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Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 54 3. FLEXÃO ASSIMÉTRICA OBJETIVOS: - Definir plano do carregamento. - Definir traço do plano do carregamento (t.p.c.). - Definir flexão assimétrica. - Definir vetor momento fletor. - Deduzir a fórmula para cálculo da tensão normal em flexão assimétrica. - Posicionar a linha neutra. - Determinar a deflexão total. - Calcular a tensão normal máxima em seções simétricas e assimétricas. - Solucionar exercícios sobre flexão assimétrica envolvendo o cálculo da tensão normal máxima e da deflexão. 3.1 - INTRODUÇÃO Para a dedução das expressões de flexão simples, foram feitas as seguintes considerações: a) A peça possui um plano de simetria que contém todo carregamento externo. b) A viga permanece simétrica em relação ao plano de atuação dos momentos e flexiona e deflete neste plano. Para prosseguirmos vamos introduzir algumas definições úteis para o bom entendimento da matéria: Chama-se plano do carregamento ao plano que contém todo carregamento da viga. Pode-se ter um ou mais planos de carregamentos. Traço do plano do carregamento (t.p.c.) é a interseção do plano do carregamento com a seção transversal. Em flexão simples, o t.p.c. é um eixo de simetria (um dos eixos centrais de inércia da seção). ) Quando o t.p.c. não coincide com um dos eixos centrais de inércia da seção transversal, tem-se definida uma flexão assimétrica. Neste caso, é mais fácil trabalhar-se com o vetor momento fletor do que com o binário de flexão. O vetor momento fletor é perpendicular ao plano do binário correspondente, tem sua intensidade e seu sentido segue a regra da mão direita Fig. 33. É sempre perpendicular ao t.p.c. e passa pelo centro de gravidade (ponto G), pois toda redução de esforços é feita em relação a este ponto, Fig. 34. ) É bom lembrar que em flexão simples a direção do vetor momento fletor coincide sempre com a linha neutra, conforme se observa na Figura 34. Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 55 Figura 33 Figura 34 Como ilustração, observemos a Fig. 35, onde temos seções com dupla simetria e com simetria simples. Em todos os casos o binário fletor que flexiona a viga, atua em um plano vertical de simetria que corta a seção segundo um eixo central de inércia. Nestes casos, a direção do vetor coincide com a da linha neutra e a fórmula de flexão simples é aplicada. Figura 35 3.2 - CÁLCULO DAS TENSÕES NORMAIS Vamos estudar agora o caso de uma seção simétrica ou não, onde o t.p.c. não coincide com os eixos centrais de inércia da seção (Fig. 36). Figura 36 Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 56 Como o plano do carregamento não é de simetria, não podemos induzir que a viga tenha sua flexão nele, ou que a direção do vetor momento coincida com a linha neutra, como acontece em flexão simples. Vejamos as condições sob as quais a linha neutra irá coincidir com o eixo do vetor momento, ou seja: que a linha neutra seja perpendicular ao t.p.c.. Vamos aplicar as equações de equilíbrio da estática. Lembremos que, em relação à linha neutra, a tensão normal varia proporcionalmente. Desse modo: Cy=σ ∑ ∫= 0=ydAC ,0Fx (3.1) ∑ ∫= M=dAyC ,MM 2z (3.2) ∑ ∫= 0=yzdAC ,0M y (3.3) A equação (3.1) nos leva a conclusão que o eixo neutro passa pelo centro de gravidade da seção, ponto G. A equação (3.2) nos leva a expressão para cálculo da tensão normal em flexão simples. E finalmente, a equação (3.3) nos fornece que o produto de inércia em relação aos eixos yz, é nulo, ou seja, os eixos yz são centrais de inércia. Deste modo concluímos que: ) "A linha neutra da seção transversal só irá coincidir com a direção do vetor momento se yz forem eixos centrais de inércia da seção. Neste caso, o binário coincidirá com um eixo central de inércia e a linha neutra será o outro. A fórmula para cálculo da tensão normal será a mesma usada em flexão simples. O t.p.c. será perpendicular a linha neutra." Se o vetor momento não coincide com um dos eixos principais de inércia, Fig. 37 o projetamos sobre estes eixos. Para cada componente do vetor M, por exemplo, Mz, o binário correspondente coincide com um eixo central de inércia e o vetor Mz, com o outro eixo e a expressão de flexão simples poderá ser aplicada. Do mesmo modo, My coincidirá com um eixo central de inércia e seu binário com o outro. Aplicando o princípio da superposição, a expressão de flexão simples será duplamente usada. Vamos estabelecer uma convenção de sinais para o momento fletor: ) O binário fletor, Mz, será positivo se tracionar o sentido positivo de y. Igualmente, My (binário) será positivo quando tracionar o sentido positivo de z. 0 par yz deverá ser orientado previamente . Figura 37 Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 57 Na Fig. 37 tanto o Mz quanto o My são negativos. Aplicando o princípio da superposição, obtemos a expressão para cálculo da tensão normal: z I M y. I M y y z z −−=σ (3.4) Linha neutra: z I M y I M 0 y y z z −=→=σ Mas: Mz = Mcosθ e My=Msenθ θβθθ tg I I z y=tg ,z I senMy I cosM y z yz −=−= (3.5) Da expressão (3.5) concluímos que o t.p.c. e a linha neutra são perpendiculares, somente quando: a) Iz e I y são iguais e então, β = θ e o círculo de Mohr para momentos de inércia é um ponto. Exemplos: seções circulares e anulares, seções quadradas maciças e vazadas etc. b) θ igual a zero. Neste caso, M é igual a Mz e tem-se uma flexão simples. c) θ é igual a 90º. Caímos no caso "b", onde M é igual a My. ) Quando a seção não possui simetria, a determinação da tensão máxima se faz localizando o ponto mais afastado da linha neutra. Para isto confecciona-se a seção em escala, estabelece-se a linha neutra e busca-se o ponto mais afastado desta. Tomando-se as coordenadas deste ponto em relação aos eixos centrais de inércia e substituindo-as na fórmula de flexão, determinamos a intensidade da tensão normal máxima. As coordenadas do ponto mais afastado da linha neutra podem ser obtidas também analiticamente. A Fig. 38 mostra o procedimento gráfico. Figura 38 Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 58 3.3 - CÁLCULO DA DEFLEXÃO Para calcular a deflexão em flexão assimétrica, projetamos a carga P sobre os eixos centrais de inércia e por superposição calculamos a deflexão total, Fig. 39. Deste modo: y 3 z z 3 y EI3 l.sen.P ,e , EI3 l.cos.P θδθδ == onde: 2 z 2 y δδδ += , olhar Figura 40. θδ δβ tg I I 'tg y z y z == (3.6) A linha neutra foi definida pela expressão (3.5): θβ tg I I z ytg y z== Como o ângulo θ é o mesmo (Fig. 37), concluímos que: ββ =' Ou seja: a deflexão total é perpendicular à direção da linha neutra (Fig. 40). Figura 39 Figura 40 Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 59 BIBLIOGRAFIA TIMOSHENKO, Gere. Mecânica dos Só1idos. Vol. 2. 1ª ed., Livros Técnicos e Científicos Editora. BEER, Ferdinand P. Resistência dos Materiais. 1ª ed., McGraw Hill. FEODOSIEV, V. I. Resistencia de Materiales. Editorial Mir. Moscou. Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 60 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ¾ Exercício 3.1 Uma viga em balanço tem seção triangulare está sujeita a uma carga concentrada P na extremidade livre. Determinar: 1 - Linha neutra. 2 - Tensões normais nos pontos A e C da seção do engastamento. 3 - Deflexão total na extremidade livre. Dados: P = 4 kN, h = 120 mm, b = 75 mm, L = 1,25 m, M = 5000 N.m E = 200.109 N/m2 Seção triangular Ix = bh3/36 Iy = hb3/36 Pxy = b2h2/72 Solução: mm 6,1=m 0061,00053,0)(3,01.10= m 0053,0 : temos para teAnalogamen m 10.01,3 10.10 . 4 . 200 . 3 25,1.3698 I.E3 l.P N 15244,22sen.40004,22sen.PP N 36984,22cos.40004,22cos.PP : temos oa~deflex a Para)3 MN/m88,1 Logo cm -3,1=u e cm -5,6=v : temos C ponto o Para MN/m11,110 Logo cm -0,7=u e cm 8,3=v : temos A ponto o 2)Para 1,75u=v N.L 10).u2027v7,1155(u. 10.10.94,0 4,22sen.5000v. 10.10.4 4,22cos.5000)1 22,4= ,mm10.94,0 =I ,mm10.4I : temos problema do final no mostrado Mohrde circulo Do mm10.1,1P ,mm10.4,1I ,mm10.6,3I 223 uu 3 1215 33 v v u v 2 C 2 A 6 126126 46 min 46 max 46 xy 46 y 46 x =+∴ = === === === −= = → −=−= = === − − − −− δ δδ δ σ σ σ α D D D Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 61 Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 62 Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 63 ¾ Exercício 3.2 Uma viga de madeira formada pela associação de duas vigas de seção retangular 2 x 10 cm, está bi-apoiada, tem 2 m entre os apoios, é solicitada, ao longo de todo o comprimento, por uma carga “q” uniformemente distribuída, situada em um plano vertical que passa pelo centro de gravidade da seção. Pede-se: 1 - Eixos centrais e momentos centrais de inércia. 2 - Expressão da tensão normal. 3 - Linha neutra. 4 - Determinar o valor máximo de “q” se: Limite de ruptura à tração da madeira = 140 kgf/cm2 Solução: 1 973 33 53 33 160 1000 4 26 33 4 4 4 ) , , , , I cm , I cm , P cm I cm , I cm , = 9,6 y 4 xy 4 u v x = = = − = = α D Temos que o momento máximo é dado por: M q l q q kgf. q v q u v u q L N temos: v u q q q max = = = = + = + + = = = = . . . cos , , . . sen , , . ( , , ) ) . ( , , ) , 2 2 8 200 8 5000 5000 9 6 1000 4 5000 9 6 26 3 4 928 317 3 4 928 317 0 94 140 1 49 cm 2) v = -6,4326u 4)Analisando o ponto A temos : u(A) = 1,6 cm v(A) = 8,8 cm kgf / cm ou 149 kgf / m A A A σ σ σ Em seguida está mostrada a Figura com os eixos, o ponto analisado tudo em escala . Mostrado ainda o círculo de Mohr utilizado para o cálculo de Iu e Iv. Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 64 Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 65 ¾ Exercício 3.3 Uma viga bi-apoiada de 4 m de vão está sujeita a uma carga uniformemente distribuída “q”, situada em um plano vertical passando pelo centro de gravidade da seção composta indicada na Figura abaixo. Pede-se: 1 - Eixos centrais e momentos centrais de inércia. 2 - Expressão da tensão normal. 3 - Linha neutra. 4 - Determinar o valor máximo de “q” com coeficiente de segurança 2,5, sabendo-se que, para o material da viga, Syt = 300 MN/m2. Dados: Cantoneira: Dimensões: 89.64.7,9 mm, A = 1148 mm2 Ix1 = 391.103 mm4, Iy1 = 912.103 mm4, Px1y1 = 349.103 mm4. Chapa: 200.10 mm Solução: Em seguida temos o desenho em escala mostrando os eixos, a linha neutra e o ponto analisado. Bem como o círculo de Mohr utilizado para o cálculo de Iu e Iv. ( ) ( ) ( ) u localiza x de partir à horário 416 811 46sen2 :à igual x de partir à horária rotação uma de através v eu sencontramocírculo, noy e x ndoestabelece Mohrde círculo o Fazendo m1091Im10525II 10811R10713OC m10462114888352910349P m1083 12 102002114852910912I m10623 12 200102114888310391I 1 46 v 46 u 66 463 xy 46 3 23 y 46 3 23 x →== === == =+= =++= =++= −− −− − − − , , , .,., .,., .,..,.,. .,...,. .,...,.) max θθ Mmáx = ql2 /8 = 2q (N.m) A partir da orientação dos eixos u e v da Figura podemos calcular a tensão normal como se segue: mN85714q 52 1030010q21:tensão da expressão na Voltando mm47122vmm9461umm100ymm94x u42vLN10u 91 210q2v 525 210q2 6 3 A AAAA 6 /, , .. ,,,, ,. , ,sen , ,cos =→== −=−=→−=−= −=→→ −−= σ σ Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 66 24.5 Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 67 ¾ Exercício 3.4 Para o eixo maciço de aço, ABCDE, indicado abaixo, com limite de escoamento admissível igual a 900 kgf/cm2, pede-se: 1 - Diagrama de momento fletor. 2 - Diagrama de momento torçor. 3 - Raio do eixo, usando Von Mises. Solução: Temos que: W M T S Analisando M T M T onde M M M T Dimensionaremos o ei W R R yt B σ π σ π eq 3 1 2 eq W = .R os pontos B, C e D temos : Para o ponto B temos Para o ponto C temos = M Para o ponto D temos xo pelo ponto B : cm = + = → + = + = + + = ∴ = = = = 1 0 75 4 0 75 49180 8 0 75 47319 6 0 75 45526 8 1 49180 8 900 4 49180 8 4 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 , , , , , , , , . , . ( , ) , Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 68 2 e 3 - 35207Vb 01002624250300350Vb 0M 3868Va 01003002502624350Va 0M 4 A B , .,.. , ..,. −= =−+ = −= =+− = − ∑ ∑ Unidade 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Página 69 ¾ Exercício 3.5 A engrenagem em C aciona em D uma polia com velocidade constante. Para as trações indicadas nas correias, calcular: 1 - A força P no dente da engrenagem. 2 - Diagrama de momento fletor. 3 - Diagrama de momento torçor. 4 - Diâmetro do eixo AB, usando Von Mises, sabendo que: MPa100S yt = . Solução: N 70,945=P 94570 940 6766 20 cos H=P H20 P.cos N 66,67=H H1208TT N.m 12010120HT N.m 81080100200T1 CD 3C 3D , , , , ,.. .).( ==∴= ∴=⇒= == =−=− − − D D N262420PV ,ºsen == Dos diagramas: mm546m006540R 10x10087508220 R 4 mxN338M mxN8220M 622 3eq C D ,, .,, , , == =+= = = πσ
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