Lista 02 Introdução a Algebra Linear

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UNIVERSIDADE DA INTEGRAC¸A˜O INTERNACIONAL DA LUSOFONIA
AFRO-BRASILEIRA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMA´TICA
Segunda lista de exercı´cios de Introduc¸a˜o a` Algebra Linear.
Professor: Rafael Dio´genes.
Aluno:
1. Dadas as matrizes A =
[
1 2
1 0
]
e B =
[
3 −1
0 1
]
, calcule:
(a) detA+ detB (b) det(A+B).
2. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verda-
deiras ou falsas, justifique.
(a) det(AB) = det(BA)
(b) det(A2) = (detA)2
(c) detDij < detA
(d) Se detA = 1, enta˜o A−1 = A
3. Mostre que se A e´ uma matriz quadrada triangular (superior ou inferior), enta˜o o determi-
nante de A e´ igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal.
4. Dada a Matriz A =

1 −1 0 0
0 2 −2 1
3 3 4 1
4 3 7 6
 ; calcule A13, A24, A32 e A43.
5. Calcule o determinante.
(a)
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣ senx −cosxcosx senx
∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣ 2senx 3cosx1− 2cosx 3senx+ 2
∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣
1 1 0
0 1 0
0 1 1
∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣
−3 1 7
2 1 −3
5 4 2
∣∣∣∣∣∣
(f)
∣∣∣∣∣∣
sen 2x sen x 0
cos 2x cos y sen 2y
r2 0 r2
∣∣∣∣∣∣
(g)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
(h)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 −1 3
2 3 4 2
0 2 5 1
4 1 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
(i)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
(j)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
(k)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(l)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 −4 2
0 1 0 0 0
0 4 0 2 1
0 −5 5 1 4
0 1 0 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6. Sem desenvolver, diga por que o valor do determinante abaixo e´ zero.
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
4 3 5 9
12 11 15 27
20 12 25 51
28 23 35 64
∣∣∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣
x xy x2y
y yz xyz
z xz x2y
∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣
x2 xy2 x
xy y2 y
x2 y2 x
∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣
cos 2a cos 2a sen 2a
cos 2b cos 2b sen 2b
cos 2c cos 2c sen 2c
∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣
cos 0 cos a cos 2a
cos a cos 2a cos 3a
cos 2a cos 3a cos 4a
∣∣∣∣∣∣
(f)
∣∣∣∣∣∣∣∣
a ab a a2b
b bc b c
c cd c b
d ad d d
∣∣∣∣∣∣∣∣
7. Usando determinantes, verifique se A e´ invertı´vel e calcule A−1.
(a) A =
 1 0 k1 1 k2
2 2 k2

(b) A =
 2 −2 31 −1 2
3 0 3

(c) A =
 1 0 12 −1 2
1 −2 3

(d) A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1

(e) A =

1 0 −1 3
1 0 3 −2
2 0 2 −1
1 −3 1 2

(f) A =

0 1 0 3
1 −2 −3 1
0 0 2 −2
1 −2 −4 1

8. Uma matriz A e´ dita singular se ela na˜o e´ invertı´vel, e neste caso, detA = 0. Encontre o(s)
valor(es) de k tal(is) que A e´ singular, onde:
(a) A =
[
k − 1 3
2 k − 2
]
(b) A =
[
k − 1 2
2 k + 2
]
(c) A =
 1 0 32 −1 0
4 2 k

(d) A =
 1 k 2−2 0 −k
3 1 −4

(e) A =
 0 k 1k 1 k
1 k 0

(f) A =
 k −3 −k−2 k 1
k 1 0

9. Mostre que
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ = (a− b)(b− c)(c− a)
10. Dizemos que A e B sa˜o matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P−1AP.
Mostre que detA = detB se A e B sa˜o semelhantes.
11. Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 que satisfazem as seguintes relac¸o˜es: AB =
C−1, B = 2A. Se detC = 32, qual e´ o valor de | detA|?
12. SejamA e P matrizes quadradas de ordem n, em que P e´ invertı´vel. E´ verdade que P−1AP =
A? Ilustre sua conclusa˜o com exemplos apropriados. O que podemos dizer sobre os dois
determinantes detP−1AP e detA?
2
13. Seja A uma matriz quadrada de ordem n na˜o nula satisfazendo A10 = O. Explique por que
A deve ser singular. Quais as propriedades dos determinantes voceˆ esta´ usando em seu
argumento?
14. Uma matriz quadrada invertı´velA e´ dita ortogonal quandoA−1 = At.Determine se a matriz
e´ ortogonal.
(a)
[
0 1
1 0
]
(b)
[
1 0
1 1
]
(c)
[
1 −1
−1 −1
]
(d)
[
1√
2
− 1√
2
− 1√
2
− 1√
2
] (e)
 1 0 00 0 1
0 1 0
 (f)
 1√2 0 − 1√20 1 0
1√
2
0 1√
2

15. Demonstre que a matriz identidade n× n e´ ortogonal.
16. Demonstre que se A e´ uma matriz ortogonal, enta˜o detA = ±1.
17. Usando determinante encontre a a´rea do triaˆngulo com os ve´rtices dados.
(a) (0, 0), (2, 0), (0, 3).
(b) (1, 1), (2, 4), (4, 2).
(c) (−1, 2), (2, 2), (−2, 4).
(d) (1, 1), (−1, 1), (0,−2).
18. Usando determinante verifique se pontos sa˜o colineares.
(a) (1, 2), (3, 4), (5, 6).
(b) (−1, 0), (1, 1), (3, 3).
(c) (−2, 5), (0,−1), (3,−9).
(d) (−1,−3), (−4, 7), (2,−13).
19. Usando determinante encontre a equac¸a˜o da reta passando pelos pontos.
(a) (0, 0), (3, 4).
(b) (−4, 7), (2, 4).
(c) (−2, 3), (−2,−4).
(d) (1, 4), (3, 4).
“Comece fazendo o que e necessa´rio, depois o que e´ possı´vel,
e de repente voce estara´ fazendo o impossı´vel.”
(Sao Francisco de Assis)
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