GABARITO AP3 ME2 2018.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2018 – Gabarito
1. f(x) ≥ 0 (gra´fico esta´ acima do eixo x)
A´rea sob a curva e´ a a´rea de um triaˆngulo de base 3 e altura 2/3:
A =
1
2
· 3 · 2
3
= 1
f(x) e´ um segmento de reta delimitado pelos pontos (0, 0) e (3, 2/3), ou seja, f(x) = kx e
f(3) = 2/3. Logo, k · 3 = 2/3⇒ k = 2/9. Enta˜o,
f(x) =
2x
9
0 < x < 3
2.
P(X < 1|X < 2) = P(X < 1)
P(X < 2)
P(X < 1) e´ a a´rea de um triaˆngulo de base 1 e altura f(1); P(X < 2) e´ a a´rea de um triaˆngulo
de base 2 e altura f(2). Logo,
P(X < 1|X < 2) =
1
2
· 1 · 2
9
1
2
· 2 · 4
9
=
2
8
=
1
4
3. P(X < c) e´ a a´rea de um triaˆngulo de base c e altura f(c). Enta˜o,
P(X < c) = 0, 5⇔ 1
2
· c · 2c
9
=
1
2
⇔ 2c2 = 9⇔ c = ± 3√
2
Como temos que ter c > 0, a soluc¸a˜o e´ c =
3√
2
= 2, 1213
4. X ∼ N
(
15;
400
25
)
ou X ∼ N (15; 42)
5. P(X > 7) = P
(
Z >
7− 15
4
)
= P(Z > −2) = 0, 5 + tab(2, 0) = 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
6. P(11 < X < 27) = P
(
11− 15
4
< Z <
27− 15
4
)
= P(−1 < Z < 3) = tab(1, 0) + tab(3, 0) =
0, 3413 + 0, 4987 = 0, 84
7.
P(X < k) = 0, 01⇔ P
(
Z <
k − 15
4
)
= 0, 01⇔ P
(
Z > −k − 15
4
)
= 0, 01⇔
tab
(
15− k
4
)
= 0, 49⇔ 15− k
4
= 2, 33⇔ k = 5, 68
8. k = −t10;0,01 = −2, 764
9. k = t10;0,10 = 1, 372
10. k = t10;0,05 = 1, 812
11. Soluc¸a˜o
Afirmativa dada: µ ≥ 100g
H0 : µ = 100
H1 : µ < 100
Estat´ıstica de teste: T0 =
X − 100
5√
25
= X − 100
α = 3%⇒ t24;0,03 = 1, 974.
A regra de decisa˜o e´ rejeitar H0 se X − 100 < −1, 974 ou X < 98, 026
O valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 = 97, 5− 100 = −2, 5
que pertence a` regia˜o cr´ıtica; logo, rejeita-se a hipo´tese nula, ou seja, ao n´ıvel de significaˆncia
de 3%, ha´ evideˆncia de que o peso me´dio das caixas seja inferior a 100g. Note que o valor
observado da me´dia amostral tambe´m e´ menor que 98,026.
12. A margem de erro e´ � = 1, 974 · 5√
25
e o intervalo de confianc¸a e´
(97, 5− 1, 974 ; 97, 5 + 1, 974) = (95, 526 ; 99, 474)
13.
H0 : µ = 2, 4
H1 : µ > 2, 4
14. σ = 0, 70 α = 0, 025 n = 50 grande! Podemos usar a distribuic¸a˜o normal!
Z0 =
√
50
X − 2, 4
0, 7
A regia˜o cr´ıtica e´ RC : Z0 > 1, 96
15. O valor observado da estat´ıstica de teste e´ z0 =
√
50
2, 61− 2, 4
0, 7
= 2, 1213 > 1, 96
Rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que a raza˜o atual seja superior a` me´dia de longo prazo.
16. P = P(Z ≥ 2, 1213) = 0, 5− tab(2, 12) = 0, 5− 0, 4830 = 0, 017
Curso de Administrac¸a˜o 2