003 LISTA 03 - Medidas de tendência central e dispersão - Prof. Marcelo de Paula

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Lista 3 - Medidas de tendeˆncia central e dispersa˜o
Prof. Marcelo de Paula
Exerc´ıcio 1. Uma escola estadual deseja verificar o aproveitamento de seus alunos da quinta se´rie
em provas de matema´tica. As notas de 26 alunos esta˜o abaixo:
7, 0 3, 5 2, 5 6, 5 9, 0 3, 5 4, 5 5, 5 5, 0 1, 5 7, 5 8, 5 8, 0
6, 0 2, 0 1, 0 10, 0 3, 5 4, 0 6, 0 4, 5 5, 5 7, 0 5, 5 6, 0 9, 5
Encontrar a me´dia amostral X, a moda Mo, a mediana Me, a amplitude A, o desvio-padra˜o amostral
S e o coeficiente de variac¸a˜o CV .
Exerc´ıcio 2. Foi medido o teor de chumbo (em ppm) das estac¸o˜es de tratamento de a´gua de quatro
cidades diferentes e os resultados foram X1, X2, X3, X4. Sabendo que X = 35 ppm, A = 18 ppm,
Mo = 35 ppm e Me = 35 ppm, encontre o valor do teor de chumbo para cada uma das estac¸o˜es de
tratamento de a´gua, isto e´, encontre os valores de X1, X2, X3, X4.
Exerc´ıcio 3. Em um bairro da zona Sul de Sa˜o Paulo, ha´ treˆs escolas estaduais nas quais a evasa˜o
escolar ocorre ja´ ha´ cinco anos. As autoridades das escolas divulgaram os dados de evasa˜o semestral
em nu´mero de alunos, conforme abaixo:
Escola A 16 10 12 17 14 18 25 37 29 14
Escola B 13 12 17 43 18 10 23 15 10 11
Escola C 11 17 15 16 10 28 39 33 8 9
a. Qual escola possui o menor nu´mero me´dio de alunos evadidos?
b. Analise os desvios padra˜o de cada grupo.
c. Analise os coeficientes de variac¸a˜o.
Exerc´ıcio 4. Foram pesados n = 9 indiv´ıduos de uma determinada espe´cie de ratos. Os dados
abaixo esta˜o ordenados crescentemente (pesos em gramas):
X(1) 102 X(3) 184 X(5) 217 X(7) 223 417
Sabendo que A = 342 gramas, Me = 185 gramas, Mo = 223 gramas e que
9∑
i=1
Xi = 1793 gramas,
determine o peso em gramas dos ratos X(1), X(3), X(5) e X(7).
Exerc´ıcio 5. Sabendo que
7∑
i=1
Xi = 28 e
7∑
i=1
X2i = 140, encontre a me´dia amostral X, o desvio-padra˜o
amostral S e o coeficiente de variac¸a˜o CV . Ajuda:
Exerc´ıcio 6. Em uma fiscalizac¸a˜o da vigilaˆncia sanita´ria foram auditados todos os N restaurantes de
grande porte do munic´ıpio de Barreiras, em que que foram pontuados as irregularidades encontradas
em cada um dos N estabelecimentos. Considere a varia´vel quantitativa X como sendo o nu´mero
de irregularidades encontradas. Os resultados foram tais que
N∑
i=1
Xi = 30 e
N∑
i=1
X2i = 140. Sabendo
que a variaˆncia populacional encontrada foi de σ2 = 5, quantos restaurantes de grande porte foram
auditados? Em outras palavras, qual o valor de N? Ajuda: Para encontrar o valor de N use a
definic¸a˜o da variaˆncia populacional e utilize a equac¸a˜o do segundo grau dada por ax2 + bx + c = 0,
(a 6= 0) com ∆ = b2 − 4ac, e determine as ra´ızes reais por meio de x = −b±
√
∆
2a
. Mostre que ha´
1
dois poss´ıveis valores para N , isto e´, ha´ duas ra´ızes que podem ser tratadas como a quantidade de
restaurantes auditados, N
′
e N
′′
.
Exerc´ıcio 7. Em uma pesquisa socioeconoˆmica no munic´ıpio de Barreiras, foram entrevistadas
n = 12 famı´lias. Dentre diversas varia´veis estudadas, uma delas foi o nu´mero X de filhos de cada
uma dessas famı´lias (varia´vel quantitativa discreta). Os resultados foram tais que
12∑
i=1
Xi = 30,
12∑
i=1
X2i = 98,
12∑
i=1
X3i = 360 e
12∑
i=1
X4i = 1430.
a. Encontre o coeficiente de variac¸a˜o CV. Ajuda: Encontre primeiramente a me´dia X e o desvio-
padra˜o amostral S.
b. Use as propriedades do somato´rio para encontrar o valor nume´rico da expressa˜o
1
73
12∑
i=1
[
4X2i (2Xi − 6)2 − 8
]
Exerc´ıcio 8. Considere um conjunto quantitativo de dados X1, X2, ..., X6 tal que
6∑
i=1
Xi = 21,
6∑
i=1
X2i = 91,
6∑
i=1
X3i = 441 e
6∑
i=1
X4i = 2275.
a. Encontre o coeficiente de variac¸a˜o CV . Ajuda: Para encontrar o CV encontre primeiramente o
valor nume´rico da me´dia amostral X¯ e do desvio-padra˜o amostral S.
b. Use as propriedades do somato´rio para determinar o valor nume´rico da soma
1
64
6∑
i=1
[
2X2i (3Xi − 7)2 − 4
]
Exerc´ıcio 9. Foi realizada uma pesquisa de sala´rios em uma grande empresa multinacional. Foi
analisada uma amostra de n = 9 funciona´rios desta empresa em que foi anotado o sala´rio (em reais)
de cada um deles e os dados ordenados crescentemente esta˜o abaixo:
X(1) 1020 X(3) 1840 X(5) 2170 X(7) 2230 4170
Sabendo que A = 3420 reais, Me = 1850 reais, Mo = 2230 reais e que
9∑
i=1
Xi = 17930 reais determine:
a. (1, 0 ponto) O sala´rio dos funciona´rios X(1), X(3), X(5) e X(7).
b. (1, 0 ponto) O coeficiente de variac¸a˜o amostral CV . Ajuda: Encontre primeiramente a me´dia X
e o desvio-padra˜o amostral S.
Exerc´ıcio 10. Seja um conjunto de dados formado por (50, 80, 40, 60, X5) onde X = 55. Qual o
valor de X5?
Exerc´ıcio 11. Foram pesados quinze coelhos cobaias em um laborato´rio de pesquisa apo´s certo
tratamento, e os resultados encontram-se abaixo (pesos em gramas):
502 426 545 546 334 443 509 549 463 538 717 433 517 598 564
Encontrar a me´dia amostral X, a moda Mo, a mediana Me, a amplitude A, o desvio-padra˜o amostral
S e o coeficiente de variac¸a˜o CV .
Exerc´ıcio 12. Alguns pesquisadores da Oxford Research for Education afirmam que a aprendizagem
esta´ relacionada a` capacidade de concentrac¸a˜o. Segundo eles, essa capacidade depende da audic¸a˜o
do aluno. Um teste audiome´trico e´ feito emitindo-se 100 formas de sons. Os dados a seguir indicam
quanto os alunos conseguiram compreender dos sons emitidos em toques alternados. Note que uma
amostra de 11 alunos por grupo foi selecionada aleatoriamente e que em cada grupo havia alunos
com audic¸a˜o normal ou com necessidades auditivas especiais.
2
Grupo 1 12 78 45 30 27 34 29 88 28 9 26
Grupo 2 12 38 45 29 35 39 17 78 23 6 25
Grupo 3 19 29 25 36 29 21 10 34 35 8 29
Grupo 4 16 65 45 37 21 22 18 38 66 2 26
Grupo 5 13 27 65 30 27 28 19 31 26 7 36
a. Qual grupo apresentou a menor capacidade me´dia de compreender os sons?
b. Qual grupo apresentou o maior coeficiente de variac¸a˜o?
Exerc´ıcio 13. Em uma linha de produc¸a˜o foram examinados 3 lotes de um determinado item.
Cada lote tem 8 unidades e cada unidade foi pesada (peso em gramas). Calcule a me´dia
(
X
)
e o
desvio-padra˜o amostral (S) de cada lote e determine qual lote apresentou o maior Coeficiente de
Variac¸a˜o (CV ).
Lote 1 22 18 21 17 23 21 20 20
Lote 2 28 11 23 19 22 22 22 22
Lote 3 16 26 25 27 20 23 22 16
RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
Exerc´ıcio 1. X = 5, 5 Mo = 3, 5 Me = 5, 5 A = 9 s = 2, 43 CV = 44, 24%
Exerc´ıcio 2. O valor do teor de chumbo para cada uma das estac¸o˜es de tratamento de a´gua e´
X1 = 26 ppm, X2 = 35 ppm, X3 = 35 ppm e X4 = 44 ppm.
Exerc´ıcio 3.
A X = 19, 20 S = 8, 52 CV = 44, 38%
B X = 17, 20 S = 9, 95 CV = 57, 87%
C X = 18, 60 S = 10, 91 CV = 58, 63%
a. A escola B possui o menor nu´mero me´dio de alunos evadidos.
b. Analisando os desvios, podemos notar que esta˜o pro´ximos para as treˆs escolas. Portanto, apenas
com o desvio-padra˜o sendo analisado, teremos dificuldade de tomar uma decisa˜o a respeito dos dados
quanto a` sua variac¸a˜o ocorrida em cada escola. Necessitamos do coeficiente para analisar melhor
esses dados.
c. Dispondo dos coeficientes, percebemos que a escola A teve uma variac¸a˜o menor do que as outras
duas escolas. Isso quer dizer que a variac¸a˜o nos valores dessa escola foi menor do que a das outras
duas escolas. Mas mesmo assim, 44, 38% de variac¸a˜o pode ser considerado um valor alto.
Exerc´ıcio 4. Os pesos dos quatros ratos sa˜o:
X(1) = 75 gramas.
X(3) = 167 gramas.
X(5) = 185 gramas.
X(7) = 223 gramas.
Exerc´ıcio 5. Temos que a me´dia amostral e´ dada por X = 4, o desvio-padra˜o amostral e´ dado por
S = 2, 1602 e, por consequeˆncia, o coeficiente de variac¸a˜o e´ dado por CV = 54, 01%.
Exerc´ıcio 6. Sabemos que a variaˆncia populacional e´expressa por
σ2 =
N∑
i=1
(Xi − µ)2
N
=
N∑
i=1
Xi
2
N
− µ2
3
Como µ =
N∑
i=1
Xi
N
, podemos reescrever como
σ2 =
N∑
i=1
Xi
2
N
−
(
N∑
i=1
Xi
)2
N2
.
Substituindo os valores je´ conhecidos no enunciado temos que
5 =
140
N
− 30
2
N2
.
Portanto, trata-se de uma equac¸a˜o do segundo grau, cuja soluc¸a˜o tem duas ra´ızes: N = 18 ou
N = 10. Desta forma ha´ dois poss´ıveis nu´meros de restaurantes auditados em Barreiras, N = 18 ou
N = 10 restaurantes.
Exerc´ıcio 7. Encontrando primeiramente o valor da me´dia amostral X:
X =
n∑
i=1
Xi
n
=
12∑
i=1
Xi
12
=
30
12
= 2, 5.
X = 2, 5 filhos por famı´lia.
Para encontrar o desvio-padra˜o amostral S, vamos encontrar a variaˆncia amostral S2:
S2 =
n∑
i=1
(
Xi −X
)2
n− 1 =
n∑
i=1
(
X2i − 2XiX +X2
)
n− 1 ,
que, pelas propriedades do somato´rio, segue que
S2 =
n∑
i=1
X2i
n− 1 − 2X
n∑
i=1
Xi
n− 1 +
n∑
i=1
X
2
n− 1 .
Substituindo os valores nume´ricos do enunciado, temos
S2 =
98
12− 1 − 2× 2, 5×
30
12− 1 +
12× 2, 52
12− 1
S2 = 2, 0909.
Portanto, o valor da variaˆncia amostral e´ exatamente igual ao valor da me´dia amostral, e o desvio-
padra˜o amostral e´ a ra´ız quadrada da variaˆncia amostral S2:
S =
√
S2 =
√
2, 0909 = 1, 4460.
O coeficiente de variac¸a˜o e´ expresso por
CV =
s
X
× 100% = 1, 4460
2, 5
× 100% = 57, 84%.
CV = 57, 84%.
Exerc´ıcio 8. Encontrando primeiramente o valor da me´dia amostral X:
X =
n∑
i=1
Xi
n
=
6∑
i=1
Xi
6
=
21
6
= 3, 5.
4
Para encontrar o desvio-padra˜o amostral S, vamos encontrar a variaˆncia amostral S2:
S2 =
n∑
i=1
(
Xi −X
)2
n− 1 =
n∑
i=1
(
X2i − 2XiX +X2
)
n− 1 ,
que, pelas propriedades do somato´rio, segue que
S2 =
n∑
i=1
X2i
n− 1 − 2X
n∑
i=1
Xi
n− 1 +
n∑
i=1
X
2
n− 1 .
Substituindo os valores nume´ricos do enunciado, temos
S2 =
91
6− 1 − 2× 3, 5×
21
6− 1 +
6× 3, 52
6− 1
S2 = 3, 5.
Portanto, o valor da variaˆncia amostral e´ exatamente igual ao valor da me´dia amostral, e o desvio-
padra˜o amostral e´ a ra´ız quadrada da variaˆncia amostral S2:
S =
√
S2 =
√
3, 5 = 1, 87.
O coeficiente de variac¸a˜o e´ expresso pelo quociente percentual entre o desvio-padra˜o e a me´dia, isto
e´,
CV =
s
X
× 100% = 1, 87
3, 5
× 100% = 53, 43%.
CV = 53, 43%.
Exerc´ıcio 9. Como A = 3420 reais, Me = 1850 reais, Mo = 2230 reais e
9∑
i=1
Xi = 17930 reais,
temos que X(1) = 750, X(3) = 1670, X(5) = 1850 e X(7) = 2230. Dessa forma a me´dia amostral e´
X = 1992, 22 reais e o desvio-padra˜o amostral e´ S = 969, 73 reais. Logo, o coeficiente de variac¸a˜o e´
CV = 48, 68%.
Exerc´ıcio 10. X5 = 45.
Exerc´ıcio 11.
X = 512, 27 gramas, Amodal, Me = 517 gramas
A = 383 gramas, S = 88, 25 gramas, CV = 17, 23%.
Exerc´ıcio 12.
Grupo 1 X = 36, 91 S = 24, 86 CV = 67, 35%
Grupo 2 X = 31, 55 S = 19, 54 CV = 61, 93%
Grupo 3 X = 25, 00 S = 9, 57 CV = 38, 28%
Grupo 4 X = 32, 36 S = 20, 21 CV = 62, 43%
Grupo 5 X = 28, 09 S = 14, 83 CV = 52, 79%
a. O grupo 3.
b. O grupo 1, com 67, 35%. Isso indica que os dados desse grupo esta˜o mais dispersos, isto e´, sa˜o
mais heterogeˆneos do que os dados dos outros grupos. Contrariamente aos outros grupos, o grupo 3
apresentou a menor me´dia, o menor desvio e o menor coeficiente. Seus dados sa˜o mais homogeˆneos
em relac¸a˜o aos outros grupos.
Exerc´ıcio 13.
X S CV
Lote 1 20, 250 1, 98 9, 78%
Lote 2 21, 125 4, 79 22, 67%
Lote 3 21, 872 4, 26 19, 47%
Logo, o Lote 2 foi o lote que mais variou o peso em gramas.
5