derivadas

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Cálculo I
Prof. Henrique
derivadas
1. Dado y = f(x) e um ponto c no domínio da função, calcule por definição f ′(c) nos seguintes
casos:
a) y = x2, c = 1 b) y = x3, c = −1 c) y = sin(x), c = 2pi d) y = |x|, c = −1.
2. Faça um esboço do gráfico da função e de sua derivada.
a) f(x) =
{
x2, se x ≤ 0
pix, se x > 0
b) f(x) =
{ √
x, se 0 ≤ x ≤ 1
2x− 1, se x > 0 c) f(x) = 2|x|.
3. (Regra do produto e quociente) Encontre a função derivada das seguintes funções:
a) y =
2x+ 5
3x− 2 b) y =
x2 − 4
x+ 0, 5
c) y =
x2 − 1
x2 + x− 2
d) y =
√
x− 1√
x+ 1
e) y =
1− x
1 + x2
f) y = 2
(
1√
x
+
√
x
)
g) y =
1
(x2 − 1)(x2 + x+ 1) h) y =
(x+ 1)(x+ 2)
(x− 1)(x− 22)
i) y =
√
x3 − 1
x+ 1
j) y =
1− x√
x
f) y = (x2 + 1)x3/5
4. (Trigonométricas) Encontre a função derivada das seguintes funções:
a) y = 10x+ 3 cos(x) b) y =
3
x
+ 5 sin(x) c) y =
cos(x)
1 + sin(x)
d) y =
cotg(x)
cotg(x) + 1
e) y =
4
cos(x)
f) y =
x
cos(x)
+
cos(x)
x
g) y = (sin(x) + cos(x))(sec(x)) h) y = (sec(x) + tg(x))(sec(x)− tg(x))
5. (Exponenciais e Logarítmicas) Encontre a função derivada das seguintes funções:
a) y = log(x) + 3ex b) y = ex ln(x) c) y = xex ln(x)
d) y =
ex
1 + ln(x)
e) y =
4
ln(x)
f) y =
x
ln(x)
+
ln(x)
x
1
g) y = ex(ln(x) + log(x)) h) y = 2x(log2(x)− 3x log(x)) i) y = 2x ln(x)
6. (Regra da Cadeia) Usando a regra da cadeia encontre a função derivada das seguintes funções:
a) y = x sin(2x) + (x− 8)23 b) y = cos
(
1
x
)
c) y = tg(x3 − 2)
d) y =
sin(2x)
1− sin2(x) e) y =
sin(x3)
x2
f) y =
x
sin(2x)
+
sin(2x)
x
g) y = e2x(x− 1)2 h) y = 2x(ln(2x)− x ln(2x)) i) y = 22x ln(2x)
j) y =
e2x
1 + ln(2x)
k) y =
(x+ 1)2
ln(x2)
l) y =
xe−x
1 + x
m) y =
e2x
sin(−x) n) y =
sin(3x)
cos(2x)
o) y =
e2x
1 + cos(2x)
p) y = esin(x) + sin(ex) q) y = tg(ln(x)) r) y = 2sin(x) cos(2x)
s) y = arcsen
(
1
x2
)
t) y = arctg
(
1
x
)
u) y = x
√
1− x2 + arcsen(x)
v) y = sin(
√
x) w) y = e
1
x +
√
ex x) y = x
√
cos(x)
7. Derive implicitamente cada uma das equações para encontrar y′. Lembre-se que y = f(x)
portanto não esqueça de usar a regra da cadeia.
a) x2y + y2x = 6 b) − xy + y3 + x2y = x c) y = x3y + sin(x)
d) yx =
y
1− x e) y(y + x) =
1
x2
f) y =
x
y
+
y
x
8. Verifique se o ponto (x, y) dado faz parte da curva e encontre a reta tangente a curva no
ponto dado.
a) x2y2x = 9, (−1, 3) b) xy−y2+x2 = 1, (2, 3) c) y = 2 sin(pix−y), (1, 0)
d) x+tg
(y
x
)
= 2, (1, pi/4) e) y3+cos(xy) = x2, (1, 0) f) y2+y =
2 + x
1− x, (0, 1)
9. (Taxas Relacionadas) Considere um tanque na forma de um cone com vértice voltado para
baixo, cujo a altura total é 10 metros e o raio da base mede 5 metros. Suponha que este tanque
esteja enchendo de agua a uma taxa de 9 metros cúbicos por segundo, no instante em que h = 6
calcule:
2
a) A taxa em que h esta aumentando,
dh
dt
.
b) A taxa em que r esta aumentando,
dr
dt
.
10. (Taxas Relacionadas) A que taxa a área de um círculo esta aumentando se seu raio está
aumentando a uma taxa de 1/2 metro por segundo no instante em que seu raio é igual a pi
metros. Quanto mede sua circunferência neste instante e a que taxa ela esta aumentando.
11. (Taxas Relacionadas) A que taxa o volume de uma esfera esta aumentando se seu raio
está aumentando a uma taxa de 1/2 metro por segundo no instante em que seu raio é igual a pi
metros. Quanto mede sua superfície neste instante e a que taxa ela esta aumentando.
12. (Taxas Relacionadas) A profundidade de agua em um tanque cilíndrico está aumentando a
uma taxa de 3/2 metros por segundo, qual a taxa em que volume de agua dentro do tanque está
almentado no instante em que h = 1, 7328.
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