Inversa_de_Matriz_2010-2

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Inversão de Matrizes
Alunos:
Felipe Adrião
Felipe Jonathan 
Natália Amaral
Douglas de Andrade
Celso Tinoco
Disciplina: 	Álgebra Linear
Professor: 	Mario Jorge
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O que é inversão?
Na álgebra dos números reais, um número n é chamado de inverso de um número m e é indicado por m–1 se, e somente se: 
m · n = n · m = 1
Assim,  3/5 é inverso de 5/3 , pois 
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Matriz Inversa
A necessidade de resolver equações matriciais do tipo AX = B, em que A, X e B são matrizes, fez com que se estendesse a teoria de inversão de números reais para as matrizes.
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Definição de Matriz inversa
Dada uma matriz A, A’ é sua inversa se e somente se:
AA–1 = A–1 A = In 
Onde In é a matriz identidade.
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Condição para que haja inversão
Para que haja inversão de uma matriz A é necessário que:
	 A seja uma matriz quadrada;
	 det A  0.
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Exemplo
A =
 
det A = 0 , portanto não é possível inverter essa matriz.
B = 
 
det B  0 , portanto é possível inverter essa matriz.
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Propriedades 
Matriz inversa da inversa de uma matriz: é igual a própria matriz.
(A–1)–1 = A
Matriz transposta de uma matriz inversa: é igual a inversa da transposta.
(A–1)t = (At)–1
Matriz inversa de um produto de matrizes: é igual ao produto das inversas das matrizes.
(AB)–1 = B–1 · A–1
Uma matriz quadrada A diz-se ortogonal se a sua inversa for igual a sua transposta.
 A–1 = At
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Propriedades
A matriz obtida pela multiplicação de uma inversa por um número real corresponde a inversa da matriz por um número real. 
 t*A–1 = (A*t )–1 , sendo t Є IR 
O determinante de uma matriz inversa corresponde ao inverso do determinante de uma matriz.
det A–1 = 1/detA
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Métodos de obtenção da Matriz inversa
Existem muitos métodos de obtenção da matriz inversa. Iremos apresentar 4: 
Por sistema;
Utilizando a matriz de co-fatores;
Método de Gauss-Jordan;
Partição.
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Por sistema
Utilizando A* A–1 = In , então supondo 
A = 
3
1
2
1
A*A–1
3
1
2
1
=
a
b
c
d
*
=
1
0
0
1
*
Por sistema
3*a + c = 1
2*a + c = 0
{
Resolvendo o sistema temos:
a = 1
b = -1
c = -2
d = 3
*
Por sistema 
Assim a matriz inversa de :
É a matriz:
A’
1
-1
-2
3
=
*
Utilizando a matriz de co-fatores
Pode-se utilizar a seguinte fórmula:
1
Sendo (cof A) a matriz transposta de co-fatores de A, também chamada de matriz adjunta de A.
t
*
Relembrando como se calcula (cof A)
O co-fator do elemento aij de uma matriz A, indicado por C, se define como:
j
i
+
ij
ij
M
c
=
)
-1
(
t
*
Resolvendo com esse método
det A = -7 , portanto existe matriz inversa.
Seja a matriz A
*
Calculando a matriz de co-fatores
C11 = (–1) .(-2)=(1).(-2) = -2
C12 = (–1) .(-1)=(–1).(-1) = 1
C13 = (-1) .(-2)=(1).(-2)= -2
C21 = (–1) .(–1)=(–1).(–1) = 1
C22 = (–1) .(-4)=(1).(-4) = -4
C23 = (-1) .(-1)=(-1).(-1) = 1
C31 = (-1) .(-1)= (1).(-1) = -1
C32 = (-1) .(3) = (-1).(3) = -3
C33 = (-1) .(6) = (1).(6) = 6
2
3
4
3
4
5
5
4
6
*
Calculando a matriz inversa
(Cof A)
=
-2
1
1
-4
-2
1
-1
-3
6
(Cof A)
=
-2
1
1
-4
-1
-3
-2
1
6
t
*
Calculando a matriz inversa
-2
1
1
-4
-1
-3
-2
1
6
A–1 =
1
-7
A–1 =
2/7
-1/7
-1/7
4/7
1/7
3/7
2/7
-1/7
-6/7
*
3. Método de Gauss-Jordan
Consiste em emparelhar a matriz A com uma matriz identidade de mesma ordem e, através de certos procedimentos, transformar a matriz A em uma matriz identidade. Ao aplicarmos, simultaneamente, os mesmos procedimentos na matriz identidade emparelhada, obteremos a matriz inversa.
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Exemplo
Calcular a inversa da matriz:
O primeiro passo é acrescentar uma matriz identidade ao seu lado: 
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Exemplo
Agora realizaremos os procedimentos. Primeiro:
	Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 . (-1)
	
	Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 . (-1)
	Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 . (-2)
*
Exemplo
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 . (-3)
Finalmente:
	Linha 2 = Linha 2 + Linha 3
	Linha 3 = Linha 3 . (-1)
*
Exemplo
Assim, a matriz inversa alcançada é:
*
4. Partição
Utilizado em matrizes de grande porte que necessitam ser particionadas em blocos, sendo inviável usar qualquer um dos processos de inversão apresentados anteriormente.
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4. Partição
Dada uma matriz:
Vamos fazer uma partição de tal maneira que A11 seja quadrada.
 Por exemplo
 
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Partição
Pretende-se encontrar uma matriz B = A–1 
Pela definição da inversa será:
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Partição
Isto conduz ao seguinte sistema:
Resolvendo-se o sistema, temos:
B11 = A11 – A12 . A22–1 . A21
B12 = - A12 . A22–1 ( - A11 . A12 . A22–1 . A21 )–1 
B21 = - A22–1 . A21 . B11
B22 = - A22–1 . A22–1 . A21 . B21
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Uma aplicação de matrizes inversas: realidades virtuais
	A inversão de matrizes é muito utilizada na computação gráfica, particularmente na renderização de gráficos em 3D e simulações 3D. Exemplos incluem o Ray Casting, a transformação de objetos através de métodos “world-to-subspace-to-world”, e simulações físicas.
 
	
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Uma aplicação de matrizes inversas: realidades virtuais
O problema é a dificuldade numérica de se calcular as inversas de matrizes de terceira ordem ou maiores. Comparando com a multiplicação de matrizes ou a criação de matrizes de rotação, a inversão de matrizes é um processo muito mais lento de ser realizado no computador.
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Uma aplicação de matrizes inversas: realidades virtuais
Ray Casting é um algoritmo utilizado em tratamento de imagem, e que tem como objetivo a sintetização de imagens 3D.
World-to-subspace-to-world é um modelo de programação em que dados são enviados do “world” (o computador do usuário ou mesmo uma realidade virtual) para um “subspace” (um servidor ou a um processador de dados) e as informações processadas(não obrigatoriamente alteradas) são retornadas para o “world”, esse conceito é muito usado em realidades virtuais mas não é usado exclusivamente nessa área. 
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