Vetores

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VETORES
Fernando Cesar Ferreira
Revisado e adaptado do original de José Luis Foureaux
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Sumário
Grandezas escalares e vetoriais
Conceitos básicos
Vetores
Ângulo entre dois vetores
Soma de dois vetores
Diferença de dois vetores
Soma de vários vetores
Multiplicação de um vetor por um escalar
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Grandezas escalares
e
grandezas vetoriais
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Grandeza escalar
Fica completamente caracterizada quando se conhece sua medida e sua unidade.
Exemplos: 
Distância
Área
Volume
Ângulo
Tempo
Massa
Temperatura
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Grandeza vetorial
Só fica completamente caracterizada quando se conhece, além de sua medida e sua unidade, sua direção e sentido.
Exemplos:
Velocidade
Aceleração
Força
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Segmento orientado
Segmento de reta ao qual se associa um sentido. 
Notação:
 Representação geométrica:

referência
reta suporte
A
B
Elementos
A – origem
B – extremidade
 - direção
|AB| - módulo ou intensidade
Sentido – de A para B
r – reta suporte
s - referência
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Vetor
Segmento orientado que representa, geometricamente, uma grandeza vetorial.
O comprimento do segmento orientado representa, numa certa escala, o valor da grandeza vetorial. A direção e o sentido do segmento orientado representam a direção e o sentido da grandeza vetorial.
V = 300 km/h

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Classificação dos vetores
Livre: O vetor pode ser deslocado paralelamente a sí mesmo sem se deformar.
Deslizante: O vetor pode ser deslocado sobre a reta suporte.
Ligado: O vetor não pode ser deslocado de sua posição.
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Classificação dos vetores
Colineares: Dois ou mais vetores que têm mesma reta suporte.
Coplanares: Dois ou mais vetores que estão num mesmo plano.
Concorrentes: As retas-suporte se cortam num ponto.
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Classificação dos vetores
Opostos: Têm mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários.
Unitário: De um vetor a é o vetor ua de mesma direção e sentido que a e módulo igual a 1.
Nulo: Vetor de módulo igual a zero. Tem direção e sentido indeterminados.
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Ângulo entre 2 vetores
É o menor dos dois ângulos que os vetores fazem entre si.
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Soma de vetores
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Processos geométricos
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Regra do paralelogramo
Desenha-se os 2 vetores (mantendo módulo, direção e sentido) de forma que as origens coincidam.
Pela extremidade de cada vetor traça-se uma paralela ao outro vetor, construindo um paralelogramo.
A resultante será a diagonal do paralelogramo que parte das origens comuns.
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Regra do triângulo
Desenha-se o 2º vetor de forma que sua origem coincida com a extremidade do 1º.
A resultante será o vetor que liga a origem do 1º com a extremidade do último.
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Regra do polígono
Processo geométrico para calcular a resultante de n vetores
Desenha-se o 1º vetor.
Em seguida desenha-se cada um dos outros vetores, de forma que a origem de cada um coincida com a extremidade do anterior.
A resultante será o vetor que liga a origem do 1º vetor com a extremidade do último.
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Processos algébricos
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A partir da lei dos co-senos

a
b
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Lei dos senos



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Casos particulares
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Vetores colineares de mesmo sentido
A intensidade da resultante é a soma das intensidades dos vetores.
| R | = | a | + | b |
= 0 ; Cos 0 = 1 ; a2 + b2 + 2ab = (a + b)2
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Vetores colineares de sentidos contrários
A intensidade da resultante é a diferença das intensidades dos vetores.
| R | = | a | - | b |
= 180º ; Cos 180 = -1 ; a2 + b2 - 2ab = (a - b)2
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Vetores perpendiculares
A lei do coseno se torna o teorema de Pitágoras.
= 90
Cos 90 = 0
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Propriedades da soma de vetores
Comutativa: a + b = b + a
Associativa: a + ( b + c ) = (a + b) + c
a
b
c
a+b
b+c
a
b
a
b
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Diferença de 2 vetores
a
b
a
-b
a - b
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Método das componentes ortogonais
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Projeção de um vetor sobre uma reta
Pelas extremidades do vetor traçam-se perpendiculares à reta. A projeção do vetor sobre a reta é o vetor que fica entre os pés das duas perpendiculares.
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Componentes ortogonais de um vetor
Hipotenusa
Cateto oposto
Cateto adjacente

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Método das componentes ortogonais
Processo analítico para se determinar a resultante de vários vetores.
Exemplo: Determinar a resultante dos vetores mostrados abaixo:
45º
30º
a
b
|a| = 4
|b| = 2
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Método das componentes ortogonais (1)
Traça-se o sistema cartesiano XOY.
Desenha-se cada um dos vetores dados com a origem de cada vetor coincidindo com a origem do sistema.
Desenham-se as componentes x e y de cada vetor.
45º
30º
a
b
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Método das componentes ortogonais (2)
Calcula-se o valor de cada componente através das equações
ax = a.cos
ay = a.sen
Calcula-se as componentes da resultante:
Rx = ∑aix Ry = ∑aiy 
45º
30º
a
b
aX = 4.cos45 = 4.0,7 = 2,8
ay = 4.sen45 = 4.0,7 = 2,8
by = 2.cos30 = 2.0,86 = (-)1,72
by = 2.sen30 = 2.0,5 = 1,0
Rx = 2,8 – 1,72 = 2,8 – 1,7 = 1,1
Ry = 2,8 + 1,0 = 3,8
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Método das componentes ortogonais (3)
Calcula-se o módulo da resultante:
Calcula-se a direção da resultante:
Determina-se o sentido da resultante pelo quadrante.
45º
30º
a
b
1º quadrante
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Multiplicação de um vetor por um escalar
O produto de um escalar “n” por um vetor a é um vetor de mesma direção que a, intensidade n.a e mesmo sentido que a se n >0 e sentido contrário a a se n < 0.
a
3a
-2a
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Versores ou vetores unitários
Da figura, temos:
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Vetor Deslocamento
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Velocidade Média
Velocidade Instantânea
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Aceleração Média
Aceleração Instantânea
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Exercício 1
Certa pessoa sai de sua casa, caminha 5 quarteirões para o norte, 3 quarteirões para o leste, 1 quarteirão para o sul e 4 quarteirões para oeste. Determine geometricamente a direção e a distância que ela deve percorrer para retornar ao ponto de partida.
casa
*
Exercício 2
Duas forças, respectivamente iguais a 5 kgf e 8 kgf, atuam num mesmo corpo. O ângulo entre elas é 45º. Determine a intensidade e a direção da resultante.
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Exercício 3
Duas forças ortogonais, de módulos respectivamente iguais a 6 N e 8 N, constituem um sistema. Determine a intensidade e a direção da resultante.
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Exercício 4
A soma de duas forças ortogonais é 25 kgf. Uma das forças vale 24 kgf. Qual o valor da outra força?
R2 = a2 + b2
(25)2 = (24)2 + b2
625 = 576 + b2
b2 = 625 – 576 = 49
b = 7
OBS.: o gráfico não está em escala!
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Exercício 5
A soma das intensidades de 2 forças ortogonais é 23 kgf. Qual o módulo de cada uma se a intensidade da soma é 17 kgf?
|a| + |b| = 23 ; b = 23 - a
|R| = 17
(17)2 = a2 + b2 
289 = a2 + (23 – a)2
289 = a2 + 529 – 46a + a2
289 – 529 = 2a2 – 46a 
-240 = 2a2 – 46a 
a2 -23a + 120 = 0
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Exercício 5 (cont.)
|R|=17
a
b
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Exercício 6
Que ângulo devem fazer duas forças de mesma intensidade para que o módulo da soma seja igual ao módulo de cada uma das forças?
R2 = a2 + b2 + 2abcos
R2 = R2 + R2 + 2RRcos
R2 = 2R2 + 2R2cos
R2 = 2R2 (1 + cos)
1 + cos = 0,5
cos = (-0,5)
 = arccos (-0,5) = 120º
|R| = |a| = |b|
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Exercício 7
Calcule, pelo método das componentes ortogonais, a soma dos vetores mostrados abaixo.
45º
30º
90º
a = 4,5
b = 3,8
c = 2
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Exercício 7 (cont.)
ax = a.cos45 = 4,5.0,7 = 3,15
ay = a.sen45 = 4,5.0,7 = 3,15
bx = b.cos30 = 3,8.0,86 = (-) 3,3
by = b.sen30 = 3,8.0,5 = 1,9
cx = c.cos 90 = 2.0 = 0
cy = c.sen 90 = 2.1 = 2
Rx = ax + bx + cx
 = 3,15 – 3,3 + 0 = -0,15
Ry = ay + by + cy 
 = 3,15 + 1,9 – 2 = 3,1
R2 = (-0,15)2 + (3,1)2
 = 0,225 + 9,61 = 9,835
R = 3,1
Tg = Ry / Rx = 3,1 / (-0,15)
 = -20,67
= arctg -20,67 = -87º
2º quadrante
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Exercício 8
Dados os vetores:
a = 3
b = 5
c = 7
a + b + c
a - 2c + b
a + c - b
Determine geometricamente o resultado das operações: