Trigonometria e Números Complexos

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Trigonometria e
Números Complexos
Universidade do Sul de Santa Catarina
Disciplina na modalidade a distância
Trigonom
etria e Núm
eros Com
plexos
Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Trigonometria e 
Números Complexos
Disciplina na modalidade a distância
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina | Campus UnisulVirtual | Educação Superior a Distância
Reitor
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Chefe de Gabinete da Reitoria 
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Acadêmica
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Tenille Catarina
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Internacionais 
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Qualidade de EAD
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Coordenação Cursos
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Tatiana Lee Marques
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Coordenadores Pós-Graduação
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Bernardino José da Silva
Carmen Maria Cipriani Pandini
Daniela Ernani Monteiro Will
Giovani de Paula
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Luiz Otávio Botelho Lento
Roberto Iunskovski
Rodrigo Nunes Lunardelli
Rogério Santos da Costa
Thiago Coelho Soares
Vera Rejane Niedersberg Schuhmacher
Gerência Administração
Acadêmica
Angelita Marçal Flores (Gerente)
Fernanda Farias
Secretaria de Ensino a Distância
Samara Josten Flores (Secretária de Ensino)
Giane dos Passos (Secretária Acadêmica)
Adenir Soares Júnior
Alessandro Alves da Silva
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Cristina Mara Schauffert
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Douglas Silveira
Evilym Melo Livramento
Fabiano Silva Michels
Fabricio Botelho Espíndola
Felipe Wronski Henrique
Gisele Terezinha Cardoso Ferreira
Indyanara Ramos
Janaina Conceição
Jorge Luiz Vilhar Malaquias
Juliana Broering Martins
Luana Borges da Silva
Luana Tarsila Hellmann
Luíza Koing  Zumblick
Maria José Rossetti
Marilene de Fátima Capeleto
Patricia A. Pereira de Carvalho
Paulo Lisboa Cordeiro
Paulo Mauricio Silveira Bubalo
Rosângela Mara Siegel
Simone Torres de Oliveira
Vanessa Pereira Santos Metzker
Vanilda Liordina Heerdt
Gestão Documental
Lamuniê Souza (Coord.)
Clair Maria Cardoso
Daniel Lucas de Medeiros
Jaliza Thizon de Bona
Guilherme Henrique Koerich
Josiane Leal
Marília Locks Fernandes
Gerência Administrativa e 
Financeira
Renato André Luz (Gerente)
Ana Luise Wehrle
Anderson Zandré Prudêncio
Daniel Contessa Lisboa
Naiara Jeremias da Rocha
Rafael Bourdot Back 
Thais Helena Bonetti
Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa e 
Extensão
Janaína Baeta Neves (Gerente)
Aracelli Araldi
Elaboração de Projeto
Carolina Hoeller da Silva Boing
Vanderlei Brasil
Francielle Arruda Rampelotte
Reconhecimento de Curso
Maria de Fátima Martins 
Extensão
Maria Cristina Veit (Coord.)
Pesquisa
Daniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC)
Mauro Faccioni Filho (Coord. Nuvem)
Pós-Graduação
Anelise Leal Vieira Cubas (Coord.)
Biblioteca
Salete Cecília e Souza (Coord.)
Paula Sanhudo da Silva
Marília Ignacio de Espíndola
Renan Felipe Cascaes
Gestão Docente e Discente
Enzo de Oliveira Moreira (Coord.)
Capacitação e Assessoria ao 
Docente
Alessandra de Oliveira (Assessoria)
Adriana Silveira
Alexandre Wagner da Rocha
Elaine Cristiane Surian (Capacitação)
Elizete De Marco
Fabiana Pereira
Iris de Souza Barros
Juliana Cardoso Esmeraldino
Maria Lina Moratelli Prado
Simone Zigunovas
Tutoria e Suporte
Anderson da Silveira (Núcleo Comunicação)
Claudia N. Nascimento (Núcleo Norte-
Nordeste)
Maria Eugênia F. Celeghin (Núcleo Pólos)
Andreza Talles Cascais
Daniela Cassol Peres
Débora Cristina Silveira
Ednéia Araujo Alberto (Núcleo Sudeste)
Francine Cardoso da Silva
Janaina Conceição (Núcleo Sul)
Joice de Castro Peres
Karla F. Wisniewski Desengrini
Kelin Buss
Liana Ferreira
Luiz Antônio Pires
Maria Aparecida Teixeira
Mayara de Oliveira Bastos
Michael Mattar
Patrícia de Souza Amorim
Poliana Simao
Schenon Souza Preto
Gerência de Desenho e 
Desenvolvimento de Materiais 
Didáticos
Márcia Loch (Gerente)
Desenho Educacional
Cristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD)
Roseli A. Rocha Moterle (Coord. Pós/Ext.)
Aline Cassol Daga
Aline Pimentel
Carmelita Schulze
Daniela Siqueira de Menezes
Delma Cristiane Morari
Eliete de Oliveira Costa
Eloísa Machado Seemann
Flavia Lumi Matuzawa
Geovania Japiassu Martins
Isabel Zoldan da Veiga Rambo
João Marcos de Souza Alves
Leandro Romanó Bamberg
Lygia Pereira
Lis Airê Fogolari
Luiz Henrique Milani Queriquelli
Marcelo Tavares de Souza Campos
Mariana Aparecida dos Santos
Marina Melhado Gomes da Silva
Marina Cabeda Egger Moellwald
Mirian Elizabet Hahmeyer Collares Elpo
Pâmella Rocha Flores da Silva
Rafael da Cunha Lara
Roberta de Fátima Martins
Roseli Aparecida Rocha Moterle
Sabrina Bleicher
Verônica Ribas Cúrcio
Acessibilidade 
Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) 
Letícia Regiane Da Silva Tobal
Mariella Gloria Rodrigues
Vanesa Montagna
Avaliação da aprendizagem 
Claudia Gabriela Dreher
Jaqueline Cardozo Polla
Nágila Cristina Hinckel
Sabrina Paula Soares Scaranto
Thayanny Aparecida B. da Conceição
Gerência de Logística
Jeferson Cassiano A. da Costa (Gerente)
Logísitca de Materiais
Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.)
Abraao do Nascimento Germano
Bruna Maciel
Fernando Sardão da Silva
Fylippy Margino dosSantos
Guilherme Lentz
Marlon Eliseu Pereira
Pablo Varela da Silveira
Rubens Amorim
Yslann David Melo Cordeiro
Avaliações Presenciais
Graciele M. Lindenmayr (Coord.)
Ana Paula de Andrade
Angelica Cristina Gollo
Cristilaine Medeiros
Daiana Cristina Bortolotti
Delano Pinheiro Gomes
Edson Martins Rosa Junior
Fernando Steimbach
Fernando Oliveira Santos
Lisdeise Nunes Felipe
Marcelo Ramos
Marcio Ventura
Osni Jose Seidler Junior
Thais Bortolotti
Gerência de Marketing
Eliza B. Dallanhol Locks (Gerente)
Relacionamento com o Mercado 
Alvaro José Souto
Relacionamento com Polos 
Presenciais
Alex Fabiano Wehrle (Coord.)
Jeferson Pandolfo
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Mayara Pereira Rosa
Luciana Tomadão Borguetti
Assuntos Jurídicos
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Marketing Estratégico
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Portal e Comunicação
Catia Melissa Silveira Rodrigues
Andreia Drewes
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Rafael Pessi
Gerência de Produção
Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)
Francini Ferreira Dias
Design Visual
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Alberto Regis Elias
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Diogo Rafael da Silva
Edison Rodrigo Valim
Fernanda Fernandes
Frederico Trilha
Jordana Paula Schulka
Marcelo Neri da Silva
Nelson Rosa
Noemia Souza Mesquita
Oberdan Porto Leal Piantino
Multimídia
Sérgio Giron (Coord.)
Dandara Lemos Reynaldo
Cleber Magri
Fernando Gustav Soares Lima
Josué Lange
Conferência (e-OLA)
Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.)
Bruno Augusto Zunino 
Gabriel Barbosa
Produção Industrial
Marcelo Bittencourt (Coord.)
Gerência Serviço de Atenção 
Integral ao Acadêmico
Maria Isabel Aragon (Gerente)
Ana Paula Batista Detóni
André Luiz Portes 
Carolina Dias Damasceno
Cleide Inácio Goulart Seeman
Denise Fernandes
Francielle Fernandes
Holdrin Milet Brandão
Jenniffer Camargo
Jessica da Silva Bruchado
Jonatas Collaço de Souza
Juliana Cardoso da Silva
Juliana Elen Tizian
Kamilla Rosa
Mariana Souza
Marilene Fátima Capeleto
Maurício dos Santos Augusto
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Monique Napoli Ribeiro
Priscilla Geovana Pagani
Sabrina Mari Kawano Gonçalves
Scheila Cristina Martins
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Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca | Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: cursovirtual@unisul.br | Site: www.unisul.br/unisulvirtual
Trigonometria e 
Números Complexos
Livro didático
Revisão e atualização de conteúdo
Rosana Camilo da Rosa
Paulo Henrique Rufino
Design Instrucional 
Roseli Rocha Moterle
4ª edição
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Eliane Darela
Paulo Henrique Rufino
Rosana Camilo da Rosa
Edição – Livro Didático
Professores Conteudistas
Eliane Darela
Paulo Henrique Rufino
Rosana Camilo da Rosa
Revisão e atualização de conteúdo
Paulo Henrique Rufino
Rosana Camilo da Rosa
Design Instrucional 
Karla Eleonora Dahse Nunes
Roseli Rocha Moterle (4ª edição)
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Diogo Silva (4ª edição)
Revisão
Diane Dal Mago
ISBN
978-85-7817-328-9
Copyright © UnisulVirtual 2011
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
516.24
R69 Rosa, Rosana Camilo da
Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo 
da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; revisão e atualização 
de conteúdo Rosana Camilo da Rosa, Paulo Henrique Rufino ; design 
instrucional [Karla Eleonora Dahse Nunes], Roseli Rocha Moterle. – 4. ed. – 
Palhoça : UnisulVirtual, 2011.
309 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7817-328-9
1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, 
Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Eleonora Dahse. IV. Moterle, Roseli Rocha. 
V. Título.
Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 - Estudando a trigonometria nos triângulos . . . . . . . . . . . . . . . 17
UNIDADE 2 - Conceitos básicos da trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
UNIDADE 3 - Estudando as funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
UNIDADE 4 - Estudando as relações, equações e inequações 
trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
UNIDADE 5 - Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 239
Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Biblioteca Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e 
Números Complexos.
O material foi elaborado com vista a uma aprendizagem 
autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e 
relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem 
didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, 
proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a 
um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada 
e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da 
UnisulVirtual. Nesse sentido, a “distância” fica caracterizada 
somente como a modalidade de ensino por que você optou para 
sua formação. É que, na relação de aprendizagem, professores e 
instituição estarão sempre conectados com você.
Então, sempre que sentir necessidade, entre em contato. 
Você tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso 
tais como: telefone, e-mail e o Espaço Unisul Virtual de 
Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o 
que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle 
e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior 
prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal 
objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual
Palavras dos professores
Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina 
Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos 
apresentados são de fundamental importância para sua 
formação profissional e são abordados de forma clara 
e objetiva, sempre salientando aspectos da História da 
Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico do 
Curso de Matemática Licenciatura.
É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar presente 
na sala de aula, logo, a formação de um profissional com 
competência para desenvolver atividades didáticas num 
contexto informatizado torna-se necessária. No decorrer 
desta disciplina, vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de 
diferentes softwares matemáticos.
Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos inseridos 
num contexto de Educação a Distância, e uma linguagem 
mais técnica poderia prejudicar o andamento dasatividades.
Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e leituras 
num ambiente virtual, e poderá refletir sobre aspectos didáticos 
na abordagem dos tópicos estudados com a utilização de 
recursos tecnológicos. Informamos que as tabelas e ilustrações 
sem indicação de fonte foram elaboradas pelos autores.
Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho, e 
dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, 
mas estaremos sempre em contato para sanar suas dúvidas. 
Procure manter suas atividades em dia e conte conosco.
Profª. Eliane Darela, Msc. 
Prof . Paulo Henrique Rufino. 
Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc. 
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo(a) no desenvolvimento 
da disciplina. Possui elementos que o(a) ajudarão a conhecer o 
contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva 
em conta instrumentos que se articulam e se complementam, 
portanto, a construção de competências se dá sobre a 
articulação de metodologias e por meio das diversas formas de 
ação/mediação.
São elementos desse processo:
 „ o livro didático;
 „ o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
 „ as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de 
autoavaliação); 
 „ o Sistema Tutorial.
Ementa
Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações 
trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas. 
Números Complexos. Operações e representações dos números 
complexos. Trigonometria e os números complexos.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Objetivos da disciplina
Geral
A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos 
no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, 
propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, 
observar, analisar e delinear conclusões, testando-as na resolução 
de problemas, formando uma visão ampla e científica da realidade.
Específicos
 „ Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no 
triângulo retângulo.
 „ Resolver problemas aplicando as relações fundamentais 
entre as razões trigonométricas.
 „ Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos 
na resolução de triângulos.
 „ Expressar e converter a medida de um ângulo de graus 
para radianos e vice-versa.
 „ Introduzir o conceito das funções circulares. 
 „ Reduzir arco ao 1º quadrante.
 „ Construir, ler e interpretar gráficos das funções 
trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos 
e ferramentas tecnológicas.
 „ Resolver equações e inequações trigonométricas.
 „ Resolver e simplificar expressões trigonométricas, 
aplicando as relações trigonométricas.
 „ Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.
13
Trigonometria e Números Complexos
 „ Compreender o conceito de números complexos.
 „ Identificar um número complexo na sua forma algébrica 
e representá-lo no plano de Argand-Gauss.
 „ Compreender os conceitos de módulo e argumento 
de um número complexo z. Apresentar a forma 
trigonométrica de z.
 „ Operar com números complexos na forma algébrica e 
trigonométrica.
Carga horária
A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula.
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta 
disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos 
resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de 
estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento 
de habilidades e competências necessárias à sua formação. 
Unidades de estudo: 5
Unidade 1 – Estudando a trigonometria nos triângulos
Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos 
triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos 
em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a 
resolução de problemas que envolvem situações reais.
14
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 2 – Conceitos básicos da trigonometria
Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à 
trigonometria na circunferência. Esses conceitos são 
fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência 
trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade. 
Unidade 3 – Estudando as funções trigonométricas 
As funções trigonométricas, também conhecidas como funções 
circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura 
gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos tecnológicos 
serão indispensáveis, pois facilitam as representações gráficas.
Unidade 4 – Estudando as relações, equações e inequações 
trigonométricas
O estudo das relações e transformações trigonométricas 
será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações 
trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, 
estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade, 
abordando equações e inequações trigonométricas.
Unidade 5 – Números complexos
Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado 
conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações 
na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação 
gráfica desse número.
15
Trigonometria e Números Complexos
Agenda de atividades/Cronograma
 „ Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar 
periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus 
estudos depende da priorização do tempo para a leitura, 
da realização de análises e sínteses do conteúdo e da 
interação com os seus colegas e professor.
 „ Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço 
a seguir as datas com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
 „ Use o quadro para agendar e programar as atividades 
relativas ao desenvolvimento da disciplina.
Atividades obrigatórias
Demais atividades (registro pessoal)
UNIDADE 1
Estudando a trigonometria 
nos triângulos
Objetivos de aprendizagem
„ Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no 
triângulo retângulo.
„ Resolver problemas aplicando as relações fundamentais 
entre as razões trigonométricas.
„ Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos 
na resolução de triângulos.
Seções de estudo
Seção 1 Introdução à trigonometria
Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
Seção 3 Relações trigonométricas em um triângulo 
qualquer: lei dos senos e dos cossenos
1
18
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas 
diretamente, outras são obtidas de modo indireto. A largura 
de uma sala, por exemplo, pode ser medida com uma trena, 
o comprimento de uma estrada pode ser medido, por meio 
de um hodômetro instalado em um automóvel que percorra 
a estrada do início ao fim. Em ambos os casos, essa medida 
é encontrada de modo direto. Já a distância da Terra até a 
Lua só pode ser obtida de modo indireto.
A trigonometria é uma ferramenta importante para a 
resolução de problemas que envolvem grandes distâncias 
como os de engenharia, navegação e astronomia. 
Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo 
retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em 
triângulos quaisquer. A contextualização da trigonometria, 
por ser de suma importância, será abordada no 
desenvolvimento das atividades.
Seção 1 – Introdução à trigonometria
O que é trigonometria?
Tri = três
gonos = ângulos
metria = medição
Logo, trigonometria significa medição de três ângulos.
19
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Você sabia...
Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo 
reto (90º).
O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade 
de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que 
as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O 
astrônomo grego Aristarcode Samos (310 a.C. – 230 a.C.) foi 
um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, 
a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos 
lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos. 
Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com 
o astrônomo grego Hiparco de Niceia (190 a.C. – 125 a.C.), 
também conhecido como o Pai da Trigonometria, por ter 
estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos 
de um triângulo.
A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as 
medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de 
distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, 
torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.
Também encontram-se aplicações da trigonometria na 
engenharia, na mecânica, na eletricidade, na acústica, na 
medicina e até na música.
20
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 2 – Definindo as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da 
trigonometria está associado à descoberta de constantes nas 
relações entre os lados de um triângulo retângulo.
Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista 
de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:
 „ Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, ele fica 
a uma altura de 30 metros, e o seu deslocamento na 
horizontal é de 40 metros;
 „ Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, ele fica 
a uma altura de 45 metros, e o seu deslocamento na 
horizontal é de 60 metros;
 „ Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, ele 
fica a uma altura de 60 metros, e o seu deslocamento na 
horizontal é de 80 metros.
Figura 1.1 - Representação da situação problema
Na Figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e 
ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o 
skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três 
momentos considerados.
21
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.2 - Representação da distância percorrida e da altura
Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU
Logo: BSAS
CT
AT
DU
AU
= = → = = =
30
50
45
75
60
100
0 6, (valor
constante).
Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos 
retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS, 
CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e 
AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das 
medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos 
por sen α.
Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na 
horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista, 
para os três momentos considerados.
Figura 1.3 - Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal
 
Temos: 
AB
AS
AC
AT
AD
AU
= = → = = =
40
50
60
75
80
100
0 8, (valor 
constante).
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos 
retângulos da Figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, 
AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e 
AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das 
medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e 
simbolizamos por cos α.
Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a 
razão entre a medida da altura que o skatista atinge e o seu 
deslocamento na horizontal.
 
Figura 1.4 - Representação da altura e do deslocamento na horizontal
 
Temos: 
BS
AB
CT
AC
DU
AD
= = → = = =
30
40
45
60
60
80
0 75, (valor 
constante).
Você pode observar, na Figura 1.4, que em qualquer um dos 
triângulos retângulos, a razão entre a medida dos lados BS, CT 
e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AB, AC e AD, 
adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, independentemente das 
medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e 
simbolizamos por tg α.
Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do 
ângulo agudo α, são denominados razões trigonométricas 
do triângulo retângulo.
23
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Generalizando, tem-se:
 
Figura 1.5 - Triângulo retângulo
Na Figura 1.5 tem-se:
 „ O triângulo ABC é retângulo em A;
 „ O lado oposto ao ângulo reto denomina-se 
hipotenusa (a);
 „ Os lados b e c denominam-se catetos;
 „ O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α;
 „ O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β.
Você lembra do Teorema de Pitágoras?
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos:
a2=b2+c2
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, tem-se:
De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α. 
Que tal você rever agora alguns aspectos que 
caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da 
matemática?
Retrospectiva histórica
Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras 
escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas 
ideias é uma mistura de lenda e história real.
Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, 
por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, também 
esteve no Egito, mas por desavenças com o tirano 
Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona, ao 
sul da Península Itálica, onde fundou uma sociedade 
voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais 
e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. 
Rapidamente, os membros desta sociedade passaram 
a ver números por toda a parte, concluindo que o 
Universo era regido por uma inteligência superior, 
essencialmente matemática.
25
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.6 – Pitágoras
Fonte: Pythagoras (2005).
Atualmente, não há documentos que justifiquem a afirmação 
de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira 
vez pelos pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais 
antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos 
babilônios, portanto, as ideias básicas do teorema poderiam ter 
suas origens em outras épocas bem mais remotas.
O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos 
irracionais, mas seu mérito máximo consistiu em provocar 
uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática, que 
contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia.
Saiba mais
Você poderá enriquecer mais esta leitura lendo Boyer, 
Carl Benjamin, 1994 – História da Matemática.
Ângulos notáveis
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, uma vez que 
aparecem frequentemente nos problemas de geometria. Apresentamos 
a dedução dos valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 
45º. Os outros dois ângulos você mesmo fará, ao resolver o exercício 1 
das atividades de autoavaliação ao final desta unidade.
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis 
em uma única tabela:
27
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Tabela 1.1 – Razões trigonométrias dos ângulos notáveis
Considerando as definições das razões trigonométricas e utilizando 
processos mais sofisticados de medidas de ângulos e segmentos, 
podemos construir uma tabela de valores trigonométricos para 
consultar quando encontrarmos situações que não envolvam 
ângulos notáveis. Em anexo, encontra-se uma tabela que fornece as 
razões trigonométricas dos ângulos de 1º a 89º. 
Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos, 
utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares 
matemáticos.
Você sabia...
Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é 
identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan.
28
Universidade do Sulde Santa Catarina
Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas 
para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será 
um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até 
o presente momento.
1) Calcule o valor de x:
Figura 1.7 - Triângulo retângulo
Na Figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida 
x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao 
cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar 
será a tangente.
tg 
tg 
55
55
3
1 428
3
4
,
,
=
=
=
=
cateto oposto
cateto adjacente
x
x
x 2284cm
2) Determine o valor de x:
Figura 1.8 - Triângulo retângulo
29
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Agora você observa na Figura 1.8, que a medida desconhecida é 
o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale 
16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para 
encontrar a medida x.
sen cateto oposto
hipotenusa
sen
 
 
30
30
16
1
2 16
2 16
8
=
=
=
=
=
x
x
x
x cmm
3) Encontre o valor de x:
Figura 1.9 - Triângulo retângulo
Na Figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 
cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a 
razão cosseno para descobrir o valor de x.
cos cateto adjacente
hipotenusa
cos 
60
60 10
1
2
10
20
=
=
=
=
x
x
x cm
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
E então? 
Você sentiu dificuldade para compreender os 
exemplos?
Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. 
Caso não compreenda, entre em contato com 
o(a) professor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de 
Aprendizagem).
Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, 
observe os problemas abaixo:
P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo 
que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra dele, 
projetada no solo, mede 2,4 m.
Modelo real Modelo matemático
 
Figura 1.10 - Modelo real e matemático do problema P1
Solução:
A partir da Figura 1.10, você pode observar a situação 
apresentada no problema P1 e perceber que a solução será 
encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. Observe 
que a altura do poste, representada por x, é o cateto oposto ao 
ângulo de 68º e a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é 
de 2,4 m, que corresponde à sombra do poste.
31
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Lembre-se:
A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela 
trigonométrica.
Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.
P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim de 
semana, parte da sua cidade situada no nível do mar, seguindo 
por uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que 
altitude esta família estará?
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.11 - Modelo real e matemático do problema P2
Solução:
Analisando a Figura 1.11, você observa a situação apresentada 
no problema P2 e percebe que a solução será encontrada 
por meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a 
família se encontra está representada por x, sendo denotada por 
cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que 
corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros.
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros.
P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa 
de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão 
utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma 
distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 
1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º. 
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.12 - Modelo real e matemático do problema P3
Solução:
A situação apresentada no problema P3 está representada na 
Figura 1.12, e você pode perceber que a solução será encontrada 
por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está 
representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 
20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância 
entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros.
33
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros, 
logo, devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 + 
1,50 = 19,70 metros. 
Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros.
Você sabia...
Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir 
ângulos horizontais e verticais.
Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas 
vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo 
três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um 
deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões 
necessárias para uma aplicação prática. 
Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco.
Retrospectiva histórica
Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com o 
astrônomo grego Hiparco de Niceia (190 a.C. – 125 a.C.). Esse 
grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os 
eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de 
calendários mais precisos e maior segurança na navegação.
Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os 
elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a 
tabela trigonométrica.
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Niceia, em 
data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes. 
No tempo de Hiparco, a filosofia pitagórica havia estabelecido 
um preconceito meramente especulativo: o de que os astros 
descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o 
preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos 
celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como 
fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas desse mundo 
imperfeito e não da eterna impassividade celeste.
Foram ideias como essa que Hiparco refutou, com base nas 
observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de 
mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C. 
No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo 
campo da matemática, a trigonometria.
Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da 
obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha sido importante, 
pela influência que exerceu sobre cientistas posteriores.
Seção 3 – Relações trigonométricas em um triângulo 
qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas 
em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar 
outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você 
estudará a seguir valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. 
Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste 
momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a 
parte teórica, desses ângulos, para outros estudos.
Saiba mais
Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior 
que 90º.
35
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Lei dos senos
Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de sua 
fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar dois 
postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem do fio. 
Para fazer este projeto, é necessário saber a distância entre 
os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta. 
Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro 
posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois 
postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a 
linha de visão dele e os postes foi de 120º.Seu ajudante mediu a 
distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 
metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais 
próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º. 
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.13 - Modelo real e matemático do problema enunciado
Note que no modelo matemático da Figura 1.13, temos o 
triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é 
a resolução do problema. Para encontrarmos essa medida, vamos 
estudar a lei dos senos, cujo teorema é enunciado abaixo.
Teorema
Em todo o triângulo, as medidas dos lados são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos:
a b c
senA senB senC
^ ^ ^
= =
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
Considere o triângulo ABC representado na Figura 1.14:
 
Figura 1.14 - Lei dos senos
Agora observe a resolução do problema!
 
Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente 
122,47 metros.
Na sequência, acompanhe a demonstração dessa lei.
37
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Existem três casos a considerar:
 „ O triângulo ABC é retângulo;
 „ O triângulo ABC é obtusângulo;
 „ O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os 
outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19 
das atividades de autoavaliação, ao final desta unidade.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na 
Figura 1.15:
 
Figura 1.15 - Representação do triângulo para demonstração
Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC, 
respectivamente.
No triângulo retângulo AH1C, temos que
sen C senC
^
1
^
= ⇒ =
h
b
h b
1
. . [1]
No triângulo retângulo AH1B, temos que
sen B sen B
^
1
^
= ⇒ =
h
c
h c
1
. . [2]
Comparando [1] e [2], temos:
b.senC
^
 = c.sen B
^
 ⇒ = 
sen B senC
^ ^
b c [A]
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
No triângulo retângulo BH2C, temos que
sen C senC
^
2
^
= ⇒ =
h
a
h a
2
. . [3]
No triângulo retângulo AH2B, temos que
sen A senA
^
2
^
= ⇒ =
h
c
h c
2
. . [4]
Comparando [3] e [4], temos:
a.senC
^
 = c.senA
^
 ⇒ = 
senA senC
^ ^
a c [B]
De [A] e [B] podemos concluir que:
a b c
senA senB senC
^ ^ ^
= =
Lei dos cossenos
Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é 
necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e 
B, conforme a Figura a seguir. O engenheiro responsável pela 
obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a 
medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir 
qual a extensão da ponte. 
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.16 - Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.
39
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo ABC, 
obtusângulo representado na Figura 1.16, e descobrir a medida do 
lado AB é a resolução do problema. A aplicação da lei dos cossenos é 
a solução deste problema. Observe o que diz o teorema:
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado 
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros 
dois lados, menos duas vezes o produto das medidas 
desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto 
àquele lado, ou seja:
a b c b c A
b a c a c B
c a b a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
. . .cos
. . .cos
. . .cos
^
^
CC
^
Figura 1.17 - lei do cossenos
Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na 
Figura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos 
encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos: 
AB AC BC AC BC
d
d
2 2 2
2 2 2
2
2 120
30 50 2 30 50 0 5
900
= + −
= + − −
=
. . .cos ∫
. . .( , )
++ +
=
=
=
2500 1500
4900
4900
70
2d
d
d m
Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
Na sequência, acompanhe a demonstração dessa lei.
Existem três casos a considerar:
 „ O triângulo ABC é retângulo;
 „ O triângulo ABC é obtusângulo;
 „ O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Na 
seleção das atividades de autoavaliação, você resolverá a atividade 
18, que contempla o segundo e o terceito caso, em que  é reto e 
 é obtuso, respectivamente.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na 
Figura 1.18:
Figura 1.18 - Representação do triângulo para demonstração
Demonstração:
O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do 
triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB.
Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois 
triângulos retângulos , de acordo com a 
Figura 1.19.
41
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.19 - Representação dos triângulos para demonstração.
Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos, 
temos:
b2 = m2 + h2 a2 = h2 +(c-m)2 
h2 = b2 - m2 [1] a2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]
Substituindo [1] em [2], temos:
a2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2 
a2 = b2 + c2 -2.c.m [3]
Note no triângulo AHC ^ que temos: cosA m
b
^
=
Logo m = b.cos [4]
Substituindo [4] em [3], temos:
a2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ
De forma análoga, você demonstra que:
b2 = a2 + c2 -2.a.c. cos B^ .
c2 = a2 + b2 -2.a.b. cos C^ .
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva histórica
Considerado o mais 
eminente matemático do 
século XVI, François Viète 
(1540-1603) contribuiu 
bastante para o avanço do 
estudo da trigonometria. 
A forma atual da expressão 
do teorema dos cossenos foi 
estabelecida por ele.
Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria
O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da 
trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito 
à visualização de vários conceitos explorados no triângulo 
retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos 
o software Thales. 
Síntese
Nesta unidade, você estudou as razões trigonométricas, as leis 
do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter 
observado que os conteúdos abordados são muito úteis para 
calcular distâncias inacessíveis. Você deverá resolver os exercícios 
da autoavaliação e esclarecido todas as suas dúvidas com o 
professor para prosseguir seus estudos.
Figura 1.20 - François Viète
Fonte: François (2005).
43
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Atividades de autoavaliação
1) Considerando o triângulo equilátero ABC de lado a, deduza os valores 
do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.
2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?
3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:
a)
 
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
b)
4) Considere o trapézio retângulo ABCD da Figura e determine as medidas 
x e y indicadas:
5) Observando a seguinte Figura, determine:
a) O valor de a;
b) O valor de b;
c) A medida do segmento AD.
45
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
6) Calcule o valor de x e y indicados na Figura abaixo:
7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 
40 cm, encontre a medida do lado BC.
8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, 
distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra 
margem, está situada de tal modoque AB seja perpendicular a AC e a 
medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.
9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a 
64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?
10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um 
ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 Km 
do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular 
à rodovia B. Qual à distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, 
indo por meio de C?
11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de 
Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. 
Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um 
ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível 
do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância 
está o estudante do mesmo.
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
12) Determine na Figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a 
medida do lado AC é 3 3cm .
13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm; 
med( )=60º e med( )=75º.
 
14) Determine o valor de x na Figura abaixo:
15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?
47
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao 
menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto 
ao ângulo de 60º do triângulo?
17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor 
ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor 
das diagonais deste paralelogramo.
18) Prove a lei dos cossenos quando:
a) o ângulo  for reto.
b) o ângulo  for obtuso.
19) Prove a lei dos senos quando:
a) o ângulo  for reto.
b) o ângulo  for obtuso.
Desafios na trigonometria
1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o 
valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, 
se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?
2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e 
bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A 
casa está a 80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado 
pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se 
pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, 
quantos metros de encanamento são necessários?
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas 
a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em 
vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia, 
Mecânica etc. 
Para saber mais sobre estas aplicações, leia a página 67 do livro de 
Manoel Paiva, Editora Moderna, volume 2, 1ª edição, 2009. Lá 
você verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol e a Terra e 
a Lua.
UNIDADE 2
Conceitos básicos da 
trigonometria
Objetivos de aprendizagem
„ Expressar e converter a medida de um ângulo de graus 
para radianos e vice-versa.
„ Calcular a primeira determinação positiva de arcos 
maiores que 360º.
„ Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de 
0º a 360º. 
„ Reduzir arco ao 1º quadrante.
Seções de estudo
Seção 1 Arcos e ângulos 
Seção 2 Conhecendo a circunferência trigonométrica
Seção 3 Seno e cosseno na circunferência 
trigonométrica
Seção 4 Simetrias
Seção 5 Redução ao primeiro quadrante
2
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. 
A trigonometria passará a ocupar toda uma circunferência, 
ou seja, o objeto de estudo desta unidade é definir as razões 
seno e cosseno, estudadas anteriormente, na circunferência 
trigonométrica, também conhecida como circunferência unitária.
Você estudou a trigonometria com o objetivo de resolver 
problemas utilizando os triângulos retângulos, isto é, utilizou a 
trigonometria na forma com a qual ela apareceu há milhares de 
anos. Nas seções a seguir, serão abordados o seno e o cosseno de 
forma mais acentuada, trabalhando a trigonometria como uma 
necessidade atual da Matemática.
Seção 1 – Arcos e ângulos
Considere a circunferência na Figura 2.1.
Figura 2.1 - Arco de circunferência
Observe que os pontos A e B dividem a circunferência 
em duas partes. Essas partes são denominadas arcos de 
circunferência.
51
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Temos:
 „ o arco , em que o ponto A é a origem e B é a 
extremidade do arco;
 „ o arco , em que o ponto B é a origem e A é a 
extremidade do arco.
Você sabia...
 „ Arco nulo é o ponto;
 „ Arco de uma volta é a 
circunferência. 
Ângulo central
Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da 
circunferência. 
Observe a Figura 2.2:
Figura 2.2 - Ângulo Central
A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.
A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α.
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Note que a medida de um arco não representa a medida do 
comprimento desse arco. 
Observe a Figura 2.3:
Figura 2.3 - Arcos de circunferência
Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, 
possuem comprimentos diferentes, m e n, respectivamente.
Unidades de medida de arcos e ângulos
Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e 
ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.
 „ Grau
Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes 
iguais. O grau é uma dessas 360 partes:
 da circunferência.
53
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Você sabia...
Existe uma terceira unidade de medida de arco que é 
o grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 
do arco completo da circunferência, na qual estamos 
medindo o arco.
Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.
 
do grau.
 do minuto.
Radiano
Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe 
a Figura 2.4:
Figura 2.4 - Radiano
Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtido 
será igual à do raio.
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
Relação entre grau e radiano
Lembre-se que o comprimento de uma circunferência 
é calculado pela fórmula , em que r é o raio 
da circunferência.
Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de 
circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a seguinte relação:
360º → 2π rad ou 180º → π rad
É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três unidades:
Tabela 2.1 – Relação entre grau, grado e radiano
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano π/2 π 3π/2 2π
Observação: 
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o 
radiano:
1) Vamos converter 300º em radianos.
55
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Note que você deverá usar a simplificação até transformar a 
fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma 
de fração e não em forma decimal.
2) Transforme em graus.
Como já se viu que π rad → 180º, tem-se:
3) Vamos transformar 15º 30 ’ em radianos.
Primeiro, transforma-se 15º 30 ’ em minutos:
1º = 60’
15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’
Agora, transforma-se 180º também em minutos:
180º = 180.60’ = 10800’
Então, tem-se:
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
Comprimento de arco de circunferência
Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não 
representa o seu comprimento, pois esse depende do raio da 
circunferência em que esteja contido. 
Por exemplo, um arco de 60º tomado sobre uma 
circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um 
arco também de 60º, tomado sobre uma circunferência de 
7cm de raio.
Então, tem-se:
Sendo AÔB, um ângulocentral de medida α rad e , o arco de 
comprimento , pode-se estabelecer:
Comprimento do arco Medida do arco
 r _________________________ 1 rad
 _________________________ α rad
que fornece a relação =α . r
Essa relação permite calcular o comprimento de um arco 
de circunferência em função do raio e do ângulo central 
correspondente, medido em radianos.
Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de 
arco de circunferência.
1) Considere a circunferência representada na Figura 2.5:
57
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.5 - Comprimento de arco 
de circunferência
Determine, em cm, o comprimento do arco , sabendo que 
α =3 rad.
Resolução:
=α.r
=3.6
=18 cm
2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de 
raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?
3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm, 
executa o movimento de A para B, conforme mostra a Figura 
2.6. Determine o comprimento do arco descrito pela 
extremidade do pêndulo. Use π=3,14.
58
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Figura 2.6 - Pêndulo
Resolução:
O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm. 
O ângulo α =2.35º = 70º. 
Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você 
sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível 
utilizar a medida em graus.
Na sequência, calcula-se o comprimento do arco .
=α.r
59
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Verifique se você realmente compreendeu esta seção, 
resolvendo os exercícios propostos na autoavaliação. 
Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será 
abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu 
dificuldade em resolver os exercícios, procure sanar suas 
dúvidas com o professor, ou retome a seção novamente.
Seção 2 – Conhecendo a circunferência trigonométrica
Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma 
circunferência que conhecemos, só que com características 
específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 
unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele 
é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a 
Figura 2.7:
Figura 2.7 - Ciclo trigonométrico
 „ O centro da circunferência é O(0,0).
 „ O raio da circunferência é unitário, r = 1. 
 „ O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são 
medidos a partir de A.
 „ O sistema de coordenadas cartesianas divide a 
circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.
 „ Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se 
encontra sua extremidade.
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Veja alguns exemplos:
1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas 
são:
a) 130º
Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no 
sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele 
pertence a este quadrante.
b) -120º
Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no 
sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele 
pertence a este quadrante.
61
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
c) 
Neste exemplo, você observa que o arco de partiu 
do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º 
quadrante, logo, ele pertence a esse quadrante.
Arcos Côngruos
Observe as circunferências representadas na Figura 2.8:
Figura 2.8 - Arcos côngruos
Você pode observar que o arco permanece com a mesma 
extremidade, independentemente do número de voltas completas 
na circunferência.
Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como:
Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem, 
apenas, pelo número de voltas completas na 
circunferência.
62
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Na Figura 2.9, marcamos um arco de 60º.
Figura 2.9 - Arcos côngruos a 60º
É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma 
extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros 
arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta 
descrevermos voltas completas na circunferência.
Dessa forma, podemos escrever:
 „ 60º = 60º + 0.360º
 „ 420º = 60º + 1.360º
 „ 780º = 60º + 2.360º
 
Assim:
Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a 
ele é:
α + k. 360º, k ∈ Z
Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos 
côngruos a ele é:
α +2kπ, k ∈ Z
É importante saber que se o arco for negativo, basta fazer o 
percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á 
infinitos arcos côngruos com medidas negativas. 
63
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Faça a mesma representação gráfica 2.9 para 
esse caso. É uma boa forma de verificar se você 
compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido 
negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.
Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar 
associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de 
primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco 
côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad.
Acompanhe alguns exemplos:
1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 
geral dos arcos côngruos a 1240º.
Solução:
Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas 
completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por 
360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a 
sua primeira determinação positiva.
Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o 
número de voltas completas.
A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será: 
β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z
2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 
geral dos arcos côngruos a -1352º.
Solução:
Daí, -272º + 360º = 88º. 
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º.
A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será:
β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z
3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 
geral dos arcos côngruos a .
Solução:
Para resolver esse exercício, deve-se escrever o arco considerado 
desmembrando-o de forma conveniente:
Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é 
necessário pensar em um número que seja imediatamente menor 
que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em 
um número par.
Logo, é a primeira determinação positiva de .
A expressão geral dos arcos côngruos a será:
β = + , k ∈ Z.
65
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante 
onde está a extremidade dos seguintes arcos:
a) 1720º
Solução:
Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número 
apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco 
de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º.
Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa 
forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois 
270º < 280º < 360º.
b) 
Solução:
Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação 
positiva do arco, que é .
Como você percebe, esse arco é côngruo a rad e, portanto, 
ambos possuem a mesma extremidade.
Logo, o arco de rad está é no 2º quadrante. 
Para entender melhor, note que é equivalente a 135º.
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Você sabia...
Normalmente, as pessoas justificam que o raio da 
circunferência é r=1, porque nas definições dadas para 
tangente e secante, bem como nas definições de seno e 
cosseno, Figura sempre o raio r do círculo no denominador. 
Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante. 
Tal explicação deve ser complementada com a observação 
de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento 
do raio como unidade de medida. Como todas as linhas 
trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o 
valor decada uma delas se mantém inalterado quando elas 
passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante 
convencionar r=1.
Fonte: Dante (2004)
Seção 3 – Seno e cosseno na circunferência 
trigonométrica
Os valores do e foram definidos apenas para ângulos 
agudos, ou seja, para .
Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou 
ângulos maiores que rad, algo impensável quando se trabalhava 
com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com 
senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!!
Definindo seno e cosseno na circunferência trigonométrica
Considere a Figura 2.10:
67
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.10 - Seno e cosseno na 
circunferência
Então:
 „ Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M, 
ou seja: senx=OM”;
 „ Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto 
M, ou seja: cosx=OM’.
Veja por quê:
Figura 2.11 - Seno e cosseno
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe o triângulo retângulo OM’M da Figura 2.11. Neste 
triângulo, podem-se aplicar as razões trigonométricas.
Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para 
melhor visualização. Observe a Figura 2.12: 
Figura 2.12 - Triângulo retângulo
Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se:
 
Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”.
Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a 
ordenada do ponto que representa a extremidade 
desse arco e o cosseno é a abscissa desse ponto.
Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. 
Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores 
que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos 
retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de 
ângulos negativos.
69
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Você viu que alguns ângulos são considerados notáveis por serem 
mais utilizados na resolução de problemas, 
são eles: 30º ou rad, 45º ou rad e 60º ou rad. Observe a 
representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles:
Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser 
considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou rad, 180º ou rad,
270º ou rad e 360º ou rad. Geometricamente, cada um
deles representa o seno e o cosseno. Observe:
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
71
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Veja a Tabela 2.2, onde estão reunidos os valores do seno e 
cosseno representados geometricamente. 
Tabela 2.2 - Valores notáveis
x 0
senx 0 1 0 -1 0
cosx 1 0 -1 0 1
Você sabia...
Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu 
no século XVII como sendo o seno do complemento 
de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos 
“complemento” e “seno” em co-sinus, que logo foi 
modificado para cosinus e, em português “co-seno”. 
Os conceitos de seno e cosseno tiveram origem nos 
problemas relativos à Astronomia.
Acompanhe alguns exemplos, em que serão calculados os senos e 
cossenos de arcos maiores que 360º.
72
Universidade do Sul de Santa Catarina
1) Calcule o valor de sen1845º.
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva:
Então, sen1845º = sen45º = .
Logo, .
2) Calcule o valor de cos(-900º).
Solução:
Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º).
Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisa-
se da primeira determinação positiva. 
Assim: -180º + 360º = 180º. 
Logo, a primeira determinação positiva é 180º.
Tem-se, então, que:
cos(-900º)=cos180º=-1
Logo, cos(-900º)=-1
3) Calcule o valor de .
Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva.
Assim, temos que é a primeira determinação positiva de .
73
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Dessa forma, .
Logo, .
Que tal conhecer mais sobre a história do seno?
Retrospectiva histórica
Enquanto na obra de Ptolomeu, intitulada “Almagesto”, a 
“trigonometria” era fundamentada no estudo da relação entre 
um arco arbitrário e sua corda, os hindus apresentaram uma 
trigonometria que relacionava a metade da corda e a metade do 
ângulo central correspondente a essa corda. Uma vez conhecido o 
valor do comprimento de uma corda, pode-se calcular o seno da 
metade do arco correspondente, pois a metade do comprimento 
da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é, 
justamente, esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o
comprimento da corda subtendida por um ângulo x é .
Observe a Figura 2.13:
Figura 2.13 - Meia corda
74
Universidade do Sul de Santa Catarina
Os hindus chamaram esta meia corda de jiva.
O matemático indiano Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou 
tabelas envolvendo metades de cordas que, atualmente, são 
reconhecidas como tabelas de senos. Ele usou jiva no lugar de seno. 
Não é incrível? 
Figura 2.14 - Aryabhata
Fonte: Heidelberg (1996).
Durante algum tempo, os matemáticos árabes oscilaram entre o 
Almagesto e a trigonometria de jiva. O conflito chegou ao final 
quando, entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani, adotou 
a trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação – o 
círculo de raio unitário. Surgiu, então, o nome da função seno. 
75
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.15 - Al-Battani 
Fonte: Albategnius (2010).
A palavra hindu jiva (meia corda), dada ao seno, foi traduzida 
para o árabe que o chamou de jiba. Tal palavra tem o mesmo som 
que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra 
árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que 
significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das 
cordas de arcos numa circunferência que originou o seno.
O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, 
cavidade. Muitas pessoas acreditam que esse nome se deve ao 
fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. 
Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, 
que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não 
tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de 
uma tradução defeituosa que dura até hoje.
Seção 4 – Simetrias 
Considere a circunferência trigonométrica representada na Figura 2.16:
Figura 2.16 - Simetria
76
Universidade do Sul de Santa Catarina
Os pontos M1, M2, M3 e M4, vértices do retângulo 
M1M2M3M4, estão associados a arcos com origem no ponto A.
Os pontos M2, M3 e M4, são ditos simétricos de M1, no 2º, 3º e 
4º quadrantes, respectivamente.
Os arcos AM1, A’M2, A’M3 e AM4 são congruentes de medida 
α, em grau ou radiano. 
Conhecendo-se a medida de um deles, é possível, pela simetria 
existente, calcular a medida dos outros. Observe as Figuras 2.17 
e 2.18.
Em Grau:
Figura 2.17 - Simetria em graus
Em radiano:
Figura 2.18 - Simetria em radianos
77
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Utilizando as unidades indicadas em cada 
circunferência trigonométrica, determine as medidas 
dos arcos trigonométricos simétricos na primeira volta 
positiva:
a) 
 
Solução:
Veja que o arco mede 60º, e que os pontos C, D 
e E são simétricos a B. Portanto, os arcos , , e 
 são congruentes de medida 60º.
Logo, os arcos , e , serão determinados 
do seguinte modo:
 =180º - 60º
 =120º.
 
 = 180º + 60º
 = 240º.
 
 = 360º - 60º
 = 300º.
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 
Solução:
Veja que o arco é rad, e que os pontos B, C
e E são simétricos a D. Portanto, os arcos , , 
 
 e são congruentes de medida rad.
 
Logo, os arcos , e serão determinados do 
seguinte modo:
79
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Seção 5 – Redução ao primeiro quadrante
Nesta seção, você vai constatar que, utilizando a simetria 
estudada,poderá determinar os valores do seno e cosseno 
de arcos, de qualquer quadrante, com os valores do primeiro 
quadrante. 
Para isso, use a redução ao primeiro quadrante, que trabalha com 
os sinais das funções seno e cosseno indicadas nas Figuras 2.19 e 
2.20:
Figura 2.19 - Sinal do cosseno Figura 2.20 - Sinal do seno
Observe a Tabela 2.3:
Tabela 2.3 - Sinal do seno e cosseno
Quadrante cos α sen α
1º + +
2º - +
3º - -
4º + -
Note que os sinais do seno e do cosseno de um arco x dependem 
do quadrante a que pertence a extremidade do arco.
Quando reduzimos um arco dado ao primeiro quadrante, estamos 
determinando um arco do primeiro quadrante, cujo seno e o cosseno 
são iguais em valor absoluto aos do seno e cosseno do arco dado.
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe como se faz esta redução:
 „ Redução do segundo quadrante para o primeiro 
quadrante:
Figura 2.21 - 2º Quadrante 
Perceba que, na Figura 2.21, falta x para 180º. Logo, podemos 
afirmar que x e (180º-x) têm senos iguais e cossenos simétricos.
 „ Redução do terceiro quadrante para o primeiro 
quadrante:
Figura 2.22 - 3º Quadrante 
Agora, perceba que, na Figura 2.22, x e (180º+x) têm senos e 
cossenos simétricos.
81
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
 „ Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante:
Figura 2.23 - 4º Quadrante 
Veja que, na Figura 2.23, os arcos x e (360º-x) têm senos 
simétricos e cossenos iguais.
De modo análogo, essas reduções valem para arcos em radianos.
Acompanhe os exemplos a seguir:
1) Calcule sen150º e cos150º.
Solução:
O arco de 150º pertence ao 2º quadrante. Logo, usa-se o 
primeiro caso da redução:
x = 180º - 150º
x = 30º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a 
obter o seno e cosseno procurado.
Como 150º é um arco do segundo quadrante, usa-se o sinal do 
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a Tabela 2.3.
Assim, tem-se:
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, e 
2) Obtenha sen 240º e cos 240º.
Solução:
O arco de 240º pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo 
caso da redução:
x = 240º - 180º
x = 60º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a 
obter o seno e cosseno procurado.
Como 240º é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do 
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a Tabela 2.3.
Assim, tem-se:
Logo,
 e .
 
3) Determine sen 315º e cos 315º.
Solução:
O arco de 315º pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro 
caso da redução:
x = 360º - 315º
x = 45º.
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a 
obter o seno e cosseno procurado.
83
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Como 315º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do 
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a Tabela 2.3.
Assim, tem-se:
Logo, e .
4) Determine .
Solução:
O arco de pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo
caso da redução:
.
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que vai nos 
auxiliar na obtenção do seno e cosseno procurados.
Como é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a Tabela 2.3.
Assim, temos:
Logo: .
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Determine e 
Solução:
É necessário conhecer a primeira determinação positiva de 2460º.
O arco de 300º, primeira determinação positiva, pertence ao 4º 
quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução:
x = 360º - 300º
x = 60º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que nos auxilia 
a obter o seno e cosseno procurado.
Como 300º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do 
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a Tabela 2.3.
Assim, temos:
Logo, e .
85
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
6) Calcule o valor de .
Solução: 
Calcula-se, separadamente, cada um dos senos.
 .
Substituindo os valores encontrados na expressão M, tem-se:
 .
Racionalizando o denominador, tem-se:
.
86
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Síntese
Nesta unidade, você estudou o seno e o cosseno de arcos 
maiores que 90º. Esses conceitos foram ampliados, pois a 
trigonometria foi abordada em toda a circunferência e não 
apenas no triângulo retângulo. 
Também conheceu uma nova unidade de medida de ângulo - o 
radiano. Nas funções trigonométricas os arcos trabalhados deverão 
estar expressos em radianos, pois o estudo de tais funções utilizam 
como domínio os números reais ou subconjuntos dos reais. 
Atividades de autoavaliação
1) Expresse em graus (º):
a) rad 
 
b) rad
c) rad
 
d) rad
87
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
2) Expresse em radianos (rad):
a) 20º
b) 315º
c) 120º
d) 67º30´
3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote 
π = 3,14.
4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número 
de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta tiver percorrido 
14,13 km.
5) O comprimento do arco , na circunferência abaixo, é:
6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:
a) 1550º
b) rad
c) – rad
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos 
côngruos a:
a) -760º
b) 3120º
c) rad
d) rad
8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação 
positiva e a 3ª determinação negativa. 
9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a rad.
10) Identifique quais pares de arcos são côngruos:
 a) rad e rad
 b) – 30º e 330º
 c) 2º e 1082º
11) Determine:
89
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
12) Determine o valor da expressão:
a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º
b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= .
c) C = 
Desafio na trigonometria
 Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame 
é estendido ao longo de uma polia circular de 9 cm de raio. Qual é o ângulo 
central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?
Saiba mais
Sugerimos que você utilize o software Thales para visualizar, 
com maior precisão, as projeções do seno e cosseno na 
circunferência trigonométrica, conforme a variação dos arcos.
UNIDADE 3
Estudando as funções 
trigonométricas
Objetivos de aprendizagem
„ Definir as funções trigonométricas seno, cosseno, 
tangente, cotangente, secante e cossecante.
„ Aplicar as funções seno e cosseno em diferentes 
situações problemas.
„ Construir o gráfico das funções trigonométricas.
„ Ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas. 
„ Utilizar procedimentos e ferramentas tecnológicas para 
a construção dos gráficos das funções trigonométricas.
„ Desenvolver leituras gráficas envolvendo funções 
trigonométricas inversas.
Seções de estudo
Seção 1 Estudando as funções seno e cosseno 
Seção 2 Estudando as funções tangente, cotangente, 
secante e cossecante
Seção 3 Estudando as funções trigonométricas inversas
3
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Durante o desenvolvimento desta unidade, você observará que 
as funções circulares são periódicas e que elas podem representar 
fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura 
terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão 
sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos etc.
Esses fenômenos periódicos podem ser descritos por gráficos 
denominados senóides e cossenóides, que serão abordados na 
Seção 1, onde você aprenderá a esboçá-los e interpretá-los.
Você construirá e fará as interpretações dos gráficos das demais 
funções trigonométricas,