DERIVADAS E INTEGRAIS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E HIPÉRBOLICAS INVERSAS

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1 
 FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE 
 
 CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 ASSUNTO: DERIVADAS E INTEGRAIS DAS FUNÇÕES, 
TRIGONOMÉTRICAS E HIPÉRBOLICAS INVERSAS 
 
PROFESSOR: MARCOS AGUIAR CÁLCULO I 
 
1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
1.1 A função inversa do seno, denotada por 
arcsen
 ou 
1sen x
, define-se como 
 
y arcsenx
 se e somente se 
x seny
 para 
1 1 e 
2 2
x y
 
     
 
Exemplo: Se 
1
2
y arcsen
 , então 
1
2
seny 
 e 
 
2 2
y
 
  
, logo 
6
y


 
 
Se 
1
2
y arcsen
 
  
 
 , então 
1
2
seny  
 e 
 
2 2
y
 
  
, logo 
6
y

 
 
 
1.2 Propriedades de 
arcsenx
. 
 
(i) 
  se 1 1sen arcsenx x x   
 
(ii) 
  se 
2 2
arcsen senx x y
 
   
 
 
Exemplo: 
 pois 
4 4 2 4 4
arcsen sen
     
    
 
 
 
1 1 1
 se 1 1
2 2 2
sen arcsen
 
    
 
 
2 3
=
3 2 3
arcsen sen arcsen
    
   
   
 
 
1.3 A função inversa do co-seno, denotada por 
arccos
 ou 
1cos x
, define-se como 
 
arccosy x
 se e somente se 
cosx y
 para 
1 1 e 0x y     
 
 
Exemplo: Se 
1
arccos
2
y 
 , então 
1
cos
2
y 
 e 
 0 y  
, logo 
3
y


 
Se 
1
arccos
2
y
 
  
 
 , então 
1
cos
2
y  
 e 
 0 y  
, logo 
3
y


 
 2 
 
 
1.4 Propriedades de 
arccos x
. 
 
(i) 
 cos arccos se 1 1x x x   
 
(ii) 
 arccos cos se 0x x y   
 
 
Exemplo: 
2 2 2
arccos cos pois 0
3 3 3
        
 
 
 
1 1 1
cos arccos se 1 1
2 2 2
  
        
  
 
 
2
arccos cos arccos =
4 2 4
    
     
    
 
 
1.5 Identidades para funções trigonométricas inversas. 
 
 
1 1cos
2
sen x x
  
 
 1 2cos 1sen x x  
 
 1 2cos 1sen x x  
 
 1
2
1
1
tg sen x
x
 

 
 1 2sec 1tg x x  
 
 
2
1 1sec
x
sen x
x
 
 
 
 
 
 1 
1cos x
 
21 x
 x 
2 1x 
 
 x 1 x x 
 
1sen x
 
1sen x
 
1tg x
 
1sec x
 
 
21 x
 1 1 
 
 
1.6 Derivadas das funções trigonométricas inversas do seno, co-seno, tangente e secante. 
 
1.6.1 Derivadas das funções inversas 
 3 
 
 Teorema. (i) 
 
2
1
1
x xD arcsen u D u
u


 
 
 (ii) 
 
2
1
arccos
1
x xD u D u
u
 

 
 
 (iii) 
  2
1
arc
1
x xD tg u D u
u


 
 
 (iv) 
 
2
1
arcsec
1
x xD u D u
u u


 
 
Se uma função diferenciável f admite uma função inversa 
1g f 
 se 
  ' 0f g c 
, então g 
é diferenciável em c e 
 
  
1
'
'
g c
f g c

 
 
Fazendo: 
 
 (i) 
y arcsenx
 e 
seny x
 são equivalentes se 
1 1x  
 e 
2 2
y
 
  
. 
Diferenciando 
seny x
 implicitamente temos: 
 
cos 1
dy
y
dx

 
 xD arcsen x 1
cos y

 como 
2cos 1y sen y 
 e 
2 2sen y x
 então 
2cos 1y x 
, 
assim 
 
2
1
1
xD arcsen u
u


, para 
1x 
. A função inversa não é diferenciável em 
1
 
(ii) Demonstração análoga para 
 
2
1
arccos
1
x xD u D u
u
 

 
 
(iii) Veremos agora a demonstração do 
  2
1
arc
1
x xD tg u D u
u


 
Fazendo: 
 
 
y arctgx
 e 
tgy x
 para 
2 2
y
 
  
, Diferenciando 
tgy x
 
implicitamente, temos: 
 
 4 
2sec 1xyD y 
 conseqüentemente 
  2
1
arc
sec
xD tg u
y

 , como 
2 2sec 1y tg y 
 e 
2 2tg y x
 
obtemos 
2 2sec 1y x 
 assim 
  2
1
arc
1
xD tg u
x


 
 
(iv) 
secy arc x
 e 
sec y x
 
 
Como 
0
2
y

 
 ou 
3
2
y

  
, segue-se que 
   sec 0y tg y 
 e então, 
 
 
   
1
sec
sec
x xD arc x D y
y tg y
 
, como 
 
 
  2 2sec 1 1tg y x   
, obtemos 
 
 
 
2
1
arcsec
1
x xD u D u
u u


 
 
Para 
1x 
 a função inversa da secante não é diferenciável em 
1x  
 
 
1.7. Integrais de funções trigonométricas inversas 
 
Integrais das funções inversas seno, tangente, e secante 
 
(i) 
2
1
1
u
du arcsen C
au
 


 
 
(ii) 
2 2
1 1 u
du arctg C
a u a a
 

 
 
(iii) 
2 2
1
sec
u
du arc C
au u a
 


 
 
Demonstração: 
 
(ii) Fazendo 
u x
 temos 
 
22 2 2
1 1 1
1
du dx
a u a x
a

  
  
 
 
 (1) 
 
 5 
Mudando (1) da variável x para a variável v, 
x
v
a

, 
1
dv dx
a
 
  
 
 temos: 
 
22 2
1 1 1 1
1
du dx
a u a ax
a
 
  
  
 
 
 
 
2 2 2
1 1 1
1
du dv
a u a v

  
 
 
 2 2
1 1
du arctg v C
a u a
 

 
 
2 2
1 1 x
du arctg C
a u a a
 
  
  

 
 
Exemplo: 
 
Calcular 2
41
x
x
e
dx
e

 
 
Solução: Fazendo 
2xu e
 diferenciando temos 
22 xdu e dx
 
2
2
xdu e
 
 
 
2
4 2
2
1
1 1
x
x
x
e
dx dx
e e

 
 
 
 
2
4 2
1 1
21 1
x
x
e
dx du
e u

 
 
 
 
 
2
4
1
21
x
x
e
dx arcsen u C
e
 


 
 
 
2
2
4
1
21
x
x
x
e
dx arcsen e C
e
 


 
 
 
 
2. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
 6 
Definição: As funções seno hiperbólico, denotada por senh e co-seno hiperbólico, denotada 
por cosh se definem como 
 
 
2
x xe e
senhx


 e 
cosh
2
x xe e
x


 para todo real x. 
 
 
 
 
Os Gráficos 
 
 
 Co-seno hiperbólico Seno hiperbólico 
Fonte: Swokowski, 1994, p. 558 
 
Teorema. 
2 2cosh 1x senh x 
 
 
 
Demonstração: 
 
 
2 2
2 2cosh
2 2
x x x xe e e e
x senh x
     
     
   
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2cosh
4 4
x x x xe e e e
x senh x
    
  
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2cosh
4
x x x xe e e e
x senh x
     
  2 2
4
cosh 1
4
x senh  
 
 
 
 
 
Definição: 
 
 7 
 
 
 (i) 
cosh
x x
x e
senhx e e
tghx
x e e



 

 (ii) cos
h
x x
x x
hx e e
cotghx
sen x e e



 

 , 
0x 
 
 
 (iii) 
1 2
sec
cosh x x
hx
x e e
 

 (iv) 
1 2
sc
h x x
c hx
sen x e e
 

 , 
0x 
 
 
 
 
 
Gráficos: 
 
 
Fonte: Swokowski, 1994, p. 561 
 
 
 
Dividindo por 
2cosh x
 ambos os membros da identidade 
2 2cosh 1x senh 
 temos: 
 
2 2
2 2 2
cosh 1
cosh cosh cosh
x senh
x x
 
 
 
 (i) 
2 21 sectgh x h x
 
 
 8 
Dividindo por 
2hsen x
 ambos os membros da identidade 
2 2cosh 1x senh 
 temos: 
 
2 2
2 2 2
cosh 1
h h h
x senh x
sen x sen x sen x
 
 
 
(ii) 
2 2cot 1 scgh x c h x 
 
 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
 
 
Sendo 
 u g x
 e 
g
 diferenciáveis 
 
(i) 
coshx xD senhu uD u
 (ii) 
cos hx xD hu sen uD u
 
 
(iii) 
2sechx xD tghu uD u
 (iv) 
2cot cschx xD ghu uD u 
 
 
 (v) 
sec sechx xD hu uthuD u 
 (vi) 
csc csch cotx xD hu u ghuD u 
 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO 
 
 
(i) 
cosh
2 2
x x x x
x x
e e e e
D senhx D x
   
   
 
 
 
 
(ii) 
s h
2 2
x x x x
x x
e e e e
D coshx D en x
   
   
 
 
 
(iii) 
cosh
x x
senhx
D tghx D
x

 
 
 
2
cosh cosh
cosh
x x
x
xD senhx senhxD x
D tghx
x


 
 
 2 2
2
2 2 2
cosh cos h cosh 1
sec
cosh cosh cosh
x
x hx senhxsen x x senh x
D tghx h x
x x x
 
   
 
 
 
 9 
INTEGRAIS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
 
 
(i) 
coshsenhxdx x c 
 (ii) 
cos hhxdx sen x c 
 
 
 (iii) 
2sech xdx tghx c 
 (iv) 
2csc cot hh xdx g x c  
 
 
(v) 
sec chhxtghxdx se x c  
 (vi) 
sc chc hxctghxdx cs x c  
 
 
(vii) 
2
sec axhaxdx arctge c
a
 
 (viii) 
1
csc lnt h
2
ax
haxdx g
a

 
 
(ix) 
1
ln coshtghaxdx ax c
a
 
 (x) 
1
ln hcotghaxdx sen ax c
a
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS. 
 
Determine 
 'f x
 para 
 f x
 dada. 
 
1. 
   5f x senh x
 2. 
   2 1f x senh x 
 3. 
   3f x senh x
 
 
4. 
   3coshf x x
 5 
   f x xtgh x
 6. 
    f x arctg tagh x
 
 
7. 
 
1
f x ctgh
x
 
  
 
 8. 
 
 
 
cot
cot
gh x
f x
g x

 9. 
 
 2
2
sec
1
h x
f x
x


 
 
Calcule a integral 
 
1. 
 2 3coshx x dx
 2. 
1
sec 7
dx
h x
 3. 
senh x
dx
x

 4. 
 22xsenh x dx
 
 
5. 
2
1
cos 3
dx
h x
 6. 
 2sec 5h x dx
 7 
2 1sec
2
c h x dx
 
 
 

 8. 
cot hg xdx
 
 
9. 
   3 sec 3tgh x h x dx
 10. 
   6 sec 6cotgh x co h x dx
 
 
 10 
FUNÇOES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
 
A função seno hiperbólico é contínua e crescente para todo 
x
 e, por conseguinte admite uma 
função inversa contínua crescente, denotada por argsenhx ou 
1senh x
 como o seno 
hiperbólico é definida em temos de 
e
, é de se esperar que argsenhx possa expressar-se em 
termos da inversa, ln, da função exponencial natural. 
 
Teorema: 
 
 
(i) 
 1 2ln 1senh x x x   
 
 
(ii) 
 1 2cos ln 1 1h x x x x    
 
 
(ii) 
1 1 1ln , x 1
2 1
x
tgh x
x
  

 
 
(iv) 2
1 1 1sec ln , 0 1
x
h x x
x
    
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO 
 
 
(i) 
1arg ,y senh x
 se e somente se 
x senhy
 
 
 
2
y ye e
x senhy

 
 
 
2 0,y ye x e  
 multiplicando ambos os membros por 
ye
 temos 
 
2 2 1 0,y ye xe  
 
 
Resolvendo a equação temos: 
 
2 21, como 1 0 e nunca é negativa, devemos ter:y ye x x x x e     
 
 
2 1ye x x  
, aplicando 
ln
 em ambos os membros temos: 
 
 2ln ln 1ye x x  
 
 11 
 2ln 1y x x  
 
 
Isto é, 
 2arg ln 1senhx x x  
 
(ii) 
1argcos ,y h x
 se e somente se 
cosx hy
, 
0y 
 
 
 
cos
2
y ye e
x hy

 
 
 
 
2 0,y ye x e  
 multiplicando ambos os membros por 
ye
 temos 
 
 
2 2 1 0,y ye xe  
 
 
Resolvendo a equação temos: 
 
2 1, ye x x  
 
 
2 1ye x x  
, aplicando 
ln
 em ambos os membros temos: 
 2ln ln 1ye x x  
 
 
 2ln 1y x x  
 
 
Isto é, 
 2argcos ln 1hx x x  
 
(iii) 
arg ,y tghx
 se e somente se 
x tghy
, para 
1x 
 
 
y y
y y
e e
x tghy
e e



 

 

 y y
y y
e e
x
e e





 
 
y y y ye e xe xe   
 multiplicando ambos os membros por 
ye
 temos 
 
2 21y ye xe x  
 

 
2 2 1y ye xe x  
 
 
 2 2
1 1
1 1
1 1
y y yx xe x x e e
x x
 
      
 
 

 121
1
y xe
x
 
  
 
 
 
aplicando 
ln
 em ambos os membros temos: 121 1 1
ln ln ln
1 2 1
y yx xe e
x x
    
     
    
 
 12 
Isto é, 
1 1
arg ln
2 1
x
tghx
x



 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
 
Teorema: 
 
 
 (i) 
2
1
arg
1
x xD senhu D u
u


 
 
 (ii) 
2
1
argcos , 1
1
x xD hu D u u
u
 

 
 
 (ii) 
2
1
arg , 1
1
x xD tghu D u x
u
 

 
 
 (iv) 
2
1
arg c , 0 1
1
x xD se hu D u u
u u

  

 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
(i) 
 2arg ln 1x xD senhu D x x  
 
 
 
 
2
2
2 2 22 2
1 1 1
ln 1 1
1 1 11 1
x
x x x
D x x
x x x xx x x
   
      
      
 
Exemplo. 
 
Se 
 argy senh tgx
 calcule 
dy
dx
 
 
Solução: 
 
22
2 2 2
1 1 1 1
arg sec sec sec
sec1 1 sec
x x
d
D senhu D u tgx x x x
dx xu tg x
    
 
 
 
 
INTEGRAIS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
 
Teorema. 
 13 
 
(i) 
 2 2
2 2
1
arg ln para 0
u
du senh c u a u d a
aa u
      


 
 
 (ii) 
 2 2
2 2
1
arg ln para 0
u
du cosh c u a u d a u
au a
       


 
 
 (iii) 
 2 22 2
1
arg ln para x
u
du senh c u a u d a
a u a
      

 
 
 (iv) 
 2 2
2 2
1 1
arg ln para x
u
du senh c u a u d a
a au a u
       


 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
Determine 
 'f x
 para 
 f x
 dada. 
 
1. 
   arg 5f x senh x
 2. 
  arg xf x senhe
 3. 
  argf x cosh x
 
 
4. 
  argcoshf x x
 5 
   arg 4f x tgh x 
 6. 
   arg 3f x tgh sen x
 
 
7. 
  2argsecf x hx
 8. 
 
2
1
arg
f x
senhx

 9. 
  argsec 1f x h x 
 
Calcule a integral. 
 
a) 
2
1
81 16
dx
x

 b) 
2
1
16 9
dx
x 

 c) 
2
1
49 4
dx
x
 d) 
21 cos
senx
dx
x

 
 
e) 
2 16
x
x
e
dx
e 

 f) 
2
2
5 3
dx
x
 g) 
4
1
9
dx
x x

 h) 
2
1
5 x
dx
e

 
 
 
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: 
 
 SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books do 
 Brasil, 1994. 
 ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman 
2000