aula 02 regressao linear

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REGRESSÃO LINEAR 
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Quando os dados obtidos em um experimento seguem uma relação linear, 
existem três procedimentos para determinar os coeficientes angular e linear da 
equação da reta que descreve o fenômeno. São eles: 
a) Método Gráfico 
b) Método das Médias 
c) Método dos Mínimos Quadrados. 
 
O método gráfico é o mais simples, e é usado quando se dispõe de um 
número limitado de pontos (de 3 a 5), de precisão moderada. Por outro lado, o 
método das médias é mais tedioso, mas, fornece melhores resultados que o 
anterior, quando se tem seis ou mais pontos de precisão moderada. Finalmente, 
o método dos mínimos quadrados, que é o mais trabalhoso dos três, porém 
possibilita a obtenção de melhores valores para os coeficientes anteriormente 
mencionados. Seu uso só se justifica se dispusermos de sete ou mais pontos 
com boa precisão. 
 
Segue, abaixo, a ilustração dos três métodos para um mesmo conjunto de 
dados, por meio do seguinte exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 - Variação de Y em função de X. 
 
Calcular os coeficientes angular (m) e linear (b) da equação da reta: Y = mX + b. 
a) Método Gráfico: do gráfico anterior, podem-se tomar os dois pontos sobre a 
reta, ou seja: 
P1{X1=4,00; Y1=13,0} e P2{X2=18,00; Y2=47,8}, para os cálculos de m e b. Assim: 
m = (y2 - y1)/ (x2 - x1) tem-se: 
m = (47,8 - 13,0) / (18,00 - 4,00) 
 
m = 2,49. A partir deste valor, calculamos b conforme a seguir: 
 
b1 = Y1 - mX1 
b1 = 13,0 - 2,49 x 4,00 
b1 = 3,04 
 
b2 = Y2 - mX2 
b2 = 47,8 - 2,49 x 18,00 
b2 = 2,98 
 
O valor médio de b será (3,04 + 2,98)/2 = 3,01. Então, a equação da reta será: 
Y = 2,49X + 3,01 
 
b) Método das Médias: este método é baseado na suposição de que a soma dos 
resíduos é igual à zero, ou seja, r = 0. 
Resíduo (r) é definido como a diferença entre o valor experimental de Y e o 
valor calculado através da expressão mX + b. Pode-se expressar 
matematicamente como: r = Y - (mX + b) 
 
Para aplicar o método, dividem-se os dados em dois grupos. Isto fornece 
duas equações que podem ser resolvidas, simultaneamente, para a obtenção de m 
e b. Atenção: quando o número de pares coordenados for ímpar, o primeiro 
conjunto de equações deverá sempre ter um par coordenado a mais que o 
segundo conjunto. Neste exemplo, tem-se, no total, sete pares coordenados. 
Portanto, o primeiro conjunto de equações tem quatro pares, enquanto que o 
segundo tem três pares. Utilizando-se os dados acima, divide-se o conjunto em 
duas partes com 4 e 3 equações, respectivamente. 
 
A partir das equações (1) e (2), obtém-se: m = 2,50 e b + 2,98. A equação 
da reta será: Y= 2,50X + 2,98. 
 
c) Método dos Mínimos Quadrados: o princípio deste método é baseado nas 
seguintes suposições: 
 Os valores da variável independente estão corretos, e assim, somente a 
variável dependente está sujeita a medidas incorretas; 
 A curva que melhor representa os dados é aquela que torna (ou faz) a 
soma dos quadrados dos desvios da curva um mínimo. A definição de 
desvio é a mesma que a de resíduo, anteriormente apresentada no método 
das médias. 
 
Abstraíndo-se as demonstrações matemáticas, e supondo que x representa a 
variável independente, y a variável dependente, m o coeficiente angular e b o 
coeficiente linear, a melhor reta é aquela para a qual: 
 
Para calcular os valores de m e b, para os dados acima mencionados, 
organize a seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
m = [(62,00 x 175,7) –7 x (2242,0)] / [(62,00)2 – (824,2) x 7] = 2,50 
b = [(2242,0 x 62,00) – (175,7 x 824,0)] / [[(62,00)2 – (824,2) x 7] = 3,00 
A reta será Y = 2,50X + 3,00 
 
Comparação entre os métodos: 
 
Evidentemente a incerteza no último dígito dos valores obtidos pelo método 
gráfico é consideravelmente maior do que os outros dois métodos.