LGS Gestão de Stocks 05 06

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1
2005/2006 1
Gestão e Teoria da Decisão
Logística e Gestão de Stocks
§
Gestão de Stocks
Licenciatura em Engenharia Civil
Licenciatura em Engenharia do Território
20
05
/2
00
6
2
1. O papel dos stocks
2. Classificação dos Modelos de Gestão de Stocks
3. Composição do custo associados aos stocks
4. Modelos Determinísticos
n Reposição instantânea sem rotura; Reposição instantânea com rotura; 
Reposição não instantânea sem rotura; Reposição não instantânea com rotura
5. Modelos Estocásticos:
n Aleatoriedade da procura e do tempo de entrega; Gestão de stocks por Nível 
de Encomenda (M); Gestão de stocks por Revisão Cíclica
6. Comparação da gestão de stocks por Nível de Encomenda com a 
gestão por Revisão Cíclica
7. Medidas de desempenho
8. Análise ABC
9. Sistemas hierárquicos:
n Planeamento MRP; Planeamento DRP; Just-in-Time
Gestão de Stocks 
Agenda
2
20
05
/2
00
6
3
Gestão de Stocks 
O Papel dos Stocks nas Organizações
• Razões para as organizações manterem 
inventários:
1. obtenção de economias de escala
2. o equilíbrio entre a procura e a oferta
3. especialização na produção
4. providencia protecção contra incertezas na procura 
e no ciclo de encomenda
5. actua como um buffer (protecção) entre interfaces 
críticas no canal de distribuição
20
05
/2
00
6
4
Gestão de Stocks 
O Papel dos Stocks nas Organizações
• Cadeia logística 
• Filosofia push – produção/movimentação do produto com base 
em previsões
• Filosofia pull – produção/movimentação do produto com base 
em informação do cliente (notas de encomenda)
• Informação rápida, de qualidade e automática (=> EDI, 
Internet…) @ stocks => visibilidade 
FornecedorFornecedor FabricanteFabricante DistribuidorDistribuidor RetalhistaRetalhista ClienteCliente
push pull
Ponto de desacoplagem
3
20
05
/2
00
6
5
Gestão de Stocks 
Classificação Modelos de Gestão de Stocks
Sistema de gestão de stocks E
E (Stock)
I
(abastecimento)
D
(procura)
T
Q
T T
Abastecimento
Tempo
Procura
r
Tempo
Taxa de procura
Q
T T
Stock
Tempo
T
Q – Quantidade de compra/Encomenda
Abastecimento
T1
p
T1 T2
Tempo
Procura
r
Tempo
p – Taxa de produção
Q
Stock
Tempo
T1T1 T2
T
Q = T.r Q = p.T1 =T.r
20
05
/2
00
6
6
Gestão de Stocks 
Classificação Modelos de Gestão de Stocks
Procura Regular 
ou
Independente
Procura Irregular 
ou
Dependente
Determinísticos Aleatórios MRP
Material
Requirements
Planning
DRP
Distribution
Requirements
Planning
A procura oscila 
em torno de um 
valor médio
Criação de 
Stocks de 
segurança
4
20
05
/2
00
6
7
Gestão de Stocks 
Classificação Modelos de Gestão de Stocks
• Que quantidade encomendar?
• Quando?..
• Com que critério?..usualmente procura-se a minimização dos custos:
– Rotura versus excesso de stocks
• Na totalidade do ano há sempre que comprar 1200 unidades!
100
600
1200
1 6 12mês
Quantidade
Encomendada
1 x 1200 unidades => 600 
unidades em média em stock
2 * 600 unidades => 300 
unidades em média em stock
12 x 100 unidades => 50 
unidades em média em stock
20
05
/2
00
6
8
Gestão de Stocks 
Custos de Funcionamento de um Sistema de Stocks
1. Custo (variável) de aquisição
• Usualmente proporcionais à quantidade adquirida, podendo haver desconto de 
quantidade
2. Custo (fixo) de encomenda
• Custo administrativo da encomenda (lançamento, controlo e recepção), não 
dependente da quantidade adquirida
3. Custo de posse (manutenção do artigo em stock)
• Custos directos:
• Armazém / Espaço
• Pessoal / Equipamento para movimentação, seguros, impostos, danos, roubos, 
obsolescência 
• Custo de oportunidade do capital
\ Usualmente proporcionais ao stock médio (ou ao stock máximo em algumas 
parcelas) e ao tempo
4. Custo de rotura (carência ou falta do artigo)
• Penalidades ocorridas resultantes da falta do artigo
• Usualmente proporcionais:
• À quantidade em falta (média / máxima)
• Ao tempo de carência
5
20
05
/2
00
6
9
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
A – custo administrativo da encomenda
C2– custo de posse por unidade de tempo, por unidade
CT– custo por ciclo
T
2
Q
CposseCusto 2 ÷
ø
ö
ç
è
æ=_
Q
T T
Stock
Tempo
T
T – comprimento do ciclo
Q – lote
r – taxa da procura
(Q/2) = stock 
médio
T
2
Q
CAC 2T ÷
ø
ö
ç
è
æ+= QC1+
Custo de aquisição – se 
for C1 for constante 
pode ser excluído
20
05
/2
00
6
10
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Custo por unidade de tempo
Como 
Determinar o Q que minimiza o custo por unidade de tempo 
÷
ø
ö
ç
è
æ+==
2
Q
C
T
A
T
C
K 2
T
T
QC1+
rTQ ×=
÷
ø
ö
ç
è
æ+
×
=
2
Q
C
Q
rA
K 2 rC1 ×+
(r/Q) = n.º de encomendas
0
2
C
Q
rA
dQ
dK 2
2
=+
×
-=
6
20
05
/2
00
6
11
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo
2C
rA2
Q
×
=*
EOQ (Economical 
Order Quantity)
Q
Custo de 
posse
Custo de 
encomenda
Custo Total
K
Q*
K*
2ArC2K =
*
20
05
/2
00
6
12
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo 
– Custo de transporte: bQa +
Custo 
fixo
Custo variável 
(por unidade)
( )
( ) ( ) T
2
Q
CQbCaA
bQaT
2
Q
CQCAC
2
C
1
A
21T
'
1
'
++++=
++++=
321321
2
'
C
rA2
Q
×
=*
7
20
05
/2
00
6
13
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo 
– Custo de armazenagem proporcional ao stock máximo (e ao 
Tempo):
( )
2
Q
C2CrC
Q
Ar
QC
2
Q
C
T
QC
T
A
T
C
k
QTCT
2
Q
CQCAC
'
2C
a21
a2
1T
a21T
43421 +++=
+++==
+++=
'
2C
rA2
Q
×
=*
aC
20
05
/2
00
6
14
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Com Rotura
Custo (fixo) de encomenda: A
Custo de posse: 
Custo de rotura:
Custo (total) por ciclo:
r
S
T
r
SQ
T
2
1
=
-
=Q
T1 T2
Stock
Tempo
T=T1+T2
Q-S
S ?S
?Q
=
=
12 T2
SQ
C
-
23 T2
S
C
C3 - custo de rotura por unidade 
em falta e unidade de tempo
QCT
2
S
CT
2
SQ
CAC 12312T ++
-
+=
8
20
05
/2
00
6
15
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Com Rotura
( )
T
Q
C
T
S
r2
C
T
SQ
r2
C
T
A
T
C
K 1
2
3
2
2T ++
-
+==
QCT
2
S
CT
2
SQ
CAC 12312T ++
-
+= substituindo T1 e T2
mas como T=Q/r
( )
rC
Q
S
2
C
Q
SQ
2
C
Q
Ar
K 1
2
3
2
2 ++
-
+=
ï
ï
î
ïï
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
=Þ=
¶
¶
++=Þ=
¶
¶
S
C
CC
Q0
S
K
SS
C
C
C
Ar2
Q0
Q
K
2
32
22
2
3
2
2
( )
rC
CC
C
ArC2K
CCC
1
ArC2S
C
C
1
C
Ar2
Q
1
32
3
2
*
323
2
*
3
2
2
*
+
+
=
+
=
+=
20
05
/2
00
6
16
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Não Instantânea Sem Rotura
p – taxa de produção/fornecimento
r – taxa de consumo
M – nível de existências máximo
M
T1 T2
Stock
Tempo
T=T1+T2
Declive = - r
Declive = p - r
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
-=
-=
=
=
p
r
1QM
p
Q
rQM
rTQM
pTQ
rTQ
1
1
A quantidade Q encomenda corresponde ao 
consumo em T e a produção em T1
Nota: uma vez determinado M ou Q, o outrovalor fica automaticamente determinado => 
modelo com uma única variável decisória
9
20
05
/2
00
6
17
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Não Instantânea Sem Rotura
rCQ
p
r
1
2
C
Q
Ar
K
T
QC
2
M
C
T
A
T
C
K
QCT
2
M
CAC
1
2
1
2
T
12T
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+=
++==
++=
Nota: quando a taxa de produção tende para 
infinito a reposição tende para ser instantânea
O nível médio do 
stock é M/2
rp
p
C
rA2
Q
2 -
×
=*
20
05
/2
00
6
18
Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Não Instantânea Com Rotura
( )
( )
( ) pr
rp
TT
QrTTTTTrQ
rp
rT
TrTrpTS
rp
rT
TrTrpTMq
32
4321
3
434
2
121
-
+
=Þ+++==
-
=Þ=-=
-
=Þ=-==
q
T1 T2
Stock
Tempo
T3 T4
S
?S
?Q
=
=
T
10
20
05
/2
00
6
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Gestão de Stocks 
Modelos Determinísticos:
Reposição Não Instantânea Com Rotura
( ) ( ) QCTT
2
S
CTT
2
q
CAC 1433212T +++++=
0
T
K
T
K
S
K
Q
K
T
C
K
32
T =
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
Þ=
Custo de posse Custo de rotura
Nota: O custo total depende 
de 4 parâmetros: Q, S, T2 e T3
( ) ( )
( )
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
=
+
+
÷
ø
öç
è
æ -
=
+
÷
ø
öç
è
æ -
=
+
÷
ø
öç
è
æ -
=
+
÷
ø
öç
è
æ -
=
3
32
2
1
32
32
*
332
2
3
232
2
232
3
2
C
CC
p
r1
1
C
rA2Q
rC
CC
p
r1ACC2
K
CCCr
p
r1AC2
T
CCC
p
r1AC2
S
CCCr
p
r1AC2
T
20
05
/2
00
6
20
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
• Em todos os modelos apresentados até agora admitiu-se 
que todas as variáveis são deterministicamente 
conhecidas!
• No caso geral, a realidade é aleatória, sendo necessário 
desenvolver modelos que permitam considerar 
explicitamente a aleatoriadade das variáveis que afectam 
o comportamento do sistema:
– Flutuações (aleatórias) da procura
– Flutuações (aleatórias) do tempo de reposição do stock
11
20
05
/2
00
6
21
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
• Variáveis decisórias:
– Quantidade a encomendar
– Instante de tempo em que essa encomenda é colocada
– Nota: ao contrário dos modelos determinísticos, a determinação do valor de 
uma das variáveis não fixa o valor da outra!
• O sistema de gestão de stocks deve adaptar-se automaticamente às 
flutuações da procura variando o tempo entre encomendas ou variando a 
quantidade a encomendar:
– Política do “nível de encomenda”, onde a quantidade a encomendar é fixa, 
sendo o instante em que a encomenda é colocada determinado pelas flutuações 
da procura
– Política da “revisão cíclica”, pelo contrário, o intervalo de tempo entre 
encomendas é fixo e a quantidade a encomendar varia com as flutuações da 
procura
20
05
/2
00
6
22
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
• Política do nível de encomenda
Uma encomenda é colocada sempre que o stock desce até um nível 
prefixado M (ponto de encomenda)
tempo
Stock
M
Q
Nível de 
existências
Nível de existências + encomendas
Recepção da encomenda
Colocação da encomenda
12
20
05
/2
00
6
23
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
tempo
Stock
M
• Política da revisão cíclica
As encomendas são colocada em intervalos fixos de tempo sendo variável 
a quantidade a encomendar, calculada por forma a elevar o stock-em-mão
mais a encomenda até um nível máximo M (nível de enchimento)
Pontos de revisão
Nível de existências + encomendas
Nível de 
existências
TT
t t t
Duração do 
ciclo
Tempo de 
reposição
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05
/2
00
6
24
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Medidas de Desempenho
i. Probabilidade rotura por ciclo (a) – este valor mede a 
probabilidade da procura durante o tempo de reposição exceder o 
ponto de encomenda, M
• Na presença da variabilidade significativa da procura durante o tempo de 
reposição, os sistemas de gestão de stocks são avaliados de acordo com dois 
indicadores:
– Risco de rotura ou o seu complementar (nível de serviço ou de protecção)
– Custo anual do sistema
• Há várias formas de medir o risco de rotura:
Consideremos duas políticas de gestão de stocks que diferem apenas da na duração do ciclo, 
tendo o mesmo a = 5%, e o mesmo número médio de unidades em falta por ciclo de 3:
Política 1: Q = 520 unidades suficientes para todo o ano => 1 ocasião para possível rotura
Política 2: Q = 10 unidades suficientes para uma semana => 52 ocasiões para possíveis roturas
\ Embora a seja igual, a ocorrência de roturas é muito mais frequente para lotes mais pequenos?!
13
20
05
/2
00
6
25
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Medidas de Desempenho
ii. Percentagem da procura satisfeita sem atrasos , também denominada 
vulgarmente com o nível de serviço – esta medida entra em consideração 
com o número médio de unidades em falta por ciclo ( ) e tamb ém com o 
número de ciclos por ano r/Q.
h
Procura anual – Procura não satisfeita imediatamente
Nível de serviço =
Procura anual
Q
1
r
Q
r
r
serviço_de_Nível h-=
h-
=
Calcular o nível de serviço para as duas situações alternativas:
%4,99994,0
520
31serviço_de_Nível ==-=
%707,0
10
31serviço_de_Nível ==-=
20
05
/2
00
6
26
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda 
tempo
t - tempo de entrega (ou de reposição)
Q – quantidade de encomenda fixa
T – duração do ciclo (variável)
x – quantidade em falta quando chega uma nova encomenda (variável)
t1 t2 t3
Recepção da encomenda
– 1ª Parte do ciclo: Existências > M. Não pode haver rotura
– 2ª Parte do ciclo: Existências < M. Duração =t
Pode haver rotura se a procura durante o tempo de entrega (x) exceder a 
disponibilidade (M): se x > M => Rotura!
T1 T2 T3
Stock
M
Nível de 
encomenda
Colocação da encomenda: Ponto de Revisão
x2
14
20
05
/2
00
6
27
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Probabilidade de rotura por ciclo: a
• Nível de protecção: (1 - a)
• Quantidade em falta quando chega uma nova encomenda: 
h(x,M)
( ) ( )å
+¥
+=
=>=a
1Mx
i
i
xhMxP
( )
î
í
ì
>
£
=h
M xseM-x
M xse0
M,x
20
05
/2
00
6
28
• Valor esperado da quantidade em falta por ciclo:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )å
å å
å
¥+
=
=
¥+
=
+¥
=
×-=h
×-+×h×=h
×h=h
Mx
ii
M
0x Mx
iii
0x
i
i
i i
i
xhMxM
xhMxxh0M
xhM
)M(h
h(x) – função massa de probabilidade da procura durante o tempo de reposição
Função de perdas
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
15
20
05
/2
00
6
29
• Exemplo
h(x)
10 %10 %
15 %15 %
50%
r(u/s)60 80 100 120 140
70100Média
0
0
0
20
40
40
20
0
-20
-40
10
15
50
15
10
60
80
100
120
140
Valores 
possíveis
Faltas
h
Stock-em-mão no fim 
do ciclo (M-procura)
Probabilidade
(%)
Procura no tempo 
de reposição
Tempo de reposição = 1 semana ; M = 100
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
20
05
/2
00
6
30
• Exemplo
– Stock de segurança, S: valor médio do stock no fim do ciclo, 
imediatamente antes de a encomenda chegar
– Neste caso S = 100 – 100 = 0
m-= MS
Procura média durante o 
tempo dereposição
40S%0140M
20S%10120M
0S%25100M
==a=
==a=
==a=
Probabilidade de rotura excessiva! 
Considerar valores de M mais elevados
( ) ( )å
+¥
+=
=>=a
1Mx
i
i
xhMxP
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
16
20
05
/2
00
6
31
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) 
para 2 semanas!
– É necessário determinar a distribuição da procura condicionada ao 
tempo de reposição de 2 semanas, admitindo-se a independência entre a 
procura em duas semanas consecutivas:
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
å
=
=
L
1i
irx
21 xxx +=
Procura na 1ª semana
Procura na 2ª semana
20
05
/2
00
6
32
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!
0,1 x 0,10 = 0,010
x 0,15 = 0,015
x 0,50 = 0,050
x 0,15 = 0,015
x 0,10 = 0,010
200
220
240
260
280
60
80
100
120
140
140
0,15 x 0,10 = 0,0150
x 0,15 = 0,0225
x 0,50 = 0,0750
x 0,15 = 0,0225
x 0,10 = 0,0150
180
200
220
240
260
60
80
100
120
140
120
0,5 x 0,10 = 0,050
x 0,15 = 0,075
x 0,50 = 0,250
x 0,15 = 0,075
x 0,10 = 0,050
160
180
200
220
240
60
80
100
120
140
100
0,15 x 0,10 = 0,0150
x 0,15 = 0,0225
x 0,50 = 0,0750
x 0,15 = 0,0225
x 0,10 = 0,0150
140
160
180
200
220
60
80
100
120
140
80
0,1 x 0,10 = 0,010
x 0,15 = 0,015
x 0,50 = 0,050
x 0,15 = 0,015
x 0,10 = 0,010
120
140
160
180
200
60
80
100
120
140
60
Probabilidade1ª+2ªsem2ªsemana1ªsemana
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
17
20
05
/2
00
6
33
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!
m = 200Procura média durante o tempo de reposição,
= 0,01
= 0,03
= 0,1225
= 0,18
= 0,315
= 0,18
= 0,1225
= 0,03
= 0,01
0,01
0,015+0,015
0,5+0,0225+0,05
0,015+0,075+0,075+0,015
0,01+0,0225+0,25+0,0225+0,01
0,015+0,075+0,075+0,015
0,5+0,0225+0,05
0,015+0,015
0,01
120
140
160
180
200
220
240
260
280
Probabilidade de ocorrênciaProcura
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
20
05
/2
00
6
34
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 
semanas!
– Notas:
• Para valores de a inferiores a 5% o stock de segurança para o 
tempo de reposição de 2 semanas cresce rapidamente
• Para a = 0 (não há rotura), para 2 semanas de tempo de reposição 
o valor do stock de segurança é o dobro do observado para 1 
semana
80S%0280M
60S%1260M
40S%4240M
20S%16220M
0S%34200M
==a=
==a=
==a=
==a=
==a=
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
18
20
05
/2
00
6
35
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável
– h(x) pode ser determinada através da análise de dados históricos
– Ou:
– Consideremos o exemplo anterior, sendo tempo de reposição é de 1 ou 2 
semanas, com igual probabilidade
( ) ( ) ( ) ttt= ò
+¥
dg|xfxh
0
Densidade probabilidade do tempo de reposição 
Densidade probabilidade condicionada da 
procura para um dado tempo de reposição, t
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
20
05
/2
00
6
36
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável
m = 150Procura média durante o tempo de reposição,
= 0,05
= 0,075
= 0,25
= 0,08
= 0,065
= 0,06125
= 0,09
= 0,1575
= 0,09
= 0,06125
= 0,015
= 0,005
0,5 x 0,1
0,5 x 0,15
0,5 x 0,5
0,5 x 0,15 + 0,5 x 0,01
0,5 x 0,10 + 0,5 x 0,03
0,5 x 0,1225
0,5 x 0,18
0,5 x 0,315
0,5 x 0,18
0,5 x 0,1225
0,5 x 0,03
0,5 x 0,01
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
Probabilidade de ocorrênciaProcura
P[x=120]=P[x=120/t=1]P[t=1]+P[x=120/t=2] P[t=2]
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
19
20
05
/2
00
6
37
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável
130S%0200M
110S%2200M
90S%2200M
70S%8200M
50S%17200M
30S%33180M
==a=
==a=
==a=
==a=
==a=
==a=
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
20
05
/2
00
6
38
• Exemplo – Stock de segurança em função da probabilidade de 
rotura por ciclo
0
20
40
60
80
100
120
140
0% 10% 20% 30% 40%
1 sem
2 sem
1 ou 2 sem
As empresas preferem fornecedores e distribuidores 
com tempos de reposição mais curtos e pouco 
variáveis – até estão disposta a pagar mais!
a(%)
S
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
20
20
05
/2
00
6
39
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Tempo de reposição constante e igual a L
– Procura média durante o tempo de reposição
å
=
=
L
1i
irx
Procura (aleatória) na unidade de tempo, num dado instante
( )
( )
rL
r
rE
rExE
L
1i
i
L
1i
i
L
1i
i
=m
=m
=m
ú
û
ù
ê
ë
é
==m
å
å
å
=
=
=
Procura média na unidade de tempo
Procura média durante o tempo de reposição
20
05
/2
00
6
40
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Tempo de reposição constante e igual a L
– Variância da procura, admitindo que a procura é independente de unidade de 
tempo para unidade de tempo
( )
( )
2
r
2
L
1i
2
i
2
L
1i
i
2
L
1i
i
2
L
rVAR
rVARxVAR
s=s
s=s
=s
ú
û
ù
ê
ë
é
==s
å
å
å
=
=
=
Variância da procura na unidade de tempo, constante
Variância da procura na durante o tempo de reposição
21
20
05
/2
00
6
41
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Quando x e t (tempo de reposição) são ambos variáveis: 
– A média e variância da procura durante o tempo de reposição:
Nota:
• Quando o tempo de reposição é fixo, estas expressões transformam-se 
nas anteriores
å
t
=
t
=
s+st=s
×t=m
1i
i
222
r
2
rx
r
r
Média e a variância do tempo de reposição
Média e a variância da procura durante do 
tempo de reposição
Tempo de reposição
Procura durante o tempo de entrega – soma das procuras nas 
unidades de tempo abrangidas pelo tempo de entrega
20
05
/2
00
6
42
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Exemplo
– Procura por semana
î
í
ì
=s
=
222 /sem ton225
 ton/sem100r
 Variância
 Média
î
í
ì
=s
=t
t
22 sem 0
sem 3
 Variância
 Média
i) Tempo de entrega (fixo)
Procura durante o tempo de entrega (x)
ï
î
ï
í
ì
»s
=´=s+ts=s
=´=×t=m
t
 ton26
ton6753225r 
 ton300100 3r
2222
r
2
î
í
ì
=s
=t
t
22 sem 25,0
sem 3
 Variância
 Média
ii) Tempo de entrega aleatório
Procura durante o tempo de entrega (x)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
»s
=´+´=
=s+ts=s
=´=×t=m
t
 ton56
 ton317510025,03225 
r 
 ton300100 3r
22
222
r
2
22
20
05
/2
00
6
43
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
• Probabilidade de rotura por ciclo: a
• Nível de protecção: (1 - a)
• Quantidade em falta quando chega uma nova encomenda: h(x,M)
( ) ( )ò
+¥
=>=a
M
dxxhMxP
( )
î
í
ì
>
£
=h
M xseM-x
M xse0
M,x
20
05
/2
00
6
44
• Valor esperadoda quantidade em falta por ciclo:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )dxxhMxM
dxxhMxdxxh0M
dxxhM
M
M
M
0
0
ò
òò
ò
¥+
¥+
+¥
×-=h
×-+×=h
×h=h
)M(h
h(x) – função massa de probabilidade da procura durante o tempo de reposição
Função de perdas de h(x)
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
23
20
05
/2
00
6
45
• Os modelos clássicos assumem para h(x) uma lei Normal
• O que, para tempos de reposição suficientemente longo, torna 
possível evocar o Teorema do Limite Central => x~N(m,s2)
– Stock de segurança
s= aZS
Factor de segurança
Probabilidade de a variável normal reduzida 
tomar valores menores ou iguais a Za
( )af-=÷
ø
ö
ç
è
æ
s
m-
f-=a Z1
M
1
( ) ( ) ( ) ( )a
¥+
sz=÷
ø
ö
ç
è
æ
s
m-
sz=-=h ò Z
M
dxxhMxM
M
Função de 
perdas normal
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
Exercício
20
05
/2
00
6
46
A. Custos de encomenda : A
B. Custo de posse: as existências em termos médios, são Q+S 
no início do ciclo e S (stock de segurança) no final
Fazendo S = M - m
Custo esperado de posse por ciclo:
( ) S
2
Q
S
2
1
SQ
2
1
+=++
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
m-+=+ M
2
Q
S
2
Q
TM
2
Q
C 2 ÷
ø
ö
ç
è
æ m-+
24
20
05
/2
00
6
47
C. Custos de rotura : proporcional à quantidade em falta, mas 
independente do tempo de carência 
D. Custo total
( ) ( ) ( )MCdxxhMxC '3
M
'
3 h=-ò
+¥
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
( )
( )M
T
C
M
2
Q
C
T
A
T
C
K
MCTM
2
Q
CAC
'
3
2
T
'
32T
h+÷
ø
ö
ç
è
æ m-++==
h+÷
ø
ö
ç
è
æ m-++=
20
05
/2
00
6
48
Atendendo a que rTQ ×=
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
( )M
Q
rC
TM
2
Q
C
Q
rA
K
'
3
2 h+÷
ø
ö
ç
è
æ m-++=
( )
( ) ( ) ( )ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=ú
û
ù
ê
ë
é
-×+×-+Þ=
¶
¶
=h-+-Þ=
¶
¶
ò
¥+
0dxxhMhMMhM
Q
rC
C0
M
K
0M
Q
rC
2
C
Q
rA
0
Q
K
M2
'
3
2
2
'
32
2
( )[ ]
( )
rC
QC
dxxh
C
MCAr2
Q
'
3
*
2
M
*
2
*'
3*
*
==a
h+
=
ò
¥+
(1)
(2)
25
20
05
/2
00
6
49
Método iterativo para encontrar a solução óptima:
1. Começar com o valor de Q dado pela expressão do lote óptimo 
determinístico, fazendo ;
2. Utilizar a expressão (2) para determinar o valor de M 
correspondente a Q;
3. Utilizar a expressão (1) com o valor de M encontrado no passo 
anterior para determinar o novo valor de Q;
4. Voltar a 2.
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
rr =
Exercício
20
05
/2
00
6
50
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
( )[ ]
( )
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
==a
h+
=
ò
¥+
rC
QC
dxxh
C
MCAr2
Q
'
3
*
2
M
*
2
*'
3*
*
Probabilidade de rotura
Determinar o stock de segurança (S) 
e nível de encomenda (M)
Determinam quantidade média em falta h
26
20
05
/2
00
6
51
• É prática corrente não tratar o problema de optimização dos parâmetros 
definidores da política de gestão de stocks em simultâneo
• Um hipótese é fixar-se a priori o n ível de protecção desejado e determinar o 
ponto de encomenda correspondente
1. Fixar a (nível de protecção desejado)
2. Determinar M (ponto de encomenda) 
3. Determinar Q através da expressão de lote óptimo
NOTA: Este procedimento não minimiza os custos na sua globalidade!
( )ò
+¥
=a
M
dxxh
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Parcial – Método Iterativo
2C
Ar2
Q =
20
05
/2
00
6
52
• Outra hipótese, sabendo o custo de rotura C’3
1. Determinar Q* através da expressão de lote óptimo
2. Determinar a* (probabilidade de rotura)
2C
Ar2
Q =
rC
QC
'
3
*
2* £a
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Parcial – Método Iterativo
( )
( ) discreto x para xh
contínuo x para dxxh
**
i Mx
i
*
M
*
å
ò
>
+¥
=a
=a
27
20
05
/2
00
6
53
M – Nível de enchimento
T – Intervalo de tempo entre encomendas (fixo)
Q – Quantidade de encomenda variável
t – Tempo de entrega ou reposição (variável)
tempo
Stock
M
Pontos de revisão
Nível de existências + 
encomendas
Nível de 
existências
TT
t t t
Duração do 
ciclo
Tempo de 
reposição
T+t
Q2
Q1
Q3
x
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
Procura durante 
Há rotura se a procura 
(x) durante T+t > M
M
20
05
/2
00
6
54
• Princípios operativos:
– A posição de stock (existências + encomendas = stock em mão 
mais o encomendado) é revista em intervalos fixos de tempo (T)
– Em cada instante de revisão é colocada uma encomenda 
(quantidade variável Q) para repor a posição do stock no nível de 
enchimento (M)
• Nota: O stock M (stock em mão mais o encomendado no 
instante em que é feita a revisão cíclica) tem que cobrir as 
necessidades até o instante em que a encomenda que é
colocada no ciclo seguinte chega 
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
28
20
05
/2
00
6
55
• T = Comprimento do ciclo: intervalo de tempo entre pontos de 
revisão/encomenda
• t = Tempo de reposição
• M = Nível máximo de “existências + encomendas”, por vezes 
denominado como nível de enchimento
• X = Procura durante o comprimento do ciclo mais o tempo de 
reposição (variável aleatória)
( )
( ) rT
rT
222
r
2
ts+s+t=s
×+t=m
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
Modelação da Procura Durante (T + t)
( )
 
rx
dxxh
T
1i
i
M
å
ò
t+
=
+¥
=
=a
20
05
/2
00
6
56
• Não é possível obter resultados analíticos para optimizar T (intervalo de 
tempo entre encomendas) e M (n ível de enchimento) sem se recorrer a 
métodos de optimização especiais.
• Optimização “parcial”:
– Determinar Q* através da expressão do lote óptimo
*
'
3
2
'
3
*
2* T
C
C
rC
QC
=£=a
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
Optimização para Minimização de Custos
r
Q
T 
C
r2A
Q
*
*
2
*
==>=
( )
( ) discreto x para xh
contínuo x para dxxh
**
i Mx
i
*
M
*
å
ò
>
+¥
=a
=a
Procura durante 
(T + t)
29
20
05
/2
00
6
57
Gestão de Stocks
Acréscimo de Stock de Segurança para a Política da Revisão Cíclica 
(para igual risco de rotura) 
Procura semanal:
a ton/seman10
a ton/seman100r
r =s
=
Tempo de entrega:
semana 5,0
semanas 3
=s
=t
t
1. Nível de encomenda (procura durante o tempo de entrega)
 ton9,521005,0103r 222
222
r =´+´=s+st=s t
a = 5% => Stock de segurança: S E = 1,64 x 52,9 = 86,6 ton
2. Revisão cíclica (procura durante o tempo de entrega + duração do ciclo)
( ) ( ) ton641005,010313rT 222222r =´+´+=s+st+=s t
a = 5% => Stock de segurança: S C = 1,64 x 64 = 105 ton
Nota: Admitindo que a procura tem 
uma distribuição normal
20
05
/2
00
6
58
Gestão de Stocks
Comparação dos Stocks de Segurança para as
Políticas de Ponto de Encomenda e de Revisão Cíclica 
Ponto de Encomenda Revisão Cíclica
Procura durante t Procura duranteT + t
( )
2
r
2
E
222
r
2
r
222
r
2
C
T
rT
rT
s+s=
s+s+st=
s+s+t=s
t
t
222
r
2
E rts+st=s
2
r
2
E
2
C
2 Ts=s-s=sD
x ~ Normal => S =Zas
0TZS 2E
2
r
2
E >s-s+s=D a
( )2E2CEC ZSSS s-s=-=D a
Za - factor de protecção 
(probabilidade de rotura a)
S – stock de segurança
®¬ x
Acréscimo do S para política de 
revisão cíclica (mesmo risco de rotura 
e nível de encomenda compat ível
30
20
05
/2
00
6
59
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
A anA anáálise ABClise ABC éé uma expressão da lei de uma expressão da lei de ParetoPareto : muitas situa: muitas situaçções são dominadas, e portanto ões são dominadas, e portanto 
explicadas, por um nexplicadas, por um núúmero relativamente pequeno de factores crmero relativamente pequeno de factores crííticos ticos -- regra 80/20regra 80/20
Por exemplo, as vendas de uma empresaPor exemplo, as vendas de uma empresa::
%Vendas
(valor)
100%20% 50%
80%
95%
100%
% de artigos
(unidades)
A B C
20
05
/2
00
6
60
• Classe A (~ 20% dos artigos representam tipicamente 80 % do valor 
total do consumo )
– Artigos mais importantes, quer pelo seu valor e/ou consumo, quer por 
serem estratégicos para a empresa
– Elevado nível de serviço (reduzidos valores a)
– Sofisticados sistemas de controlo
– As decisões de reaprovisionamento são frequentemente consideradas 
muito importantes 
– Utilização de sofisticados modelos de provisão, mas com correcções 
“manuais” por intervenção do gestor
– Tipicamente, estes artigos apresentam elevada rotação
– Definitivamente: grande atenção por parte dos gestores
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC 
31
20
05
/2
00
6
61
• Classe B (~ 30% dos artigos representam tipicamente 15 % 
do valor total do consumo)
– Artigos moderadamente importantes
– Sistemas de controlo, previsão e decisões de reaprovisionamento
relativamente sofisticados. Funcionam essencialmente no 
“automático”, com revisões dos parâmetros não muito frequentes 
(trimestrais, semestrais...?)
– A intervenção dos gestores s ó por excepção
– Necessidade de dispor de alertas automáticos para situações 
anómalas
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC 
20
05
/2
00
6
62
• Classe C (~ 50% dos artigos representam tipicamente 5 % do valor total 
do consumo )
– Artigos pouco importantes
– Sistemas de controlo, previsão e decisões de reaprovisionamento pouco 
sofisticados
– Para artigos de reduzido valor de custos totais implica que, por mais 
sofisticado que seja o sistema de gestão, nunca se poderão obter poupanças 
significativas em termos absolutos
– É recomendável a agregação destes produtos em grupos de controlo comuns 
(único fornecedor, único utilizador, tempos de entrega semelhantes,...) por 
forma a reduzir o número de decisões a tomar
– Cuidados especiais:
• Atenção aos “monos”
• É difícil corrigir encomendas de quantidades excessivas
– Políticas recomendáveis:
• Revisão cíclica com intervalos entre encomendas relativamente dilatados
• Nível de encomenda com processos de controlo muito simples
• Em ambos os casos: revisão dos parâmetros pouco frequente!
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC 
32
20
05
/2
00
6
63
• Os modelos apresentados até este ponto admitiam que a procura era 
aproximadamente regular ao longo do tempo e que, com maior ou menor 
qualidade, era possível prever esse valor com base em dados histórico 
passados - produtos de procura independente:
– Vendas a retalho...de produtos acabados
• Por oposição, a procura dependente é mais irregular, estando 
concentrada em instantes de tempo seguidos de períodos sem consumo:
– Produção por lotes ou stocks hierárquicos...depende, de alguma forma de 
produtos de procura independente
– No caso de uma obra, as matérias primas são encomendadas de acordo com o 
plano de obra, estando disponível na obra nos instantes em que são 
necessários
– Não há, portanto, incerteza relativamente ao consumo destes produtos!
– A procura dependente tem que ser gerida de acordo com o planeamento das 
necessidades (normalmente, no planeamento de produção ou de obra)
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos 
20
05
/2
00
6
64
• O que é o MRP?
– Sistema de planeamento da produção e de gestão de stocks 
apoiado por computador 
– Objectivos:
• Assegurar a disponibilidade dos componentes, materiais e 
produtos para a produção planeada e encomendas de clientes
• Manter os níveis de stock mínimos
• Planear actividades de produção, encomendas e entregas
– Nota: A evolução para a metodologia MRP II, os recursos 
passam a estar incluídas no planeamento das necessidades. 
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP 
33
20
05
/2
00
6
65
Inputs do MRP
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP 
Plano de Produção
(MPS – Master Production Scheduling)
Indicações de quais e quando 
os produtos a produzir 
Composição do Produto
(BOM – Bill of Materials)
Lista dos materiais, componentes
necessários para a produção dos produtos 
finais e indicação de tempos de montagem 
Existências
Nível de stock actual, encomendas e entregas 
planeadas, tempos de entrega/produção, stock
de segurança, lote de encomenda para todos 
os artigos 
MATERIAL
REQUIREMENT 
PLANNING
Encomendas
de clientes
Previsão de
procura
20
05
/2
00
6
66
• Composição do Produto - BOM
– Lista de todos os materiais, componentes e módulos necessários para 
a produção do produto final 
– Indicação de tempos de montagem respectivos
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP 
A
T = 4
B
T = 3, Q = 1
C
T = 2, Q = 2
D
T = 1, Q = 1
E
T = 1, Q = 2
Nível 0
Nível 1
Nível 2
Q – quantidade necessária por cada unidade do artigo de nível superior
T – tempo de entrega/produção do artigo
34
20
05
/2
00
6
67
• Planeamento de para o instante 8 de 100 unidades de A
(admitindo a inexistência de stocks e colocação de ordens iguais Às necessidades)
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP 
Art. Q T 1 2 3 4 5 6 7 8
Procura 100
Colocação encomenda 100
Procura 100
Colocação encomenda 100
Procura 200
Colocação encomenda 200
Procura 200
Colocação encomenda 200
Procura 400
Colocação encomenda 400
1D
4A
3B
Período
1E
1
2
1
2
2C
20
05
/2
00
6
68
• Dimensão do lote de encomenda em MRP:
– Unitária: igual à necessidades líquida
– Programação dinâmica
– Heurísticas
• Por exemplo, incluir na encomenda as necessidades futuras tal 
que :
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP 
( )0
i2
i iirC
A2
T -³=
T i – tempo entre encomendas óptimas para a procura r i
i – instante de tempo em análise
i0 – instante de tempo em que será recebida a encomenda
35
20
05
/2
00
6
69
• Comparação
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP 
– Orientada para os artigos
– Procura independente
– Procura contínua
– História da procura
– Previsão da procura de todos os 
artigos
– Stock de segurança para todos os 
artigos
– Orientada para os produtos
– Procura dependente
– Procura discreta
– Produção futura
– Previsão da procura dos produtos 
finais
– Stock de segurança para produtos 
finais
Lote Óptimo Sistema MRP
20
05
/2
00
6
70
• A metodologia DRP (Distribution Requirements Planning), com origem 
nos anos setenta, baseia-se nas previsões da procura no ponto de 
consumo para agregar, antecipar e planear as necessidades de reposição 
dos inventários nos restantes níveis da cadeia de distribuição. Desta 
forma, é possível determinaras necessidades nas fontes abastecedoras 
com visibilidade da procura final. 
• Por seu lado, a evolução da metodologia, o DRP II (Distribution
Resource Planning) tem como base as previsões da procura final para 
agregar e determinar as necessidades ou os consumos de recursos nos 
restantes níveis da cadeia de abastecimento. A lógica subjacente a esta 
evolução é a necessidade de planear não só os produtos, mas tamb ém os 
recursos envolvidos na distribuição, de forma a utilizar melhor.
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: DRP 
36
20
05
/2
00
6
71
• JIT – é uma estratégia que visa a eliminação do desperdício nas compras, 
na produção e na distribuição e assenta numa filosofia pull, em que as 
operações só ocorrem quando necessárias e de acordo com informação da 
procura:
• O JIT tem como característica central o encontro exacto entre o 
abastecimento de materiais e a procura destes, o que leva à redução, ou 
mesmo eliminação, dos inventários intermédios
• Requerer sistemas de controlo e coordenação eficazes (por exemplo, o 
Kanban), tempos de resposta reduzidos (configuração dos equipamentos ou 
de entrega) e custos de encomenda reduzidos
• Por um lado, a logística envolvida deve apresentar uma eficácia elevada, não 
há inventários de segurança, e
• Por outro lado, a eficiência também deve ser elevada, pois a frequência das 
encomendas é elevada
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: JIT