Cálculo I: Integrais Definidas e Indefinidas

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AULAS 15 e 16
19/11/2018 e 26/11/2018
Ijuí/RS
Novembro/2018
CÁLCULO I
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO 
SUL
DCEENG – DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS
CONCEITOS ABORDADOS NA AULA
➢INTEGRAL DEFINIDA: teorema fundamental do cálculo
➢INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL: área de uma
região plana
➢INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO DEVARIÁVEL
➢INTEGRAL DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
➢INTEGRAL DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
➢INTEGRAL DE FUNÇÕESTRIGONOMÉTRICAS
Alguns exemplos de integrais indefinidas (Teoremas de 
Integração)… Continuando exemplos da aula do dia 
05/11/2018
8.
9. 
10.
11. 
 cos 𝑥 𝑑𝑥 
 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 
cos⁡(𝑥)
𝑠𝑒𝑛²(𝑥)
𝑑𝑥 
 
1
2 1− 𝑥²
𝑑𝑥 
INTEGRAL DEFINIDA: TEOREMA 
FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Seja f contínua em [a, b] tal que existe uma função f(x) com 
f’(x) = f(x) dx então:
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 
Exemplos resolvidos:
1. Resolva as integrais abaixo:
a) 
b) 
 (𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥
1
0
 
 𝑥³𝑑𝑥
3
1
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL: 
ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA
Exemplos: 
1. Calcular a área determinada pela função y = x², eixo x, x = 0 e x 
= 2.
2. Determinar a área formada pela função y = –2x, o eixo x, x = 1 e x 
= 3.
3. Determinar a área formada entre as funções y = x² e y = –x² + 
4x. 
4. Determinar a área formada pela função y = –2x, o eixo x, x = –2 e 
x = 1.
INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO DE 
VARIÁVEL
Os teoremas de integração não possibilitam calcular, por exemplo
a integral do tipo:
Para encontrar esta integral vamos usar a estratégia de introduzir
uma nova variável: mudamos da variável “x”para a variável “u”.
Fazemos:
 2𝑥 ∙ (𝑥2 + 3)5𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑔′ 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
 
Então teremos: 
 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 
Exemplos:
a) ׬2𝑥 ∙ 𝑥2 + 3𝑑𝑥
b) b) ׬ 𝑥 − 1 4𝑑𝑥
c) ׬
𝑥−2
𝑥2−4𝑥+3
𝑑𝑥
d) ׬2𝑥 5𝑥2 − 4𝑑𝑥
e) ׬
𝑥+1
𝑥2+2𝑥−3 ²
𝑑𝑥
INTEGRAL DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝑪
 𝒆−𝒖𝒅𝒖 = −𝒆−𝒖 + 𝑪
 𝒂𝒖𝒅𝒖 =
𝒂𝒖
𝒍𝒏𝒂
+ 𝑪
Exemplos:
Determine as integrais:
a) ׬53𝑥𝑑𝑥
b) ׬ 𝑒2−5𝑥𝑑𝑥
c) ׬
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
INTEGRAL DA FUNÇÃO LOGARITMICA
 
𝟏
𝒖
𝒅𝒖 = 𝐥𝐧 𝒖 + 𝑪
Exemplos:
Resolva as integrais:
a) 
ⅆ𝑥
3−2𝑥
b) 
4
𝑥+1
𝑑𝑥
INTEGRAL DA FUNÇÃO 
TRIGONOMÉTRICA
Exemplos: 
Resolva as integrais:
a) ׬ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 1 𝑑𝑥
OLHAR NO 
FORMULÁRIO
b) 
cos ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
c) ׬𝑥 ⋅ tg 3𝑥2 𝑑𝑥
d) 
ⅆ𝑥
cos ² 2𝑥
Fórmula: 
ⅆ𝑈
𝑢2+𝑎2
=
1
𝑎
arctg
𝑢
𝑎
+ 𝑐
e) 
1
4𝑥2+3
𝑑𝑥
𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: 
𝑑𝑢
𝑎2 − 𝑢²
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑢
𝑎
+ 𝐶
f) 
1
9−3𝑥2
𝑑𝑥
g) ׬ cos 𝑠𝑒𝑐² 4𝑥 + 𝜋 𝑑𝑥
h) 
ⅆ𝑥
𝑥2+25
i) 
𝑥 ⅆ𝑥
16−9𝑥4
INTEGRAÇÃO POR PARTES
O processo de Integração por Partes é indicado quando
o integrando possui um produto entre dois tipos de funções.
Derivação pela Regra do Produto temos:
𝑑
𝑑𝑥
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣′
඲
𝑑
𝑑𝑥
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢′ ⋅ 𝑣 𝑑𝑥 + 𝑢 ⋅ 𝑣′ 𝑑𝑥
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢′ 𝑑𝑥 + 𝑢 ⋅ 𝑣′ 𝑑𝑥
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣
 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ⋅ 𝒗 − 𝒗 ⋅ 𝒅𝒖
A integral por partes pode ser aplicada sucessivas vezes
para um mesmo exercício.
DICA:
Para a escolha das funções “u” consideramos a lista:
Logarítmica, Trigonométrica Inversa, Algébrica,
Trigonométrica, Exponencial (LIATE)
Exercícios:
Resolva as integrais abaixo:
a) ׬𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥
b) ׬𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
c) ׬ ln 𝑥 𝑑𝑥
d) ׬𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥
e) ׬𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
f) ׬ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
g) ׬𝑥𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥
h) ׬ 𝑥²𝑒3𝑥𝑑𝑥
LISTAS DE EXERCÍCIOS
12, 13 E 14