Cap29-InducaoEletromagnetica

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F´ısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edic¸a˜o: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
28 de fevereiro de 2012
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Sobre a evideˆncia emp´ırica de que a variac¸a˜o de um campo magne´tico induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a` variac¸a˜o de
fluxo magne´tico atrave´s da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atrave´s de um
campo magne´tico.
I Como uma variac¸a˜o no fluxo magne´tico gera um campo ele´trico que e´ muito
diferente daquele produzido por uma combinac¸a˜o de cargas.
I As quatro equac¸o˜es fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Sobre a evideˆncia emp´ırica de que a variac¸a˜o de um campo magne´tico induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a` variac¸a˜o de
fluxo magne´tico atrave´s da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atrave´s de um
campo magne´tico.
I Como uma variac¸a˜o no fluxo magne´tico gera um campo ele´trico que e´ muito
diferente daquele produzido por uma combinac¸a˜o de cargas.
I As quatro equac¸o˜es fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Sobre a evideˆncia emp´ırica de que a variac¸a˜o de um campo magne´tico induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a` variac¸a˜o de
fluxo magne´tico atrave´s da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atrave´s de um
campo magne´tico.
I Como uma variac¸a˜o no fluxo magne´tico gera um campo ele´trico que e´ muito
diferente daquele produzido por uma combinac¸a˜o de cargas.
I As quatro equac¸o˜es fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Sobre a evideˆncia emp´ırica de que a variac¸a˜o de um campo magne´tico induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a` variac¸a˜o de
fluxo magne´tico atrave´s da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atrave´s de um
campo magne´tico.
I Como uma variac¸a˜o no fluxo magne´tico gera um campo ele´trico que e´ muito
diferente daquele produzido por uma combinac¸a˜o de cargas.
I As quatro equac¸o˜es fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Sobre a evideˆncia emp´ırica de que a variac¸a˜o de um campo magne´tico induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a` variac¸a˜o de
fluxo magne´tico atrave´s da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atrave´s de um
campo magne´tico.
I Como uma variac¸a˜o no fluxo magne´tico gera um campo ele´trico que e´ muito
diferente daquele produzido por uma combinac¸a˜o de cargas.
I As quatro equac¸o˜es fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Sobre a evideˆncia emp´ırica de que a variac¸a˜o de um campo magne´tico induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a` variac¸a˜o de
fluxo magne´tico atrave´s da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atrave´s de um
campo magne´tico.
I Como uma variac¸a˜o no fluxo magne´tico gera um campo ele´trico que e´ muito
diferente daquele produzido por uma combinac¸a˜o de cargas.
I As quatro equac¸o˜es fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Introduc¸a˜o
Uma usina produz energia ele´trica mediante a conversa˜o de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroele´trica.
I Energia qu´ımica em uma usina termoele´trica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversa˜o de energia?
I Qual e´ a f´ısica envolvida na produc¸a˜o de quase toda energia que consumimos?
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Introduc¸a˜o
Uma usina produz energia ele´trica mediante a conversa˜o de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroele´trica.
I Energia qu´ımica em uma usina termoele´trica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversa˜o de energia?
I Qual e´ a f´ısica envolvida na produc¸a˜o de quase toda energia que consumimos?
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Introduc¸a˜o
Uma usina produz energia ele´trica mediante a conversa˜o de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroele´trica.
I Energia qu´ımica em uma usina termoele´trica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversa˜o de energia?
I Qual e´ a f´ısica envolvida na produc¸a˜o de quase toda energia que consumimos?
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Introduc¸a˜o
Uma usina produz energia ele´trica mediante a conversa˜o de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroele´trica.
I Energia qu´ımica em uma usina termoele´trica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversa˜o de energia?
I Qual e´ a f´ısica envolvida na produc¸a˜o de quase toda energia que consumimos?
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Introduc¸a˜o
Uma usina produz energia ele´trica mediante a conversa˜o de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroele´trica.
I Energia qu´ımica em uma usina termoele´trica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversa˜o de energia?
I Qual e´ a f´ısica envolvida na produc¸a˜o de quase toda energia que consumimos?
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Introduc¸a˜o
Uma usina produz energia ele´trica mediante a conversa˜o de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroele´trica.
I Energia qu´ımica em uma usina termoele´trica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversa˜o de energia?
I Qual e´ a f´ısica envolvida na produc¸a˜o de quase toda energia que consumimos?
A resposta e´ um fenoˆmeno chamado induc¸a˜o eletromagne´tica:
I Quando o fluxo magne´tico varia atrave´s de um circuito, ocorre a induc¸a˜o de
uma fem e de uma corrente no circuito.
I Um campo magne´tico que varia em func¸a˜o do tempo pode atuar como uma
fonte de campo ele´trico [~B(t)→ ~E(t)].
I Um campo ele´trico que varia em func¸a˜o do tempo pode atuar como uma fonte
de campo magne´tico [~E(t)→ ~B(t)].
I Ou seja, ~B(t)� ~E(t).
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Introduc¸a˜o
Uma usina produz energia ele´trica mediante a conversa˜o de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroele´trica.
I Energia qu´ımica em uma usina termoele´trica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Comoocorre essa conversa˜o de energia?
I Qual e´ a f´ısica envolvida na produc¸a˜o de quase toda energia que consumimos?
A resposta e´ um fenoˆmeno chamado induc¸a˜o eletromagne´tica:
I Quando o fluxo magne´tico varia atrave´s de um circuito, ocorre a induc¸a˜o de
uma fem e de uma corrente no circuito.
I Um campo magne´tico que varia em func¸a˜o do tempo pode atuar como uma
fonte de campo ele´trico [~B(t)→ ~E(t)].
I Um campo ele´trico que varia em func¸a˜o do tempo pode atuar como uma fonte
de campo magne´tico [~E(t)→ ~B(t)].
I Ou seja, ~B(t)� ~E(t).
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Introduc¸a˜o
Uma usina produz energia ele´trica mediante a conversa˜o de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroele´trica.
I Energia qu´ımica em uma usina termoele´trica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversa˜o de energia?
I Qual e´ a f´ısica envolvida na produc¸a˜o de quase toda energia que consumimos?
A resposta e´ um fenoˆmeno chamado induc¸a˜o eletromagne´tica:
I Quando o fluxo magne´tico varia atrave´s de um circuito, ocorre a induc¸a˜o de
uma fem e de uma corrente no circuito.
I Um campo magne´tico que varia em func¸a˜o do tempo pode atuar como uma
fonte de campo ele´trico [~B(t)→ ~E(t)].
I Um campo ele´trico que varia em func¸a˜o do tempo pode atuar como uma fonte
de campo magne´tico [~E(t)→ ~B(t)].
I Ou seja, ~B(t)� ~E(t).
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´ticaExperieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Experieˆncias de Induc¸a˜o
I Um ı´ma˜ em repouso na˜o induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Um ı´ma˜ em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanoˆmetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, na˜o induz
corrente no galvanoˆmetro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos a a´rea da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanoˆmetro.
I Quanto mais ra´pido fazemos os experimentos acima, maior e´ a induc¸a˜o de
corrente no galvanoˆmetro.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Faraday
I O fenoˆmeno comum em todos os efeitos de
induc¸a˜o e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s de um circuito.
I Para um elemento de a´rea infinitesimal d~A
em um campo magne´tico ~B, o elemento de
fluxo magne´tico e´ dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada a´rea e´
dada por, ΦB =
∫
~B · d~A = ∫ BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e´
dada pela taxa de variac¸a˜o do fluxo
magne´tico, com o sinal negativo, atrave´s da
a´rea delimitada pela espira.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Faraday
I O fenoˆmeno comum em todos os efeitos de
induc¸a˜o e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s de um circuito.
I Para um elemento de a´rea infinitesimal d~A
em um campo magne´tico ~B, o elemento de
fluxo magne´tico e´ dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada a´rea e´
dada por, ΦB =
∫
~B · d~A = ∫ BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e´
dada pela taxa de variac¸a˜o do fluxo
magne´tico, com o sinal negativo, atrave´s da
a´rea delimitada pela espira.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Faraday
I O fenoˆmeno comum em todos os efeitos de
induc¸a˜o e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s de um circuito.
I Para um elemento de a´rea infinitesimal d~A
em um campo magne´tico ~B, o elemento de
fluxo magne´tico e´ dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada a´rea e´
dada por, ΦB =
∫
~B · d~A = ∫ BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e´
dada pela taxa de variac¸a˜o do fluxo
magne´tico, com o sinal negativo, atrave´s da
a´rea delimitada pela espira.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Faraday
I O fenoˆmeno comum em todos os efeitos de
induc¸a˜o e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s de um circuito.
I Para um elemento de a´rea infinitesimal d~A
em um campo magne´tico ~B, o elemento de
fluxo magne´tico e´ dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada a´rea e´
dada por, ΦB =
∫
~B · d~A = ∫ BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e´
dada pela taxa de variac¸a˜o do fluxo
magne´tico, com o sinal negativo, atrave´s da
a´rea delimitada pela espira.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Faraday
I O fenoˆmeno comum em todos os efeitos de
induc¸a˜o e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s de um circuito.
I Para um elemento de a´rea infinitesimal d~A
em um campo magne´tico ~B, o elemento de
fluxo magne´tico e´ dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada a´rea e´
dada por, ΦB =
∫
~B · d~A = ∫ BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e´
dada pela taxa de variac¸a˜o do fluxo
magne´tico, com o sinal negativo, atrave´s da
a´rea delimitada pela espira.
ε = −N dΦB
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Faraday
I O fenoˆmeno comum em todos os efeitos de
induc¸a˜o e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s de um circuito.
I Para um elemento de a´rea infinitesimal d~A
em um campo magne´tico ~B, o elemento de
fluxo magne´tico e´ dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada a´rea e´
dada por, ΦB =
∫
~B · d~A = ∫ BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e´
dada pela taxa de variac¸a˜o do fluxo
magne´tico, com o sinal negativo, atrave´s da
a´rea delimitada pela espira.
ε = −N dΦB
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Faraday
I O fenoˆmeno comum em todos os efeitos de
induc¸a˜o e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s de um circuito.
I Para um elemento de a´rea infinitesimal d~A
em um campo magne´tico ~B, o elemento de
fluxo magne´tico e´ dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada a´rea e´
dada por, ΦB =
∫
~B · d~A = ∫ BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e´
dada pela taxa de variac¸a˜o do fluxo
magne´tico, com o sinal negativo, atrave´s da
a´rea delimitada pela espira.
ε = −N dΦB
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Faraday
I O fenoˆmeno comum em todos os efeitos de
induc¸a˜o e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico
atrave´s de um circuito.
I Para um elemento de a´rea infinitesimal d~A
em um campo magne´tico ~B, o elemento de
fluxo magne´tico e´ dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada a´rea e´
dada por, ΦB =
∫
~B · d~A = ∫ BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e´
dada pela taxa de variac¸a˜o do fluxo
magne´tico, com o sinal negativo, atrave´s da
a´rea delimitada pela espira.
ε = −N dΦB
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de induc¸a˜o
magne´tica e´ tal que ele se opo˜e a` causa que
produz o efeito.
I Quando o fluxo magne´tico varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magne´tico.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo e´ oposto ao campo original
quando ele estiver crescendo.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo possui o mesmo sentido do
campo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opo˜e a` variac¸a˜o do
fluxo magne´tico atrave´s do circuito (e na˜o ao
proprio fluxo).
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de induc¸a˜o
magne´tica e´ tal que ele se opo˜e a` causa que
produz o efeito.
I Quando o fluxo magne´tico varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magne´tico.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo e´ oposto ao campo original
quando ele estiver crescendo.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo possui o mesmo sentido do
campo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opo˜e a` variac¸a˜o do
fluxo magne´tico atrave´s do circuito (e na˜o ao
proprio fluxo).
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de induc¸a˜o
magne´tica e´ tal que ele se opo˜e a` causa que
produz o efeito.
I Quandoo fluxo magne´tico varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magne´tico.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo e´ oposto ao campo original
quando ele estiver crescendo.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo possui o mesmo sentido do
campo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opo˜e a` variac¸a˜o do
fluxo magne´tico atrave´s do circuito (e na˜o ao
proprio fluxo).
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de induc¸a˜o
magne´tica e´ tal que ele se opo˜e a` causa que
produz o efeito.
I Quando o fluxo magne´tico varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magne´tico.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo e´ oposto ao campo original
quando ele estiver crescendo.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo possui o mesmo sentido do
campo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opo˜e a` variac¸a˜o do
fluxo magne´tico atrave´s do circuito (e na˜o ao
proprio fluxo).
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de induc¸a˜o
magne´tica e´ tal que ele se opo˜e a` causa que
produz o efeito.
I Quando o fluxo magne´tico varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magne´tico.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo e´ oposto ao campo original
quando ele estiver crescendo.
I No interior da a´rea limitada pelo circuito,
esse campo possui o mesmo sentido do
campo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opo˜e a` variac¸a˜o do
fluxo magne´tico atrave´s do circuito (e na˜o ao
proprio fluxo).
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versa˜o simples de um alternador e´ uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e´ uniforme e
constante.
I Calcule a fem induzida.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versa˜o simples de um alternador e´ uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e´ uniforme e
constante.
I Calcule a fem induzida.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versa˜o simples de um alternador e´ uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e´ uniforme e
constante.
I Calcule a fem induzida.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versa˜o simples de um alternador e´ uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e´ uniforme e
constante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versa˜o simples de um alternador e´ uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e´ uniforme e
constante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)
dΦB
dt
= −BAω sin(ωt)
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versa˜o simples de um alternador e´ uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e´ uniforme e
constante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)
dΦB
dt
= −BAω sin(ωt)
ε = −N dΦB
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versa˜o simples de um alternador e´ uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e´ uniforme e
constante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)
dΦB
dt
= −BAω sin(ωt)
ε = −N dΦB
dt
ε = NBAω sin(ωt)
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera´,
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera´,
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera´,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera´,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida me´dia e´ encontrada
substituindo | sin(ωt)| por seu valor me´dio.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera´,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida me´dia e´ encontrada
substituindo | sin(ωt)| por seu valor me´dio.
(| sin(ωt)|)med =
1
T/2
∫ T/2
0
sin(ωt)dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera´,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida me´dia e´ encontrada
substituindo | sin(ωt)| por seu valor me´dio.
(| sin(ωt)|)med =
1
T/2
∫ T/2
0
sin(ωt)dt
(| sin(ωt)|)med =
1
pi/ω
∫ pi/ω
0
sin(ωt)dt =
2
pi
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera´,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida me´dia e´ encontrada
substituindo | sin(ωt)| por seu valor me´dio.
(| sin(ωt)|)med =
1
T/2
∫ T/2
0
sin(ωt)dt
(| sin(ωt)|)med =
1
pi/ω
∫ pi/ω
0
sin(ωt)dt =
2
pi
εmed =
2NBAω
pi
ou ω =
piεmed
2NBA
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.dΦB = BdA = BLvdt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt
= BLv
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt
= BLv
ε = −N dΦB
dt
= −BLv
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt
= BLv
ε = −N dΦB
dt
= −BLv
I =
|ε|
R
=
BLv
R
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt
= BLv
ε = −N dΦB
dt
= −BLv
I =
|ε|
R
=
BLv
R
Potdiss = I
2R =
B2L2v2
R
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt
= BLv
ε = −N dΦB
dt
= −BLv
I =
|ε|
R
=
BLv
R
Potdiss = I
2R =
B2L2v2
R
~F = I~L× ~B ⇒ F = ILB
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta´ imerso em
~B que e´ uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e´ puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt
= BLv
ε = −N dΦB
dt
= −BLv
I =
|ε|
R
=
BLv
R
Potdiss = I
2R =
B2L2v2
R
~F = I~L× ~B ⇒ F = ILB
Potdiss = Fv = ILBv =
BLv
R
LBv =
B2L2v2
R
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magne´tico as cargas sofrem uma forc¸a
magne´tica dada por,
~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forc¸a criara´ uma separac¸a˜o de cargas
criado assim uma forc¸a ele´trica dada por:
~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equil´ıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com
~v , aparece uma diferenc¸a de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:
Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magne´tico as cargas sofrem uma forc¸a
magne´tica dada por,
~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forc¸a criara´ uma separac¸a˜o de cargas
criado assim uma forc¸a ele´trica dada por:
~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equil´ıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com
~v , aparece uma diferenc¸a de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:
Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magne´tico as cargas sofrem uma forc¸a
magne´tica dada por,
~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forc¸a criara´ uma separac¸a˜o de cargas
criado assim uma forc¸a ele´trica dada por:
~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equil´ıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com
~v , aparece uma diferenc¸a de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:
Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magne´tico as cargas sofrem uma forc¸a
magne´tica dada por,
~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forc¸a criara´ uma separac¸a˜o de cargas
criado assim uma forc¸a ele´trica dada por:
~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equil´ıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com
~v , aparece uma diferenc¸a de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:
Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magne´tico as cargas sofrem uma forc¸a
magne´tica dada por,
~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forc¸a criara´ uma separac¸a˜o de cargas
criado assim uma forc¸a ele´trica dada por:
~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equil´ıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com
~v , aparece uma diferenc¸a de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:
Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
dW = ~F · d~l
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
dW = ~F · d~l
dW = qdε
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
dW = ~F · d~l
dW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
dW = ~F · d~l
dW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
dW = ~F · d~l
dW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
ε =
∮
(~v × ~B) · d~l
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
dW = ~F · d~l
dW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
ε =
∮
(~v × ~B) · d~l
Considere um disco que gira com velocidade
angular ω contante. Calcule a fem.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
dW = ~F · d~l
dW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
ε =
∮
(~v × ~B) · d~l
Considere um disco que gira com velocidade
angular ω contante. Calcule a fem.
dε = (~v × ~B) · d~l = vBrˆ · d~l = ωrBdr
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Forc¸a Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
dW = ~F · d~l
dW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
ε =
∮
(~v × ~B) · d~l
Considere um disco que gira com velocidade
angular ω contante. Calcule a fem.
dε = (~v × ~B) · d~l = vBrˆ · d~l = ωrBdr
ε =
∫ R
0
ωBrdr =
1
2
ωBR2
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
O campo ~B gerado por um soleno´ide com n
espiras por unidade de comprimento
transportando umacorrente I e´ dado por,
B = µ0nI
I Qual a forc¸a que atua sobre as cargas
obrigando-as a se mover ao longo do
circuito?
I Somos forc¸ados a concluir que se trata de
um campo ele´trico induzido no condutor
produzido pela variac¸a˜o do fluxo magne´tico.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
O campo ~B gerado por um soleno´ide com n
espiras por unidade de comprimento
transportando uma corrente I e´ dado por,
B = µ0nI
O fluxo magne´tico na espira com a´rea ~A tomada
na mesma direc¸a˜o e sentido de ~B sera´,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
I Qual a forc¸a que atua sobre as cargas
obrigando-as a se mover ao longo do
circuito?
I Somos forc¸ados a concluir que se trata de
um campo ele´trico induzido no condutor
produzido pela variac¸a˜o do fluxo magne´tico.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
O fluxo magne´tico na espira com a´rea ~A tomada
na mesma direc¸a˜o e sentido de ~B sera´,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
Quando a corrente variar no tempo a fem
induzida sera´,
ε = −dΦB
dt
= −µ0nA dI
dt
I Qual a forc¸a que atua sobre as cargas
obrigando-as a se mover ao longo do
circuito?
I Somos forc¸ados a concluir que se trata de
um campo ele´trico induzido no condutor
produzido pela variac¸a˜o do fluxo magne´tico.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
O fluxo magne´tico na espira com a´rea ~A tomada
na mesma direc¸a˜o e sentido de ~B sera´,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
Quando a corrente variar no tempo a fem
induzida sera´,
ε = −dΦB
dt
= −µ0nA dI
dt
Dado a resisteˆncia R, da bobina enta˜o a corrente
induzida I
′
, sera´:
I
′
=
ε
R
= −µ0nA
R
dI
dt
I Qual a forc¸a que atua sobre as cargas
obrigando-as a se mover ao longo do
circuito?
I Somos forc¸ados a concluir que se trata de
um campo ele´trico induzido no condutor
produzido pela variac¸a˜o do fluxo magne´tico.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
O fluxo magne´tico na espira com a´rea ~A tomada
na mesma direc¸a˜o e sentido de ~B sera´,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
Quando a corrente variar no tempo a fem
induzida sera´,
ε = −dΦB
dt
= −µ0nA dI
dt
Dado a resisteˆncia R, da bobina enta˜o a corrente
induzida I
′
, sera´:
I
′
=
ε
R
= −µ0nA
R
dI
dt
I Qual a forc¸a que atua sobre as cargas
obrigando-as a se mover ao longo do
circuito?
I Somos forc¸ados a concluir que se trata de
um campo ele´trico induzido no condutor
produzido pela variac¸a˜o do fluxo magne´tico.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
O fluxo magne´tico na espira com a´rea ~A tomada
na mesma direc¸a˜o e sentido de ~B sera´,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
Quando a corrente variar no tempo a fem
induzida sera´,
ε = −dΦB
dt
= −µ0nA dI
dt
Dado a resisteˆncia R, da bobina enta˜o a corrente
induzida I
′
, sera´:
I
′
=
ε
R
= −µ0nA
R
dI
dt
I Qual a forc¸a que atua sobre as cargas
obrigando-as a se mover ao longo do
circuito?
I Somos forc¸ados a concluir que se trata de
um campo ele´trico induzido no condutor
produzido pela variac¸a˜o do fluxo magne´tico.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
W = q
∮
~E · d~l = qε.
I Logo o campo ele´trico induzido na˜o e´
conservativo, porque a integral de linha do
campo ele´trico em um circuito fechada na˜o
e´ igual a zero.
I No entanto e´ igual a,
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
W = q
∮
~E · d~l = qε.
I Logo o campo ele´trico induzido na˜o e´
conservativo, porque a integral de linha do
campo ele´trico em um circuito fechada na˜o
e´ igual a zero.
I No entanto e´ igual a,
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
W = q
∮
~E · d~l = qε.
I Logo o campo ele´trico induzido na˜o e´
conservativo, porque a integral de linha do
campo ele´trico em um circuito fechada na˜o
e´ igual a zero.
I No entanto e´ igual a,
ε =
∮
~E · d~l
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
W = q
∮
~E · d~l = qε.
I Logo o campo ele´trico induzido na˜o e´
conservativo, porque a integral de linha do
campo ele´trico em um circuito fechada na˜o
e´ igual a zero.
I No entanto e´ igual a,
ε =
∮
~E · d~l
ε = −dΦB
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
W = q
∮
~E · d~l = qε.
I Logo o campo ele´trico induzido na˜o e´
conservativo, porque a integral de linha do
campo ele´trico em um circuito fechada na˜o
e´ igual a zero.
I No entanto e´ igual a,
ε =
∮
~E · d~l
ε = −dΦB
dt∮
~E · d~l = −dΦB
dt
Va´lida somente quando o percurso utilizado na
integrac¸a˜o permanece constante.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
ε =
∮
~E · d~l
ε = −dΦB
dt∮
~E · d~l = −dΦB
dt
Va´lida somente quando o percurso utilizado na
integrac¸a˜o permanece constante.
• Do teorema de Stokes temos que,∮
~E · d~l =
∫
S
(∇× ~E) · d~A
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
ε =
∮
~E · d~l
ε = −dΦB
dt∮
~E · d~l = −dΦB
dt
Va´lida somente quando o percurso utilizado na
integrac¸a˜o permanece constante.
• Do teorema de Stokes temos que,∮
~E · d~l =
∫
S
(∇× ~E) · d~A
− dΦB
dt
=
∫
S
(−∂
~B
∂t
) · d~A
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Campos Ele´tricos Induzidos
ε =
∮
~E · d~l
ε = −dΦB
dt∮
~E · d~l = −dΦB
dt
Va´lida somente quando o percurso utilizado na
integrac¸a˜o permanece constante.
• Do teorema de Stokes temos que,∮
~E · d~l =
∫
S
(∇× ~E) · d~A
− dΦB
dt
=
∫
S
(−∂
~B
∂t
) · d~A
∇× ~E = −∂
~B
∂t
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atrave´s do campo
magne´tico e possui uma fem induzida
atrave´s dele.
I Os setores Oa e Oc na˜o esta˜o no campo
magne´tico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atrave´s do campo
magne´tico e possui uma fem induzida
atrave´s dele.
I Os setores Oa e Oc na˜o esta˜o no campo
magne´tico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atrave´s do campo
magne´tico e possui uma fem induzida
atrave´s dele.
I Os setores Oa e Oc na˜o esta˜o no campo
magne´tico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atrave´s do campo
magne´tico e possui uma fem induzida
atrave´s dele.
I Os setores Oa e Oc na˜o esta˜o no campo
magne´tico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicac¸a˜o:
I Detectores de metais.
I Freios magne´ticos.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atrave´s do campo
magne´tico e possui uma fem induzida
atrave´s dele.
I Os setores Oa e Oc na˜o esta˜o no campo
magne´tico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicac¸a˜o:
I Detectoresde metais.
I Freios magne´ticos.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atrave´s do campo
magne´tico e possui uma fem induzida
atrave´s dele.
I Os setores Oa e Oc na˜o esta˜o no campo
magne´tico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicac¸a˜o:
I Detectores de metais.
I Freios magne´ticos.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Generalizac¸a˜o da Lei de Ampe`re
I A lei de Ampere: equac¸a˜o esta´ incompleta!∮
~B · d~l = µ0Iliq
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Generalizac¸a˜o da Lei de Ampe`re
I A lei de Ampere: equac¸a˜o esta´ incompleta!∮
~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conduc¸a˜o ic
de uma placa para outra. A carga Q
aumenta e o campo ele´trico ~E entre as
placas aumenta.
I Da superf´ıcie plana vemos que:
I Da superf´ıcie projetada vemos que:
I Algo esta´ errado, pois o caminho fechado e´
o mesmo!
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Generalizac¸a˜o da Lei de Ampe`re
I A lei de Ampere: equac¸a˜o esta´ incompleta!∮
~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conduc¸a˜o ic
de uma placa para outra. A carga Q
aumenta e o campo ele´trico ~E entre as
placas aumenta.
I Da superf´ıcie plana vemos que:
I Da superf´ıcie projetada vemos que:
I Algo esta´ errado, pois o caminho fechado e´
o mesmo!
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Generalizac¸a˜o da Lei de Ampe`re
I A lei de Ampere: equac¸a˜o esta´ incompleta!∮
~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conduc¸a˜o ic
de uma placa para outra. A carga Q
aumenta e o campo ele´trico ~E entre as
placas aumenta.
I Da superf´ıcie plana vemos que:
I Da superf´ıcie projetada vemos que:
I Algo esta´ errado, pois o caminho fechado e´
o mesmo!
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Generalizac¸a˜o da Lei de Ampe`re
I A lei de Ampere: equac¸a˜o esta´ incompleta!∮
~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conduc¸a˜o ic
de uma placa para outra. A carga Q
aumenta e o campo ele´trico ~E entre as
placas aumenta.
I Da superf´ıcie plana vemos que:
I Da superf´ıcie projetada vemos que:
I Algo esta´ errado, pois o caminho fechado e´
o mesmo!
∮
~B · d~l = µ0ic
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Generalizac¸a˜o da Lei de Ampe`re
I A lei de Ampere: equac¸a˜o esta´ incompleta!∮
~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conduc¸a˜o ic
de uma placa para outra. A carga Q
aumenta e o campo ele´trico ~E entre as
placas aumenta.
I Da superf´ıcie plana vemos que:
I Da superf´ıcie projetada vemos que:
I Algo esta´ errado, pois o caminho fechado e´
o mesmo!
∮
~B · d~l = µ0ic∮
~B · d~l = 0
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Generalizac¸a˜o da Lei de Ampe`re
I A lei de Ampere: equac¸a˜o esta´ incompleta!
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conduc¸a˜o ic
de uma placa para outra. A carga Q
aumenta e o campo ele´trico ~E entre as
placas aumenta.
I Da superf´ıcie plana vemos que:
I Da superf´ıcie projetada vemos que:
I Algo esta´ errado, pois o caminho fechado e´
o mesmo!∮
~B · d~l = µ0ic∮
~B · d~l = 0
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Na superf´ıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo ele´trico ΦE que
atravessa essa superf´ıcie aumenta.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Na superf´ıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo ele´trico ΦE que
atravessa essa superf´ıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Na superf´ıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo ele´trico ΦE que
atravessa essa superf´ıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =
�0A
d
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Na superf´ıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo ele´trico ΦE que
atravessa essa superf´ıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =
�0A
d
v(t) = E(t)d
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Na superf´ıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo ele´trico ΦE que
atravessa essa superf´ıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =
�0A
d
v(t) = E(t)d
q(t) =
�0A
d
dE(t) = �0AE(t)
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Na superf´ıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo ele´trico ΦE que
atravessa essa superf´ıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =
�0A
d
v(t) = E(t)d
q(t) =
�0A
d
dE(t) = �0AE(t)
q(t) = �0ΦE (t)
ic (t) =
dq(t)
dt
= �0
dΦE (t)
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Na superf´ıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo ele´trico ΦE que
atravessa essa superf´ıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =
�0A
d
v(t) = E(t)d
q(t) =
�0A
d
dE(t) = �0AE(t)
q(t) = �0ΦE (t)
ic (t) =
dq(t)
dt
= �0
dΦE (t)
dt
I Definiremos que existe uma corrente na
regia˜o entre as placas, chamada de corrente
de deslocamento iD , dada por:
iD (t) = �0
dΦE (t)
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Definiremos que existe uma corrente na
regia˜o entre as placas, chamada de corrente
de deslocamento iD , dada por:
iD (t) = �0
dΦE (t)
dt
I A lei de Ampere se tornara´:∮
~B · d~l = µ0(ic + iD )lig∮
~B · d~l = µ0
(
ic + �0
dΦE
dt
)
liq
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
I Definiremos que existe uma corrente na
regia˜o entre as placas, chamada de corrente
de deslocamento iD , dada por:
iD (t) = �0
dΦE (t)
dt
I A lei de Ampere se tornara´:∮
~B · d~l = µ0(ic + iD )lig∮
~B · d~l = µ0
(
ic + �0
dΦE
dt
)
liq
I Podemos definir uma densidade de corrente
de deslocamento ~JD por:
iD =
∫
~JD · d~A =
∫ (
�0
d~E
dt
)
· d~A
~JD = �0
d~E
dt
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2pirB = µ0jD A
I Esse resultado e´ confirmado
experimentalmente.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2pirB = µ0jD A
2pirB = µ0
ic
piR2
pir2
I Esse resultado e´ confirmado
experimentalmente.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2pirB = µ0jDA
2pirB = µ0
ic
piR2
pir2
B =
µ0
2pi
r
R2
ic , se r < R
I Esse resultado e´ confirmado
experimentalmente.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2pirB = µ0jD A
2pirB = µ0
ic
piR2
pir2
B =
µ0
2pi
r
R2
ic , se r < R
B =
µ0
2pi
ic
R
, se r ≥ R
I Esse resultado e´ confirmado
experimentalmente.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2pirB = µ0jD A
2pirB = µ0
ic
piR2
pir2
B =
µ0
2pi
r
R2
ic , se r < R
B =
µ0
2pi
ic
R
, se r ≥ R
I Esse resultado e´ confirmado
experimentalmente.
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Equac¸o˜es de Maxwell para o Eletromagnetismo
∮
~f · d~A =
∫
(∇ · ~f )dV ;
∮
~f · d~l =
∫
(∇× ~f ) · d~A
Q =
∫
ρdV ; I =
∫
~J · d~A ; Φf =
∫
~f · d~A
∮
~E · d~A = QLig
�0
∇ · ~E = ρ
�0
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Equac¸o˜es de Maxwell para o Eletromagnetismo
∮
~f · d~A =
∫
(∇ · ~f )dV ;
∮
~f · d~l =
∫
(∇× ~f ) · d~A
Q =
∫
ρdV ; I =
∫
~J · d~A ; Φf =
∫
~f · d~A
∮
~E · d~A = QLig
�0∮
~B · d~A = 0
∇ · ~E = ρ
�0
∇ · ~B = 0
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Equac¸o˜es de Maxwell para o Eletromagnetismo
∮
~f · d~A =
∫
(∇ · ~f )dV ;
∮
~f · d~l =
∫
(∇× ~f ) · d~A
Q =
∫
ρdV ; I =
∫
~J · d~A ; Φf =
∫
~f · d~A
∮
~E · d~A = QLig
�0∮
~B · d~A = 0∮
~E · d~l = −dΦB
dt
∇ · ~E = ρ
�0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂
~B
∂t
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
Equac¸o˜es de Maxwell para o Eletromagnetismo
∮
~f · d~A =
∫
(∇ · ~f )dV ;
∮
~f · d~l =
∫
(∇× ~f ) · d~A
Q =
∫
ρdV ; I =
∫
~J · d~A ; Φf =
∫
~f · d~A
∮
~E · d~A = QLig
�0∮
~B · d~A = 0∮
~E · d~l = −dΦB
dt∮
~B · d~l = µ0
(
Ic + �0
dΦE
dt
)
liq
∇ · ~E = ρ
�0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂
~B
∂t
∇× ~B = µ0~Jc + µ0�0 ∂
~E
∂t
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A luz como uma onda eletromagne´tica
I No va´cuo, na˜o existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇ · ~E = 0
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A luz como uma onda eletromagne´tica
I No va´cuo, na˜o existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A luz como uma onda eletromagne´tica
I No va´cuo, na˜o existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B
∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂
~B
∂t
) = −∂(∇×
~B)
∂t
∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0�0 ∂
~E
∂t
) = µ0�0
∂(∇× ~E)
∂t
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂
~B
∂t
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A luz como uma onda eletromagne´tica
I No va´cuo, na˜o existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B
∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂
~B
∂t
) = −∂(∇×
~B)
∂t
∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0�0 ∂
~E
∂t
) = µ0�0
∂(∇× ~E)
∂t
∇× (∇× ~E) = −µ0�0 ∂
2~E
∂t2
∇× (∇× ~B) = −µ0�0 ∂
2~B
∂t2
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂
~B
∂t
∇× ~B = µ0�0 ∂
~E
∂t
Cap´ıtulo 29 - Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Corrente de deslocamento e equac¸o˜es de Maxwell
A luz como uma onda eletromagne´tica
I No va´cuo, na˜o existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B
∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂
~B
∂t
) = −∂(∇×
~B)
∂t
∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0�0 ∂
~E
∂t
) = µ0�0
∂(∇× ~E)
∂t
∇× (∇× ~E) = −µ0�0 ∂
2~E
∂t2
∇× (∇× ~B) = −µ0�0 ∂
2~B
∂t2
−∇2~E = −µ0�0 ∂
2~E
∂t2
−∇2~B = −µ0�0 ∂
2~B
∂t2
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂
~B
∂t
∇× ~B = µ0�0 ∂
~E
∂t
∂2y(x , t)
∂x2
=
1
v2
∂2y(x , t)
∂t2
Equac¸a˜o de Onda
	Introdução
	Experiências de Indução
	Lei de Faraday
	Lei de Lenz
	Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
	Campos Elétricos Induzidos
	Correntes de Foucault
	Corrente de deslocamento e equações de Maxwell