Cap28-FontesdeCampoMagnetico

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Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F´ısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edic¸a˜o: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
12 de outubro de 2011
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Qual a natureza do campo magne´tico produzido por uma u´nica part´ıcula
carregada em movimento.
I Como descrever o campo magne´tico produzido poe um elemento de um
condutor que transporta uma corrente.
I Como calcular o campo de um fio longo e retil´ıneo que, que transporta corrente.
I Por fios que transportam correntes na mesma direc¸a˜o e sentido se atraem,
enquanto fios que transportam correntes contra´rias se repelem.
I Como calcular o campo magne´tico produzido por um fio que transporta corrente
e e´ encurvado em um c´ırculo.
I O que e´ a lei de Ampe`re e o que ela revela sobre campos magne´ticos.
I Como usar a lei de Ampe`re para calcular o campo magne´tico de distribuic¸o˜es
sime´tricas de corrente.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Qual a natureza do campo magne´tico produzido por uma u´nica part´ıcula
carregada em movimento.
I Como descrever o campo magne´tico produzido poe um elemento de um
condutor que transporta uma corrente.
I Como calcular o campo de um fio longo e retil´ıneo que, que transporta corrente.
I Por fios que transportam correntes na mesma direc¸a˜o e sentido se atraem,
enquanto fios que transportam correntes contra´rias se repelem.
I Como calcular o campo magne´tico produzido por um fio que transporta corrente
e e´ encurvado em um c´ırculo.
I O que e´ a lei de Ampe`re e o que ela revela sobre campos magne´ticos.
I Como usar a lei de Ampe`re para calcular o campo magne´tico de distribuic¸o˜es
sime´tricas de corrente.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Qual a natureza do campo magne´tico produzido por uma u´nica part´ıcula
carregada em movimento.
I Como descrever o campo magne´tico produzido poe um elemento de um
condutor que transporta uma corrente.
I Como calcular o campo de um fio longo e retil´ıneo que, que transporta corrente.
I Por fios que transportam correntes na mesma direc¸a˜o e sentido se atraem,
enquanto fios que transportam correntes contra´rias se repelem.
I Como calcular o campo magne´tico produzido por um fio que transporta corrente
e e´ encurvado em um c´ırculo.
I O que e´ a lei de Ampe`re e o que ela revela sobre campos magne´ticos.
I Como usar a lei de Ampe`re para calcular o campo magne´tico de distribuic¸o˜es
sime´tricas de corrente.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Qual a natureza do campo magne´tico produzido por uma u´nica part´ıcula
carregada em movimento.
I Como descrever o campo magne´tico produzido poe um elemento de um
condutor que transporta uma corrente.
I Como calcular o campo de um fio longo e retil´ıneo que, que transporta corrente.
I Por fios que transportam correntes na mesma direc¸a˜o e sentido se atraem,
enquanto fios que transportam correntes contra´rias se repelem.
I Como calcular o campo magne´tico produzido por um fio que transporta corrente
e e´ encurvado em um c´ırculo.
I O que e´ a lei de Ampe`re e o que ela revela sobre campos magne´ticos.
I Como usar a lei de Ampe`re para calcular o campo magne´tico de distribuic¸o˜es
sime´tricas de corrente.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Qual a natureza do campo magne´tico produzido por uma u´nica part´ıcula
carregada em movimento.
I Como descrever o campo magne´tico produzido poe um elemento de um
condutor que transporta uma corrente.
I Como calcular o campo de um fio longo e retil´ıneo que, que transporta corrente.
I Por fios que transportam correntes na mesma direc¸a˜o e sentido se atraem,
enquanto fios que transportam correntes contra´rias se repelem.
I Como calcular o campo magne´tico produzido por um fio que transporta corrente
e e´ encurvado em um c´ırculo.
I O que e´ a lei de Ampe`re e o que ela revela sobre campos magne´ticos.
I Como usar a lei de Ampe`re para calcular o campo magne´tico de distribuic¸o˜es
sime´tricas de corrente.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Qual a natureza do campo magne´tico produzido por uma u´nica part´ıcula
carregada em movimento.
I Como descrever o campo magne´tico produzido poe um elemento de um
condutor que transporta uma corrente.
I Como calcular o campo de um fio longo e retil´ıneo que, que transporta corrente.
I Por fios que transportam correntes na mesma direc¸a˜o e sentido se atraem,
enquanto fios que transportam correntes contra´rias se repelem.
I Como calcular o campo magne´tico produzido por um fio que transporta corrente
e e´ encurvado em um c´ırculo.
I O que e´ a lei de Ampe`re e o que ela revela sobre campos magne´ticos.
I Como usar a lei de Ampe`re para calcular o campo magne´tico de distribuic¸o˜es
sime´tricas de corrente.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Qual a natureza do campo magne´tico produzido por uma u´nica part´ıcula
carregada em movimento.
I Como descrever o campo magne´tico produzido poe um elemento de um
condutor que transporta uma corrente.
I Como calcular o campo de um fio longo e retil´ıneo que, que transporta corrente.
I Por fios que transportam correntes na mesma direc¸a˜o e sentido se atraem,
enquanto fios que transportam correntes contra´rias se repelem.
I Como calcular o campo magne´tico produzido por um fio que transporta corrente
e e´ encurvado em um c´ırculo.
I O que e´ a lei de Ampe`re e o que ela revela sobre campos magne´ticos.
I Como usar a lei de Ampe`re para calcular o campo magne´tico de distribuic¸o˜es
sime´tricas de corrente.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Introduc¸a˜o
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Carga em Movimento
Local onde se encontra a carga Ponto de fonte.
O ponto P e´ o Ponto de campo.
O campo ~B e´ proporcional a:
I |q|.
I 1/r2.
I v .
I ao sinφ entre ~v e a direc¸a˜o de P em relac¸a˜o
a` carga.
I A direc¸a˜o e´ perpendicular a o plano definido
pela velocidade e a direc¸a˜o de P.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Carga em Movimento
Local onde se encontra a carga Ponto de fonte.
O ponto P e´ o Ponto de campo.
O campo ~B e´ proporcional a:
I |q|.
I 1/r2.
I v .
I ao sinφ entre ~v e a direc¸a˜o de P em relac¸a˜o
a` carga.
I A direc¸a˜o e´ perpendicular a o plano definido
pela velocidade e a direc¸a˜o de P.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Carga em Movimento
Local onde se encontra a carga Ponto de fonte.
O ponto P e´ o Ponto de campo.
O campo ~B e´ proporcional a:
I |q|.
I 1/r2.
I v .
I ao sinφ entre ~v e a direc¸a˜o de P em relac¸a˜o
a` carga.
I A direc¸a˜o e´ perpendicular a o plano definido
pela velocidade e a direc¸a˜o de P.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Carga em Movimento
Local onde se encontra a carga Ponto de fonte.
O ponto P e´ o Ponto de campo.
O campo ~B e´ proporcional a:
I |q|.
I 1/r2.
I v .
I ao sinφ entre ~v e a direc¸a˜o de P em relac¸a˜o
a` carga.
I A direc¸a˜o e´ perpendicular a o plano definido
pela velocidade e a direc¸a˜o de P.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´ticode uma Carga em Movimento
Local onde se encontra a carga Ponto de fonte.
O ponto P e´ o Ponto de campo.
O campo ~B e´ proporcional a:
I |q|.
I 1/r2.
I v .
I ao sinφ entre ~v e a direc¸a˜o de P em relac¸a˜o
a` carga.
I A direc¸a˜o e´ perpendicular a o plano definido
pela velocidade e a direc¸a˜o de P.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Carga em Movimento
Local onde se encontra a carga Ponto de fonte.
O ponto P e´ o Ponto de campo.
O campo ~B e´ proporcional a:
I |q|.
I 1/r2.
I v .
I ao sinφ entre ~v e a direc¸a˜o de P em relac¸a˜o
a` carga.
I A direc¸a˜o e´ perpendicular a o plano definido
pela velocidade e a direc¸a˜o de P.
~B =
µ0
4pi
q~v × rˆ
r2
µ0 = 4pi × 10−7 Ns2/C2
µ0�0 =
1
c2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
O campo magne´tico total produzido por diversas
cargas em movimento e´ a soma vetorial dos
campos produzidos pelas cargas individuais.
dQ = nqAdl
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
O campo magne´tico total produzido por diversas
cargas em movimento e´ a soma vetorial dos
campos produzidos pelas cargas individuais.
dQ = nqAdl
d~B =
µ0
4pi
dQ~va × rˆ
r2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
O campo magne´tico total produzido por diversas
cargas em movimento e´ a soma vetorial dos
campos produzidos pelas cargas individuais.
dQ = nqAdl
d~B =
µ0
4pi
dQ~va × rˆ
r2
d~B =
µ0
4pi
nqAdl~va × rˆ
r2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
O campo magne´tico total produzido por diversas
cargas em movimento e´ a soma vetorial dos
campos produzidos pelas cargas individuais.
dQ = nqAdl
d~B =
µ0
4pi
dQ~va × rˆ
r2
d~B =
µ0
4pi
nqAdl~va × rˆ
r2
I = JA = nqvaA
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
O campo magne´tico total produzido por diversas
cargas em movimento e´ a soma vetorial dos
campos produzidos pelas cargas individuais.
dQ = nqAdl
d~B =
µ0
4pi
dQ~va × rˆ
r2
d~B =
µ0
4pi
nqAdl~va × rˆ
r2
I = JA = nqvaA
d~B =
µ0
4pi
Id~l × rˆ
r2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
Campo Magne´tico de um Elemento de Corrente
O campo magne´tico total produzido por diversas
cargas em movimento e´ a soma vetorial dos
campos produzidos pelas cargas individuais.
dQ = nqAdl
d~B =
µ0
4pi
dQ~va × rˆ
r2
d~B =
µ0
4pi
nqAdl~va × rˆ
r2
I = JA = nqvaA
d~B =
µ0
4pi
Id~l × rˆ
r2
~B =
µ0
4pi
∫
Id~l × rˆ
r2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Condutor Retil´ıneo Transportando uma Corrente
~B =
µ0
4pi
∫
Id~l × rˆ
r2
~B =
µ0I
4pi
∫
dy sin(φ)
x2 + y2
kˆ
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Condutor Retil´ıneo Transportando uma Corrente
~B =
µ0
4pi
∫
Id~l × rˆ
r2
~B =
µ0I
4pi
∫
dy sin(φ)
x2 + y2
kˆ
~B =
µ0I
4pi
∫
dy sin(pi − φ)
x2 + y2
kˆ
~B =
µ0I
4pi
∫ a
−a
xdy
(x2 + y2)3/2
kˆ
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Condutor Retil´ıneo Transportando uma Corrente
~B =
µ0
4pi
∫
Id~l × rˆ
r2
~B =
µ0I
4pi
∫
dy sin(φ)
x2 + y2
kˆ
~B =
µ0I
4pi
∫
dy sin(pi − φ)
x2 + y2
kˆ
~B =
µ0I
4pi
∫ a
−a
xdy
(x2 + y2)3/2
kˆ
~B =
µ0I
4pi
2a
x
√
x2 + a2
kˆ
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de um Condutor Retil´ıneo Transportando uma Corrente
~B =
µ0
4pi
∫
Id~l × rˆ
r2
~B =
µ0I
4pi
∫
dy sin(φ)
x2 + y2
kˆ
~B =
µ0I
4pi
∫
dy sin(pi − φ)
x2 + y2
kˆ
~B =
µ0I
4pi
∫ a
−a
xdy
(x2 + y2)3/2
kˆ
~B =
µ0I
4pi
2a
x
√
x2 + a2
kˆ
No limite de a→∞ temos,
~B =
µ0I
2pir
eˆθ
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Forc¸a entre Condutores Paralelos
Forc¸a entre Condutores Paralelos
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Forc¸a entre Condutores Paralelos
Forc¸a entre Condutores Paralelos
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
dB =
µ0I
4pi
dl
x2 + a2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
dB =
µ0I
4pi
dl
x2 + a2
dBx = dB cos θ =
µ0I
4pi
dl
(x2 + a2)
a
(x2 + a2)1/2
dBy = dB sin θ =
µ0I
4pi
dl
(x2 + a2)
x
(x2 + a2)1/2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
dB =
µ0I
4pi
dl
x2 + a2
dBx = dB cos θ =
µ0I
4pi
dl
(x2 + a2)
a
(x2 + a2)1/2
dBy = dB sin θ =
µ0I
4pi
dl
(x2 + a2)
x
(x2 + a2)1/2
Bx =
µ0I
4pi
∫
adl
(x2 + a2)3/2
=
µ0I
4pi
a(2pia)
(x2 + a2)3/2
By =
µ0I
4pi
∫
xdl
(x2 + a2)3/2
= 0
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
dB =
µ0I
4pi
dl
x2 + a2
dBx = dB cos θ =
µ0I
4pi
dl
(x2 + a2)
a
(x2 + a2)1/2
dBy = dB sin θ =
µ0I
4pi
dl
(x2 + a2)
x
(x2 + a2)1/2
Bx =
µ0I
4pi
∫
adl
(x2 + a2)3/2
=
µ0I
4pi
a(2pia)
(x2 + a2)3/2
By =
µ0I
4pi
∫
xdl
(x2 + a2)3/2
= 0
Bx =
µ0Ia2
2(x2 + a2)3/2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
Campo Magne´tico de uma Espira Circular
Se tivermos N espiras e lembrando que
µ = NIpia2 obtemos:
Bx =
µ0NIa2
2(x2 + a2)3/2
=
µ0µ
2pi(x2 + a2)3/2
Vemos que o campo magne´tico produzido por um
conjunto de espiras e´ proporcional ao momento
magne´tico µ da espira.
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re
I Acabamos de ver que se temos d~B integramos e obtemos ~B. Assim como
fizemos para o campo ele´trico ~E .
I Quando t´ınhamos simetria obtemos ~E pela lei de Gauss
∮
~E · d~A = Qliq
�0
.
Relaciona campos com distribuic¸a˜o de cargas!
I A lei de Gauss para o campo magne´tico diz:
∮
~B · d~A = 0. Na˜o relaciona
campos com distribuic¸a˜o de correntes!
I Logo a lei de Gauss para o campo magne´tico na˜o pode ser usada para
determinar o campo de uma distribuic¸a˜o de correntes.
I A lei de Ampe`re e´ formulada em termos da integral de linha de ~B em torno
de uma trajeto´ria fechada, dada por:
∮
~B · d~l
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re
I Acabamos de ver que se temos d~B integramos e obtemos ~B. Assim como
fizemos para o campo ele´trico ~E .
I Quando t´ınhamos simetria obtemos ~E pela lei de Gauss
∮
~E · d~A = Qliq
�0
.
Relaciona campos com distribuic¸a˜o de cargas!
I A lei de Gauss para o campo magne´tico diz:
∮
~B · d~A = 0. Na˜o relaciona
campos com distribuic¸a˜o de correntes!
I Logo a lei de Gauss para o campo magne´tico na˜o pode ser usada para
determinar o campo de uma distribuic¸a˜o de correntes.
I A lei de Ampe`re e´ formulada em termos da integral de linha de ~B em torno
de uma trajeto´ria fechada, dada por:
∮
~B · d~l
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re
I Acabamosde ver que se temos d~B integramos e obtemos ~B. Assim como
fizemos para o campo ele´trico ~E .
I Quando t´ınhamos simetria obtemos ~E pela lei de Gauss
∮
~E · d~A = Qliq
�0
.
Relaciona campos com distribuic¸a˜o de cargas!
I A lei de Gauss para o campo magne´tico diz:
∮
~B · d~A = 0. Na˜o relaciona
campos com distribuic¸a˜o de correntes!
I Logo a lei de Gauss para o campo magne´tico na˜o pode ser usada para
determinar o campo de uma distribuic¸a˜o de correntes.
I A lei de Ampe`re e´ formulada em termos da integral de linha de ~B em torno
de uma trajeto´ria fechada, dada por:
∮
~B · d~l
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re
I Acabamos de ver que se temos d~B integramos e obtemos ~B. Assim como
fizemos para o campo ele´trico ~E .
I Quando t´ınhamos simetria obtemos ~E pela lei de Gauss
∮
~E · d~A = Qliq
�0
.
Relaciona campos com distribuic¸a˜o de cargas!
I A lei de Gauss para o campo magne´tico diz:
∮
~B · d~A = 0. Na˜o relaciona
campos com distribuic¸a˜o de correntes!
I Logo a lei de Gauss para o campo magne´tico na˜o pode ser usada para
determinar o campo de uma distribuic¸a˜o de correntes.
I A lei de Ampe`re e´ formulada em termos da integral de linha de ~B em torno
de uma trajeto´ria fechada, dada por:
∮
~B · d~l
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re
I Acabamos de ver que se temos d~B integramos e obtemos ~B. Assim como
fizemos para o campo ele´trico ~E .
I Quando t´ınhamos simetria obtemos ~E pela lei de Gauss
∮
~E · d~A = Qliq
�0
.
Relaciona campos com distribuic¸a˜o de cargas!
I A lei de Gauss para o campo magne´tico diz:
∮
~B · d~A = 0. Na˜o relaciona
campos com distribuic¸a˜o de correntes!
I Logo a lei de Gauss para o campo magne´tico na˜o pode ser usada para
determinar o campo de uma distribuic¸a˜o de correntes.
I A lei de Ampe`re e´ formulada em termos da integral de linha de ~B em torno
de uma trajeto´ria fechada, dada por:
∮
~B · d~l
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re para um condutor longo e retil´ıneo
I A lei de Ampe`re e´ formulada em termos da integral de linha de ~B em torno
de uma trajeto´ria fechada, dada por:
∮
~B · d~l
I O campo de um condutor longo e retil´ıneo e´ dado por:B = µ0I
2pir
e as linhas de
campo sa˜o circunfereˆncias de raio r em torno do fio.
∮
~B · d~l =
∫
B‖dl =
µ0I
2pir
∫
dl =
µ0I
2pir
(2pir)∮
~B · d~l = µ0I
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re para um condutor longo e retil´ıneo
I A lei de Ampe`re e´ formulada em termos da integral de linha de ~B em torno
de uma trajeto´ria fechada, dada por:
∮
~B · d~l
I O campo de um condutor longo e retil´ıneo e´ dado por:B = µ0I
2pir
e as linhas de
campo sa˜o circunfereˆncias de raio r em torno do fio.
∮
~B · d~l = µ0I
Se invertermos o sentido do caminho obtemos,∮
~B · d~l = −
∫
B‖dl = −
µ0I
2pir
∫
dl = −µ0I
2pir
(2pir)∮
~B · d~l = −µ0I
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re para um condutor longo e retil´ıneo
I A lei de Ampe`re e´ formulada em termos da integral de linha de ~B em torno
de uma trajeto´ria fechada, dada por:
∮
~B · d~l
I O campo de um condutor longo e retil´ıneo e´ dado por:B = µ0I
2pir
e as linhas de
campo sa˜o circunfereˆncias de raio r em torno do fio.
∮
~B · d~l = µ0I
Se invertermos o sentido do caminho obtemos,
∮
~B · d~l = −µ0I
Se o caminho na˜o englobar o fio obtemos,∮
~B · d~l = + µ0I
2pir1
(θr1)− µ0I
2pir2
(θr2)∮
~B · d~l = 0
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re: formulac¸a˜o geral
Forma Integral.∮
~B · d~l = µ0IInt
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re: formulac¸a˜o geral
Forma Integral.∮
~B · d~l = µ0IInt
Forma Diferencial.∮
~B · d~l =
∫
(∇× ~B) · d~A
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re: formulac¸a˜o geral
Forma Integral.∮
~B · d~l = µ0IInt
Forma Diferencial.∮
~B · d~l =
∫
(∇× ~B) · d~A∮
~B · d~l = µ0
∫
~JInt · d~A
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Lei de Ampe`re
Lei de Ampe`re: formulac¸a˜o geral
Forma Integral.∮
~B · d~l = µ0IInt
Forma Diferencial.∮
~B · d~l =
∫
(∇× ~B) · d~A∮
~B · d~l = µ0
∫
~JInt · d~A
∇× ~B = µ0~JInt
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um fio/cilindro condutor longo.
Para r > R, que e´ sempre o caso para um fio
temos: ∮
~B · d~l = µ0I
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um fio/cilindro condutor longo.
Para r > R, que e´ sempre o caso para um fio
temos: ∮
~B · d~l = µ0I
Dado que ~B = Beˆθ e d~l = dleˆθ possuem a
mesma direc¸a˜o e o modulo de B e´ constante para
um dado r , assim:
B
∮
dl = µ0I
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um fio/cilindro condutor longo.
Para r > R, que e´ sempre o caso para um fio
temos: ∮
~B · d~l = µ0I
Dado que ~B = Beˆθ e d~l = dleˆθ possuem a
mesma direc¸a˜o e o modulo de B e´ constante para
um dado r , assim:
B
∮
dl = µ0I
B2pir = µ0I
B =
µ0I
2pir
~B =
µ0I
2pir
eˆθ
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um fio/cilindro condutor longo.
Para r > R, que e´ sempre o caso para um fio
temos:
~B =
µ0I
2pir
eˆθ
Para r < R, que e´ o caso para um cilindro temos:
∮
~B · d~l = µ0Iinterno
J =
I
piR2
Iinterno = Jpir
2 =
Ipir2
piR2
= I
( r
R
)2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um fio/cilindro condutor longo.
Para r > R, que e´ sempre o caso para um fio
temos:
~B =
µ0I
2pir
eˆθ
Para r < R, que e´ o caso para um cilindro temos:
∮
~B · d~l = µ0Iinterno
J =
I
piR2
Iinterno = Jpir
2 =
Ipir2
piR2
= I
( r
R
)2
Dado que ~B = Beˆθ e d~l = dleˆθ e B e´ constante
para um dado r , temos:
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um fio/cilindro condutor longo.
Para r > R, que e´ sempre o caso para um fio
temos:
~B =
µ0I
2pir
eˆθ
Para r < R, que e´ o caso para um cilindro temos:
∮
~B · d~l = µ0Iinterno
J =
I
piR2
Iinterno = Jpir
2 =
Ipir2
piR2
= I
( r
R
)2
Dado que ~B = Beˆθ e d~l = dleˆθ e B e´ constante
para um dado r , temos:
B2pir = µ0I
( r
R
)2
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Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um fio/cilindro condutor longo.
Para r > R, que e´ sempre o caso para um fio
temos:
~B =
µ0I
2pir
eˆθ
Para r < R, que e´ o caso para um cilindro temos:
∮
~B · d~l = µ0Iinterno
B =
µ0I
2piR2
r
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um fio/cilindro condutor longo.
Para r > R, que e´ sempre o caso para um fio
temos:
~B =
µ0I
2pir
eˆθ
Para r < R, que e´ o caso para um cilindro temos:
~B =
µ0I
2piR2
r eˆθ
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um Soleno´ide.
I Um soleno´ide e´ um arrolamento helicoidal
de fio.
I O campo no interior de um soleno´ide e´
aproximadamente constante.
I Logo podemos aproximar um soleno´ide da
forma mostrado na figura ao lado.
I Portanto seja nI a densidade de corrente por
unidade de comprimento assim,
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um Soleno´ide.
I Um soleno´ide e´ um arrolamento helicoidal
de fio.
I O campo no interior de um soleno´ide e´
aproximadamenteconstante.
I Logo podemos aproximar um soleno´ide da
forma mostrado na figura ao lado.
I Portanto seja nI a densidade de corrente por
unidade de comprimento assim,
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um Soleno´ide.
I Um soleno´ide e´ um arrolamento helicoidal
de fio.
I O campo no interior de um soleno´ide e´
aproximadamente constante.
I Logo podemos aproximar um soleno´ide da
forma mostrado na figura ao lado.
I Portanto seja nI a densidade de corrente por
unidade de comprimento assim,
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um Soleno´ide.
I Um soleno´ide e´ um arrolamento helicoidal
de fio.
I O campo no interior de um soleno´ide e´
aproximadamente constante.
I Logo podemos aproximar um soleno´ide da
forma mostrado na figura ao lado.
I Portanto seja nI a densidade de corrente por
unidade de comprimento assim,
IInt = nLI∮
~B · d~l = µ0IInt
BL = µ0nLI
B = µ0nLI
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um Soleno´ide.
I Um soleno´ide e´ um arrolamento helicoidal
de fio.
I O campo no interior de um soleno´ide e´
aproximadamente constante.
I Logo podemos aproximar um soleno´ide da
forma mostrado na figura ao lado.
I Portanto seja nI a densidade de corrente por
unidade de comprimento assim,
IInt = nLI∮
~B · d~l = µ0IInt
BL = µ0nLI
B = µ0nLI
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um Soleno´ide Toroidal.
I Para o caminho 1 temos,∮
~B · d~l = 0
I Para o caminho 2 temos,
I Para o caminho 3 temos,
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um Soleno´ide Toroidal.
I Para o caminho 1 temos,∮
~B · d~l = 0
I Para o caminho 2 temos,∮
~B · d~l = µ0NI
2pirB = µ0NI
B =
µ0NI
2pir
I Para o caminho 3 temos,
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Campo de um Soleno´ide Toroidal.
I Para o caminho 1 temos,∮
~B · d~l = 0
I Para o caminho 2 temos,∮
~B · d~l = µ0NI
2pirB = µ0NI
B =
µ0NI
2pir
I Para o caminho 3 temos,∮
~B · d~l = µ0(NI− NI) = 0
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
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Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
I =
ev
2pir
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
I =
ev
2pir
µ = IA
µ =
ev
2pir
(pir2) =
evr
2
Cap´ıtulo 28 - Fontes de Campo Magne´tico
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
I =
ev
2pir
µ = IA
µ =
ev
2pir
(pir2) =
evr
2
L = mvr =
h
2pi
h = 6, 626× 10−34Js
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Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
I =
ev
2pir
µ = IA
µ =
ev
2pir
(pir2) =
evr
2
L = mvr =
h
2pi
h = 6, 626× 10−34Js
µ =
e
2m
L =
eh
4pim
µ = 9, 274× 10−24Am2
µ = 9, 274× 10−24J/T
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Materiais Magne´ticos
Paramagnetismo
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Diamagnetismo
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Ferromagnetismo
	Introdução
	Campo Magnético de uma Carga em Movimento
	Campo Magnético de um Elemento de Corrente
	Campo Magnético de um Condutor Retilíneo Transportando uma Corrente
	Força entre Condutores Paralelos
	Campo Magnético de uma Espira Circular
	Lei de Ampère
	Aplicações da Lei de Ampère
	Materiais Magnéticos