Valores vetores proprios

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COTNINUAÇÃO DE 
TRANSFORMAÇÕES 
LINEARES…
 
5.MONOMORFISMO, EPIMORFISMO e ISOMORFISMO:
Sendo V e W dois espaços vetoriais sobre o corpo K , e T : V → W, uma transformação 
linear, temos:
a)Monomorfismo, se ∀ u, v ∈ V e T(u) = T(v) então u = v
b)Epimorfismo, se ∀ w ∈ W , ∃ algum v ∈ V / w = T(v)
c)Isomorfismo, se, e somente se, T é monomórfica e epimórfica. V ≅ W
● Se A é uma matriz quadrada de ordem n⨯n 
definido por T(X) = AX Então a transformação linear T : ℝn→ℝn é um isomorfismo
● ℝ3 ≅ ℙ2 dado que ∃ T : ℝ3 → ℙ2
(a, b, c) → a + bx + cx² ⇒ T(a, b, c) = a + bx + cx²
Exemplos de isomorfismo:
● ℝ2 ≅ ℂ dado que ∃ T : ℝ2 → ℂ
(x, y) → x + iy i=√(−1)⇒ T(x, y) = x + iy
 
6.MATRIZ ASSOCIADA A UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR:
Sejam: V de dim V = n e de base [V] = { v1, v2, …, vn}, e W de dim W = m e base 
[W] = { w1, w2, …, wm}; dois espaços vetoriais sobre o corpo , e T : V → W, uma 
transformação linear. j = 1, 2, …, n ; a∀ ∃ ij únicos, tal que:
T(vj) = a1jw1 + a2jw2 + … + amjwm = ∑
i=1
m
aijwi
Se j = 1 ⇒ T(v1) = a11w1 + a21w2 + … + am1wm
Se j = 2 ⇒ T(v2) = a12w1 + a22w2 + … + am2wm
Se j = n ⇒ T(vn) = a1nw1 + a2nw2 + … + amnwm⋮ ⋮
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
 A =
Onde A é a matriz da transformação linear com respeitos às bases [V] e [W].
Exemplo 7:
Ache a matriz associada a transformação linear T : ℝ2→ℝ2 definida por
T(x, y) = (2x + y, x – y).
 
Sol:
T(1, 0) = (1, –2) = 1 (1, 0) – 2 (0, 1)
T(0, 1) = (2, –4) = 2 (1, 0) – 4 (0, 1)
Como T(a, b) = (a + 2b, – 2a – 4b)
1 2
–2 –4 A =
É a matriz de T respeito às 
bases canônicas.
Exemplo 8:
Seja a transformação T : ℝ2→ℝ2 definida por T(a, b) = (a + 2b, – 2a – 4b). Ache 
 a matriz da transformação linear, considerando a base canônica.
Sol:
O conjunto de vetores ℝ2 = {(x, y) / x, y ∈ ℝ} é um espaço isomorfo de 
M2×1 = { / x, y ∈ ℝ} o conjunto das matrizes de ordem 2×1xy
Então a transformação linear pode ser escrita como T : M2×1→M2×1 e defini-la 
como:
T =
x
y
2x +y
 x – y
 2 1
 1 –1 =
x
y
Obtendo a matriz A de ℝ2×2 associada a T. 2 1 1 –1 A =
 
Exemplo 9:
Seja a transformação T : ℝ2→ℝ2 definida por T(a, b) = (a + 3b, 2a – b). Ache 
a matriz da transformação linear, considerando a base canônica e as bases 
[V’] = {(1, 1), (1, -1)} de ℝ2 e [W’] = {(2, 0), (0, 2)} de ℝ2.
1 3
2 –1 A =
A matriz de T respeito às bases 
canônicas.
Sol:
Considerando as bases:
T(1, 1) = (4, 1) = a11 (2, 0) + a21 (0, 2)
T(1,–1) = (–2, 3) = a12 (2, 0) + a22 (0, 2)
[V’] = {(1, 1), (1, -1)} de ℝ2 
[W’] = {(2, 0), (0, 2)} de ℝ2
2 –1
1/2 3/2 A’ =
 
VALORES E VETORES PRÓPRIOS
1.DEFINIÇÃO:
Seja T : V → W uma transformação linear. 
Um número λ ∈ ℝ, chama-se valor próprio de T se existe um vetor v ≠ 0 tal que T(v) = λv ; 
v ∈ V. Onde v é o vetor próprio associado a λ.
Exemplo 1:
Seja a transformação T : ℝ2→ℝ2 definida por T(a, b) = (2a + 2b, b). Ache os 
valores próprios e vetores próprios de T.
Sol:
λ ∈ ℝ é um valor próprio de T ⇔ ∃ v ∈ ℝ2 / T(v) = λv ; v ≠ 0 
Se v = (a, b) ⇒ T(v) = (2a + 2b, b) = λ (a, b)
2a + 2b = λ a
b = λ b
(λ – 2)a + 2b = 0
(λ – 1)b = 0∼ λ-2 2 0 λ-1 = (λ – 2)(λ – 1)
 
Onde λ1 = 2 e λ2 = 1 são os valores próprios de T
Os vetores próprios associados a λ1 = 2
(λ – 2)a + 2b = 0
(λ – 1)b = 0
⇒ (0)a + 2b = 0
(1)b = 0
⇒ b = 0 ; a ≠ 0 v = (a, 0) = a (1, 0)⇒ v1 = (1, 0)
Os vetores próprios associados a λ1 = 1
(λ – 2)a + 2b = 0
(λ – 1)b = 0
⇒ –a – 2b = 0
(0)b = 0
⇒ a = –2b ; b ≠ 0 v = (a, b) = b (–2, 1)⇒ v1 = (–2, 1)
1.1 TEOREMA:
Se v1 e v2 são vetores próprios associados a λ1 e λ2 respectivamente ( λ1 ≠ λ2), então 
v1 e v2 são linearmente independentes
1.2 TEOREMA:
Se A ∈ ��⨯� é uma matriz associada a uma transformação linear e λ ∈ � um valor 
próprio, então temos que Av = λv, e como v ≠ 0 , a matriz (A – λI) é matriz singular, é 
dizer que: det (A – λI) = 0
 
2.POLINÔMIO CARACTERÍSTICO:
O polinômio característico, é dado do resultado de det (A – λI) = P(λ). Onde as raízes 
de P(λ) são os valores próprios da transformação linear T.
Exemplo 2:
Seja a transformação T : ℝ3→ℝ3 definida por: T(x, y, z) = (3x – y + z, –x + 5y – z, x – y +3z). 
Ache os valores próprios e vetores próprios de T.
Sol:
 3 -1 1
-1 5 -1
 1 -1 3
Seja A matriz 
associada a T. A = 
3-λ -1 1
 -1 5-λ -1
 1 -1 3-λ
P(λ) = ⇒ = 0 
P(λ) = (3 – λ)[(5 – λ)(3 – λ) – 1] – (-1)[-(3 – λ) + 1] + 1[1 – (5 – λ)] = 0
P(λ) = –λ³ – 11λ² – 36λ + 36 = 0
P(λ) = (λ – 2)(λ – 3)(λ – 6) = 0
⇒ λ1 = 2λ1 = 3
λ1 = 6
Valores próprios de T
Para achar os vetores próprios 
temos que usar (A – λI) v = 0
3-λ -1 1
 -1 5-λ -1
 1 -1 3-λ
x
y =
z
0
0
0
 
Para λ1 = 2
 1 -1 1
 -1 3 -1
 1 -1 1
x
y =
z
0
0
0
 1 -1 1 0
-1 3 -1 0
 1 -1 1 0
L2+ L1→L2
 1 -1 1 0
 0 2 0 0
 1 -1 1 0
1/2L2→L2
L3– L1→L3
 1 -1 1 0
 0 1 0 0
 0 0 0 0
L1+ L2→L1 1 0 1 0
 0 1 0 0
 0 0 0 0
x + z = 0
y = 0
x
y = z
z
-1
0
1
; v1 = 
-1
0
1
Para λ2 = 3
 0 -1 1
 -1 2 -1
 1 -1 0
x
y =
z
0
0
0
 0 -1 1 0
-1 2 -1 0
 1 -1 0 0
L2↔L1
-1 2 -1 0
 0 -1 1 0
 1 -1 0 0
(-1)L1→L1
 1 -2 1 0
 0 -1 1 0
 1 -1 0 0
x – z = 0
y – z = 0
x
y = z
z
1
1
1
; v2 = 
1
1
1
L3– L1→L3
(-1)L2→L2
 1 -2 1 0
 0 1 -1 0
 0 1 -1 0
 1 -2 1 0
 0 1 -1 0
 0 0 0 0L3– L2→L3
L1+ 2L2→L1
 1 0 -1 0
 0 1 -1 0
 0 0 0 0
 
Para λ3 = 6
 -3 -1 1
 -1 -1 -1
 1 -1 -3
x
y =
z
0
0
0
-3 -1 1 0
-1 -1 -1 0
 1 -1 -3 0
L3↔L1 1 -1 -3 0
-1 -1 -1 0
-3 -1 1 0
x – z = 0
y + 2z = 0
x
y = z
z
 1
-2
 1
; v3 = 
 1
-2
 1
(-1/2)L2→L2
 1 0 -1 0
 0 1 2 0
 0 0 0 0L3+4L2→L3
L2 + L1 →L2
L3+ 3L1→L3
 1 -1 -3 0
 0 -2 -4 0
 0 -4 -8 0
 1 -1 -3 0
 0 1 2 0
 0 -4 -8 0
L1 + L2→L1
⇒ para λ1 = 2λ1 = 3
λ1 = 6
, temos { , , } vetores próprios de T
 1
-2
 1
1
1
1
-1
 0
 1
Seja:
-1 1 1
 0 1 -2
 1 1 1
P = P-1A P = D onde:
2 0 0
0 3 0
0 0 6
D = 
 
2.1 MATRIZ DIAGONALIZÁVEL:
Uma matriz A ∈ ��×� se diz diagonalizável se existe uma matriz P ∈ ��×� não 
singular, tal que P-1A P = D. Onde P é a matriz formada com os vetores próprios 
dispostos em colunas e D é uma matriz diagonal formado com os valores próprios.
2.1.1 TEOREMA:
Se do polinômio característico da matriz A, temos a raiz λ, valor próprio de A com 
multiplicidade k, então para que a matriz A seja diagonalizável devemos ter k 
vetores próprios associados ao valor próprio λ. Caso contrario a matriz não será 
diagonalizável.
Exemplo 3:
Determine se a matrizes A e B são diagonalizáveis: 
 1 1 0
 0 1 1
 0 0 1
A = 
-3 0 -4 
 4 1 4
 2 0 3
B = 
 
Sol:
det (A – λI) = P(λ) = 
1-λ 1 0
 0 1-λ 1
 0 0 1-λ
= (1 – λ)³ ⇒ temos λ = 1 valor próprio da 
matriz A com multiplicidade 3
Calculamos os vetores próprios para λ = 1
 0 1 0
 0 0 1
 0 0 0
x
y =
z
0
0
0
y = 0
z = 0
x
y = x
z
1
0
0
; v1 = 
1
0
0
x ≠ 0
Sendo que para λ = 1 de multiplicidade 3 obtivemos só um vetor próprio. Isso quer 
dizer que a matriz A não é diagonalizável. 
det (B – λI) = P(λ) = 
-3-λ 0 -4
 4 1-λ -4
 2 0 3-λ
= –λ³ + λ² + λ – 1 = (λ – 1)² (λ + 1)
⇒ Temos as rizes λ1 = 1 e λ2 = -1 valores próprios da matriz B
Matriz B
Matriz A
 
Vetores próprios para λ1 = 1
 -4 0 -4
 4 0 4
 2 0 2
x
y =
z
0
0
0
-4 0 -4 0
 4 0 4 0
 2 0 2 0
 1 0 1 0
 4 0 4 0
 2 0 2 0
(-1/4) L1→L1
L3– 2L1→L3
 1 0 1 0
 0 0 0 0
 0 0 0 0
x + z = 0
y ≠ 0
x
y = y
z
 01 + z
 0
; v1 = 
 0
 1
 0
L2– 4L1→L2
-1
 0 
 1
v2 = 
-1
 0
 1
⇒ Temos que para λ1 = 1 (de multiplicidade 2) temos 2 vetores associados a λ1 . 
Vetores próprios para λ1 = -1
 -2 0 -4
 4 2 4
 2 0 4
x
y =
z
0
0
0
-2 0 -4 0
 4 2 4 0
 2 0 4 0
 1 0 2 0
 4 2 4 0
 2 0 4 0
 1 0 2 0
 0 2 -4 0
 0 0 0 0
 1 0 2 0
 0 1 -2 0
 0 0 0 0
x + 2z = 0
y – 2z = 0
x
y = z
z
-2
 2
 1
; v1 = 
-2
 2
 1
(-1/2) L1→L1
L3– 2L1→L3
L2– 4L1→L2
(1/2) L2→L2
 
⇒ Temos que para a matriz B existe P, náo singular, tal que: P-1B P = D
 0 -1 -2
 1 0 2
 0 1 1
P = 
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
D = 
3.PROPRIEDADES DOS VETORES PRÓPRIOS E OS 
VALORES PRÓPRIOS:
i. Se v é vetor próprio associado ao valor λ de um operador linear T, o vetor αv, ∀α ∈ ℝ, α ≠ 0, é também vetr próprio de T.
ii. Se λ é valor próprio de um operador linear T : V→V, o conjunto de todos os 
vetores v ∈ V, incluido o vetor nulo, associado ao valor proprio λ, é um subespaço 
vetorial de V.
iii.Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por conseguinte, 
os mesmos valores próprios.
 
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