Buscar

Unidade 3 Flexão Assimétrica

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 54 
 
3. FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
 
OBJETIVOS: 
 
- Definir plano do carregamento. 
- Definir traço do plano do carregamento (t.p.c.). 
- Definir flexão assimétrica. 
- Definir vetor momento fletor. 
- Deduzir a fórmula para cálculo da tensão normal em flexão assimétrica. 
- Posicionar a linha neutra. 
- Determinar a deflexão total. 
- Calcular a tensão normal máxima em seções simétricas e assimétricas. 
- Solucionar exercícios sobre flexão assimétrica envolvendo o cálculo da 
 tensão normal máxima e da deflexão. 
 
 
3.1 - INTRODUÇÃO 
 
Para a dedução das expressões de flexão simples, foram feitas as seguintes 
considerações: 
 
 a) A peça possui um plano de simetria que contém todo carregamento externo. 
 b) A viga permanece simétrica em relação ao plano de atuação dos momentos e 
flexiona e deflete neste plano. 
 
Para prosseguirmos vamos introduzir algumas definições úteis para o bom 
entendimento da matéria: 
Chama-se plano do carregamento ao plano que contém todo carregamento da 
viga. Pode-se ter um ou mais planos de carregamentos. Traço do plano do carregamento 
(t.p.c.) é a interseção do plano do carregamento com a seção transversal. Em flexão simples, o 
t.p.c. é um eixo de simetria (um dos eixos centrais de inércia da seção). 
 
 
) Quando o t.p.c. não coincide com um dos eixos centrais de inércia da seção transversal, tem-se definida uma flexão assimétrica. 
 
 
Neste caso, é mais fácil trabalhar-se com o vetor momento fletor do que com o 
binário de flexão. O vetor momento fletor é perpendicular ao plano do binário correspondente, 
tem sua intensidade e seu sentido segue a regra da mão direita Fig. 33. É sempre 
perpendicular ao t.p.c. e passa pelo centro de gravidade (ponto G), pois toda redução de 
esforços é feita em relação a este ponto, Fig. 34. 
 
 
) É bom lembrar que em flexão simples a direção do vetor momento fletor coincide sempre com a linha neutra, conforme se observa na Figura 34. 
 
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 55 
 
 
 Figura 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 34 
 
Como ilustração, observemos a Fig. 35, onde temos seções com dupla simetria e com 
simetria simples. Em todos os casos o binário fletor que flexiona a viga, atua em um plano 
vertical de simetria que corta a seção segundo um eixo central de inércia. Nestes casos, a 
direção do vetor coincide com a da linha neutra e a fórmula de flexão simples é aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 35 
 
3.2 - CÁLCULO DAS TENSÕES NORMAIS 
 
Vamos estudar agora o caso de uma seção simétrica ou não, onde o t.p.c. não 
coincide com os eixos centrais de inércia da seção (Fig. 36). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 36 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 56 
 
Como o plano do carregamento não é de simetria, não podemos induzir que a viga 
tenha sua flexão nele, ou que a direção do vetor momento coincida com a linha neutra, como 
acontece em flexão simples. 
Vejamos as condições sob as quais a linha neutra irá coincidir com o eixo do vetor 
momento, ou seja: que a linha neutra seja perpendicular ao t.p.c.. Vamos aplicar as equações 
de equilíbrio da estática. Lembremos que, em relação à linha neutra, a tensão normal varia 
proporcionalmente. Desse modo: 
Cy=σ 
∑ ∫= 0=ydAC ,0Fx (3.1) 
∑ ∫= M=dAyC ,MM 2z (3.2) 
∑ ∫= 0=yzdAC ,0M y (3.3) 
 
A equação (3.1) nos leva a conclusão que o eixo neutro passa pelo centro de 
gravidade da seção, ponto G. 
A equação (3.2) nos leva a expressão para cálculo da tensão normal em flexão 
simples. E finalmente, a equação (3.3) nos fornece que o produto de inércia em relação aos 
eixos yz, é nulo, ou seja, os eixos yz são centrais de inércia. Deste modo concluímos que: 
 
) "A linha neutra da seção transversal só irá coincidir com a direção do vetor momento se yz forem eixos centrais de inércia da seção. Neste caso, o binário 
coincidirá com um eixo central de inércia e a linha neutra será o outro. A fórmula 
para cálculo da tensão normal será a mesma usada em flexão simples. O t.p.c. será 
perpendicular a linha neutra." 
 
Se o vetor momento não coincide com um dos eixos principais de inércia, Fig. 37 
o projetamos sobre estes eixos. Para cada componente do vetor M, por exemplo, Mz, o binário 
correspondente coincide com um eixo central de inércia e o vetor Mz, com o outro eixo e a 
expressão de flexão simples poderá ser aplicada. Do mesmo modo, My coincidirá com um 
eixo central de inércia e seu binário com o outro. Aplicando o princípio da superposição, a 
expressão de flexão simples será duplamente usada. 
 
Vamos estabelecer uma convenção de sinais para o momento fletor: 
 
) O binário fletor, Mz, será positivo se tracionar o sentido positivo de y. Igualmente, My (binário) será positivo quando tracionar o sentido positivo de z. 0 par yz deverá 
ser orientado previamente . 
 
Figura 37 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 57 
 
Na Fig. 37 tanto o Mz quanto o My são negativos. Aplicando o princípio da 
superposição, obtemos a expressão para cálculo da tensão normal: 
 
z
I
M
y.
I
M
y
y
z
z −−=σ (3.4) 
Linha neutra: 
z
I
M
y
I
M
0
y
y
z
z −=→=σ 
Mas: 
Mz = Mcosθ e My=Msenθ 
θβθθ tg
I
I
z
y=tg ,z
I
senMy
I
cosM
y
z
yz
−=−= (3.5) 
 
Da expressão (3.5) concluímos que o t.p.c. e a linha neutra são perpendiculares, 
somente quando: 
a) Iz e I y são iguais e então, β = θ e o círculo de Mohr para momentos de inércia é 
um ponto. Exemplos: seções circulares e anulares, seções quadradas maciças e 
vazadas etc. 
b) θ igual a zero. Neste caso, M é igual a Mz e tem-se uma flexão simples. 
c) θ é igual a 90º. Caímos no caso "b", onde M é igual a My. 
 
) Quando a seção não possui simetria, a determinação da tensão máxima se faz localizando o ponto mais afastado da linha neutra. 
 
Para isto confecciona-se a seção em escala, estabelece-se a linha neutra e busca-se 
o ponto mais afastado desta. Tomando-se as coordenadas deste ponto em relação aos eixos 
centrais de inércia e substituindo-as na fórmula de flexão, determinamos a intensidade da 
tensão normal máxima. As coordenadas do ponto mais afastado da linha neutra podem ser 
obtidas também analiticamente. A Fig. 38 mostra o procedimento gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 38 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 58 
 
3.3 - CÁLCULO DA DEFLEXÃO 
 
Para calcular a deflexão em flexão assimétrica, projetamos a carga P sobre os 
eixos centrais de inércia e por superposição calculamos a deflexão total, Fig. 39. 
 
Deste modo: 
y
3
z
z
3
y EI3
l.sen.P ,e ,
EI3
l.cos.P θδθδ == 
onde: 
2
z
2
y δδδ += , olhar Figura 40. 
θδ
δβ tg
I
I
'tg
y
z
y
z == (3.6) 
A linha neutra foi definida pela expressão (3.5): 
θβ tg
I
I
z
ytg
y
z== 
Como o ângulo θ é o mesmo (Fig. 37), concluímos que: ββ =' 
Ou seja: a deflexão total é perpendicular à direção da linha neutra (Fig. 40). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 40 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 59 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
TIMOSHENKO, Gere. Mecânica dos Só1idos. Vol. 2. 1ª ed., Livros Técnicos e 
Científicos Editora. 
 
BEER, Ferdinand P. Resistência dos Materiais. 1ª ed., McGraw Hill. 
 
FEODOSIEV, V. I. Resistencia de Materiales. Editorial Mir. Moscou. 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 60 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
¾ Exercício 3.1 
 
Uma viga em balanço tem seção triangulare está sujeita a uma carga concentrada 
P na extremidade livre. Determinar: 
 
1 - Linha neutra. 
2 - Tensões normais nos pontos A e C da seção do engastamento. 
3 - Deflexão total na extremidade livre. 
Dados: P = 4 kN, h = 120 mm, b = 75 mm, L = 1,25 m, M = 5000 N.m 
 E = 200.109 N/m2 
 Seção triangular 
 Ix = bh3/36 Iy = hb3/36 Pxy = b2h2/72 
 
Solução: 
mm 6,1=m 0061,00053,0)(3,01.10=
 m 0053,0 : temos para teAnalogamen
m 10.01,3
10.10 . 4 . 200 . 3
25,1.3698
I.E3
l.P
N 15244,22sen.40004,22sen.PP
N 36984,22cos.40004,22cos.PP
: temos oa~deflex a Para)3
 MN/m88,1 Logo
cm -3,1=u e cm -5,6=v
: temos C ponto o Para 
 MN/m11,110 Logo
cm -0,7=u e cm 8,3=v
: temos A ponto o 2)Para
1,75u=v N.L
10).u2027v7,1155(u.
10.10.94,0
4,22sen.5000v.
10.10.4
4,22cos.5000)1
22,4= ,mm10.94,0 =I ,mm10.4I
: temos problema do final no mostrado Mohrde circulo Do
mm10.1,1P ,mm10.4,1I ,mm10.6,3I
223
uu
3
1215
33
v
v
u
v
2
C
2
A
6
126126
46
min
46
max
46
xy
46
y
46
x
=+∴
=
===
===
===
−=
=
→
−=−=
=
===
−
−
−
−−
δ
δδ
δ
σ
σ
σ
α
D
D
D
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 61 
 
 
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 62 
 
 
 
 
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 63 
 
¾ Exercício 3.2 
 
Uma viga de madeira formada pela associação de duas vigas de seção retangular 
2 x 10 cm, está bi-apoiada, tem 2 m entre os apoios, é solicitada, ao longo de todo o 
comprimento, por uma carga “q” uniformemente distribuída, situada em um plano vertical 
que passa pelo centro de gravidade da seção. Pede-se: 
 
1 - Eixos centrais e momentos centrais de inércia. 
2 - Expressão da tensão normal. 
3 - Linha neutra. 
4 - Determinar o valor máximo de “q” se: 
Limite de ruptura à tração da madeira = 140 kgf/cm2 
 
Solução: 
1 973 33 53 33 160
1000 4 26 33
4
4 4
) , ,
, ,
 I cm , I cm , P cm
 I cm , I cm , = 9,6
y
4
xy
4
u v
x = = = −
= = α D 
 
Temos que o momento máximo é dado por: 
M q l q q kgf.
q v q u
v u q
L N temos:
v u q
q
q
max = = =
= +
= +
+ =
= =
=
. .
. cos ,
,
. . sen ,
,
.
( , , )
) .
( , , )
,
2 2
8
200
8
5000
5000 9 6
1000 4
5000 9 6
26 3
4 928 317
3
4 928 317 0
94 140
1 49
cm
2)
 
 
 v = -6,4326u
4)Analisando o ponto A temos :
u(A) = 1,6 cm
v(A) = 8,8 cm
 kgf / cm ou 149 kgf / m
A
A
A
σ
σ
σ 
 
Em seguida está mostrada a Figura com os eixos, o ponto analisado tudo em 
escala . Mostrado ainda o círculo de Mohr utilizado para o cálculo de Iu e Iv. 
 
 
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 64 
 
 
 
 
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 65 
 
¾ Exercício 3.3 
Uma viga bi-apoiada de 4 m de vão está sujeita a uma carga uniformemente 
distribuída “q”, situada em um plano vertical passando pelo centro de gravidade da seção 
composta indicada na Figura abaixo. Pede-se: 
 
1 - Eixos centrais e momentos centrais de inércia. 
2 - Expressão da tensão normal. 
3 - Linha neutra. 
4 - Determinar o valor máximo de “q” com coeficiente de segurança 2,5, 
sabendo-se que, para o material da viga, Syt = 300 MN/m2. 
Dados: 
 Cantoneira: 
 Dimensões: 89.64.7,9 mm, A = 1148 mm2 
 Ix1 = 391.103 mm4, Iy1 = 912.103 mm4, Px1y1 = 349.103 mm4. 
 Chapa: 200.10 mm 
Solução: 
Em seguida temos o desenho em escala mostrando os eixos, a linha neutra e o 
ponto analisado. Bem como o círculo de Mohr utilizado para o cálculo de Iu e Iv. 
 
( )
( )
( )
u localiza x de partir à horário 416
811
46sen2
:à igual x de partir à horária rotação uma de através v eu 
sencontramocírculo, noy e x ndoestabelece Mohrde círculo o Fazendo
m1091Im10525II
10811R10713OC
m10462114888352910349P
m1083
12
102002114852910912I
m10623
12
200102114888310391I 1
46
v
46
u
66
463
xy
46
3
23
y
46
3
23
x
→==
===
==
=+=
=++=
=++=
−−
−−
−
−
−
,
,
,
.,.,
.,.,
.,..,.,.
.,...,.
.,...,.)
max
θθ
 
Mmáx = ql2 /8 = 2q (N.m) 
A partir da orientação dos eixos u e v da Figura podemos calcular a tensão 
normal como se segue: 
mN85714q
52
1030010q21:tensão da expressão na Voltando
mm47122vmm9461umm100ymm94x
u42vLN10u
91
210q2v
525
210q2
6
3
A
AAAA
6
/,
,
..
,,,,
,.
,
,sen
,
,cos
=→==
−=−=→−=−=
−=→→

 −−=
σ
σ
 
 
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 66 
 
 
 
 
 
 
 
24.5
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 67 
 
¾ Exercício 3.4 
 
Para o eixo maciço de aço, ABCDE, indicado abaixo, com limite de escoamento 
admissível igual a 900 kgf/cm2, pede-se: 
 
1 - Diagrama de momento fletor. 
2 - Diagrama de momento torçor. 
3 - Raio do eixo, usando Von Mises. 
 
 
Solução: 
Temos que:
W
M T S
Analisando
M T
M T onde M M
M T
Dimensionaremos o ei
W R
R
yt
B
σ π
σ π
eq
3
1
2
eq
 W = .R
 os pontos B, C e D temos :
 Para o ponto B temos 
 Para o ponto C temos = M
 Para o ponto D temos 
xo pelo ponto B :
 cm
= + = →
+ =
+ = +
+ =
∴
= = =
=
1 0 75
4
0 75 49180 8
0 75 47319 6
0 75 45526 8
1 49180 8 900 4 49180 8
4 11
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
3
,
, ,
, , ,
, ,
. ,
.
( , )
,
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 68 
 
 
 
 
 
2 e 3 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35207Vb
01002624250300350Vb
0M
3868Va
01003002502624350Va
0M
4
A
B
,
.,..
,
..,.
−=
=−+
=
−=
=+−
=
−
∑
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
Página 69 
 
¾ Exercício 3.5 
 
A engrenagem em C aciona em D uma polia com velocidade constante. Para as 
trações indicadas nas correias, calcular: 
 
1 - A força P no dente da engrenagem. 
2 - Diagrama de momento fletor. 
3 - Diagrama de momento torçor. 
4 - Diâmetro do eixo AB, usando Von Mises, sabendo que: MPa100S yt = . 
 
 
 
Solução: 
 
N 70,945=P 
94570
940
6766
20 cos
H=P H20 P.cos 
N 66,67=H H1208TT 
N.m 12010120HT 
N.m 81080100200T1
CD
3C
3D
,
,
,
,
,..
.).(
==∴=
∴=⇒=
==
=−=−
−
−
D
D
 
 
N262420PV ,ºsen == 
 
Dos diagramas: 
 
mm546m006540R
10x10087508220
R
4
mxN338M
mxN8220M
622
3eq
C
D
,,
.,,
,
,
==
=+=
=
=
πσ

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

30 pág.
cap 13

Escola Santa Afra

User badge image

iam_rtcxv .

Perguntas Recentes