mat logaritmo

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MATEMÁTICA 
MÓDULO 8 
LOGARITMO 
Professor Matheus Secco 
1. DEFINIÇÃO 
Sejam a e b números reais positivos e a  1, define-se logaritmo de b na 
base a como o expoente x que satisfaz ax = b. 
logab = x ⇔ a
x = b 
Onde b é chamado logaritmando, a é a base e x é o logaritmo. 
O logaritmando também é chamado antilogaritmo e indicado por: 
b = antiloga x ⇔ x = loga b ⇔ a
x = b. Assim, antilog2 3 = 2
3 = 8. 
Convenciona-se que a omissão da base, escrevendo-se apenas log b, 
indica que trata-se dos logaritmos decimais cuja base é a = 10. 
EXEMPLOS 
log2 8 = 3, pois 2
3 = 8 
log3 
1
81
 = – 4, pois 3–4 = 
1
81
 
log 25 = – 2, pois 
1
5
–2 
= 25 
log49 7 = 
1
2
, pois 49 = 7 
1
2
1
5
2. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA 
O logaritmo de b na base a somente é definido quando: 
 
 
Exemplo: 
Para que valores de x está definido log(x+1) (3 – x). 
logaritmando: 3 x > 0  x < 3 
base: 
x +1 > 0  x > 1 
x +1  1  x  0 
O logaritmo está definido para x  ]1, 3[  {0}. 
a 0 e a 1
b 0
 


3. CONSEQUÊNCIAS IMEDIATAS 
Sejam a, b, c  R+* e a 1 e k  R, então: 
loga 1 = 0 
loga a = 1 
loga a
k = k 
alogab = b 
loga b = loga c  b = c 
EXEMPLOS 
log2 1 = 0 
Log 7 = 1 
log3 3 = – 5 
2log227 = 27 
57
4. PROPRIEDADES 
Sejam a, b, c  R+* e a  1 e ,   R e n  N, n  2, então: 
a) Log do produto: loga (b · c) = loga b + loga c 
b) Log da divisão: loga 
b
c
 = loga b – loga c 
c) “Regra do peteleco”: loga (b
α) = α · loga b 
d) “Regra do peteleco invertido”: log(aβ) b = 
1
β
 · loga b 
EXEMPLOS 
10 10 10log 2 log 5 log 10 1  
2 2 2 2
12
log 12 log 3 log log 4 2
3
 
    
 
5
7 7 7log 32 log (2 ) 5 log 2  
327 3(3 )
1
log 2 log 2 log 2
3
  
4
5
81 3(3 )
5
log 32 log (2 ) log 2
4
 
CONSEQUÊNCIAS IMEDIATAS 
a) 
b) 
c) 
d) 
A expressão –loga b é comumente chamada cologaritmo de b na base a, o 
que significa que o cologaritmo é o oposto do logaritmo. 
a a a 1
a
1
colog b log b log log b
b   
 
 
    
 
a a
1
log log b
b
 
  
 
a1
a
log b log b
 
 
 
 
n
a a
1
log b log b
n
 
n aa
log b n log b 
5. MUDANÇA DE BASE 
Sejam a, b, c  R+* e a, c  1, temos: 
 
 
 
Exemplo: 
c
a
c
log b
log b
log a

2
14
2 2 2 2
log 8 3 3
log 8
log 14 log 2 log 7 1 log 7
  
 
Consequências: 
a) 
b) 
c) 
Exemplos: 
 
a
b
1
log b
log a

c a clog a log b log b 
a b c y alog b log c log d log z log z    
a
2
log b
5
 b
5
log a
2
 
2 7 2log 7 log 4 log 4 2  
6. EQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
Serão apresentados dois casos principais de equações logarítmicas. 
1º caso – Equações com logaritmo em um dos membros: podem ser 
resolvidas utilizando a definição de logaritmo. 
0 < a  1 e b  R: loga f(x) = b ⇒ f(x) = a
b 
É importante observar que caso a dependa de x, deve-se garantir a condição 
de existência para a base. 
2º caso – Equações com logaritmo de mesma base em ambos os membros: 
podem ser resolvidas utilizando a injetividade da função logarítmica. 
0 < a  1: loga f(x) = loga g(x) ⇒ f(x) = g(x) > 0 
Nesse caso, deve-se garantir a condição de existência dos logaritmandos e da 
base quando essa depender de x. 
 
EXEMPLO 
1. log4 (x
2 – 4x + 3) = 
1
2
  x2 – 4x + 3 = 41/2 
 x2 4x +1 = 0  x = 2 + 3 ou x = 2 – 3 
S = {2 + 3, 2 – 3} 
 
2. log2 (5x
2 – 14x +1) = log2 (4x
2 – 4x – 20) 
 5x2 – 14x + 1 = 4x2 – 4x – 20 
 x2 10x +21 = 0  x = 3 ou x = 7 
C.E.: 5  32 14  3 +1 = 4 > 0 e 5  72 14  7 +1 = 148 > 0 
 
7. INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
Serão apresentados dois casos principais de inequações logarítmicas. 
1º caso – inequações com logaritmo em um dos membros: podem ser 
resolvidas, considerando que k = loga a
k e os casos em que a função é 
crescente ou decrescente. 
k
a k
f(x) a se a 1
log f(x) k
0 f(x) a se 0 a 1
  
  
    k
a k
0 f(x) a se a 1
log f(x) k
f(x) a se 0 a 1
   
  
  
2º caso  inequações com logaritmo de mesma base em ambos os 
membros: podem ser resolvidas considerando os casos em que a função 
logarítmica é crescente ou decrescente. 
a a
f(x) g(x) 0 se a 1
log f(x) log g(x)
0 f(x) g(x) se 0 a 1
  
  
   
EXEMPLO 
1. log2 (x
2 + x – 2) ≤ 2 
x2 + x 2  22  x2 + x 6  0  3  x  2 
x2 + x 2 > 0  x < 2 ou x > 1 
S = [3, 2[  ]1, 2] 
 
2. log (x2 – x – 2) > log (x – 4) 
x2 – x – 2 > x – 4 ⇔ x2 – 2x + 2 > 0 ⇒ Δ < 0 
x  4 > 0  x > 4 
S = ]4, +)