matemática sistemas lineares

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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
O que você deve saber sobre
A relação entre as matrizes e os sistemas lineares remonta ao século 100 a.C. Desde então, a evolução do uso das matrizes e dos determinantes na resolução de sistemas deu significado relevante a essas fascinantes estruturas matemáticas.
É o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a partir de uma série de operações bem definidas com seus elementos.
Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou por barras simples verticais, contendo todos os elementos da matriz.
I. Determinante
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da matriz. Ex: A = [3] e det A = |3| = 3
Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo:
II. Cálculo do determinante
1. Copiam-se, ao lado da matriz, suas duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e também o das outras duas filas paralelas e à sua direita. Somam-se os resultados:
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária; o mesmo deve ser feito com as duas outras filas paralelas e à sua direita. Ao final, somam-se os resultados:
II. Cálculo do determinante
Considere a matriz A =
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Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus.
4. Obtém-se o determinante pela diferença entre a primeira
e a segunda soma:
det A = (12 + 25 + 24) – (40 + 6 + 30) = 61 – 76 = –15
Matriz de ordem maior que 3: usa-se o teorema de Laplace, que pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes cuja ordem seja maior ou igual a 2.
II. Cálculo do determinante
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III. Matriz reduzida e cofator
Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a primeira coluna da matriz original:
O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por:
Cij = (-1)i + j . |A ij|, 
em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A ij.
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Considere a matriz A =
O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados. Exemplo:
IV. Teorema de Laplace
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Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.
1. O determinante de uma matriz que tem uma fila (linha ou coluna) nula é igual a zero.
2. Matrizes que possuem duas filas iguais têm o determinante nulo.
3. Numa matriz A, cujo determinante é det A, quando se multiplicam os elementos de uma de suas filas por um valor real k, o determinante passará a ser k . det A.
4. Se uma matriz possui duas filas proporcionais, seu determinante é igual a zero.
5. Trocando-se a posição de duas filas em uma matriz, o determinante da nova matriz passa a ser o oposto do determinante da matriz original.
6. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
V. Propriedades de determinantes
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Equação linear: toda aquela do tipo
na qual x1, x2, ..., xn são incógnitas; a1, a2, ..., an são coeficientes
reais das incógnitas e b, também real, é o termo independente. Solução: conjunto ordenado de valores atribuídos às incógnitas que tornam a igualdade verdadeira. (1, 2, ..., n) é solução da equação linear acima desde que a1 . 1 + a2 . 2 + ... + an . n = b.
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações lineares:
VI. Sistemas de equações lineares
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em que a11, a12, ... , amn são os coeficientes reais das incógnitas x1, x2, ..., xn e b1, b2, ..., bm são os termos independentes.
É toda ênupla ordenada que torna verdadeiras simultaneamente todas as equações que compõem o sistema. Em relação às soluções, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:
• Possível e determinado (SPD): solução única;
• Possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções;
• Impossível (SI): sem solução.
VII. Solução de um sistema de equações lineares
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1. Substituição: trata-se de isolar convenientemente uma das incógnitas em cada equação e substituí-las em outra equação do sistema, que deve se manter intacta. Por fim, origina-se uma equação equivalente em função de uma das incógnitas. Com o valor de uma das incógnitas, por substituição, obtêm-se as demais.
2. Escalonamento: o objetivo é obter um sistema equivalente,
no qual, de cada equação para a seguinte, a quantidade de coeficientes nulos aumente antes do primeiro coeficiente não nulo.
VIII. Resolução de sistemas
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• Matriz aumentada associada ao sistema:
VIII. Resolução de sistemas
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3. Regra de Cramer: a partir de um sistema com três equações e três incógnitas, podemos obter algumas matrizes e determinantes:
• Matriz de coeficientes associada ao sistema:
Conjunto solução: envolve o cálculo do determinante da matriz de coeficientes associada ao sistema, denotada por D:
Dx: é o determinante da matriz de coeficientes associada, mas com a coluna dos coeficientes de x trocada pela coluna dos termos independentes:
O mesmo se faz para Dy e Dz, os determinantes das matrizes de coeficientes associadas, trocando-se as colunas dos coeficientes de y e z, respectivamente, pela coluna dos termos independentes:
A regra de Cramer configura-se na obtenção da solução de um sistema a partir de:
VIII. Resolução de sistemas
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• se D = 0, o sistema é possível e indeterminado; ou o sistema
é impossível.
• se D  0, o sistema é possível e determinado.
IX. Discussão de um sistema linear
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(Fuvest-SP) 
João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totalizam R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
(Fuvest-SP) 
Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por:
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m = 1.
b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y) = (, 1), sendo  um número irracional.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
(Fuvest-SP) 
Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:
Desse modo:
a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do
sistema linear.
b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite
soluções não triviais?
c) Calcule as soluções do sistema quando sen2a = 1 e cos2c = 
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
(PUC-RJ) 
Considere o sistema linear:
a) Resolva o sistema para k = 1.
b) Ache o valor de x na solução do sistema para k = 0; k = 2; k = 3 e k = 5.
c) Para quais valores de k o sistema não tem solução?
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
(Unicamp-SP) Sejam dados, a matriz
a) Encontre o conjunto solução da equação det A = 0.
b) Utilizando o maior valor de x que você encontrou no item a, determine o valor de m para que o sistema linear A  y = b tenha infinitas soluções.
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EXERCÍCIOSESSENCIAIS
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
(Ufal) A matriz A-1 é a inversa da matriz 
Se o determinante de A-1 é igual a , calcule o determinante da matriz A + A-1. 
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
(UFRJ) Dada a matriz A = (aij)2 x 2, tal que
encontre o determinante da matriz A.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
(Unifesp) Considere a matriz mostrada adiante, onde x varia no conjunto dos números reais.
Calcule:
a) o determinante da matriz A;
b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Professor: esse exemplo não se encontra no material impresso.
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Professor: esse cálculo não se encontra no material impresso.
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova