Inversao_de_Matrizes._2012-2.bcmt

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
MATRIZ INVERSA
Álgebra Linear II		Prof.: Mário Jorge		IM/UFRJ		2012/2 
Augusto Silva Vinhos
Cláudio da Silva Velasque
Jorge Willian Lima de Meneiro
Leonardo de Oliveira Cabral Barbosa
Luís Felipe Silva de Aguiar
Ricardo Hora Nettesheim
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
1
SUMÁRIO
1. Justificativa
2. Definição
3. Propriedades
	3.1. Unicidade 
	3.2. Outras propriedades
4. Métodos de inversão
	4.1. Sistemas Lineares
	4.2. Gauss – Jordan
	4.3. Cofatores
	4.4. Partição
5. Aplicações
6. Bibliografia
2
		Devido à grande aplicabilidade das matrizes, a necessidade de resolver equações matriciais do tipo AX = B, em que A, X e B são matrizes, fez com que se estendesse a teoria de inversão de números reais para as matrizes.
JUSTIFICATIVA
	Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
Se det(A)≠0, então existe uma matriz B, tal que:
A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B=A-1.
DEFINIÇÃO
Demonstração:
 	Suponha que B e C sejam inversas de A.
 	Então, 
PROPRIEDADES - UNICIDADE
Se tem inversa, então a inversa é única. 
e assim
 	A matriz inversa da inversa de uma matriz é igual a própria matriz.
(A–1)–1 = A
		A matriz transposta de uma matriz inversa é igual a inversa da transposta.
(A–1)t = (At)–1
		A matriz inversa de um produto de matrizes é igual ao produto das inversas das matrizes com a ordem trocada.
(AB)–1 = B–1 · A–1
OBS: Isso funcionará com múltiplas matrizes:
 	 Uma matriz quadrada diz-se ortogonal, se a sua inversa for igual à sua transposta.
 A–1 = At
OUTRAS PROPRIEDADES
	A inversa da matriz A multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número. 
	O determinante de uma matriz inversa corresponde ao inverso do determinante de uma matriz.
OUTRAS PROPRIEDADES
	São vários os métodos para inverter matrizes, iremos tratar apenas dos quatro principais:
 Método dos Sistemas Lineares
 Método de Gauss – Jordan
 Método dos Cofatores
 Método das Partições
MÉTODOS DE INVERSÃO
 		Esse método utiliza a definição da matriz inversa, onde A.A-1 = I. 
 
INVERSÃO DE MATRIZES POR SISTEMAS LINEARES
 Resolvendo o sistema de equações temos:
 Obs.: Se a matriz não for invertível, então o sistema linear será impossível.
 
INVERSÃO DE MATRIZES POR SISTEMAS LINEARES
 		Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade. Em seguida, aplicam-se sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade, aplicando as mesmas operações à matriz identidade. No final do processo, a matriz identidade torna-se a matriz inversa procurada. Simbolicamente:
 MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Calcule a inversa da matriz:
I) Acrescentar uma matriz identidade ao seu lado: 
 MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Agora, realizaremos os procedimentos. 
	Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 . (-1)
	
	
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 . (-1)
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 . (-2)
 MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 . (-3)
Finalmente:
	Linha 2 = Linha 2 + Linha 3
	Linha 3 = Linha 3 . (-1)
 MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Assim, obtivemos a matriz inversa abaixo
 MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
 MÉTODO DOS COFATORES
Matriz dos cofatores
	A matriz dos cofatores da matriz A, cof(A), é a matriz que se obtém substituindo cada elemento pelo respectivo cofator. Esta matriz também é designada por matriz dos complementos algébricos.
 MÉTODO DOS COFATORES
Matriz Adjunta
	A matriz adjunta de A, adj(A), é a matriz transposta da matriz dos cofatores.
 MÉTODO DOS COFATORES
Problema 4.15 
Curso de álgebra Linear Fundamentos e Aplicações – Marco Cabral e Paulo Goldfeld
I) Analise se a matriz possui inversa, isto é, verifique se seu determinante é diferente de 0.
 MÉTODO DOS COFATORES
 MÉTODO DOS COFATORES
II) Calcule os cofatores.
 MÉTODO DOS COFATORES
III) Ache a matriz adjunta, ou seja, calcule a transposta de cof(A).
 MÉTODO DOS COFATORES
IV) E por último, calcule a inversa a partir dos dados obtidos anteriormente.
 MÉTODO DOS COFATORES
	Caso 2x2: 
	A fórmula do método dos cofatores:
 MÉTODO DOS COFATORES
	Este método, obtenção da inversa por partição (blocos), é utilizado em matrizes de grande porte que necessitam ser particionadas em blocos, sendo inviável usar qualquer um dos processos de inversão apresentados anteriormente. 
α e A, sxs 
β e B, sxm 
γ e C, mxs
δ e D, mxm 
 MÉTODO DAS PARTIÇÕES
Resolvendo o sistema linear por substituição
 MÉTODO DAS PARTIÇÕES
Exemplo:
 MÉTODO DAS PARTIÇÕES
 
 
 
 MÉTODO DAS PARTIÇÕES
	Existem diversas aplicações, trataremos apenas das mais conhecidas, a saber:
 Resolução de Sistemas Lineares
 Computação Gráfica
 Engenharia Civil
 Economia
 Maximização do Lucro
APLICAÇÕES
 		As matrizes inversas, assim como os determinantes, são normalmente utilizadas para resolver sistemas de equações matemáticas envolvendo diversas variáveis. Essas equações podem estar relacionadas a certas áreas como controle de estoque, planejamento da produção de peças, programação de jogos, etc.
 		Se A é uma matriz nxn, então o sistema linear Ax = b é um sistema de n equações em n incógnitas. Suponha que A é invertível, então A–1 existe e podemos multiplicar o sistema por A–1 em ambos os lados, obtendo 
APLICAÇÕES – RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
APLICAÇÕES – RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
		A inversão de matrizes é muito utilizada na computação gráfica, particularmente na renderização de gráficos em 3D e simulações 3D. Exemplos incluem o Ray Casting*, a transformação de objetos através de métodos “world-to-subspace-to-world”*², e simulações físicas.
		
		O problema é a dificuldade numérica de se calcular as inversas de matrizes de terceira ordem ou maiores. Comparando com a multiplicação de matrizes ou a criação de matrizes de rotação, a inversão de matrizes é um processo muito mais lento de ser realizado no computador. 
 	*Ray Casting é um algoritmo utilizado em tratamento de imagem, e que tem como objetivo a sintetização de imagens 3D.
	 	*²World-to-subspace-to-world é um modelo de programação em que dados são enviados do “world” (o computador do usuário ou mesmo uma realidade virtual) para um “subspace” (um servidor ou a um processador de dados) e as informações processadas(não obrigatoriamente alteradas) são retornadas para o “world”, esse conceito é muito usado em realidades virtuais, mas não é usado exclusivamente nessa área. 
APLICAÇÕES – COMPUTAÇÃO GRÁFICA
 	Uma aplicação de Álgebra Linear à Engenharia Civil: o projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas exige resolver um sistema de equações lineares; quanto mais complexa for esta estrutura, maior será o número de equações e de variáveis. A matriz dos coeficientes do sistema deve ser invertível para que a estrutura não colapse. Para uma mesma estrutura sujeita a forças externas variáveis, pode-se encontrar a matriz-coluna das forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a estrutura metálica pela matriz-coluna das forças externas. 
APLICAÇÕES – ENGENHARIA CIVIL
 MODELO INSUMO-PRODUTO
 Desenvolvido na década de 1930 por Wassily Leontief, ganhador do prêmio Nobel por sua criação. Seu sucesso se deve ao fato de utilizar dados da economia real que podem ser obtidos de maneira relativamente fácil.
 MATRIZ INVERSA DE LEONTIEF:
 Registra a origem dos insumos e o destino das produções de uma
economia. 
 Permite medir o impacto das mudanças na demanda final sobre a economia.
 A metodologia básica para identificação dos setores-chave da economia é a seguinte:
 X = (I – A)-1F
 Onde: X é o vetor da produção setorial; 
 I é a matriz identidade; 
 A é a matriz dos coeficientes técnicos, cujos elementos a(ij) indicam o produto do setor i usado diretamente pelo setor j para obtenção de uma unidade de demanda final do bem j; 
 F é o vetor demanda final total.
 (I – A)-1 é a matriz inversa de Leontief, que indica a estrutura da economia; 
APLICAÇÕES - ECONOMIA
 MATRIZ INVERSA DE JONES
	
	Permite calcular o índice de sensibilidade à dispersão.
	Mede os impactos diretos e indiretos de cadeias de produtos
Xt = Vt*(I – A*)-1
 		Na relação acima, a matriz (I – A*) -1 é a matriz inversa de Jones (1976). 
 	Onde:
I = matriz identidade; 
A* = matriz dos coeficientes diretos de produto; 
Xt = vetor-coluna transposto dos valores brutos de produção (vetor linha); 
Vt = vetor-coluna transposto do valor adicionado (vetor-linha).
APLICAÇÕES - ECONOMIA
 A matriz inversa é frequentemente utilizada por engenheiros em empresas e indústrias para maximização de seu lucro e produtividade.
 Exemplo:
  	Uma montadora de automóveis deseja eliminar todos os seus prejuízos e alcançar um lucro de 100% na fabricação de dois dos seus modelos de carro. O engenheiro responsável pela fábrica resolve esboçar a seguinte matriz:
 Carro A Carro B
 
		O objetivo é procurar valores pelos quais ele multiplica os lucros e gastos para que eles sejam iguais a 1 (100%) e 0 (0%). 
APLICAÇÕES – MAXIMIZAÇÃO DO LUCRO
Supondo valores, temos: 
 
Resolvendo esse sistema, encontramos:
 X=2341 Y= 4234
 W=1234 Z= -1234
Conclusão:
		Os valores calculados de x, y, w, z são o quanto o engenheiro deve aumentar ou diminuir das porcentagens de lucro e gastos para ter o máximo de lucro e mínimo de prejuízo.
APLICAÇÕES – MAXIMIZAÇÃO DO LUCRO
 Carro A Carro B
http:www.feg.unesp.brextensaoteiaaulasAna26agosto-MatrizesInversas.pdf
http:www.cursoraizes.com.brresourcesINVERS%C3%83O%20DE%20MATRIZ%20E%20DETERMINANTES.pdf
http:ead.pep.ufrj.brmoodlefile.php5Inversa_de_Matriz_2010-2.ppt
http:ead.pep.ufrj.brmoodlefile.php5Inversao_de_Matrizes.Ea1.2010.2.ppt#261,1,Álgebra Linear
pt.wikipedia.orgwikiMatriz_inversa
http:ead.pep.ufrj.brmoodlefile.php5Apresentacao_de_Algebra_Linear_22-09-2009_-_versao_final.ppt#257,1,Introdução
http:ead.pep.ufrj.brmoodlefile.php5AL_2009-1_EQA_IGA_Inversao.ppt#256,1,Inversão de Matrizes
BIBLIOGRAFIA