Matrizes: Histórico, Conceito, Tipos, Operações e Aplicações

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Matrizes
	
| Gabriel Lima | Gabriela Espozel | Janaina Jacobs | João Paulo de Lira | Ricardo Filardi | Yasser Said |
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Agenda:
[1] Histórico
[2] Conceito
[3] Definição
[4] Representação
[5] Tipos Especiais
[6] Operações
[7] Aplicações
[8] Exercícios
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[ Histórico ]
1858 – Cayley - Memoir on the Theory of Matrices – nome - utilidades
[O nome]
Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ? 
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ). 
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.
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[ Histórico ]
[Uso]
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida.
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[ Conceito ]
O estudo de matrizes é, na verdade, uma preparação para o estudo de sistemas lineares. Para facilitar a notação dos sistemas foram criadas as matrizes, que nada mais são do que um conjunto de números organizados na forma de uma tabela.
[ Definição ]
Podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela retangular de números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes, dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n 
[ Representação ]
Os elementos serão representados pelo símbolo aij , no qual i refere-se a linha e j refere-se a coluna.
	OBS: Note que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos: a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1) 
[ Representação ]
[Matriz Nula]
[Tipos Especiais]
É toda matriz do tipo m x n cujos elementos são todos nulos
A matriz linha é a matriz formada por uma única linha (m=1). Denominada vetor linha.
Ex.:
Neste caso a matriz é do tipo 1 x 4 .
[Matriz Linha]
[Tipos Especiais]
A matriz linha é a matriz formada por uma única coluna (n=1). Denominada vetor-coluna
Ex.:
[Matriz Coluna]
[Tipos Especiais]
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas
[Matriz Quadrada]
[Tipos Especiais]
[Matriz Triangular Inferior]
[Tipos Especiais]
Todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a 0
Todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a 0
[Matriz Triangular Superior]
[Tipos Especiais]
Dado a matriz A = (aij)mxn , a matriz transposta, representada da forma At = (aij)nxm , será a transformação das linhas em colunas.
Ex.: 
[Matriz Transposta]
[Tipos Especiais]
[Matriz Diagonal]
[Tipos Especiais]
Todos os elementos não pertencentes a diagonal principal são nulos.
Ex.:
Matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais, ou seja, é a multiplicação de um escalar pela matriz identidade.
Ex.:
[Matriz Escalar]
[Tipos Especiais]
[ Operações ]
Adição
Subtração
Multiplicação por escalar
Multiplicação de matrizes
 Ao somar duas matrizes A e B de mesma ordem é obtida uma matriz de mesmo tipo, cujos elementos equivalem à soma dos elementos correspondentes nas respectivas matrizes.
 Am x n = [aij] 
 Bm x n = [bij]
 A + B = [aij + bij]m x n
[ Operações]
[Adição]
Propriedades:
[1] A + B = B + A
[2] (A + B) + C = A + (B + C)
[3] A + 0 = A
[4] A + (-A) = 0
[ Operações]
[Adição]
 Ao subtrair duas matrizes A e B de mesma ordem é obtida uma matriz de mesmo tipo, cujos elementos equivalem à subtração dos elementos correspondentes nas respectivas matrizes.
 Am x n = [aij] 
 Bm x n = [bij]
 A - B = [aij - bij]m x n A= B=
 A – B = C = 
[ Operações]
[Subtração]
 Propriedades
Apesar de serem operações semelhantes, a subtração não compartilha das propriedades da soma de matrizes.
A – B = A + (-B)
[ Operações]
[Subtração]
 Para multiplicar uma matriz Am x n por um escalar basta multiplicar cada elemento desta matriz pelo número. 
 
 A = [aij]m x n
 k = constante real
 k x A = [kaij]m x n 
[ Operações]
[Multiplicação por um Escalar]
Para que duas matrizes possam ser multiplicadas o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da outra.
[ Operações]
[Multiplicação de Matrizes]
[ Operações]
[Multiplicação de Matrizes]
A multiplicação de matrizes,em geral,não segue um padrão comutativo, logo:
 AB ≠ BA
0 x A = 0 e A x 0 = 0
[1] Computação Gráfica 
[2] Efeitos Especiais
[3] Engenharia Elétrica
[4]Engenharia Mecânica
[5] Engenharia Civil
[6]Otimização
[7] Aparelhos Eletrônicos
[8]Genética
[9] Química
[10] Física
[11] Matemática
[12]Economia
[ Aplicações]
[1] Computação: Cálculos estruturais, computação gráfica, aparelhos médicos tipo ressonância magnética, economia, meteorologia, oceanografia e outros;
[ Aplicações]
[2] Engenharia elétrica: Resolver problemas de circuitos elétricos e Linhas de transmissão de energia elétrica.
[Exemplos]
[3] Mecânica: Os tensores (grandeza muito importante pra mecânica) é só fornecido em forma de matriz.
[4] Genética:Problemas envolvendo probabilidade.
Matriz de variância genética aditiva
o tensor tensão de Cauchy é dado por uma matriz simétrica
Na mecânica as matrizes são usadas para cálculo de tensão, deformação entre outras utilidades. 
[ Aplicações]
[Exemplos]
[ Exercícios ]
[Número 1]
Seja . Se A = A 
encontre o valor de x.
t
[ Exercícios ]
[Solução]
Duas matrizes são iguais, se cada elemento de A ij é igual a cada elemento de At ij. Logo, basta resolver a equação x2 = 2x – 1. Utilizando a fatoração, temos: x2 -2x +1 = 0 pode ser escrito como (x-1)2 = 0. A solução é a raiz dupla x=1.
Se , ache B tal que B² = A.
[ Exercícios ]
[Número 2]
[ Exercícios ]
[Solução]
Igualando os termos com a Matriz A:
[ Exercícios ]
[Solução]
[ Exercícios ]
[Solução]
ab + bd = -2 Substituindo a = d, temos 2bd = -2 ou bd = -1 implicando que b = (-1/d)
ac + cd = -4 Substituindo a = d, temos 2cd = -4ou cd = -2 implicando que c = 2b.
 
Substituindo em (*), temos: d2 + b(2b) = 3 ou d2 + 2b2 = 3 ou ainda, d2 + 2(1/d2) = 3. Multiplicando todos os termos por d2, temos:
 
d4 + 2 = 3d2. Substituindo o termo d2 = y, temos a solução de uma equação biquadrada.
 
y2 – 3y + 2 = 0, onde pela fatoração temos y = 1 ou y = 2. Ou seja, d = ou d = + 1.
[ Exercícios ]
[Solução]
Dúvidas?
	
Obrigado
	
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