2014-2-AP-01-IEM-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – INFORMA´TICA NO ENSINO DA MATEMA´TICA – 2/2014
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativas.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 [2 pontos]
Explique a finalidade de cada uma das ferramentas do GeoGebra 4.x apresentadas na tabela abaixo.
Nu´mero I´cone
1
2 ABC
3
4
Soluc¸a˜o.
I´cone 1: permite construir lugares geome´tricos como objetos definitivos.
I´cone 2: permite incluir textos na Janela de Visualizac¸a˜o.
I´cone 3: permite construir mediatrizes de segmentos dadas suas extremidades.
I´cone 4: permite construir um pol´ıgono regular dando dois de seus ve´rtices consecutivos.
Questa˜o 2 [2 pontos]
Suponha que treˆs pontos A, B e C estejam constru´ıdos na Janela de Visualizac¸a˜o do GeoGebra 4.x.
Como voceˆ faria para calcular o per´ımetro do triaˆngulo ABC? Indique o que digitar, onde clicar,
etc.
Soluc¸a˜o. Existem va´rias maneiras para, no GeoGebra 4.x, calcular o per´ımetro de um triaˆngulo
dados os seus ve´rtices. Uma delas e´ a seguinte: no Campo de Entrada, basta digitar
p = Dista^ncia[A, B] + Dista^ncia[A, C] + Dista^ncia[B, C]
INFORMA´TICA NO ENSINO DA MATEMA´TICA AP1 2
e, enta˜o, pressionar a teclar ENTER. O per´ımetro do triaˆngulo sera´ dado pela varia´vel p na Janela
de A´lgebra. Outra maneira: primeiro ativar a ferramenta Pol´ıgono (´ıcone desenhado a` esquerda
a seguir); depois clicar nos pontos A, B, C e A para criar o pol´ıgono cujos ve´rtices sa˜o A, B e
C; em seguida ativar a ferramenta Dista^ncia, Comprimento ou Perı´metro (´ıcone desenhado
a` direita a seguir) e, por fim, clicar no pol´ıgono criado. Seu per´ımetro sera´ enta˜o exibido na Janela
de A´lgebra.
cm
Questa˜o 3 [2 pontos]
A partir dos pontos livres A, B e C, um aluno construiu, usando o GeoGebra 4.x, o paralelogramo
ABCD apresentado na figura a seguir.
AB
C D
Descreva, com detalhes, quais sa˜o os procedimentos que este aluno deve seguir para definir uma macro
que constro´i um paralelogramo dados treˆs de seus ve´rtices consecutivos, a partir da construc¸a˜o que
ele acabou de fazer.
Soluc¸a˜o. Para se definir uma macro a partir da construc¸a˜o do aluno, devemos, inicialmente, no
menu principal, clicar em “Ferramentas” e, na lista que aparecera´, clicar em “Criar uma Nova
Ferramenta...”. Uma janela de dia´logo aparecera´. Esta janela tem treˆs guias (abas): “Objetos
Finais”, “Objetos Iniciais” e “Nome & I´cone”. Comec¸ando com a guia “Objetos Finais”, clicamos
nos objetos geome´tricos da Janela de Visualizac¸a˜o que, como o pro´prio nome da aba diz, sa˜o os
objetos finais cuja construc¸a˜o queremos automatizar com a macro. Em nosso caso, estes objetos sa˜o
o ponto D e os segmentos AB, BC, CD e AD. Em seguida, clicamos na guia “Objetos Iniciais” e,
em seguida, escolhemos os objetos iniciais da construc¸a˜o na Janela de Visualizac¸a˜o. Estes objetos
sa˜o, em geral, os pontos livres da construc¸a˜o. Em nosso caso, estes objetos sa˜o os pontos A, B e C.
Feito isto, clicamos na aba “Nome & I´cone” e, enta˜o, especificamos um nome para a macro e, se
desejarmos, um texto de ajuda. Basta enta˜o clicar no bota˜o “Conclu´ıdo” para concluir a definic¸a˜o
da macro.
Questa˜o 4 [2 pontos]
Considere o texto abaixo, extra´ıdo do artigo “Geometria Dinaˆmica: Uma Nova Abordagem para o
Aprendizado da Geometria”, de autoria de Maria Alice Gravina.
“Tanto no caso de formac¸a˜o de conceitos, quanto de deduc¸a˜o de propriedades, podemos
concluir que grande parte das dificuldades se originam no aspecto esta´tico do desenho.
Se passamos para um tratamento de ‘desenhos em movimento’, as particularidades da
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INFORMA´TICA NO ENSINO DA MATEMA´TICA AP1 3
contingeˆncia de representac¸a˜o f´ısica mudam, e o que emerge sa˜o os invariantes, ou seja
as reais propriedades geome´tricas da configurac¸a˜o. Um dos aspectos importantes na
investigac¸a˜o matema´tica e´ a abstrac¸a˜o da invariaˆncia, mas para reconheceˆ-la, para ver
o que permanece igual, devemos ter a variac¸a˜o. A ideia de movimento e´ insepara´vel da
ide´ia de invariante geome´trico . . . ”
O que voceˆ acha que a autora quer dizer com o termo “invariante geome´trico”? Exemplifique citando
pelo menos 3 configurac¸o˜es geome´tricas e explicitando os seus invariantes geome´tricos (voceˆ pode
usar os exemplos apresentados nos tutoriais e nos EPs, se quiser).
Soluc¸a˜o. Um invariante geome´trico e´ uma propriedade geome´trica (concorreˆncia, colinearidade,
comprimento, medida de aˆngulo, etc) que permanece constante (invariante!) para qualquer confi-
gurac¸a˜o satisfazendo certas propriedades pre´-estabelecidas. Por exemplo, para qualquer triaˆngulo,
temos o seguinte invariante geome´trico: suas treˆs medianas sa˜o sempre concorrentes. Outro exemplo:
para qualquer triaˆngulo, seu ortocentro, seu baricentro e seu circuncentro sa˜o sempre colineares (este
invariante geome´trico e´ conhecido como o teorema de Euler). Outro exemplo, bastante familiar: em
um triaˆngulo retaˆngulo, o quadrado da medida de sua hipotenusa e´ sempre igual a soma dos qua-
drados de seus catetos (este invariante geome´trico e´ conhecido como o teorema de Pita´goras). Voceˆ
pode pensar que desenvolver (construir) a teoria da geometria e´ identificar os seus invariantes. Como
bem aponta Gravina, “a ideia de movimento e´ insepara´vel da ideia de invariante geome´trico . . . ”,
assim sendo, um software de geometria dinaˆmica, que permite mover objetos geome´tricos com muita
facilidade, apresenta-se como um instrumento natural na busca de invariantes e, consequ¨entemente,
constitui-se em um o´timo parceiro no estudo da geometria.
Questa˜o 5 [2 pontos]
Imagine a seguinte situac¸a˜o: a escola onde voceˆ trabalha foi contemplada com um laborato´rio de
computadores, mas nem a diretora e nenhum de seus colegas de profissa˜o (professores de geometria)
ja´ trabalharam com informa´tica no ensino da matema´tica (eles sa˜o leigos no assunto).
(a) Que argumentos voceˆ usaria para convencer seus colegas de que vale a pena fazer atividades de
geometria no computador?
(b) Que dificuldades (de qualquer natureza e em diversos n´ıveis) voceˆ esperaria enfrentar na imple-
mentac¸a˜o deste projeto? Que estrate´gias usaria para resolveˆ-las?
A pontuac¸a˜o desta questa˜o sera´ feita seguindo os seguintes crite´rios: coereˆncia e abrangeˆncia dos
argumentos usados para defender o uso de atividades de geometria no computador, coereˆncia e
abrangeˆncia na identificac¸a˜o de dificuldades potenciais na implementac¸a˜o de um projeto de ensino
de geometria no computador e qualidade das estrate´gias sugeridas para resolver estas dificuldades.
Seu texto deve ocupar pelo menos uma pa´gina!
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