calcule a integral de linha do campo vetorial na curva obtida como
interseção do plano com a esfera .
O Teorema de Stokes nos diz que esta integral de linha é igual à integral de superfície de em
uma superfície que tenha como bordo. Neste caso, a superfície pode ser o pedaço do plano que
fica dentro da esfera. Calculando obtemos que , ou seja, a integral é nula. Novamente,
o cálculo da integral ficou muito simplificado simplesmente calculando .
Conclusão
Neste curso, aprendemos muitas coisas, muitos conceitos novos, a maioria deles com muitas aplicações
em física e outras áreas do conhecimento. Como esperado, não é um conteúdo fácil, principalmente por
exigir bastante cuidado ao fazer todas as contas. 
Este curso unifica os conhecimentos que você obteve em várias outras disciplinas, então talvez você
precise revisar muita coisa para conseguir um bom aproveitamento e um bom aprendizado de todo este
conteúdo.
Meu conselho é simples: tente revisar a teoria e os exemplos resolvidos nos materiais, tentando
entender e justificar cada sinal de “=”. A justificativa pode ser o uso de algum teorema (Green, Gauss,
Stokes, etc), pode ser a simples aplicação da definição do objeto da esquerda (escrever uma integral
dupla como uma integral iterada, ou uma integral de linha como uma integral simples).
Além disto, é importante tentar entender geometricamente o que está acontecendo. Por exemplo, no
caso das integrais de linha e também nas integrais de superfície, é sempre útil entender como é aquela
superfície ou curva parametrizada. Talvez a geometria destes objetos já revele muitas coisas sobre
como o exercício precisa se desenrolar (o fluxo pode ser nulo, ou positivo, ou negativo, o que já ajuda
um pouco a conferir se todas as contas foram feitas corretamente).