PESQUISA OPERACIONAL COMPLETA

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UMA INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Eloísa Bezerra
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Teoria e Prática
Fortaleza - 2011
UMA INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
PESQUISA OPERACIONAL (PO)
Pode-se dizer que o conceito de Pesquisa Operacional é abstrato, é mais uma idéia. Ao mesmo tempo em que é muito abrangente e procura a melhor utilização dos recursos limitados e de diversos processos, por meio da adoção de métodos científicos, visando a uma maior satisfação dos tomadores de decisão. 
Sua abrangência, no que se refere a um desenvolvimento de um trabalho utilizando Pesquisa Operacional, requer equipes multi-disciplinares para a aplicação dos métodos científicos a problemas reais encontrados nos sistemas de produção de bens e serviços, como ferramenta auxiliar para a tomada de decisões, em quaisquer setores (saúde, educação, agropecuária etc.) e níveis da economia. 
A Pesquisa Operacional pode ser definida, ainda, como um Método Científico para o auxílio na tomada de decisões. Pode transformar um problema real, como encontrar o menor custo para um produto em um ambiente de produção, ou então maximizar o lucro de um produto, em um modelo matemático que possa nortear a alocação de recursos da melhor forma. 
Assim, em um problema real, há variáveis que podem ser controladas pelo administrador, como por exemplo, o tempo de alocação de uma máquina para a fabricação um produto ou a quantidade de matéria prima utilizada em cada produto, bem como variáveis que não podem ser controladas, como a demanda de um produto ou o custo de uma determinada matéria prima.
Vale lembrar que a Pesquisa Operacional nasceu com o advento da Segunda Guerra Mundial, quando os Países Aliados procuraram cientistas para o desenvolvimento de estratégias visando otimizar as operações militares(1), dados os recursos financeiros limitados, que pudessem usar como subsídios para as tomadas de decisão. Então, uma equipe multidisciplinar foi convocada, sob o comando de George B. Dantzig em meados dos anos 40, para desenvolver essa técnica. O resultado desse estudo foi chamado de Método Simplex (DANTZIG, 1963). 
CONCEITOS BÁSICOS E DEFINIÇÕES
O nome Pesquisa Operacional apareceu pela primeira vez durante a Segunda Grande Guerra Mundial, quando equipes de pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver determinados problemas de operações militares. Devido ao sucesso dessas operações, o mundo acadêmico e empresarial procurou utilizar as técnicas criadas em problemas de administração. 
A Pesquisa operacional é um ramo da ciência administrativa que fornece instrumentos para a análise de decisões. Assim sendo, uma Decisão é o resultado de um processo que se desenvolve a partir do instante em que o problema foi detectado, o que se percebe por meio da percepção de sintomas. Então, o processo de decisão empresarial inicia-se quando uma pessoa ou grupo percebe sintomas de que alguma coisa está saindo do percurso normal ou planejado.
CARACTERÍSTICAS DA PESQUISA OPERACIONAL
Multidisciplinar das suas aplicações; 
Técnicas e métodos qualitativos por equipes interdisciplinares; 
Procura determinar uma melhor utilização de recursos; e otimizar as operações empresariais.
Um novo enfoque sistêmico aos problemas de decisão das empresas, ou seja, ultrapassa as fronteiras das especialidades, assim, um profissional especialista precisa evitar uma tendência natural de enquadrar todos os problemas dentro dos limites de sua cultura, mas sim, por outro lado, este profissional necessita de uma abordagem mais complexa e abrangente, porque a natureza e o ambiente dos negócios exigem além do raciocínio do especialista, uma visão mais aberta que reconheça os múltiplos aspectos envolvidos nos problemas da análise de decisão.
Utilização de modelos que permitem a experimentação, ou seja, uma decisão pode ser bem mais avaliada e testada antes de ser efetivamente implementada.
Vale-se identificar que, o imenso progresso da Pesquisa Operacional se deve também, ao desenvolvimento dos computadores digitais, devido à sua velocidade de processamento e capacidade de armazenamento e recuperação das informações.
O ENFOQUE GERENCIAL DA PESQUISA OPERACIONAL (PO)
A Pesquisa Operacional (PO) tem sido vista pelos gerentes e praticantes sob dois enfoques:
1) Enfoque clássico ou tradicional é derivado do conceito quantitativo clássico da Pesquisa Operacional, aplica técnicas de modelagem a problemas de decisão e resolve modelos obtidos pela da utilização de métodos matemáticos e estatísticos, visando à obtenção de uma solução ótima, de uma maneira sistêmica.
Entretanto, as soluções ótimas podem não ser totalmente adequadas em todas as situações práticas, devido à sua pouca flexibilidade.
2) Enfoque atual segue o conceito qualitativo da Pesquisa Operacional (PO). Centraliza-se para o diagnóstico do problema, valoriza-se o espírito crítico, a sensibilidade para descobrir o problema correto e analisar quais informações serão necessárias para a decisão e quais serão acessórias, que complementam, sem afetar os resultados.
A finalidade de toda informação é reduzir o grau de incerteza envolvido na decisão. Assim, a informação só tem valor no contexto de uma situação específica.
A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL (PO)
Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em construir um modelo de um sistema real existente como meio de analisar e compreender o comportamento dessa situação, com o objetivo de levá-lo a apresentar o desempenho que se deseja.
O sistema real é um conjunto complexo de variáveis, de forma não muito definida. O sistema real reduzido é o núcleo do sistema existente que, primordialmente, dita o comportamento deste e que pode ser modelado, para efeito de análise, por uma estrutura simplificada.
FASES DA PESQUISA OPERAIONAL (PO)
Um trabalho de Pesquisa Operacional deve seguir as fases indicadas no fluxograma:
Figura 1 – Fluxograma de uma Pesquisa Operacional (PO)
Deve-se salientar que a seqüência do fluxograma não é rígida, todavia indica as principais etapas que devem ser vencidas. No entanto, a única exceção vai para a fase de Solução do Modelo, que se baseia em métodos e técnicas bem desenvolvidas, as demais não seguem regras fixas e definidas.
Os procedimentos necessários para essas fases dependem do tipo do problema em análise e do ambiente que o envolve. Apesar das dificuldades aparentes de fixação de regras para a execução dessas fases, é conveniente que seja feita alguma discussão sobre elas de forma a servir de guia geral de procedimentos.
Os retornos de informação são as revisões. Estas trocas de informações ocorrem entre as diferentes etapas, devido às considerações que surgem da análise de uma etapa, sendo que estas revisões continuam nas etapas que se seguem.
Descrições das Macrofases:
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: a primeira fase, do ponto de vista da Pesquisa Operacional, baseia-se em três aspectos:
1. Descrição exata dos objetivos do estudo;
2. Identificação das alternativas de decisão existentes;
3. Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.
Vale ressaltar que a descrição dos objetivos se constitui em uma das atividades mais importantes em todo o processo do estudo, dado que a partir dela é que o modelo será concebido.
A equipe encarregada do estudo deve captar e refletir, na formulação do problema, nos desejos e necessidades dos executivos com relação ao problema de decisão.
Como também, é muito importante que as alternativas de decisão e as limitações sejam todas explicitadas, muito bem analisadas, com o intuito de que as soluções que resultarão no final do processo sejam válidas e aceitáveis.
CONSTRUÇÃO DO MODELO: a segunda fase trata-se de uma fase em que o analista de usar toda sua criatividade, tendo em vista que a qualidade de todo o processo seguinte será conseqüência do grau de representação da realidade que o modelo venha a apresentar.
Vários tipos de modelos podemser utilizados para resolver problemas gerenciais, desde um simples modelo conceitual que apenas apresenta inter-relação entre as informações, até modelos matemáticos, complexos que exigem uma força de trabalho muito grande para sua formulação e operação.
SOLUÇÃO DO MODELO: a terceira fase tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído.
Se o modelo for matemático, a solução será obtida pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e precisão de resposta. Exigindo do analista, uma força de trabalho muito grande para sua formulação e operação.
VALIDAÇÃO DO MODELO: na quarta fase, acontece porque no processo de solução do problema, torna-se necessário verificar a validade do modelo. Um modelo é válido se ele for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema e uma resposta que possa contribuir para a qualidade da decisão a ser tomada.
É importante observar que este processo de validação não se aplica a sistemas inexistentes, ou seja, em projeto. Nesse caso, a validação é feita pela verificação da correspondência entre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema.
IMPLEMENTAÇÃO DA SOLUÇÃO: a quinta fase ocorre após a avaliação das vantagens e a validade da solução obtida, esta solução deve ser convertida em regras operacionais. A implementação, pode ser uma atividade que altera uma situação existente, é uma das etapas críticas do estudo. Sendo conveniente que seja acompanhada pela equipe responsável, tendo em vista que, quando colocadas em prática, podem levar a possível reformulação do modelo em alguma de suas partes.
A presença da equipe permite, também, superar mais facilmente as resistências e oposições às alterações propostas na sistemática das operações e que, normalmente, aparecem nessa fase de trabalho.
AVALIAÇÃO FINAL: a fase final, nesta avaliação, um fator que tem papel primordial é a experiência do pessoal envolvido no estudo. Não se deve esquecer que o modelo é apenas uma representação simplificada, não conseguindo por isso captar todas as características e detalhes da realidade. Assim sendo, será com a experiência e uma visão crítica que se poderá avaliar e determinar a aplicabilidade da decisão.
VARIÁVEIS CONTROLADAS OU DE DECISÃO
São variáveis cujo valor está sob o controle do administrador. Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida em um período, o que compete ao administrador controlar.
VARIÁVEIS NÃO CONTROLADAS: 
As variáveis são aquelas cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são variáveis não controladas.
Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente próximo do desempenho da realidade e é de fácil experimentação. Essa proximidade desejada é variável, dependendo do objetivo proposto. A fidelidade de um modelo é aumentada à medida que ele incorpora características da realidade, com a adição de novas variáveis. Isso aumenta sua complexidade, dificultando a experimentação, o que nos leva a considerar o fator custo-benefício quando pensamos em melhorar o desempenho de um modelo.
MODELO DE SIMULAÇÃO
Concepção
A Simulação é uma das técnicas mais utilizadas em Pesquisa Operacional (PO). Assim, simular quer dizer reproduzir o funcionamento de um sistema, com o auxílio de um modelo, o que permite testar algumas hipóteses sobre o valor de variáveis controladas. As conclusões são usadas então para melhorar o desempenho do sistema em estudo. Dessa maneira, o modelo de simulação aparece sob a forma de jogos de uma empresa, simuladores de vôos, modelos físicos de aeronaves para testes em túnel de vento etc.
A simulação é especialmente indicada pra modelos dinâmicos que envolvem múltiplos períodos de tempo (período de tempo ao período seguinte), para que se possa captar as mudanças ocorridas com o tempo, permitindo avaliar-se o efeito de um conjunto de decisões sucessivas.
Aplicabilidade do Modelo de Simulação - Em organizações internacionais
O que são os Modelos de Simulação das Nações Unidas? 
É comum quando se fala em simulações se pensar logo em pilotos praticando sofisticados simuladores de vôos; médicos treinando situações de emergência; bombeiros realizando resgates fictícios. Poucas pessoas sabem que, no caso da negociação internacional, também são realizadas simulações em todo o mundo. Nesta área, treinamentos intensivos possibilitam aos estudantes de diversas carreiras saber como agir em um ambiente real. São os Modelos de Simulação das Nações Unidas.
Estes modelos, muitas vezes conhecidos pela sigla MUN (Model United Nations), começaram ainda no tempo da Liga das Nações por uma iniciativa da Universidade de Harvard, que realizou a primeira simulação em 1927. Em 1945, no entanto, com o nascimento da Organização das Nações Unidas, os modelos da Liga das Nações se transformaram em modelos da ONU. O primeiro MUN foi, também, implementado pela Universidade de Harvard em 1953.
Durante cada encontro, o trabalho de um grande número de comitês e conferências da ONU e de suas agências é recriado. Cada comitê debate temas específicos nos quais é especializado. Incluem-se aí, também, os Conselhos da ONU, como o de Segurança e o Econômico e Social. Ao contrário do que o nome sugere, esses modelos não se limitam à estrutura do Sistema ONU. Existem, também, simulações de outros foros de negociação, como a Liga Árabe e a Organização dos Estados Americanos.
O objetivo geral destas simulações é expor os estudantes - que, dependendo do nível do modelo, podem ser de nível médio ou universitário - ao ambiente diplomático encontrado nos foros multilaterais criados para a resolução de questões internacionais. Elas se constituem de breves conferências simuladas, com cerca de quatro dias de duração, que podem ser regionais, nacionais e, até mesmo, internacionais, nas quais os alunos reproduzem os procedimentos de negociação, formais e informais, tomados no âmbito dos mais importantes organismos internacionais.
Organizados em delegações, os estudantes de diversas instituições de ensino se transformam em delegados durante a simulação. Eles concebem estratégias, negociam com aliados e adversários e, principalmente, solucionam conflitos. Com isto, treinam a oratória, preparam projetos de resoluções e aprendem as regras de procedimento das Nações Unidas.
A popularidade dos MUNs, pela contribuição acadêmica que dá aos estudantes, continua a crescer e, hoje, mais de 200 mil estudantes secundaristas e universitários de todo o mundo participam, anualmente, destas simulações. Muitos dos líderes de hoje, no direito, nos governos, nos negócios, nas artes e em todos os campos, participaram de Modelos de Simulação das Nações Unidas durante suas vidas acadêmicas.
EXEMPLO
Uma pesquisa apresentada na Escola Politécnica da USP resultou em um modelo de simulação para pátio de aeroportos que possibilita planejar e dimensionar os serviços de solo que uma aeronave vai necessitar, desde o momento do pouso até a sua decolagem. "Com a frota de serviços balanceada, a aeronave não atrasa e cumpre o horário estabelecido no slot (janela de saída)", conta o engenheiro Fábio Rogério Ribeiro, autor do estudo. 
Foram analisados os serviços de escadas, ônibus, trator de push-back (que ajuda a aeronave estacionar), e carros de bagagem, de comissaria, de carga, de esgoto, de água, de combustível e de manutenção. No modelo desenvolvido pelo engenheiro - construído a partir de um software de simulação chamado Arena -, um fluxograma computadorizado representa a seqüência desses serviços ao longo do dia, incluindo os horários de pico de utilização de cada um deles. "O modelo permite identificar restrições, planejar e dimensionar, quando necessário, as frotas que prestam os serviços de solo", explica Flávio Ribeiro.
Segundo o pesquisador, o modelode simulação apresenta características operacionais, táticas e estratégicas. "Além de simular o balanceamento dos recursos de frota, o modelo também pode ser útil para estabelecer políticas de alocação de aviões; na avaliação do impacto de atrasos e de como influenciam a capacidade do pátio de alocar aeronaves; na comparação do compartilhamento de recursos (pois alguns são compartilhados pelas companhias aéreas e outros não) e ainda auxiliar na avaliação do impacto de aumentos de demanda para o aeroporto", conta. 
Fábio Ribeiro aponta que seria necessário apenas melhorar a qualidade de alguns dos dados de entrada do modelo, buscando consistência estatística com amostras maiores ou estimativas mais acuradas. "Seria necessário saber, por exemplo, o volume de carga movimentado pelos carros de bagagem e o tempo médio que cada um deles é utilizado pelas aeronaves", afirma.
Fábio Ribeiro destaca que o modelo de simulação pode ser usado em outros aeroportos, a partir da inserção de dados. No modelo desenvolvido pelo pesquisador foram utilizados dados referentes ao ano de 2001 da movimentação no aeroporto de Congonhas, na Capital paulista, obtidos a partir dos registros da torre e de relatórios de planos de vôo.
TEORIA DA DECISÃO 
Conceito
A Teoria da Decisão pode ser conceituada como um conjunto específico de técnicas que auxiliam o tomador de decisão a reconhecer as particularidades do seu problema e a estruturá-lo. Além disso, a Teoria da Decisão sugere soluções segundo alguns critérios preestabelecidos. O tomador de decisão pode ser uma pessoa ou, mais abstratamente, uma instituição. O ponto de partida para a Teoria da Decisão é a identificação dos elementos comuns que existem nos problemas de decisão.
Uma DECISÃO é o resultado de um processo que se desenvolve a partir do instante em que o problema foi detectado, o que se percebe através da percepção de sintomas. Então, o processo de decisão empresarial inicia-se quando uma pessoa ou grupo percebe sintomas de que alguma coisa está saindo do estado normal ou planejado.
PROCESSOS:
É um processo complexo;
É um processo que envolve valores subjetivos.
É um processo desenvolvido dentro de um ambiente institucional com regras mais ou menos definidas.
CLASSIFICAÇÃO DAS DECISÕES
De um modo geral, as Decisões são classificadas em relação ao nível em que ocorrem dentro da empresa e pelo grau de complexidade apresentado.
São critérios:
1) Nível estratégico, que se refere a uma decisão importante e abrangente com relação à organização.
2) Grau de estruturação, que se refere à possibilidade de uma decisão ser acompanhada em seu processo de preparação e de conclusão, ou mesmo de ser reproduzida, por outras pessoas, em outras ocasiões, com os mesmos resultados.
GRAU DE ESTRUTURAÇÃO DA DECISÃO
1) Alto;
2) Médio;
3) Baixo
QUALIDADE DA DECISÃO
Uma decisão apresenta elevada qualidade quando, de forma eficaz e efetiva, garante a realização dos objetivos preestabelecidos, para os quais os meios e os recursos foram reservados.
Essa definição permite distinguir três características principais que possibilitam a avaliação da qualidade de uma decisão:
1) Satisfação dos interesses envolvidos;
2) Adaptação dos meios necessários aos objetivos procurados;
3) Consistência do curso da ação.
Assim sendo, pode-se dizer que a qualidade de uma decisão é tão mais elevada quanto maior for o grau de participação dessas três características no processo.
ESTRATÉGIAS = as estratégias são as possíveis soluções para o problema.
RESULTADOS = cada alternativa de solução leva a um ou mais resultados, que são as conseqüências das alternativas.
ESTADOS DA NATUREZA = são as ocorrências futuras que podem influir sobre as alternativas, fazendo com que elas possam apresentar mais de um resultado.
VALOR ESPERADO DA ALTERNATIVA = (VEA) é a soma dos produtos dos resultados da alternativa pelas respectivas probabilidades dos estados da natureza a eles associados.
VALOR ESPERADO DA INFORMAÇÃO PERFEITA = (VEIP) é o ganho excedente sobre a decisão tomada com o mero conhecimento das probabilidades de ocorrência dos estados da natureza futuros.
DTSC = problemas de decisão tomada sob certeza;
DTSR = problemas de decisão tomada sob risco;
DTSI = problemas de decisão tomada sob incerteza;
A MATRIZ DE DECISÃO
A matriz de decisão é um auxílio visual a um problema de decisão, que permite juntar elementos comuns do problema. A matriz é geralmente constituída:
Nas linhas listam-se as alternativas possíveis;
Nas colunas listam-se os estados da natureza;
Em cada cruzamento linha/coluna coloca-se o resultado correspondente.
Nos problemas de decisão tomada sob risco, são conhecidas as probabilidades de ocorrência de cada um dos estados da natureza. A decisão é tomada com base no resultado médio ou resultado esperado de cada alternativa.
VALOR ESPERADO DA ALTERNATIVA
O valor esperado da alternativa (VEA) é a soma dos produtos dos resultados da alternativa pelas respectivas probabilidades dos estados da natureza a eles associados. 
Assim, o VEA nada mais é do que a média ponderada dos resultados possíveis para a alternativa, tomando as probabilidades dos estados da natureza com pesos de ponderação.
Uma vez calculado o VEA para cada alternativa, a sua comparação pura e simples permite escolher a melhor das alternativas.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
Assim, a Programação Linear (PL) consiste em uma técnica de solução de um problema que requer a determinação dos valores para as variáveis de decisão, mediante um conjunto de restrições. Normalmente, os problemas estão relacionados à maximização ou minimização, ou melhor, a alocação eficiente de recursos e que envolve relação de linearidade entre as variáveis de decisão, o objetivo e as restrições. É importante salientar que dado à linearidade da PL, em problemas que não tenham comportamento linear, fica difícil sua representação. 
Em resumo, a Programação Linear (PL) é uma das técnicas da Pesquisa Operacional mais utilizada em problemas de otimização.
Os problemas são uma classe específica de problemas de Programação Matemática, que buscam a distribuição eficiente de recursos escassos para atender um determinado objetivo, de maneira geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em PL, este objetivo está expresso por meio de uma função linear, chamada de Função Objetivo.
Na PL faz-se necessário, ainda, que sejam definidas as atividades que consomem recursos e em que proporções estes recursos são consumidos. Tais informações são expressas em forma de equações ou inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou inequações, dar-se o nome de Restrições do Modelo.
Vale salientar que se busca em um problema de PL é a Função Objetivo, ou seja, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. Assim, esta solução recebe o nome de Solução Ótima. Em outras palavras, a Programação Linear trata de achar a solução ótima de um problema, desde que definido o modelo linear, ou seja, a Função Objetivo e as restrições lineares. 
A Programação Linear exige que todas as funções sejam lineares. Em geral, na formulação matemática, o problema de Programação Linear é do tipo: 
Função Objetivo: 
Max. Z = C1X1 + C2X2 + .................+ CnXn 
Sujeito a: 
A11X1 + A12X2 + ................+ A1nXn B1 
A21X1 + A22X2 + ................+ A2nXn B2 
Am1X1 + Am2X2 + ..............+AmnXn Bm 
Mais as restrições de não negatividade: 
Xj 0 para j = 1, 2, ......n. Ou ainda Xj ≥ 0
O problema resume-se na maximização (ou minimização) de uma função linear - a Função Objetivo sujeita a restrições também lineares, onde a interpretação econômica dos símbolos acima é: 
Bi: São as limitações de recursos, ou seja, os recursos disponíveis, com Bi 0 para i = 1, 2, ......m; 
Xj: São as alternativas que competem, com j = 1, 2, ......,n; 
Cj: É o aumento em Z devido à Xj; 
Aij: É oquanto de recurso i é consumido pela alternativa j. 
Em geral o modelo assume duas situações: mais e menos complexo, de acordo com a quantidade de fatores considerados no estudo. O tempo, ou horizonte de planejamento é um fator importante que não está sendo considerado no modelo acima e que com algumas restrições e complementos adicionais, pode ser facilmente introduzido no modelo.
2a PARTE
MODELAGEM
MODELAGEM DO PROBLEMA EM PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Ao estruturar-se um problema de aperfeiçoamento sob a forma matemática, o intuito é o de ajudar no processo de decisão, decidindo que atividades empreender: quando, quanto, como e onde investir para que se obtenha uma alocação eficiente dos recursos, com o retorno refletido no benefício proporcionado pela redução das perdas existentes. 
A otimização procura os valores das variáveis de projeto para obter, dentro das Restrições, seu fim de otimalidade definido pela Função Objetivo. 
Assim, quando da análise de um problema, tentando enquadrá-lo em um modelo de programação linear é fundamental que se consiga distinguir, de um lado, quais são as variáveis fora do controle do analista, ou parâmetros, cujos valores já estão fixados, e, de outro, quais são as variáveis de decisão, ou seja, aquelas cujos valores se quer conhecer.
A solução de um modelo dará exatamente o valor dessas Variáveis de Decisão. As Variáveis de Decisão compõem a Função Objetivo e as Restrições e são em geral designadas por letras como X, Y, Z, etc., ou por uma letra indexada como X1, X2, etc. A Função Objetivo é uma expressão onde cada Variável de Decisão é ponderada por algum parâmetro (como, por exemplo, lucro unitário).
Para melhor compreensão do significado dessas entidades são necessários alguns conceitos, como: 
Variáveis de Projeto
Um sistema a ser otimizado pode ser descrito por um conjunto de quantidades, onde algumas das quais são fixadas e outras variam durante um processo de otimização. Estas quantidades que são fixas são pré-determinadas por preceitos de normas técnicas, disposições construtivas, pré-fabricação, ou ainda, pelo fato do projetista saber por experiência que um valor particular produz bons resultados. As quantidades que não são pré-determinadas são as variáveis de projeto ou de decisão, que não estão no poder decisório do tomador de decisão, no caso, o administrador.
Dessa forma, decidir é atribuir um valor a cada uma dessas variáveis. Por exemplo, na programação de produção a variável de decisão é a quantidade a ser produzida, em um dado período, sob controle ao administrador.
Já as variáveis não-controladas têm seus valores determinados por sistema que foge ao controle do administrador. São exemplos: o custo de produção, a demanda de produtos, o preço de mercado. 
Em qualquer modelo de PL, as variáveis de decisão devem descrever as decisões a serem feitas.
Restrições
Em qualquer classe de problema, as Restrições são as condições que devem ser satisfeitas para que o projeto seja aceitável. Um projeto que satisfaz todas as suas Restrições é chamado de projeto viável. As Restrições podem ser dos seguintes tipos: 
Função Objetivo
Geometricamente, as Restrições Lineares definem um poliedro convexo, que é chamado de conjunto dos pontos viáveis. Uma vez que a Função Objetivo é também linear, todo ótimo local é automaticamente um ótimo global. A Função Objetivo ser linear também implica que uma solução ótima pode apenas ocorrer em um ponto da fronteira do conjunto de pontos viáveis. 
Em geral, existe um número infinito de projetos viáveis para um determinado problema. Para que se possa fazer uma escolha, é necessário que se tenha uma Função que sirva como base de comparação entre os vários projetos aceitáveis. Esta é a Função Objetivo, também chamada Custo, Econômica, Critério ou Mérito. É uma Função das variáveis de projeto ou de decisão e deve ser minimizada ou maximizada. 
Utilização do Algoritmo para solucionar problemas de Programação Linear
Para a resolução de um problema no computador é necessário que seja, primeiramente, encontrada uma maneira de descrever este problema de uma forma clara e precisa. É preciso que se encontre uma seqüência de passos que permita que o problema possa ser resolvido de maneira automática e repetitiva. Esta seqüência de passos é chamada de algoritmo. Uma receita de bolo é um exemplo simples e prosaico de um algoritmo. 
Caminhos para resolução de Problemas em Programação Linear
Antes de qualquer atitude, dentro de uma organização, quando os negócios não vão como o planejado, é necessário reconhecer que existe um problema e que deve ser solucionado. Muitas perguntas devem ser respondidas, tais como: 
Que parte da organização é afetada pelo problema? O problema envolve as operações atuais ou alguma previsão de operações futuras?
Quais são as hipóteses que devem ser feitas? Quais são as restrições a possíveis soluções? 
Quais são os objetivos?
Essa fase requer a transformação de informações genéricas em um problema estruturado. Geralmente, as fronteiras iniciais de um problema são mal definidas, e a solução pode influenciar outras áreas que não aquela que apresenta o problema original. Não se deve esquecer que será provável haver um intercâmbio constante de informações entre a situação e a definição do problema, pois à medida que se deseja estruturar a situação, ela vai sendo mais e mais estudada e, de certa forma, modificada, completada e esclarecida pelas pessoas envolvidas no esforço (Moreira).
Formulação de um Modelo
Em um processo que muitas vezes caminha por entre idas e vindas, entre tentativas, sucessos e fracassos, tudo aquilo que foi estabelecido verbalmente deve então ser colocado em termos matemáticos.
No caso dos modelos matemáticos, em particular, as relações entre as variáveis do problema devem ser representadas por sistemas de símbolos e relações matemáticas. Na Programação Linear, por exemplo – uma das técnicas matemáticas mais populares da Pesquisa Operacional –, as relações são expressas por equações e inequações matemáticas (Moreira). Neste sentido, são expostos, a seguir, alguns exemplos de problemas de Programação Linear. No momento é importante somente a montagem do modelo, destacando seus elementos essenciais. Posteriormente, serão mostradas as técnicas utilizadas para a obtenção dos resultados ou soluções dos problemas.
1º Exemplo
Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de consoles em madeira para aparelhos de TV, designados respectivamente I, II, III e IV. Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para a montagem e de 2, 1, 5, e 3 horas para a decoração.
Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante dispõe de 900 horas para a montagem destes produtos e de 500 horas para a decoração. Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro?
2º Exemplo
Suponha que um fazendeiro tem um pedaço de terra de A quilômetros quadrados (K2), para ser semeado com Milho ou Sorgo ou uma combinação de ambas. O fazendeiro tem uma quantidade limitada de fertilizante F permitido e de inseticida I permitido que podem ser usados, cada um deles sendo necessários em quantidades diferentes por unidade de área. Para o Milho (F1, I1) e para o Sorgo (F2, I2). Seja P1 o preço de venda do Milho, e P2 o do Sorgo. Chama-se a área plantada com Milho e Sorgo de X1 e X2 respectivamente, então o número ótimo de quilômetros quadrados (k2) de plantação com Milho vesus Sorgo pode ser expresso como um problema de programação linear. Indique.
3º Exemplo
Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos disponíveis e apresentados no Quadro 1, a seguir:
Quadro 1 – Conjunto de alternativas
	Projeto
	Inv. 1ano
	Inv. 2ano
	vida
	Receita 3 anos
	1
	12
	3
	5
	10
	2
	54
	7
	5
	27
	3
	6
	6
	5
	10
	4
	6
	2
	5
	8
	5
	30
	35
	5
	35
O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos.
4º Exemplo
Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros são de R$ 2.000,00 por alqueire de milho e de R$ 1.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha que suas limitações sejam: terra disponível é de 8 alqueires e água disponível para irrigação de 80.000 litros sendo que deseja-se plantar no máximo 4 alqueires de milho. Cada alqueire de milho requererá 10.000 litros de água para irrigação e cada alqueire de alfafa requererá 20.000 litros de água. Formule o problema como de programação linear e resolva-o graficamente. 
5º Exemplo
Um fabricante deseja maximizar a Receita Bruta. O Quadro 2 mostra as composições das ligas, seus preços e as limitações na disponibilidade de matéria-prima. Monte o problema sob a ótica da Programação Linear.
Quadro 2 – Composição das Ligas
	Discriminação
	Liga Tipo A
	Liga Tipo B
	Matéria-prima disponível
	Cobre
	2
	1
	16
	Zinco
	1
	2
	11
	Chumbo
	1
	3
	15
	Preço unitário de venda (R$)
	30,00
	50,00
	
2a PARTE
RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS
RESOLVENDO PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Como Resolver os Problemas?
São vários os métodos para se solucionar problemas em Programação Linear, a destacar:
Os tradicionais:
Método do Gráfico;
Método da Adição
Método Simplex.
Utilizando softweres:
Solver/em planilha do excel;
Lindo e outros.
Utilizando o Método do Gráfico
Essa técnica consiste em representar em um sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, isto é, o conjunto de pontos (X1, X2) que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado pela representação Gráfica da Função Objetivo. As soluções são classificadas de acordo com sua posição no Gráfico. A Função Objetivo também pode ser avaliada calculando-se o seu valor para os pontos que pertencem ao contorno da Região Viável.
Para que sejam encontradas as variáveis de decisão correspondentes a solução de um problema de Programação Linear com duas variáveis de decisão por meio do Método do Gráfico, devem ser seguidos os seguintes passos:
Traçar as retas correspondentes a cada Restrição, em um sistema de eixos X e Y;
Determinar a Região Viável (região onde se encontram todas as possíveis soluções para o problema em questão);
Determinar os pontos que delimitam a Região Viável;
Calcular o valor da Função Objetivo para cada um dos pontos da região viável;
A partir dos cálculos realizados para Z, determinar o ponto que corresponde à otimização pretendida (maximizar ou minimizar) e então determinar o ponto ótimo.
Traçar as retas correspondentes a cada Restrição, em um sistema de eixos X e Y. Vale lembrar que a representação Gráfica de uma equação linear com duas variáveis (X, Y) é uma reta. 
Gráfico do Conjunto de Soluções
Exemplificando:
Certa empresa de alimentos congelados processa batatas em embalagens de batatinha frita, picadinho de batata e flocos para purê. As batatas podem ser compradas de duas fontes, cada uma fornecendo lucros distintos. A empresa necessita determinar a quantidade de batata a ser comprada de cada fonte (X1 e X2), de forma a obter o maior lucro. Embora uma das fontes apresente o maior lucro, o aproveitamento das batatas de cada fonte se dá de forma diversa. Além disso, a empresa deve considerar o seu potencial de vendas, para cada um dos produtos.
O problema de programação linear a ser resolvido é:
Maximizar Z = 5X1 + 6X2
Sujeito as Restrições:
		2X1 + 3X2 < 18 (restrição para batatinha frita)
		2X1 + X2 < 12 (restrição para picadinho)
		3X1 + 3X2 < 24 (restrição para flocos)
		X1 > 0, X2 > 0 (restrições de não-negatividade)
Para resolver este problema de programação linear, seguiremos os passos citados anteriormente:
I) Traçar as retas correspondentes a cada restrição, em um sistema de eixos X1 e X2.
a) Reta relativa à restrição da batatinha frita:
2X1 + 3X2 = 18
Se X1 = 0, então 2 . 0 + 3 . X2 = 18. Portanto, X2 = 18/3 ou X2 = 6, o par ordenado será (6: 18).
Se X2 = 0, então 2 . X1 + 3 . 0 = 18. Portanto, X1 = 18/2 ou X1 = 9, o par ordenado ser (9;0).
Assim, os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 6) e (9, 0). A região viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que 2X1 + 3X2 deve ser menor ou igual a 18.
b) Reta relativa à restrição do picadinho:
2X1 + X2 = 12
Se X1 = 0, então 2 . 0 + X2 = 12. Portanto, X2 = 12, o par ordenado será (0;12).
Se X2 = 0, então 2 . X1 + 0 = 12. Portanto, X1 = 12/2 ou X1 = 6, o par ordenado será (6;0).
Assim, os pontos que serão utilizados, para traçar esta reta são: (0, 12) e (6, 0). A Região Viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o Gráfico abaixo, pois a inequação define que 2X1 + X2 deve ser menor ou igual a 12.
c) Reta relativa à restrição dos flocos:
3X1 + 3X2 = 24
Se X1 = 0, então 3x 0 + 3 x X2 = 24. Portanto, X2 = 24/3 ou X2 = 8, o par ordenado será (0;8).
Se X2 = 0, então 3x X1 + 3 x 0 = 24. Portanto, X1 = 24/3 ou X1 = 8, o par ordenado será (8;0).
Assim, os pontos que se utiliza para traçar esta reta são: (0, 8) e (8, 0). A Região Viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o Gráfico abaixo, pois a inequação define que 3X1 + 3X2 deve ser menor ou igual a 24.
II) Determinar a Região Viável (região onde se encontram todas as possíveis soluções para o problema em questão).
A Região Viável é a região que contém todas as possíveis soluções para o sistema e onde todas as Restrições (batatinha frita, picadinho e flocos) são respeitadas. Pode ser definida como a Região Comum a todas as Restrições. Esta Região é demonstrada na figura a seguir.
Pode-se observar que a Restrição referente aos flocos não influencia a região de soluções. Esta região ficou delimitada pelas Restrições da batatinha frita e do picadinho.
III) Determinar os pontos que delimitam a região viável.
Pelo Gráfico acima, constata-se que a Região Viável é delimitada por quatro linhas que se encontram em quatro pontos. Três destes pontos podem ser facilmente verificados, e são: (0, 0), (6, 0) e (0, 6). O quarto ponto é aquele em que as retas correspondentes às Restrições, da batatinha frita e do picadinho, se encontram. Sendo este ponto comum às duas retas, 
A Função Objetivo é dada pela equação Z = 5X1 + 6X2
Função Objetivo para o ponto (0, 0) ( Z (0, 0) = 5 x 0 + 6 x 0 = 0
Função objetivo para o ponto (6, 0) ( Z (6, 0) = 5 x 6 + 6 x 0 = 30 + 0 = 30
Função objetivo para o ponto (0, 6) ( Z (0, 6) = 5 x 0 + 6 x 6 = 0 + 36 = 36
Função objetivo para o ponto (4,5 , 3) ( Z (4,5 , 3) = 5 x 4,5 + 6 x 3 = 22,5 + 18 = 40,5.
Logo, o Ponto Ótimo é o par ordenado (4,5; 3), que maximizará o lucro da Empresa, com um valor de R$ 40,5,
Usando-se o Método da Adição 
Precisa-se seguir os seguintes procedimentos:
Transformar as inequações em equações igualando o sinal de desigualdade pelo sinal de igualdade, ou seja, trocar < por =.
Multiplicando-se por um valor oposto pode-se eliminar uma das variáveis das equações, e então determinar a outra. O Ponto Ótimo pode ser determinado resolvendo o sistema correspondente às duas retas.
2X1 + 3X2 = 18 (restrição para batatinha frita)
2X1 + X2 = 12 (restrição para picadinho)
Assim:
2X1 + 3X2 = 18
- 	(2X1 + X2 = 12)
0.X1 + 2X2 = 6
X2 = 6/2
X2 = 3
Substituindo X2 = 3 em qualquer uma das equações acima, obtém-se X1. Então:
2X1 + 3 x 3 = 18
2X1 + 9 = 18
2X1 = 18 – 9
2X1 = 9
X1 = 9/2, então: X1 =4,5, logo o par será (3;4,5).
O ponto comum é X1 = 4,5 e X2 = 3.
IV) Calcular o valor da Função Objetivo para cada um dos pontos da Região Viável.
A partir dos pontos da Região Viável, definidos anteriormente, pode-se calcular o valor da Função Objetivo para cada ponto.
V) A partir dos cálculos realizados para Z, determinar o ponto que corresponde à otimização pretendida (maximizar ou minimizar) e então determinar o ponto ótimo.
Por meio dos cálculos para Z, realizados no passo anterior, pode-se obter o Ponto Ótimo do problema. A otimização desejada no problema é maximizar. Assim, aquela Função Objetivo que apresentar o maior valor (problema de maximização), nos fornecerá a solução do problema. Ou seja, as quantidades a serem compradas de cada uma das fontes.
O maior valor para a função objetivo foi R$ 40,5 e corresponde ao ponto X1= 4,5 e X2= 3, que é considerado o Ponto Ótimo do problema e é demonstrado na figura a seguir.
Portanto, a fim de obter o maior lucro, a quantidade de batata a ser comprada pela empresa de cada fonte é 4,5 e 3 (em unidades de peso). 
Exercício: Representar graficamente as inequações: 3X + 3Y ( 30 e 6X + 3Y ( 48
Resolvendo:
Construir a reta correspondente à inequações: 3X + 3Y ( 30 e 6X + 3Y ( 48
Para traçar-se a reta são necessários dois pontos, ou dois pares ordenados. Assim, para a determinação dos pontos de interseção da reta com cada um dos eixos é mais fácil.
Estimativa dos pares ordenados das Restrições:
3X + 3Y ( 30 transforma em equações: 3X + 3Y = 30
6X + 3Y ( 48 transforma em equações: 6X + 3Y = 48
1a Restrição: 3X + 3Y = 30 (Montagem)
Se X = 0, 3.0 + 3y = 30, Y = 30/3, o valor de Y será:Y = 10
O mesmo procedimento deverá ser feito para encontrar um valor para X. 
Se Y = 0, 3X = 30, X = 10, gerando o 10 par ordenado: (0, 10) e (10, 0), que representa a Restrição do Departamento de Montagem.
O mesmo procedimento deverá ser feito para o Departamento de Acabamento:
2a Restrição: 6X + 3Y = 48 (Acabamento)
Se X = 0, 6.0 + 3Y = 48, Y = 48/3, Y = 16.
Se Y = 0, 6X = 48, X = 8, gerando o 10 par ordenado: (0, 16) e (8, 0), que representa a Restrição do Departamento de Acabamento.
De posse dos pontos, monta-se o Gráfico traçando-se as retas das Restrições, dos dois departamentos: Montagem e Acabamento.
Método gráfico
Para encontrar-se a solução de um problema de programação linear com duas variáveis de decisão através do método gráfico, adota-se os seguintes passos:
Traçar as retas correspondentes a cada restrição, num sistema de eixos X e Y;
Determinar a região viável (região onde se encontram todas as possíveis soluções para o problema em questão);
Determinar os pontos que delimitam a região viável;
Calcular o valor da função objetivo para cada um dos pontos da região viável;
A partir dos cálculos realizados para Z, determinar o ponto que corresponde à otimização pretendida (maximizar ou minimizar) e então determinar o ponto ótimo.
MINIMIZAÇÃO
Para a resolução de problemas de minimização o tratamento é semelhante aos problemas de maximização. Ou seja, as restrições são delimitadas por retas, definindo-se as regiões permissíveis. A combinação dessas regiões dará a região final, comum a todas as restrições. A solução estará então, em um dos pontos extremos. Considera-se o modelo abaixo:
Minimizar 4X + 4Y
Sujeito a:
2X + 1Y≥ 10
1X + 2Y ≥ 8
1Y ≤ 6
Transformando os dados em Expressões Matemáticas
A Função Objetivo
No caso, estima-se um menor custo, ou seja:
CMin = 4 X + Y
Esse custo deve ser minimizado por uma escolha de X e Y
 		Mín	C = 4 X +4 Y
 		X, Y
As Restrições:
2X + 1Y≥ 10
1X + 2Y ≥ 8
1Y ≤ 6
Dado a natureza do problema, ou seja, as funções e inequações são lineares, pode-se obter uma solução através de gráfico. Transformando as desigualdades em igualdades, delimita-se a região comum mostrada no Gráfico 1. 
1a Restrição:
2X + 1Y= 10
Se X = 0, Y = 10, tem-se: (0, 10)
Se Y = 0, X = 5, tem-se: (5, 0)
2a Restrição:
1X + 2Y = 8
Se X = 0, Y = 4, tem-se: (0, 4)
Se Y = 0, X = 8, tem-se: (8, 0)
3a+ Restrição:
1Y = 6
Gráfico 1 corresponde as Restrições.
A = (X = 8, Y = 0)
B = (X = 4, Y = 2)
C = (X = 2, Y = 6)
3a PARTE
RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS EM LABORATÓRIO
INTRODUÇÃO
Pesquisa Operacional consiste em um método científico para o auxílio na tomada de decisões. Transformar um problema real, como encontrar o menor custo para um produto em um ambiente de produção ou como maximizar um lucro, em um modelo matemático que possa nortear a alocação de recursos da melhor maneira possível. 
Em um problema real têm-se variáveis que o administrador pode controlar como o tempo de alocação de uma máquina para a fabricação um produto ou a quantidade de matéria prima utilizada em cada produto e variáveis que não se pode controlar, como a demanda de um produto ou o custo de uma determinada matéria prima.
Com esse objetivo, o Manual procura facilitar ao usuário, nas aulas práticas de Pesquisa Operacional, por meio do SOLVER do Excel, a melhor maneira de como solucionar problemas de otimização. No entanto, este Manual não esgota todo o potencial existente no Excel.
Antes de iniciarem-se os procedimentos para a resolução dos problemas será necessária conceituar-se a própria ferramenta Excel e uma revisão dos principais conceitos sobre Pesquisa Operacional. 
Conceito do Excel
“Excel é constituído por um conjunto de folhas (sheets) de cálculo, que por sua vez são constituídas por células (cells). Uma célula é identificada pela intersecção de uma coluna com uma linha” (aivaz.mtm@dps.uminho.pt).
Pesquisa Operacional
A Pesquisa Operacional pode ser dividida em duas classes de problemas, aqueles da classe de Problemas de Programação Linear e aqueles da classe de Problemas de Programação Não Linear. Na primeira classe, as variáveis do sistema são variáveis reais (pertencentes ao conjunto dos números reais) aparecem no modelo sempre associadas apenas a constantes. Na segunda classe, as variáveis podem aparecer associadas a outras variáveis. No Manual serão tratados problemas de Programação Linear.
Especificação de Requisitos do Problema
Neste sentido, será preciso definir claramente os requisitos do problema a ser solucionado, isto é, descrever, com detalhes, o funcionamento do sistema a ser avaliado. Esta descrição passa por detalhes técnicos como custo de componentes e mão de obra, disponibilidade de recursos, mercado e limitações técnicas. Nesta fase, o conhecimento do administrador é explorado ao máximo, e cada detalhe pode fazer diferença mais tarde no resultado final.
Modelagem do Sistema
Com o problema totalmente especificado, é necessário que se transforme o conjunto de requisitos em um modelo matemático que consiste basicamente em um conjunto de equações e inequações. A precisão nesta transformação é imprescindível, pois se ocorrer um erro, o resultado final poderá ficar seriamente prejudicado.
Solução do Modelo
Além do método tradicional, como o Método Gráfico (até duas variáveis) e o Método Simplex (mais de três variáveis), para solucionar o modelo matemático, gerado na fase anterior, pode-se utilizar o Método Computacional, onde existem vários softwares voltados para a Pesquisa Operacional como o Lindo ou alguns softwares de propósitos mais genéricos como o Matlab ou mesmo o Excel (utiliza-se a ferramenta Solver), este último será utilizado aqui para demonstração da solução de problemas mais complexos. 
Crítica aos Resultados
Após a obtenção dos resultados, não é feita uma implementação imediata da solução. É necessário que se realizem testes para se verificar a validade da solução encontrada. Neste caso, o conhecimento e a experiência do administrador em relação ao sistema administrado é fator imprescindível. Muitas vezes um modelo ruim pode levara resultados ruins, portanto é preciso que se faça uma crítica ao resultado obtido. Esta crítica geralmente leva à melhoria do modelo, gerando assim um processo de contínuo de melhores resultados.
Implementação da Solução
A solução obtida é implementada no sistema analisado. Nesta fase é necessário o acompanhamento do sistema para verificar sua performance e observar as possíveis alterações na especificação do sistema, como alterações de custos ou disponibilidade de matérias primas. Caso haja alteração é necessário, muitas vezes, rever o modelo e obter nova solução.
O que é o Solver e sua Instalação do Solver
O Solver:
“O Solver faz parte de um conjunto de programas algumas vezes chamado de ferramentas de análise hipotética. Com o Solver você pode localizar um valor ideal para uma fórmula em uma célula - chamada de célula de destino - em uma planilha. O Solver trabalha com um grupo de células relacionadas direta ou indiretamente com a fórmula na célula de destino. O Solver ajusta os valores nas células variáveis que você especificar - chamadas de células ajustáveis - para produzir o resultado especificado por você na fórmula da célula de destino. Você pode aplicar restrições para restringir os valores que o Solver poderá usar no modelo e as restrições podem se referir a outras células que afetem a fórmula da célula de destino. Pode-se visualizar isto melhor por meio de exemplos” (www.ufop.br).
Instalação:
Caso o Solver já esteja instalado no Excel, o caminho para utilizá-lo será:
Clique em ferramentas/Solver. Mas se necessitar instalar você seguirá os seguintes passos:
1. Para instalar o recurso Solver, clique em Suplementos no menu Ferramentas e marque a caixa de seleção Solver
•. Clique em OK e o Excel instalará o recurso Solver;
2. Após a instalação do suplemento, você poderá executá-lo clicando em Solver no menu Ferramentas. 
3. Para definir o problema na planilha, devem ser definidas células para representar as Variáveis de Decisão, uma célula para representar o valor da Função Objetivo e também se deve representar as Restrições.
Exemplos de como Modelar por meio do Solver/Excel
O exemplo dado, a seguir, é considerado um protótipo de problemas de Programação Linear, visto que muitos casos se reduzem à simples variações do mesmo. O problema básico resume-se em achar a "quantidade otimizada de produtos" a ser fabricado de modo a maximizar o lucro ou a receita:
“Uma fábrica de computadores produz 2 modelos de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 180,00 e B de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro ?” (http://www.pucrs.campus2.br/ursula.
ELEMENTOS DA PLANILHA 
Dados de Entrada: são os dados fornecidos no problema, isto é, os dados da Função Objetivo e os dados das inequações de Restrições - maior igual ou menor igual, incluindo as condições de não-negatividade, conforme seja o objetivo. Esses dados devem aparecer em algum lugar na planilha. Apesar de não ser absolutamente necessário. Aconselha-se colocar o máximo de dados de entrada no canto superior esquerdo da planilha, apesar de que em alguns problemas específicos pode-se mudar essa regra. 
Modelo Completo:
Função Objetivo: maximizar o Lucro
Z max = 180 X1 + 300X2
Sujeita às Restrições:
X1 + 2X2 ≤ 120
X1 ≤ 60
X2 ≤ 50
X1 e X2 ≥ 0, não negatividade.
Células Variáveis: Utilizam-se Variáveis como x1, x2.......ou y1, y2.....n1, que fazem o papel das Variáveis de Decisão. Os valores nestas células podem ser mudados a fim de otimizar a Função Objetivo. 
Célula de destino: Essa célula irá acumular o valor calculado da Função Objetivo. A ferramenta SOLVER sistematicamente varia os valores das células variáveis a fim de otimizar o valor da célula destino. 
Restrições ou vínculos: No EXCEL, as restrições não aparecem diretamente na planilha. Ao invés disso, especificam-se as desigualdades diretamente num quadro de diálogo da ferramenta SOLVER. Deve-se entrar com todas as desigualdades, inclusive os vínculos de não-negatividade. 
  Estágios da Solução
Em geral, a solução completa do Problema envolve dois estágios: 
1. O primeiro estágio é à entrada de todos os dados fornecidos no Problema, os valores iniciais das Células Variáveis: 
Este primeiro estágio é o mais importante, pois é nele que todos os elementos do Modelo são incluídos e relacionados entre si.
2. O segundo refere-se às fórmulas que relacionam essas células com os dados de entrada e cujo resultado é armazenado na Célula Destino. 
É nesse estágio que se executa o SOLVER, no menu Ferramentas do Excel, que irá pedir a localização das Células Variáveis e da Célula Destino, bem como uma lista de todas as Restrições envolvidas no problema, que são escritas em termos de endereços de células. Ao final é só pedir para que o SOLVER ache a solução otimizada.   
RESOLVENDO O MODELO NA PLANILHA DO EXCEL, POR MEIO DO SOLVER.
 Para definir o Problema no Excel/Planilha, devem ser determinadas as células para representar as Variáveis de Decisão, uma célula para o valor da Função Objetivo e para a representação das Restrições. Se você fez tudo certo deverá obter uma planilha como mostra a Figura 1:
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Figura 1: Planilha do Excel
Usar o SOLVER: a ferramenta SOLVER consegue atingir dois objetivos: inicialmente ela pede que você especifique a célula destino (resultado da Função Objetivo), as células variáveis (valores das Variáveis de Decisão) e as Restrições do problema, inclusive os vínculos de não-negatividade. Então a ferramenta resolve o problema por meio de ajustes nas células variáveis até que o máximo valor da célula destino seja encontrado. Para os problemas de PL, a ferramenta utiliza o chamado "Modelo SIMPLEX". Para acionar o Solver, clica-se em ferramentas e escolha Solver. Se você não encontrar essa ferramenta, escolha o item Suplementos (do menu Ferramentas) e procure o Solver e clique no respectivo quadrinho. Se ele não estiver ativado, clique em procurar e escolha o arquivo SOLVER.XLA e o selecione. Dê OK em tudo e feche as janelas e clique novamente em Ferramentas e agora sim o Solver já está ativado. A janela do Solver abrirá, conforme mostrado abaixo: 
Selecione como célula destino à célula E9 e clique na opção Max. 
Selecione as células variáveis de acordo com a janela acima. 
Adicione cada restrição, com a respectiva desigualdade correta. Note que você deve dar corretamente os endereços de cada desigualdade e, por esse motivo, não importa muito onde você as coloque na planilha. 
Figura 2: Planilha do SOLVER/Excel
Figura 3: Planilha do SOLVER/Excel
Figura 4: Planilha do SOLVER/Excel
RESULTADOS
Figura 5: Planilha do SOLVER/Excel
MANUAL DE ANÁLISE DOS RELATÓRIOS GERADOS PELO SOLVER
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LISTA DE EXERCÍCIOS
Modelo Linear: Antes de pedir para Resolver, clique em Opções e selecione "Presumir modelo Linear", pois afinal se trata de Programação Linear (PL).
Resolver: Clique em resolver e então o Solver mostrará nas células variáveis o valor ótimo das quantidades de ligas e na célula destino o valor máximo da Receita. Antes ele diz que achou uma solução ótima e, se você selecionar nas opções de relatórios, ele criará até três tipos de relatórios diferentes, os quais serão muito úteis futuramente. Escolha os três relatórios e dê OK. Você verá que o Excel criará mais três pastas, cada uma com um tipo de relatório. 
SUCESSO: você conseguiu otimizar um problema. Tente o mesmo com todos os problemas listados a seguir:Modelo Completo:
Zmax = 5X + 2Y
Sujeito à:
X ≤ 3
X + 2Y ≤ 9
Y ≤ 4
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmax = 4X + Y
Sujeito à:
2X + 3Y ≤ 12
2X +2Y ≤ 8
Y ≤ 4
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmin = 4X + Y
Sujeito à:
X + 3Y ≥ 12
2X + Y ≥ 16
Y ≤ 4
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmin = 4X + 10Y
Sujeito à:
X + 2Y ≥ 10
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmax = 4X + 4Y
Sujeito à:
2X + 3Y≤18
2X + Y ≤10
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmax = 8X + 10Y
Sujeito à:
4X + 8Y ≤ 160
6X + 4Y ≤120
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmin = 27X + 21Y
Sujeito à:
10X + 9Y ≥ 10
X + 5Y ≥ 15
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmin = 4X + 4Y
Sujeito à:
2X + Y ≥ 10
X + 2Y ≥ 8
Y ≤ 6
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmax= 2X + 3Y
Sujeito à:
4X +3Y≤ 10
6X - 3Y ≤ 20
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmax= 1.000X + 1.800Y
Sujeito à:
20X +30Y ≤ 12.000
X ≤ 40
Y ≥ 30
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmin= 3X + 2,5Y
Sujeito à:
4X + 8Y ≥ 32
6X + 6Y ≥ 36
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmin= 18X + 12Y
Sujeito à:
9X + 3Y ≥ 4
X + Y ≥ 1
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmax= 3X + 4Y
Sujeito à:
X + 1,5Y ≤ 15.000
X + Y ≤ 12.000
0,5X + 0,4Y ≤ 5.000
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmax= 3X + 4Y
Sujeito à:
70X + 70Y2 ≤ 4.900
90X + 50Y ≤ 4.500
2X ≤ 80
3Y ≤ 180
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
Modelo Completo:
Zmax= 20X + 60Y
Sujeito à:
70X + 70Y2 ≤ 4.900
90X + 50Y ≤ 4.500
2X ≤ 80
3Y ≤ 180
X e Y ≥ 0
Encontre:
A Região de Solução;
O Ponto Ótimo;
A Função Objetivo.
 
 
4a PARTE
TEORIA DOS JOGOS
TEORIA DOS JOGOS
"Teoria dos  jogos, análise matemática de qualquer situação que envolve um conflito de interesse, com a intenção de indicar as escolhas ótimas que, sob circunstâncias dadas, conduzirão a um resultado desejado".
Embora a teoria dos jogos tenha raízes no estudo dos divertimentos tais como verificadores, jogo do galo, e poker - daqui o nome - envolve também questões muito mais sérias que se levantam em campos como o da sociologia,  economia, ciência política e militar. 
A Teoria dos Jogos foi explorada primeiramente pelo matemático francês Émile Borel que, em 1912, escreveu diversas obras sobre jogos de possibilidade e teorias dos jogos.  
Durante a segunda Grande Guerra, áreas como a logística,  a guerra submarina e a defesa aérea basearam-se  diretamente na  Teoria dos Jogos que, depois disso se desenvolveu no contexto das ciências sociais.
A TEORIA DOS JOGOS PODE SER:
Uma série de ensaios dentro da economia que atua sobre as expectativas e comportamentos. 
Então, a Teoria dos Jogos surgiu a partir de uma frustração do matemático John von Neuman, pelo fato de não se conseguir resolver problemas sociais utilizando a matemática. Assim, em 1928, escreveu um ensaio com alguns indícios sobre a possibilidade de lidar-se com os conflitos humanos matematicamente. No entanto, somente em 1944, dar-se o início ou o nascimento oficial da Teoria dos Jogos, através da publicação do livro “Theory of Games and Economic Behavior”, em conjunto com o economista Morgenstein. 
De maneira simples, a Teoria revoluciona quando trabalha os problemas sociais por meio de modelos baseados em jogos de estratégia. A partir daí alastrou-se para outras áreas, como administração, economia, dentre outras.
A Teoria dos Jogos trata de situações em conflito, tendo em vista que não há sentido de uma empresa ou pessoas brigar com ela mesma. Por exemplo, em um mercado em Concorrência Perfeita não tem como haver conflito, pelas características desse mercado, ou seja:
Há um grande número de empresa;
Não há impedimento para a saída e também para a entrada;
Com estes argumentos as empresas não têm poder para ditar seus próprios preços. 
As empresas se apropriaram do preço do mercado.
No entanto, no mercado de Oligopólio, onde há forte conflito, apesar do número pequeno de empresas, mas existem grandes empresas que dominam grupos menores. Essas empresas costumam formar Cartéis para garantir seus preços. Além de Conluios (combinação entre empresas).
Colocando-se a Teoria dos Jogos na vida cotidiana, em situações de conflito e competição, próprias nos dias de hoje, citam-se alguns momentos que se podem aplicá-la: 
Jogos (xadrez, dominó etc.);
Batalhas militares;
Campanhas políticas; 
Campanhas de marketing entre firmas concorrentes.
Uma característica básica nestas situações é que o resultado final depende essencialmente da combinação das estratégias adotadas pelos adversários. 
Com essas observações pode-se dizer que a Teoria dos Jogos é uma teoria matemática que lida com as características gerais destas situações de uma forma abstrata. Nela, fica enfatizado o processo de decisão dos adversários. 
Elementos Essenciais à formulação da Teoria dos Jogos
Jogo: é toda situação em que existem duas ou mais empresas/pessoas em uma posição que as ações de um interferem nos resultados do outro. Por isso, a Teoria dos jogos é também chamada de Teoria do Conflito.
Jogador: é todo agente (empresas, pessoas etc.) que participa e possui objetivos em um jogo. 
Movimentação: são decisões disponíveis aos jogadores (simultaneamente ou não). Estes são seguidos de uma ação, resultante em um ganho.
Escolha: uma alternativa particular escolhida.
Jogada: seqüência de escolhas.
Estratégias: descrição das decisões a tomar em todas as situações possíveis.
Resultados/Payoffs/Ganhos: valor ou pagamento de uma ação (em moeda corrente, em pontos etc.) ou ainda uma expressão de preferência.
Informação Perfeita: Um jogo  tem a informação perfeita se todas às jogadas forem conhecidas por cada um dos jogadores envolvidos. 
Exemplos de jogos com informação perfeita ou completa: O Xadrez é um jogo com informação perfeita.
Exemplos de jogos com informação imperfeita ou incompleta: o poker ou o bridge são jogos em que os jogadores têm somente a informação parcial à sua disposição.
Classificação dos Jogos
Jogos de duas pessoas com soma zero: dentro da grande variedade de casos que existem, esta classe de jogos é a mais fácil de abordar e é a que será coberta aqui. 
Características: 
Só há dois adversários, que podem ser compostos de mais de uma pessoa (um exército, uma firma etc.);
O que um adversário ganha, o outro perde;
O resultado ou payoff no jogo soma zero devem entrar na matriz com o sinal trocado;
Exemplo: Jogo de par ou ímpar.
Se a soma der par, o jogador 1 recebe R$ 10 do jogador 2. Caso contrário, jogador 1 paga R$ 10 para jogador 2. Cada jogador tem duas estratégias possíveis: 
Mostrar um número par de dedos; e
Mostrar um número ímpar de dedos.
O payoff é o ganho que um jogador leva em um jogo em determinada situação. 
É importanteressaltar que, neste tipo de jogo (soma zero) antes do jogo, os dois jogadores têm acesso à informação. O jogo consiste em cada jogador escolher uma estratégia sem conhecer a escolha do outro. 
Exemplos de Estratégias: No caso do par ou ímpar, uma estratégia se resume à paridade do número de dedos escolhidos. Em caso de um jogo mais complicado, uma estratégia seria uma ou mais regras que determinam o que jogar em qualquer situação. No xadrez, uma estratégia seria uma função que retorna a próxima jogada para cada posição possível do tabuleiro (complexo demais para a teoria dos jogos). 
Assim, a informação é essencial para a Teoria dos Jogos:
Existem situações com informações completas;
E casos em que as informações são parciais.
Matriz de payoff 
Mostra os ganhos para o jogador 1 de todas as combinações possíveis de estratégias. O resultado ou payoff para o jogador 2 seria obtido trocando o sinal das entradas da matriz (para o caso de jogo de dois jogadores com soma zero). 
As unidades da matriz devem representar uma "utilidade" para o jogador. Ë importante salientar que o objetivo da Teoria dos Jogos é o desenvolvimento e critérios racionais para seleção de estratégias. 
Devem ser destacadas duas hipóteses: 
Os dois jogadores são Racionais;
E o objetivo maior de cada maximizar seu payoff, ou seja, não compaixão pelo adversário.
Teoria dos Jogos X Análises da Decisão 
No primeiro caso, o jogador se depara com um adversário que, igual a ele é racional e preocupado em maximizar o seu ganho. 
Jogos de duas pessoas que não-somam zero
O exemplo mais clássico desse tipo de jogo é o Dilema dos Prisioneiros, que pode ser encontrado na literatura disposto de várias formas. Este problema foi adaptado por Albert W.Tucker:
Vale dizer que se trata de um caso fictício de dois marginais que cometem um assassinato e são presos e levados para a delegacia. Lá são interrogados em salas diferentes e submetidos à seguinte situação: os prisioneiros devem escolher a opção que lhes seja favorável no interrogatório e precisam escolher entre duas estratégias: confessar o assassinato, implicando também o companheiro, ou não confessar na expectativa de reduzir sua pena.
A matriz de payoff abaixo mostra os ganhos possíveis para cada estratégia escolhida pelos jogadores (na verdade são perdas, e maximizar o payoff neste caso implica em obter a menor pena). Considerando que ambos os ladrões têm conhecimento da matriz, para cada um o raciocínio é o mesmo:
Na prisão, ambos são interrogados de forma separada e estão cientes que:
Se ambos cooperarem (se declararem inocentes e não acusarem o outro), ficarão presos por 1 ano somente pelo assassinato.
Se ambos traírem, ficarão presos por 3 anos.
Se um trai (acusa o outro e se declara inocente) e, além disso, se o acusado cooperar (não delatar o primeiro), o acusado ficará preso por  5 anos e o que acusou será solto imediatamente.
As possíveis estratégias e seus respectivos pagamentos podem ser resumidos pela Matriz de payoff abaixo:
Matriz de payoff
	 
	Confessar (Coopera)
	Trai (Não confessar)
	Confessar (Coopera)
	-1,-1
	-6,0
	Trai (Não cooperar)
	0,-6
	-3,-3
Então, não há solução para o Dilema do Prisioneiro. De um ponto de vista puramente do interesse próprio (aquele que não toma em consideração os interesses do outro prisioneiro), é racional, para cada prisioneiro, confessar — e se cada um fizer o que é racional do ponto de vista do interesse próprio, ficarão ambos pior do que ficariam se tivessem escolhido de outro modo. O dilema prova que quando cada um de nós, individualmente, escolhe aquilo que é do seu interesse próprio, pode ficar pior do que ficaria se tivesse sido feita uma escolha que fosse do interesse coletivo.
Assim, o fato de ações racionais individuais levarem a um resultado ruim, em termos de interesse próprio, é o motivo da importância deste dilema em questões sociais. É importante observar que o Dilema do Prisioneiro é uma simplificação de conflitos reais, e várias modificações podem ser aplicadas.
Fazendo-se um paralelo entre o Dilema dos Prisioneiros e a realidade dentro de uma empresa, verifica-se que a melhor decisão individual pode comprometer o resto do grupo.
Ë o que está acontecendo nos últimos anos com uma enxurrada de corrupções entre os políticos brasileiros, comprometendo a imagem da Câmara e do Senado Federais. Em tempos recentes viu-se o escândalo da Parmalat, que fechou suas unidades no Brasil.
Atualmente, busca-se o Equilíbrio de Nash, ou seja, um conjunto tal de estratégias usadas pelos jogadores em um jogo que, para cada agente i, dadas as estratégias dos demais jogadores, i não tem incentivo para mudar sua estratégia (quer dizer que i escolheu a melhor estratégia, dadas às estratégias dos demais). De acordo com Nash, todo jogo de soma não zero com dois jogadores apresenta pelo menos um equilíbrio, em estratégia.
Então, Equilíbrios de Nash são estáveis, mas nem sempre desejáveis. O Dilema dos Prisioneiros, por exemplo, que é a instância de jogo mais conhecida e discutida, apresenta como único equilíbrio uma situação na qual os dois jogadores obtêm um mau resultado, dadas suas funções de utilidade ou escolhas individuais.
No Equilíbrio de Nash, nenhum jogador se arrepende de sua estratégia, dadas as posições de todos os outros. Ou seja, um jogador não está necessariamente feliz com as estratégias dos outros jogadores, apenas está feliz com a estratégia que escolheu em face das escolhas dos outros. O filme “Uma Mente Brilhante” sobre a vida de John Nash popularizou o termo e levou ao conhecimento público a Teoria dos Jogos, mas infelizmente, como o economista James Miller coloca, a única indicação sobre o assunto no filme está errada. No filme, cinco garotas, dentre elas uma especialmente atraente entram em um bar.
Nash tem a idéia de, junto com três amigos, ir conversar com as quatro garotas e evitar tanto a competição pela mais bonita quanto o ciúme das outras garotas. No filme está implícito que essa seria a base do Equilíbrio de Nash. O problema é que o equilíbrio de Nash ocorre quando não há arrependimento, e vendo a mulher mais bonita do bar sair sozinha, alguém poderia se arrepender de não ter ido conversar com ela em primeiro lugar. O Equilíbrio de Nash se daria se um, dentre os quatro, fosse conversar com a mais bonita e os outros evitassem a competição partindo cada um para uma garota diferente.
A genialidade do Equilíbrio de Nash vem da sua estabilidade sem os jogadores estarem cooperando. Por exemplo, seja uma estrada de cem quilômetros, de movimento igual nas duas direções, representada por uma linha graduada de 0 a 100. Coloquem-se nessa estrada dois empreendedores procurando um local para abrir cada qual um posto de gasolina.
Pode-se assumir que cada motorista irá abastecer no posto mais próximo de si. Se “A” coloca seu posto no quilometro 40, e “B” exatamente no meio, “B” ficará com mais clientes que “A”. O jogo ainda não está em equilíbrio pois “B” pode se arrepender de não estar mais perto de “A”, roubando mais clientes. O equilíbrio de Nash será “A”=X+1 e “B”=X-1. Se um posto estiver um pouco fora do centro, seu competidor vai ganhar mais da metade dos consumidores, colocando-se ao seu lado, mais próximo ao centro. A Teoria dos Jogos explica porque, nos grandes centros urbanos, farmácias, locadoras e outros competidores da mesma indústria tendem a ficar próximos uns aos outros. Sempre que um jogador se encontra em uma situação em que até poderia estar melhor, mas está fazendo o melhor possível dada a posição de seus competidores, existirá um Equilíbrio de Nash (Zugman, 2005).
Conclusão: A escolha ótima para os dois seria confessar, pois eles não têm certeza de que o outro negue. Este é um caso atípico do Equilíbrio de Nash. 
Lançamento de novos produtos no mercado
Considere que duas empresas dividem o mercado junto a uma certa linha de produtos e que elas estão em constante disputa por ampliar sua fatiade mercado e pela redução de custos de produção. Se uma das empresas anuncia o lançamento de um produto revolucionário naquela linha, sendo que o investimento para viabilizar a sua produção foi elevado, o comportamento da empresa concorrente pode ser de três tipos:
Não lançar nenhum produto novo e prestigiar ainda mais os seus produtos já lançados no mercado, esperando pelo fracasso de mercado do produto concorrente;
Passar a investir forte no lançamento de um novo produto muito semelhante àquele já lançado pela concorrência;
Passar a investir forte no lançamento de um novo produto, distinto daquele já lançado pela concorrência, mas que concorre pela mesma fatia de mercado.
Outro tipo de Equilíbrio
Há uma antiga lenda anglo-saxã que fala sobre uma tal Tragédia dos Comuns. O mundo germânico, cuja resistência à cristianização nos moldes romanos começou com o Arianismo e culminou com a Reforma de Martinho Lutero, sempre me chamou a atenção e esta lenda é particularmente saborosa.
Ela fala de um povoado medievo em que pastores de ovelhas dividem a mesma terra sem que haja limites ou divisas de propriedades entre eles. A espécie de comunismo primitivo que todo povo incivilizado e ignorante experimenta antes de conhecer as maravilhas do Camembert ou do pudim de laranja.
Pois a vila cresce e os seus filhos se multiplicam, como o bom velhinho bíblico ordenara, e crescem juntos os rebanhos, as pulgas e a falta de higiene. Com a expansão dos rebanhos aumenta a pressão sobre o único recurso natural de que dispõem, o pasto sobre a terra. “O que pertence a todos não é tratado com desvelo, pois todos os homens dão mais importância ao que é seu do que àquilo que possuem em coletivo”, dizia um pederasta grego muitos séculos antes desta história. Mario Quintana, que os afeminados gaúchos amam citar, dizia que “filosofar resta inútil, não há nada no mundo das idéias que algum pederasta da Hélade já não tenha endereçado e resolvido”.
Nas contendas que se seguem formam-se dois partidos: os que preferem que se divida as terras em frações ideais e igualitárias e cada um cuide do que é seu e os que preferem que a comuna prossiga em seus modos igualitários de ser. Um partido tem seu Mário, outro seu Sila (que Alá esteja com ele).
Passam-se os anos e os homens da aldeia jamais chegam a um termo sobre os perrengues - em discussões intermináveis que deixariam os bizantinos roxos de inveja. Termina que qualquer outro pequeno desequilíbrio - não se sabe ao certo qual, pois que desta tragédia não resultaram sobreviventes - todo o povoado perece da mais pura e genuína fome, num exemplo de martírio apostólico romano capaz de render beatificações, fossem os mártires civilizados ou, vá lá, monges irlandeses.
É uma lenda pedestre e sempre rejeitada por qualquer pessoa de bom coração - as mesmas que sempre estão no partido de Mário - e que demonstra claramente os motivos da derrocada do mundo anglo-saxônico a que temos assistido nos últimos oitocentos anos desde a publicação da Magna Carta e seus inaceitáveis preceitos sobre as liberdades individuais. 
(http://porcopreto.embora.com.br/blog/2006/12/07/a-tragedia-dos-comuns/)
Exemplos:
Hoje em dia, pode-se perceber várias Tragédias dos Comuns acontecendo no dia a dia. Um bom exemplo pode ser visto no trânsito das grandes cidades. Repare nos automóveis na rua: a grande maioria deles tem um único ocupante. Todos sabem que o trânsito poderia ser muito melhor se as pessoas se organizassem de modo a andar com três ou quatro pessoas por carro. Mas, por outro lado, também existe a sensação de que “não é o meu carro que está fazendo com que o trânsito fique tão engarrafado”. Pois é, a culpa é sempre dos outros...
Para evitar a tragédia dos comuns, existem duas opções: ou o Estado cria mecanismos legais para coibir determinadas práticas – como acontecia na Inglaterra da Idade Média; ou a própria comunidade cria mecanismos de autodefesa. Cada vez mais, a segunda opção tem sido utilizada. Os “Gérsons” não são exclusividade brasileira e o mundo todo tem adotado práticas auto-reguladoras. Em um mundo com recursos naturais cada vez mais escassos, mecanismos anti-Tragédia dos Comuns têm sido particularmente necessários para impedir que nós destruamos o planeta. O Protocolo de Kyoto é, no fundo, um mecanismo criado para evitar uma Tragédia dos Comuns ambiental. A não adesão dos Estados Unidos ao Protocolo seria equivalente à pessoa que pede lagosta no restaurante quando todos pedem filé com fritas – com o fator agravante do peso da deserção americana ser desproporcionalmente grande. Seria muito diferente se, por exemplo, o Uruguai não aderisse ao Protocolo.
Segundo os estudiosos das estratégias utilizadas em Teoria dos Jogos, a única forma de derrotar um jogador que adote a estratégia do “deserte sempre” é o ostracismo: não jogar com quem adota este tipo de estratégia. Mas como condenar o país mais rico e influente do planeta ao ostracismo? Isto é impossível e os Estados Unidos sabem disto. Justamente por isto que eles adotam a postura do “deserte sempre”. É uma decisão racional dos Estados Unidos. Não é justa, mas é racional. A propósito: se alguém lhe disse que o mundo é justo, sinto muito, mas você foi enganado.
De acordo com o jogo abaixo, onde duas firmas estão decidindo, no mesmo instante, entre duas estratégias, que são Fazer Propaganda ou Não Fazer Propaganda, determine: o Equilíbrio de Nash.
	 			Estratégias
	Firma B
	
	Fazer Propaganda
	Não fazer 
	Firma A
	Fazer Propaganda
	10 ; 5
	15 ; 0
	
	Não Fazer 
	6 ; 8
	10 ; 2
Supondo o jogo do Bem-Estar Social, entre o governo e o indivíduo, que tem as seguintes estratégias: ajudar o indivíduo ou não ajudar para o governo; e procurar trabalho ou não procurar para o indivíduo, determine:
	 						Estratégias
	Indivíduo
	
	Procura
	Não Procura
	Governo
	Ajuda
	 3 ; 2
	-1 ; 3
	
	Não Ajuda
	-1 ; 1
	 0 ; 0
as estratégias dominantes e dominadas para cada jogador.
Questões:
1 De acordo com o jogo abaixo, onde duas firmas, em um mercado duaopolista, estão decidindo, no mesmo instante, entre duas estratégias, que são Fazer Propaganda ou Não Fazer Propaganda, determine:
	 				Estratégias
	Firma B
	
	Fazer Propaganda
	Não fazer 
	Firma A
	Fazer Propaganda
	10 ; 5
	15 ; 0
	
	Não Fazer 
	6 ; 8
	10 ; 2
a) o equilíbrio com estratégias dominantes das firmas;
Possibilidades:
Se as duas empresas decidirem fazer propaganda. 
Se a Empresa A fizer propaganda e a Empresa B não. 
Pergunta-se: Qual a estratégia que cada empresa deverá escolher? Primeiro considere a Empresa A.
Empresa A: se ambas fizerem propaganda: A ganhará 10 e 15, independentemente da decisão de B.
No entanto, se B fizer propaganda e A não fizer, ganhará somente 6.
Se a Empresa B não investir em propaganda, a Empresa A lucrará 15, faça propaganda, mas lucrará 10 se não fizer.
Pode-se concluir que seja qual for a estratégia da Empresa B, se A investir em propaganda terá ganhos maiores. Daí a estratégia dominante de A é investir em propaganda.
Pelo lado de B:
Empresa B: se ambas fizerem propaganda: B ganhará 5 e 8, independentemente da decisão de A.
No entanto, se A fizer propaganda e B não fizer, ganhará somente 0.
Se a Empresa A não investir em propaganda, a Empresa B lucrará 8, faça propaganda, mas lucrará 2 se não fizer.
Logo se as empresas forem racionais ambas deverão fazer propaganda. Assim, diz-se que ambas possuem estratégias dominantes.
Mudando-se a Matriz:
	Estratégias
	Firma B
	
	Fazer Propaganda
	Não fazer
	Firma A
	Fazer Propaganda
	10 ; 5
	15 ; 0
	
	Não Fazer 
	6 ; 8
	20 ; 2
Agora a Empresa A não possui estratégia dominante, ou seja, sua decisão ótima dependerá da estratégia de B. 
1. Se a Empresa B fizer propaganda, então a Empresa A também fizer ganha 10. 
2. Se B não fizer propaganda, a Empresa A estará realizando o melhor negócio se não investir (20). 
3. Se as duas empresas tiveremque tomar suas decisões simultaneamente:
Qual seria a atitude da Empresa A?
Para responder esta questão, a Empresa A deverá se colocar no lugar de B. Qual seria a melhor decisão de B e qual seria a provável reação da Empresa B?
A Empresa B tem uma estratégia dominante, independentemente da reação de A, que é fazer propaganda. 
Logo o equilíbrio será alcançado quando ambas investirem em propaganda. Ou seja, A estará fazendo o melhor que pode em função de B e vice-versa.
Duas empresas produtoras de cereais para refeição matinal defrontam-se com um mercado no qual duas novas variedades de cereais poderão ser lançadas com sucesso, desde que cada variedade seja promovida apenas por uma empresa. Há mercado para um novo cereal “crocante” e para um novo cereal “açucarado”, mas cada uma das duas empresas dispõe de recursos para lançar apenas um produto novo. Portanto, a matriz de payoff para as duas companhias está representada abaixo:
	Estratégias
	Firma 2
	
	Crocante
	Açucarado
	Firma 1
	Crocante
	-5 ; -5
	10 ; 10
	
	Açucarado 
	10; 10
	-5 ; -5
Se as empresas se comportarem não cooperativamente, o que acontecerá?
Suponha que a Empresa 1 falou na TV que pretende lançar um cereal açucarado e a Empresa 2, sabendo, diz que vai lançar um cereal crocante. Dadas as propostas de cada uma empresa, estas não terão estímulos de desviarem-se das suas ações. 
Assim, se a Empresa 1 realiza sua proposta, seu lucro será de 10, mas se ela desvia seu objetivo, considerando que a ação de sua concorrente permaneça inalterada, seu lucro será -5. 
REFERÊNCIAS
BÁSICA
CAIXETA-FILHO, José Vicente. Pesquisa operacional: técnicas de otimização aplicadas a sistemas agroindustriais. 2 ed. São Paulo: Atlas.
CORRAR, Luiz J.; THEOFILO, Carlos Renato. Pesquisa operacional. São Paulo: Atlas, 2003. 
LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: Campus, 2002.
COMPLEMENTAR
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. 2. ed. São Paulo: LTC, 2000.
TAHA, Hamdy. Taha. Pesquisa Operacional. São Paulo, Pearson, 8ª Edição, 2008
SILVA, Ermes Medeiros da. Pesquisa operacional. 3. ed. Atlas, 1998.
LOESCH, Claudio; HEIN, Nelson. Pesquisa Operacional: fundamentos e modelos. São Paulo: Saraiva, 2009. 
MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa operacional: curso introdutório. São Paulo: Thomson Pioneira, 2010. 
Implementação dos resultados
Experiência
Avaliação
Solução do modelo
Validação do modelo
Construção do modelo
Definição do problema
Percepção ou demanda por solução
9
8
7
6
5
3
4
1
2
7
2
15
15
10
2
8
8
5
7
5
25
20
10
15
25
Restrições do Problema
Y
10
6
Zona Permissível
4
0
5
8
2
X
Selecionar a célula da Função Objetivo
(b5)
Em “Igual a”: Escolha a opção Máx
Na caixa “células variáveis” – inserir a área onde se encontram as Variáveis de Decisão.
Na caixa Submeter às Restrições – inserir todas as inequações correspondentes as Restrições, com seus respectivos sinais de desigualdade (≤ ou ≥), conforme o Objetivo do problema.
� EMBED Word.Document.8 \s ���
� EMBED Word.Document.8 \s ���
CÉLULA DE DESTINO (Função objetivo): Tem o Valor Original, quando se não sabia a quantidade de X1 e X2 que eram necessárias para maximizar o Lucro, o valor inicial era ZERO. Valor Final: já é o Valor máximo que as quantidades X1 e X2 darão.
CÉLULAS AJUSTÁVEIS (Variáveis de Decisão): Mostra a Solução Ótima encontrada pelo SOLVER, ou seja, um mix dos dois produtos de acordo com as condições existentes que gera o Lucro de R$ 92,00.
Dependendo do Resultado pode ser recalculado o Modelo e haver Ajustes nas quantidades a serem produzidas. No caso, X=6 (Cadeiras) e X2=4 (Mesas).
VALOR DA CÉLULA (RESTRIÇÕES):Mostra o total de horas utilizadas pela produção dos dois produtos e em cada departamento (Montagem e Acabamento).
O CAMPO FÓRMULA: Mostra as expressões das Restrições. O CAMPO STATUS: Mostra duas Mensagens: 1. AGRUPAR: que diz não há sobras ou folgas. NÃO-AGRUPAR: Indica que existem sobras ou sobras. 
No exemplo: Observa-se que a capacidade produtiva dos departamentos foi plenamente utilizada. O Relatório diz que não houve sobras de horas em nenhum dos departamento.
8
2 O LIMITE SUPERIOR segue a mesma lógica. Considere a linha Quantidade a produzir de Cadeiras. Os Campos indicam que, na mesma Solução Ótima, se produzida a quantidade máxima de 6 unidades de Cadeiras, o Resultado Destino será R$ 92. Então, este é o valor da MCT na Solução Ótima. E tem que ser igual, pois desde que se deixe fixa a quantidade de um dos produtos na Solução Ótima, não será possível aumentar a quantidade do outro produto. 
 OBSERVAÇÃO: Pode-se generalizar para todos os problemas de maximização, ou seja, o Resultado Destino do Limite Superior sempre coincidirá com a Solução Ótima. No caso de minimização será o Limite Inferior.
1. Na primeira parte do Relatório: Indica o Lucro, o valor máximo na Solução Ótima (R$ 92,00).
Na SEGUNDA parte, mostra, no CAMPO VALOR, as margens de contribuição unitária dos produtos. 
 O LIMITE INFERIOR e os RESULTADOS DE DESTINO devem ser analisados juntos. Considerando a linha Q produzir Cadeiras, a Análise indica que, mantidas as demais condições do problema, e se reduzirmos a produção de cadeiras ao seu Limite Inferior, que é zero, o Resultado Destino (Margem de Contribuição/FO) será R$ 32,00. Pois, na Solução Ótima se deixarmos de produzir Cadeiras, a Margem de Contribuição unitária de R$ 8,0, resultando em R$ 32,00. A mesma análise se faz para as mesas. Margem R$ 60, das Cadeiras, com MCU de R$ 10.
X
Quando um ou mais dados do problema sofre alteração, o modelo inicial pode ser atualizado e recalculado sem problema. O SOLVER permite que sejam alterados apenas os dados que sofreram alterações, recalculando a planilha e emitindo novos Relatórios. 
2 No entanto, o tomador de decisão pode querer conhecer, com base em uma dada situação, quais os impactos seriam provocados por eventuais mudanças nos valores atuais das Variáveis e Restrições. Nesse problema, pode-se querer saber, por exemplo, Qual o reflexo na Solução Ótima de um aumento na margem de contribuição das Cadeiras?; Qual o impacto sobre a MCT da Empresa caso produzisse mais mesas do que o indicado na Solução Ótima? Ou então, Qual o ganho proporcionado pelo aumento na Capacidade do Departamento de Montagem?
3. Então, pode-se dizer que o Relatório de Sensibilidade amplia a solução estática da PL. A Análise de Sensibilidade permite incorporar à resposta considerações sobre eventuais alterações nas condições do problema, dentro de intervalos definidos.
Na primeira parte: Destina-se as Células Ajustáveis e na outra, às Restrições. 
CÉLULAS AJUSTÁVEIS: Quantidades a serem produzidas na Solução Ótima. Esta é uma informação pontual que só depende da manutenção das condições consideradas na resolução do problema.Mas os dados estão sujeitos a alterações em seus valores. No ambiente das empresas, essas variações ocorrem com certa freqüência.
Os intervalos são definidos com informações dos campos Permissível Decréscimo e Permissível Acréscimo. Se o MCU das cadeiras é R$10. Então, é possível afirmar que essa margem de contribuição unitária pode variar de R$ 8 (R$ 10 - permissível de decréscimo de R$ 2) a R$ 16 (R$ 10 + permissível acréscimo de R$ 6) que a quantidade de cadeiras previstas na Solução Ótima não se altera.Mesma análise pode ser feita para as mesas.
OBSERVAÇÃO: Esta análise é válida desde que consideremos apenas a margem de contribuição de um produto que varia dentro do intervalo de contribuiçãounitárias dos produtos, desde que essas alterações se verifiquem dentro dos intervalos antes definidos.
Reduzido Custo: Os valores contidos neste CAMPO indicam qual o reflexo provocado no Objetivo Coeficiente (MCT/MARGEM DE LUCRO) pela opção por alteração indicada na Solução Ótima. Observa-se que este Reduzido Custo corresponde ao Custo de Oportunidade na economia, ou seja, o quanto estar deixando de ganhar (perder) por desprezar determinada alternativa.
Quanto às RESTRIÇÕES: PREÇO SOMBRA, mostra o quanto se deixa de ganhar por não se dispor de mais uma unidade de determinada variável Restritiva. No Problema, em estudo, mostra o quanto se deixa de aumentar na MCT por não se dispor de mais uma hora na capacidade dos departamentos. Por exemplo o preço Sombra do Departamento de Montagem é de R$ 2,0. Significa que, caso o Departamento dispusesse de 31 horas, ao invés de 30h atuais, a Margem de Contribuição da Empresa passaria de R$ 92 para R$ 94. Vale dizer que esta análise é válida desde que se mantenham as demais condições do problema. A ÁNÁLISE DO CONTRÁRIO É VÁLIDA. E pode ser utilizada para o Departamento de Acabamento.
Assim, percebe-se que o Preço Sombra possui uma gama de informações. Pois, permite a comparação dos ganhos que advêm da ampliação da capacidade Restritiva da Empresa com eventuais custos envolvidos. 
No presente caso, A Indústria poderia comparar, por exemplo, o ganho de R$ 40 em sua MCT, proporcionado pelo aumento de 20 horas na capacidade produtiva do Departamento de Montagem, com os custos que adviriam dessa ampliação.
Zona Permissível
6
0
4
10
2
Y
(1) posicionamento de radares, armazenamento de munições e transporte de tropa etc...
_1357626289.doc
Na caixa “Submeter às restrições” devem ser inseridas as restrições do problema;
Clique no botão “Adicionar” e a janela abaixo aparecerá.
Selecione a célula que contém a restrição correspondente
Escolha a opção que corresponde ao tipo de restrição
Selecione a célula contendo a 1a restrição (B8)
Por último, clique no botão “OK”
_1357632654.doc
� 
�
 
Curso: Administração; Disciplina: Pesquisa Operacional; Turma: AA41 e AA42.
�
APRENDENDO PESQUISA OPERACIONAL
INSTRUÇÕES PARA O USO DO SOLVER/EXCEL
�
Após adicionar todas as restrições, clique no botão “Resolver”.
A janela abaixo aparecerá
Nesta janela, clique no botão “OK”.
Para criar um relatório (planilha) na pasta atual