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Exercícios de Matemática 
Geometria Analítica – Lugar Geométrico 
 
1) (ITA-1998) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas 
equações são, respectivamente, 
5(x + 3)
2
 - 4(y - 2)
2
 = -20 e (y - 3)
2
 = 4(x - 1) 
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos 
quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da 
hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de P 
ao vértice da parábola T, é: 
a) A elipse de equação 13
2)(y
4
3)(x 22




 
b) A hipérbole de equação 14
3)(x
5
1)(y 22




 
c) O par de retas dadas por y = (3x-1) 
d) A parábola de equação y
2
 = 4x+ 4 
e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio 120 
 
2) (Fuvest-1996) Considere no plano cartesiano, os pontos 
P=(0,-5) e Q=(0,5). Seja X=(x,y) um ponto qualquer com 
x>0. 
a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX e QX? 
b) Calcule, em função de x e y, a tangente do ângulo PXQ. 
c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X=(x,y) tais que 
x>0 e PXQ=/4 radianos. 
 
 
3) (VUNESP-2010) Uma fábrica utiliza dois tipos de 
processos, P1 e P2, para produzir dois tipos de chocolates, 
C1 e C2. Para produzir 1000 unidades de C1 são exigidas 3 
horas de trabalho no processo P1 e 3 horas em P2. Para 
produzir 1000 unidades de C2 são necessárias 1 hora de 
trabalho no processo P1 e 6 horas em P2. Representada por x 
a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates 
produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de 
lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo 
processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas 
pelo dia no processo P1 é 3x + y, e que o número de horas 
trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y. 
Dado que no processo P1 pode-se trabalhar no máximo 9 
horas por dia e no processo P2 pode-se trabalhar no máximo 
24 horas por dia, a representação no plano cartesiano do 
conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, 
simultaneamente, às duas restrições de número de horas 
possíveis de serem trabalhadas nos processos P1 e P2 em um 
dia, é: 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
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4) (VUNESP-2009) Dentre as regiões sombreadas, aquela 
que representa no plano cartesiano o conjunto U = {(x, y)  
R2 | y  2x+1 e x2 +y2  4} é: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
5) (FUVEST-2006) a) Determine os pontos A e B do plano 
cartesiano nos quais os gráficos de y = x
12
 -1 e x + y - 6 = 
0 se interceptam. 
b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto 
quadrante que satisfaz AÔB = BCA ˆ e que pertence à reta x 
= 2. 
 
 
6) (FGV-2005) Uma pessoa trabalha no máximo 160 horas 
por mês, programando e consertando computadores. Sua 
remuneração pelo trabalho é de R$ 40,00 por hora de 
programação e R$ 20,00 por hora de conserto de 
computador. Sabe-se também que ela trabalha x horas por 
mês com programação e y horas com conserto de 
computadores, ganhando ao menos R$ 5.000,00 por mês 
com esse trabalho. Nessas condições, (x,y) é um par 
ordenado que necessariamente pertence à região poligonal 
representada por 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
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8) (FGV-2004) a) No triângulo ABC da figura ao lado, sabe-
se que: 
a = 
c
3
7
, sen  = 7
34
, 90 < b < 180 
 
 
Determine o valor do ângulo α. 
b) Escreva a equação da bissetriz do maior ângulo formado 
pelas retas y = 3 e y = 2 3x . 
 
 
 
9) (UFSCar-2004) Sob certas condições, a diferença entre a 
magnitude aparente de uma estrela (m) e sua magnitude 
absoluta (M) pode ser calculada pela fórmula m - M = 5(-1 
+ logd), onde d é a distância entre a estrela e a Terra, na 
unidade de medida parsec (pc). 
 
a) Calcule a magnitude absoluta de uma estrela quando d = 
200pc e m = 8,5. Adote nos cálculos log5 = 0,7. 
b) Construa no plano cartesiano o gráfico da região dos 
pares ordenados (M, m), tais que 
d  100pc. Admita, para a construção, m  0 e M  0. 
 
 
10) (UNIUBE-2001) A região sombreada abaixo é a 
representação geométrica do seguinte conjunto: 
 
 
 
a) {(x,y)  IR x IR : 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4 ; y ≥ |x|} 
 
b) {(x,y)  IR x IR : 4 ≤ x2 + y2 ≤ 16 ; y ≥ |x|} 
 
c) {(x,y)  IR x IR : 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4 ; y ≤ |x|} 
 
d) {(x,y)  IR x IR : 4 ≤ x2 + y2 ≤ 16 ; y ≤ |x|} 
 
11) (Fuvest-2000) Das regiões hachuradas na seqüência, a 
que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do 
plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades 
x > 0; 
y > 0; 
x - y + 1 > 0; 
x
2
 + y
2
 < 9, 
é: 
 
 
 
 
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12) (Fuvest-1999) Um pirata enterrou um tesouro numa ilha 
e deixou um mapa com as seguintes indicações: o tesouro 
está enterrado num ponto da linha reta entre os dois 
rochedos; está a mais de 50 m do poço e a menos de 20 m 
do rio (cujo leito é reto). 
 
a) Descreva, usando equações e inequações, as indicações 
deixadas pelo pirata, utilizando para isto o sistema de 
coordenadas mostrado na figura. 
b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a 
coordenada x do ponto (x,0) onde o tesouro está enterrado. 
 
 
 
13) (Fuvest-2001) O conjunto dos pontos (x, y) do plano 
cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação 
(x
2 
+ y
2 
+ 1)(2x + 3y - 1)(3x - 2y + 3) = 0, pode ser 
representado, graficamente, por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14) (Vunesp-2006) Sejam A =








13
12
yx
yx
 , B =






 21
12
 e C =






 53
31
 matrizes reais. 
a) Calcule o determinante de A, det(A), em função de x e y, 
e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) 
que satisfazem a inequação det(A)  det(B). 
b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C. 
 
15) (UFC-2006) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0 é 
uma equação de: 
a) um conjunto vazio. 
b) um conjunto unitário. 
c) uma hipérbole. 
d) duas retas paralelas. 
e) duas retas concorrentes. 
 
16) (FMTM-2005) Um terreno de 100 km² será totalmente 
plantado com milho e soja, sendo que cada cultura poderá 
ocupar, no máximo, 70% da área cultivada. Sendo m e s as 
áreas plantadas de milho e soja, a representação gráfica de 
todos os pares ordenados (m,s) que atendem às condições 
do problema é um 
a) arco de parábola. 
b) segmento de reta. 
c) conjunto de 71 pontos. 
d) triângulo. 
e) setor circular. 
 
 
17) (Cesgranrio-1995) O lugar geométrico das imagens dos 
complexos z, tais que z
2
 é real, é: 
a) um par de retas paralelas. 
b) um par de retas concorrentes. 
c) uma reta. 
d) uma circunferência. 
e) uma parábola. 
 
 
18) (FGV-2004) A reta 03y3x  divide o plano 
determinado pelo sistema cartesiano de eixos em dois 
semiplanos opostos. Cada um dos pontos  2,2 e  b,5 
está situado em um desses dois semiplanos. Um possível 
valor de b é: 
a) 4
1
 
b) 4
1
 
c) 4
3
 
d) 4
3
 
e) 2
1
 
 
 
19) (FGV-2003) No plano cartesiano, os pontos A(-1,4) e 
B(3,6) são simétricos em relação à reta (r). O coeficiente 
angular da reta (r) vale: 
a) -1 
b) -2 
c) -3 
d) -4 
e) -5 
 
20) (FGV-2003) a) Represente os pontos do plano cartesiano 
que satisfazem simultaneamente as relações x - y 
+ y  
b) Uma empresa fabrica umapeça de precisão em dois 
modelos A e B. O custo de produção de uma unidade de A 
é R$ 200,00 e o de B é R$ 150,00. Por restrições de 
orçamento, a empresa pode gastar por mês no máximo R$ 
45.000,00. A mão-de-obra disponível permite fabricar por 
mês no máximo 250 peças. Seja x a quantidade produzida 
por mês de A e y a de B. 
Represente graficamente os possíveis valores de x e y. 
Admita, para simplificar, que x e y assumam valores reais 
não negativos. 
 
21) (FGV-2003) A região do plano cartesiano determinada 
pelas inequações 
x + y  5 
y  3 
x  0 
y  0 
tem uma área A. O valor de A é: 
a) 10 
b) 10,5 
c) 11 
d) 11,5 
e) 12 
 
22) (Unifesp-2002) A região do plano cartesiano, 
determinada simultaneamente pelas três condições 









0x
xy
 16 y x
2
22
 é aquela, na figura, indicada com a letra 
 
 
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a) A. 
b) B. 
c) C. 
d) D. 
e) E. 
 
 
23) (Fuvest-1997) Na figura a seguir, A é um ponto do 
plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo que A 
está localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se 
a) y < x/2 e y < -x + 1 
b) y < x/2 ou y > -x + 1 
c) x/2 < y e y > -x + 1 
d) -x + 1 < y < x/2 
e) x/2 < y < -x + 1 
 
 
24) (UFPE-1996) Considere dois pontos distintos A e B de 
um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal 
que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é 
constante, é uma curva denominada: 
a) circunferência. 
b) parábola. 
c) hipérbole. 
d) elipse. 
e) reta. 
 
 
 
 
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Gabarito 
 
1) Alternativa: E 
 
2) a) mPX = x
5y 
e mQX = x
5y 
 
b) tg  = 25yx
10x
22  
c) O LG é um arco de circunferência de centro (5,0) e raio 5
2 cujos pontos tem abscissa positiva. 
 
3) Alternativa: E 
 
4) Alternativa: A 
 
5) a) A(4, 2) e B (3, 3) 
b) (2,1- 5 ) 
 
 
6) Resposta: A e D 
A região hachurada em A é a região correta. Porém, a 
região hachurada em D também contém a região correta, 
apesar de conter outras regiões não corretas também. Com 
a pergunta que foi feita, somos obrigados a considerar 2 
soluções. 
 
Uma maneira de corrigir a questão, deixando como correta 
apenas a alternativa A é mudar a pergunta para: 
“A região poligonal formada por todos os possíveis pares 
ordenados (x, y) é:” 
 
8) a) a = 60° 
b) y = 3 x + 4 
 
 
9) a) 2 
b) 
 
 
 
10) Alternativa: B 
 
11) Alternativa: A 
 
12) a) o tesouro está num ponto (x,y), com 











22020x22020
30 xou 30x
120x0
0y
 
 
b) 30 < x < 20+20 2 
 
13) Alternativa: D 
 
14) a) detA = - 4x + y; gráfico. 
 
b) x = 1 e y = 2. 
 
 
 
15) Alternativa: E 
 
16) Alternativa: B 
 
17) Alternativa: B 
 
18) Alternativa: D 
 
19) Alternativa: B 
note que r é mediatriz de AB. 
 
20) a) 
 
b) 
 
 
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21) Alternativa: B 
 
22) Alternativa: B 
 
23) Alternativa: E 
 
24) Alternativa: D