013 LISTA 13 - Distribuição de Poisson - Prof. Marcelo de Paula

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Lista 13 - Distribuic¸a˜o de Poisson - Prof. Marcelo de
Paula
Exerc´ıcio 1. A quantidade dia´ria X de abalos s´ısmicos (percept´ıveis ou na˜o) que ocorre na
regia˜o oeste do Japa˜o e´ uma varia´vel aleato´ria discreta que segue uma distribuic¸a˜o de Poisson de
paraˆmetro λ = 3, isto e´, X ∼ Poisson (3). Determine a probabilidade de, num determinado dia,
a. Haja exatamente 5 abalos s´ısmicos nessa regia˜o;
b. Haja pelo menos 1 abalo s´ısmico nessa regia˜o;
c. Na˜o haja nenhum abalo s´ısmico nessa regia˜o;
d. Haja no mı´nimo 3 abalos s´ısmicos nessa regia˜o;
e. Encontre a variaˆncia do nu´mero dia´rio de abalos s´ısmicos nessa regia˜o;
Exerc´ıcio 2. O nu´mero X de alunos que sa˜o jubilados, anualmente, em uma universidade
segue uma distribuic¸a˜o de Poisson tal que P (X ≥ 1) = 0, 9502 ou 95, 02%.
a. Nessa situac¸a˜o, qual o nu´mero esperado de alunos jubilados anualmente nessa universidade?
Ajuda: Para encontrar o valor da E (X) encontre primeiramente o valor nume´rico do paraˆmetro
λ, usando a probabilidade complementar dada por P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0).
b. Qual a probabilidade de que, em um determinado ano letivo, 2 alunos sejam jubilados?
Exerc´ıcio 3. Suponha uma distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ.
a. Se λ = 2, determine P (X ≥ 2).
b. Se λ = 8, determine P (X ≥ 3).
c. Se λ = 0, 5, determine P (X ≤ 1).
d. Se λ = 4, determine P (X ≥ 1).
e. Se λ = 5, determine P (X ≤ 3).
Exerc´ıcio 4. Em uma certa populac¸a˜o, observou-se um nu´mero me´dio anual de 12 mortes por
caˆncer de pulma˜o. Se o nu´mero de mortes causado por esta enfermidade segue uma distribuic¸a˜o
de Poisson, qual a probabilidade de que, durante o ano
a. haja exatamente 10 mortes por caˆncer de pulma˜o?
b. morram 2 ou mais pessoas por causa desta enfermidade?
c. morram 2 ou menos pessoas por causa desta enfermidade?
Exerc´ıcio 5. Num livro de 800 pa´ginas ha´ 800 erros de impressa˜o. Qual a probabilidade de
que em uma pa´gina contenha pelo menos 3 erros?
Exerc´ıcio 19. Numa central telefoˆnica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade
de que:
a. Em um minuto na˜o haja nenhum chamado;
b. Em 2 minutos haja 2 chamados;
c. Em t minutos na˜o haja chamados;
Exerc´ıcio 20. Numa estrada ha´ 2 acidentes para cada 100km. Qual a probabilidade de que
em:
a. 250km ocorram pelo menos 3 acidentes?
b. 300km ocorram 5 acidentes?
1
Exerc´ıcio 21. A experieˆncia mostra que de cada 400 laˆmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas.
Qual a probabilidade de que numa instalac¸a˜o de:
a. 600 laˆmpadas, no mı´nimo 3 se queimem?
b. 900 laˆmpadas, exatamente 8 se queimem?
Exerc´ıcio 22. O nu´mero de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana,
e´ de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em:
a. 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos?
b. 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos?
Exerc´ıcio 23. Uma firma recebe 720 mensagens em seu fax em 8 horas de funcionamento.
Qual a probabilidade de que:
a. em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens?
b. em 4 minutos na˜o receba nenhuma mensagem?
Exerc´ıcio 26. Em um pronto-socorro o nu´mero de atendimentos de emergeˆncia segue uma
distribuic¸a˜o de Poisson com me´dia de 60 atendimentos por hora. Calcular:
a. A probabilidade do pronto-socorro na˜o efetuar nenhum atendimento num intervalo de 5
minutos.
b. A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10
minutos.
Exerc´ıcio 27. Uma fa´brica de automo´veis verificou que ao testar seus carros na pista de prova
ha´, em me´dia, um estouro de pneu em cada 300km, e que o nu´mero de pneus estourados segue
razoavelmente uma distribuic¸a˜o de Poisson. Qual a probabilidade de que:
a. num teste de 900 km haja no ma´ximo um pneu estourado?
b. um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu?
Exerc´ıcio 28. Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que
atenda:
a. Nenhum cliente em 4 minutos.
b. No ma´ximo 2 clientes em 2 minutos.
Exerc´ıcio 33. O nu´mero X de ovos que uma determinada espe´cie de avestruz bota obedece
uma distribuic¸a˜o de Poisson de paraˆmetro laˆmbda, isto e´, X ∼ Poisson (λ), tal que P (X = 4) =
5P (X = 5). Enta˜o qual o valor da esperanc¸a matema´tica do nu´mero de ovos que essa espe´cie de
avestruz bota?
Exerc´ıcio 36. Seja X ∼ Poisson (λ), tal que P (X = 0) = 2P (X = 1). Enta˜o qual o valor
nume´rico do paraˆmetro laˆmbda?
Exerc´ıcio 37. A quantidade X de filhotes que um determinado carn´ıvoro tem em uma u´nica
gestac¸a˜o segue uma distribuic¸a˜o Poisson tal que P (X = 2) = 3
4
P (X = 4).
a. Qual o valor da E (X)?
b. Determine P (X = 6).
Exerc´ıcio 39. Seja X ∼ Poisson (λ) tal que P (X = k) = P (X = k + 1), k = 0, 1, 2, .... Qual
o valor do paraˆmetro laˆmbda?
Exerc´ıcio 40. Se X tiver uma distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ, e se P (X = 0) = 0, 2,
calcular P (X > 2). Ajuda: determine primeiramente o valor do paraˆmetro λ.
Exerc´ıcio 41. Suponha queX tenha uma distribuic¸a˜o de Poisson. Se P (X = 2) = 2/3P (X = 1),
calcular P (X = 0) e P (X = 3). Ajuda: determine primeiramente o valor do paraˆmetro λ.
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RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
Exerc´ıcio 1.
a. P (X = 5) = 0, 1008 ou 10, 08%.
b. P (X ≥ 1) = 0, 9502 ou 95, 02%.
c. P (X = 0) = 0, 0498 ou 4, 98%.
d. P (X ≥ 3) = 0, 5768 ou 57, 68%.
e. V ar (X) = E (X) = λ = 3.
Exerc´ıcio 2.
a. E (X) = λ = 3 alunos jubilados anualmente.
b. P (X = 2) = 0, 2240 ou 22, 40%.
Exerc´ıcio 3.
a. P (X ≥ 2) = 0, 5940 ou 59, 40% d. P (X ≥ 1) = 0, 9817 ou 98, 17%
b. P (X ≥ 3) = 0, 9863 ou 98, 63% e. P (X ≤ 3) = 0, 2650 ou 26, 50%
c. P (X ≤ 1) = 0, 6065 ou 60, 65%
Exerc´ıcio 4.
a. P (X = 10) = 0, 1048 ou 10, 48%.
b. P (X ≥ 2) = 0, 9999 ou 99, 99%.
c. P (X ≤ 2) = 0, 00008 ou 0, 008%.
Exerc´ıcio 5. Num livro de 800 pa´ginas ha´ 800 erros de impressa˜o. Qual a probabilidade de
que em uma pa´gina contenha pelo menos 3 erros?
Exerc´ıcio 6. Numa central telefoˆnica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade
de que:
a. Num minuto na˜o haja nenhum chamado;
b. Em 2 minutos haja 2 chamados;
c. Em t minutos na˜o haja chamados;
Exerc´ıcio 7. Numa estrada ha´ 2 acidentes para cada 100km. Qual a probabilidade de que
em:
a. 250km ocorram pelo menos 3 acidentes?
b. 300km ocorram 5 acidentes?
Exerc´ıcio 8. A experieˆncia mostra que de cada 400 laˆmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas.
Qual a probabilidade de que numa instalac¸a˜o de:
a. 600 laˆmpadas, no mı´nimo 3 se queimem?
b. 900 laˆmpadas, exatamente 8 se queimem?
Exerc´ıcio 9. O nu´mero de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana,
e´ de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em:
a.) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos?
b.) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos?
Exerc´ıcio 23. Uma firma recebe 720 mensagens em seu fax em 8 horas de funcionamento.
Qual a probabilidade de que:
a.) em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens?
b.) em 4 minutos na˜o receba nenhuma mensagem?
Exerc´ıcio 26. Em um pronto-socorro o nu´mero de atendimentos de emergeˆncia segue uma
distribuic¸a˜o de Poisson com me´dia de 60 atendimentos por hora. Calcular:
3
a.) A probabilidade do pronto-socorro na˜o efetuar nenhum atendimento num intervalo de 5
minutos.
b.) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10
minutos.
Exerc´ıcio 27. Uma fa´brica de automo´veis verificou que ao testar seus carros na pista de prova
ha´, em me´dia, um estouro de pneu em cada 300km, e que o nu´mero de pneus estourados segue
razoavelmente uma distribuic¸a˜o de Poisson. Qual a probabilidade de que:
a.) num teste de 900km haja no ma´ximo um pneu estourado?
b.) um carro ande 450km na pista sem estourar nenhum pneu?
Exerc´ıcio 28. Um caixade banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que
atenda:
a.) Nenhum cliente em 4 minutos.
b.) No ma´ximo 2 clientes em 2 minutos.
Exerc´ıcio 31. De acordo com a Divisa˜o de Estat´ıstica Vital do Departamento de Sau´de
dos EUA, a me´dia anual de afogamentos acidentais neste pa´ıs e´ de 3 por 100.000 indiv´ıduos.
Determinar a probabilidade de que em uma cidade com 300.000 habitantes se verifiquem:
a.) Nenhum afogamento;
b.) No ma´ximo 2 afogamentos;
c.) Mais de 4 e menos de 8 afogamentos;
Exerc´ıcio 33. O nu´mero X de ovos que uma determinada espe´cie de avestruz bota obedece
uma distribuic¸a˜o de Poisson de paraˆmetro laˆmbda, isto e´, X ∼ Poisson (λ), tal que P (X = 4) =
5P (X = 5). Enta˜o qual o valor da esperanc¸a matema´tica do nu´mero de ovos que essa espe´cie de
avestruz bota?
Exerc´ıcio 35. A probabilidade de morte resultante do uso de aneste´sico odontolo´gico e´ de
1/250.000. Em um milha˜o de pessoas que va˜o ao dentista, qual a probabilidade de que haja pelo
menos uma morte decorrente do uso do aneste´sico?
Exerc´ıcio 36. Seja X ∼ Poisson (λ), tal que P (X = 0) = 2P (X = 1). Enta˜o qual o valor
nume´rico do paraˆmetro laˆmbda?
Exerc´ıcio 37. A quantidade X de filhotes que um determinado carn´ıvoro tem em uma u´nica
gestac¸a˜o segue uma distribuic¸a˜o Poisson tal que P (X = 2) = 3
4
P (X = 4).
a.) Qual o valor da E (X)?
b.) Determine P (X = 6).
Exerc´ıcio 38. O nu´mero de pessoas com uma certa doenc¸a dentre n pessoas escolhidas ao
acaso segue uma distribuic¸a˜o Binomial (n, p) tal que E (X) = 5 e V AR (X) = 3, 75. Quais os
valores nume´ricos dos paraˆmetros n e p?
Exerc´ıcio 39. Seja X ∼ Poisson (λ) tal que P (X = k − 1) = P (X = k), k = 1, 2, .... Qual o
valor do paraˆmetro laˆmbda?
Exerc´ıcio 40. Se X tiver uma distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ, e se P (X = 0) = 0, 2,
calcular P (X > 2). Ajuda: determine primeiramente o valor do paraˆmetro λ.
Exerc´ıcio 41. Suponha queX tenha uma distribuic¸a˜o de Poisson. Se P (X = 2) = 2/3P (X = 1)
, calcular P (X = 0) e P (X = 3). Ajuda: determine primeiramente o valor do paraˆmetro λ.
RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS:
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Exerc´ıcio 17.) P (X = 10) = 0, 000038
Exerc´ıcio 18.) P (X ≥ 3) = 0, 0803
Exerc´ıcio 19.)
a.) P (X = 0) = 0, 0067 c.) P (X = 0) = e−5t
b.) P (X = 2) = 0, 0023
Exerc´ıcio 20.)
a.) P (X ≥ 3) = 0, 8753 b.) P (X = 5) = 0, 1606
Exerc´ıcio 21.)
a.) P (X ≥ 3) = 0, 5768 b.) P (X = 8) = 0, 0463
Exerc´ıcio 22.)
a.) P (X = 5) = 0, 0916 b.) P (X ≥ 3) = 0, 8264
Exerc´ıcio 23.)
a.) P (X ≥ 4) = 0, 9788 b.) P (X = 0) = 0, 0025
Exerc´ıcio 24.)
a.) P (X = 7) = 0, 1396 b.) P (2 ≤ X < 6) = 0, 1882 c.) P (X ≥ 3) = 0, 9862
Exerc´ıcio 25.) P (X > 4) = 0, 1847
Exerc´ıcio 26.)
a.) P (X = 0) = 0, 0067 b.) P (X ≥ 2) = 0, 9995
Exerc´ıcio 27.)
a.) P (X ≤ 1) = 0, 1991 b.) P (X = 0) = 0, 2231
Exerc´ıcio 28.)
a.) P (X = 0) = 0, 000045 b.) P (X ≤ 2) = 0, 1247
Exerc´ıcio 29.)
a.) P (X > 4) = 0, 5595 c.) P (X ≤ 2) = 0, 1247
b.) P (X = 5) = 0, 1755
Exerc´ıcio 30.)
a.) P (X = 4) = 0, 1680 b.) P (X ≥ 2) = 0, 8009 c.) P (1 < X ≤ 4) = 0, 6161
Exerc´ıcio 31.)
a.) P (X = 0) = 0, 0001 b.) P (X ≤ 2) = 0, 0062 c.) P (4 < X < 8) = 0, 2689
Exerc´ıcio 32.) n = 18 p = 0, 40
Exerc´ıcio 33.) E (X) = 1.
Exerc´ıcio 34.) p = 5
n+1
.
Exerc´ıcio 35.) P (X ≥ 1) = 0, 9817.
Exerc´ıcio 36.) λ = 0, 5.
Exerc´ıcio 37.) E (X) = 4 P (X = 6) = 0, 1042
Exerc´ıcio 38.) n = 20 e p = 0, 25
Exerc´ıcio 39.) λ = k.
Exerc´ıcio 40.) λ = 1, 6094 e P (X > 2) = 0, 2191.
Exerc´ıcio 41.) λ = 4/3 , P (X = 0) = 0, 2636 e P (X = 3) = 0, 1041.
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