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PROJETOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
Professores: Luís Fernando Alves Pereira, José Felipe Haffner & Luciano Fonseca Chaves 1 
 
 
 
Aula 2 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos 
 
Introdução 
Amplificadores Operacionais (AMPOP) 
Componentes Básicos do Computador Analógico 
Relação entre Função de Transferência e Circuitos com AMPOP 
Escalonamento de grandezas 
Tarefa 
 
 
Introdução 
 
Será apresentado neste experimento o emprego de amplificadores analógicos para a simulação de 
processos. Os amplificadores operacionais podem ser ligados de forma a representar o comportamento 
dinâmico de processos físicos de qualquer natureza. O objetivo deste tipo de simulação é o de obter 
fisicamente, tensões em diversos pontos do processo simulado. Tais tensões, dependendo da natureza do 
processo, poderão ser interpretadas como variáveis do tipo vazão, temperatura, nível, deslocamento, etc... 
Procedendo desta forma, pode-se conhecer o comportamento do sistema real e o engenheiro de controle, 
poderá efetuar o projeto do controlador e validá-lo junto ao processo representado com o emprego de 
amplificadores operacionais. 
 
Amplificadores Operacionais 
 
 O amplificador operacional (AMPOP) é o componente eletrônico que pode ser, empregado na 
realização de várias operações matemáticas tais como inversão de sinal, soma e integração. Tais 
componentes apresentam características bem definidas como ganho DC elevadíssimo e impedância de 
entrada idealmente infinita e impedância de saída idealmente nula. Estes componentes são compostos por 
dois terminais de entrada, um deles representado por um sinal “+”, chamado de entrada não-inversora e o 
outro, representado por um sinal “-”, denominado de entrada inversora. Na figura 1b é mostrado a pinagem 
do amplificador operacional CA3140. 
 
 
 
 
 
 
(a) Símbolo básico do amplificador operacional (b) Pinagem do amplificador operacional CA3140 
 
Fig. 1: Amplificador Operacional. 
 
 
Configurações Básicas com Amplificadores Operacionais 
 
Baseado nas características dos amplificadores operacionais, serão apresentados algumas configurações 
básicas, utilizadas em circuitos analógicos. 
 
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· Amplificador Inversor: A primeira destas configurações é a do amplificador inversor, apresentada na 
Figura 1. Considerando-se inicialmente i1=i2, e=0, implica 
i
1
2
22o
1
i
21 VR
R
iRV
R
V
ii -=-=== (1) 
De acordo com a equação (1), constata-se que tal configuração apresenta um ganho dado por -R2/R1.. 
 
Fig. 2: Amplificador inversor. 
· Somador: É um elemento que fornece em sua saída a soma ponderada das entradas, i.e.: 
i i i in= + + +1 2 .... (2) 
uma vez que e=0, tem-se: 
i
V
R
i
V
Rn
n
n
1
1
1
= =; .. .. .. . (3) 
Adicionalmente, sabe-se que 
V Ri
R
R
V
R
R
Vo
n
n= - = - + +
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
1 .... (4) 
Admitindo-se a1=R/R1,...., an=R/Rn. 
nn11o V....VV a--a-= (5) 
 
 
 Fig. 3: Configuração somadora. 
· Integrador: Este elemento fornece em sua saída a integral de suas entradas. Sendo a corrente “i”, que 
circula no capacitor de realimentação do amplificador operacional. Desta forma, pode-se escrever a 
tensão na saída do integrador como 
V t
C
i t dt Vo o
t
( ) ( ) ( )= - +ò
1
0
0
 (6) 
admitindo-se agora a1=1/CR1,...., an=1/CRn, resulta 
 
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V t V t dt V t dt Vo
t
n n
t
o( ) ( ) .... ( ) ( )= - + +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ +ò òa a1 1
0 0
0 (7) 
sendo V0(0) a condição inicial do integrador. 
 
Fig. 4: Configuração integradora. 
· Comparador: Estrutura empregada para implementar a comparação entre sinais. Especificamente em 
sistemas de controle é usada para realizar a comparação entre o sinal de referencia r(t) e o sinal de saída 
y(t). A equação (8) relaciona os sinais de entrada com o sinal de saída do circuito apresentado na Figura 
5. 
y(t)
R
R
 - r(t)
R
R
1
RR
R
e(t)
3
4
3
4
21
2 ××÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
= (8) 
 
+
-
R4
R3
R1
R2
r(t)
y(t)
e(t)
 
Fig. 5: Configuração comparadora com amplificador operacional. 
 
Considerado 4321 RRRR === , conforme mostra a equação (8), pode-se comparar diretamente os 
sinais, ou seja: 
y(t) - r(t)e(t) = (9) 
Portanto, se todos os resistores da figura 5 são iguais, este circuito pode ser empregado para 
realizar diretamente a comparação de sinais conforme o diagrama apresentado na figura 6. 
+
-
E(s)R(s)
Y(s)
 
Fig. 6: representação em diagrama de blocos do comparador de sinais. 
 
 
 
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Relação entre Função de Transferência e Circuitos com AMPOP 
 
Outra forma usual de descrever o comportamento dinâmico de sistemas é através de funções de 
transferências. Estas funções de transferência podem ser implementadas através de circuitos analógicos com 
amplificadores operacionais. A topologia fundamental para a implementação de funções de transferência 
com AMPOPs está apresentada na Figura 7, onde as impedâncias Z1 e Z2 especificam o numerador e o 
denominador da função de transferência. A Tabela 1 apresenta de forma esquematizada funções de 
transferência em função obtidas a partir da substituição das impedâncias Z1 e Z2 por elementos discretos 
(capacitores e resistores). 
Z1
Z2
+
-
U(s)
Y(s)
 
 
Fig. 7: Circuito genérico com Ampop 
 
Elemento de 
entrada Z1(s) 
Elemento de 
 saída Z2(s) 
Função de transferência 
R1
 
R2
 1
2
R
R
- 
R1
 
C2
 
s
1
CR
1
21
×- 
C1
 
R2
 sCR 12 ×- 
 
Tab. 1: Funções de transferência do circuito da Fig. 7. 
 
R1
 
R2
C2
 
22
21
R
1
s
R
1
C
C
+
-
 
R1
 
 
R2 C2
 
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ +
-
s
CR
1
s
R
R 21
1
2 
R1
C1
 
R2
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-
11
12 CR
1
sCR 
 
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R1
C1
 
R2
C2
 2
12
1
CR
1
s
CR
1
s
C
C
2
1
+
÷÷ø
ö
ççè
æ
+-
 
 
Continuação da Tab. 1: Funções de transferência do circuito da Fig. 7. 
 
As realizações de sistemas através de técnicas analógica, que consistem no emprego de integradores, 
somadores e ganhos puros, e através de funções de transferência são equivalentes sob o ponto de vista 
entrada-saída de um sistema, como era de se esperar. Justamente devido a isto é importante visualizar o 
ponto de conexão entre estas duas formasde representação de sistemas dinâmicos. Uma situação 
relativamente freqüente diz respeito ao fato de ter-se a disposição a representação de um dado sistema 
dinâmico através de sua função de transferência e, devido a técnica de controle escolhida para a regulação 
deste processo, existe a necessidade de observar-se não somente os sinais de entrada e saída do processo, 
mas também sinais intermediários. Assim, dado um sistema dinâmico descrito por: 
)ps)(ps(
)zs(K)s(G
21
1
++
+= (10) 
e considerando que qualquer sistema dinâmico descrito através de sua função de transferência pode ser 
representado pela combinação de sistemas de primeira e de segunda ordem, a função de transferência G(s) 
podes ser reescrita como: 
K)zs(
psps
)s(G ×+×
+
×
+
= 1
2
1
1
1 (11) 
onde a representação através de diagramas de blocos de cada uma destas parcelas pode ser obtida facilmente 
conforme apresentado na Tabela 2. 
 
 
 
1
1
ps + 
+
-
1
s
p1
 
 
2
1
ps + 
+
-
1
s
p2
 
 
 
K)zs( ×+ 1 
+
+
s
z1
K
 
Tab. 2: Representação de funções de transferência através de técnicas de computação analógica. 
 
E desta forma, o sistema dinâmico representado pela função de transferência apresentada na 
equação (10) pode ser representado utilizando-se técnicas analógicas através da composição dos termos 
apresentados na Tabela 2, conforme apresentado na Figura 6 
 
 
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)ps)(ps(
)zs(K)s(G
21
1
++
+= 
1
s
p1
+
-
1
s
p2
+
-
s
z1
+ K
+
 
Figura 8: Representação de uma função de transferência através de técnicas de computação analógica. 
 
Fazendo-se uma simples manipulação nos blocos do digrama apresentado na Figura 8 pode-se 
obter uma representação que utiliza somente integradores, somadores e ganhos, conforme apresentado na 
Figura 9. 
1
s
p1
+
-
1
s
p2
+
-
z1 + K
+
 
Figura 9: Representação de uma função de transferência utilizando somente integradores. 
 
Escalonamento de grandezas 
 
Em muitas situações práticas as variáveis envolvidas em um mesmo processo podem apresentar 
muita variação entre si. Um exemplo disto pode ser encontrado ao analisar as variáveis associadas a um 
motor de corrente contínua de baixa potência, onde a corrente de armadura varia em torno de alguns 
décimos de amperes enquanto a velocidade alcança valores próximos de alguns milhares de RPM. Este fato 
impossibilita a representação de tais sistemas dinâmicos utilizando-se AMOPs utilizando-se o mapeamento 
direto das grandezas físicas em níveis de tensão devido as limitações existentes. Para que tal tarefa seja 
passível de realização é preciso efetuar uma operação de escalonamento com o objetivo de fazer com que 
todas as grandezas físicas envolvidas no processo possam ser representadas por sinais de tensão que não 
ultrapassem os valores das tensões de alimentação dos AMPOs. 
 
Escalonamento em Amplitude: Consiste em alterar o ganho DC de uma ou mais funções de 
transferencia do sistema de forma a manter a amplitude dos sinais de entrada e saída dentro de valores 
adequados. Admitindo-se o sistema representado na Figura 10 tenha o ganho DC conforme (12), 
 
 
 
 
Fig. 10: Sistema não escalonado. 
21
1
pp
Kz
Kdc = (12) 
Admitindo Z1=-100, P1=-10, P2=-5 e K= 1000 percebe-se que a o ganho DC da função igual a 
2000, o que implica numa saída de y(t)=4000 para uma entrada u(t)=2. Neste caso para que seja possível 
representar tal função de transferência através de AMPOPs é necessário realizar o escalonamento da 
K(s+Z1) 
(s+P1)(s+P2) 
U(s) Y(s) 
 
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variável de saída de forma a não ultrapassar os limites de alimentação dos amplificadores operacionais1. 
Neste caso pode-se aplicar um ganho Ka=1/1000, conforme observado na Figura 11 e em (13), pode reduzir 
o ganho DC da função de transferencia Y1(s)/U(s). 
 
 
 
 
Fig. 11: Sistema escalonado condicionado 
21
1
1 pp
KzK
K adc = (13) 
resultando num valor de saída y1(t)=4 para a mesma entrada de u(t)=2, onde o valor de tensão da saída y1(t) 
deve ser interpretado como sendo Ka y(t) . 
 
Escalonamento em freqüência: Eventualmente processos físicos possuem constantes de tempo 
difíceis de serem avaliadas através de instrumentos de medição convencionais. Para tanto é possível realizar 
o escalonamento da resposta temporal sem alterar o comportamento dinâmico do processo como um todo. 
Admitindo-se novamente o processo representado na Figura 10, e considerando que deseja-se avaliar as 
dinâmicas do processo para um tempo de estabilização 10 vezes menor que o original, desta forma, o 
processo pode ser representado conforme apresentado na Figura 12. 
 
 
 
 
 
Fig. 12: Sistema escalonado condicionado 
21
1
21
1
2 ppK
KzK
pKpK
zKKK
K
f
x
ff
fx
dc == (14) 
Onde Kf =10, identifica a razão de modificação entre os tempos de estabilização desejados e o atual, 
enquanto que Kx corresponde ao ganho necessário para manter o ganho DC da função escalonada igual ao 
da função original. Observado os ganhos DC associados as funções de transferência, sem e com o 
escalonamento em freqüência dados receptivamente por (12) e (14), sejam iguais, determina-se Kx=Kf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Normalmente os amplificadores operacionais são alimentados com uma fonte de alimentação simétrica de 
±15V. 
Ka K(s+Z1) 
(s+P1)(s+P2) 
U(s) Y1(s) 
Kx K(s+Z1*Kf) 
(s+P1Kf)(s+P2Kf) 
U(s) Y2(s)