TAXAS_RELACIONADAS

Prévia do material em texto

TAXAS RELACIONADAS 
 
Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de 
Problema de Taxas Relacionadas. 
Nestes problemas, as variáveis têm uma relação específica para os valores de t, onde t é 
a medida do tempo. Os valores das variáveis e as taxas de variação das variáveis em 
relação à t são freqüentemente dados num determinado instante. 
Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas 
envolvendo taxas relacionadas: 
Passo 1: Faça uma figura, se isso for possível; 
Passo 2: Defina as variáveis. Em geral, defina primeiro t, pois as variáveis relacionadas 
dependem de t ; 
Passo 3: Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas 
derivadas em relação à t ; 
Passo 4: Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t ; 
Passo 5: Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4; 
Passo 6: Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva 
em termos da quantidade desejada; 
 
Exemplos 
1-) Uma partícula move – se ao longo do gráfico da curva y = x3+1, de modo que 
quando x = 6, a abscissa cresce a uma velocidade de 2 cm/seg. Qual é a velocidade de 
crescimento da ordenada nesse instante? 
 
2-)Se a área de um círculo é crescente a uma taxa constante de 4 cm2/s, a que taxa está 
crescendo o raio no instante em que o raio é de 5 cm? 
 
3-)O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a 
uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro 
for 50 cm? 
 
4-)Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 1,5 m/s. Um 
holofote localizado no chão à 6 m do caminho é mantido focalizado no homem. A que 
taxa o holofote está girando quando o homem está a 8 m do ponto do caminho mais 
próximo da luz? 
5-)Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se 
o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando – se da parede a 3 unidades de 
comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando 
o seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede? 
 
6-)Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de 4 cm/seg, 
enquanto os outros dois lados diminuem, de tal modo, que o retângulo resultante 
permanece com área constante de 100 cm2. Qual é a velocidade com que o perímetro 
diminui quando o comprimento do lado que aumenta é de 20 cm? Quais sãos as 
dimensões do retângulo, quando o perímetro deixa de diminuir? 
 
7-)Duas rodovias interceptam-se perpendicularmente. O carro A numa rodovia está a ½ 
km da interseção e se move a uma razão de 96 km/h, enquanto o carro B na outra 
rodovia está a 1 km da interseção e caminha para ela a uma razão de 120 km/h. A que 
razão está variando a distância entre os dois carros nesse instante? 
 
8-)A água está escoando para fora de um funil, na forma de um cone virado, a uma 
vazão de 3 cm3/s. O funil possui um raio de 2 cm e altura de 8 cm. Quão rápido abaixará 
o nível de água que se escoa quando ela estiver a 3 cm do topo? 
 
9-)A pressão P e o volume V de uma amostra de gás que sofre uma expansão adiabática 
estão relacionados pela equação: 
CPV =57 
Onde C é uma constante. Num determinado instante, o volume de tal amostra é 4 cm3, a 
pressão é de 4.000 Kg/cm2 e o volume está crescendo a uma taxa constante de 2 cm3/s. 
A que razão a pressão está variando neste instante?