DIDATICA DA MATEMATICA MODULO 1

Prévia do material em texto

CURSO
METODOLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO DE MATEMÁTICA
MÓDULO 1 
SUMÁRIO
Unidade 1- O Professor de Matemática
1.1- O Papel do Professor de Matemática
1.2- O Profissional do Ensino
1.3- O Conhecimento Matemático
1.4- A Disciplina Matemática
1.5- A formação do Professor de Matemática
Unidade 2- Doutrina do Ensino e do Método
2.1- A Produção do Conhecimento Matemático
2.2- A Matemática Como Linguagem
2.3- A Matemática Como Investigação Científica
2.4- Conhecimento Matemático, Metodologia e Didática
2.5- Parâmetros Curriculares Nacionais
2.6- Algumas Considerações Sobre o Ensino da Matemática
2.7- Os Jogos no Ensino – Aprendizagem de Matemática
2.8- O Uso de Materiais Concretos na Educação Matemática
Unidade 1- O Professor de Matemática
1.1- O Papel do Professor de Matemática
	Ensinar não é apenas transmitir conhecimentos de um indivíduo para outro(s). Ensinar é fazer pensar, é estimular o estudante para a resolução de problemas, ajudando-o a criar novos hábitos de pensamento e ação. 
Assim, o professor deve conduzir o aluno à problematização e ao raciocínio, e não à assimilação passiva das informações e conceitos transmitidos. O professor deve realizar uma recontextualização do saber, procurando situações que deem sentido aos conhecimentos que devem ser ensinados/aprendidos.
	Para ser um bom educador, o professor deve tentar colocar-se no lugar do aluno para juntos problematizarem o mundo, pois desse modo, irá ao mesmo tempo transmitir-lhe novos conhecimentos e ajudá-lo a crescer tornando-se um ser criativo que colabora com comunidade onde vive. 
Um professor competente consegue detectar o nível de desenvolvimento dos seus alunos com a finalidade de utilizar estratégias que promovam a aprendizagem dos mesmos, ajudando-os a aprender respeitando suas capacidades.
Conhecer o aluno pode ser um processo demorado, porém informações, sobre o “conhecimento prévio” do aluno, é imprescindível para o exercício eficiente da profissão docente. Isso porque as metas estabelecem o ponto a chegar e o nível de conhecimento que o aluno já possui, sobretudo, seu desempenho antes do ensino, estabelece o patamar a partir do qual deve ser oferecido novo saber ou aperfeiçoado o existente, sendo ambos - metas e conhecimento prévio - parâmetros da atuação do professor.
	O professor de Matemática deve estabelecer um ambiente de aprendizagem em que os alunos sejam capazes de aprofundar sua reação diante de novas ideias, métodos, instrumentos, estruturas, objetos, etc. Dessa forma, é necessário o professor permitir que o aluno exprima seus pensamentos para que o professor ofereça situações de sistematização e o desperte para novas aprendizagens.
	O professor deve agir como elemento dinamizador de ideias, de descobertas e contribuindo para a construção do conhecimento dos alunos, como formulador de perguntas, mediador entre o saber do aluno e o saber matemático, responsável por um processo no qual o aluno se percebe cada vez mais independente e responsável pelo seu próprio conhecimento.
	O fator fundamental no processo ensino-aprendizagem deve ser o aluno, sua aprendizagem e seu desenvolvimento. Assim, o ensino de Matemática deve acontecer com base em uma relação saudável entre alunos e professor, sendo de incumbência do professor o relevante papel de criador de situações de aprendizagem efetiva.
	 Atualmente, considera-se que a resolução de problemas deve representar um momento de interação e diálogo entre professor/aluno e aluno/aluno no qual o professor como facilitador da aprendizagem acolhe as respostas, formula novas perguntas e promove a partilha de estratégias para se chegar a resultados válidos para a situação proposta. Assim sendo, o professor passa a conhecer e compreender os processos mentais de seus alunos. 
	Considera-se que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas é o eixo organizador do ensino da Matemática e deve permear todo o trabalho, a fim de proporcionar ao aluno recursos que o auxiliem a resolver situações de natureza diversa e enfrentar, com segurança, situações novas.	Sempre que possível, a introdução de temas novos, sua exercitação e seus aprofundamentos devem apresentar situações-problema que exijam interpretação, seleção de estratégias de resolução, realização de planejamento de ações, aplicação de ferramentas matemáticas, recursos técnicos adequados e análise da adequação da solução encontrada. A resolução de problemas é também uma maneira para desenvolver a capacidade de comunicação, de cooperação e de persistência.
	É relevante que o processo ensino-aprendizagem da Matemática desenvolva-se privilegiando além do raciocínio individual a troca de ideias entre os alunos que devem ser estimulados e desafiados cada vez mais com novos saberes matemáticos. O professor deve ter em mente que precisa como mediador do processo de ensino – aprendizagem sistematizar raciocínios e oferecer abordagens mais significativas.
	O planejamento e a organização das atividades propostas aos alunos têm um significado especial na atividade do educador, muito mais que o repasse de conteúdos. O professor deve estar atento para não impedir a investigação dos alunos, adiantando resultados, apontando de maneira rígida as respostas a serem encontradas, agindo como único juiz dos resultados.
	 
1.2- O Profissional do Ensino
	Embora administradores (diretores, gestores, coordenadores, técnicos) tenham papel relevante no sistema educacional, o profissional fundamental no ensino é o professor, já que é ele que tem contato direto com o aluno e é o responsável por planejar e disponibilizar as condições sob as quais o aluno aprende. Sua importância é tal que, se ele falhar, todo o sistema educacional falhará, pois falhará o ensino.
	Em conformidade com as novas propostas de uma gestão escolar participativa, tornam-se imprescindíveis a compreensão, pelos educadores, do seu papel como membro ativo da comunidade escolar e, o desenvolvimento de uma postura crítica e reflexiva, sobre as questões educacionais, proporcionando um fazer pedagógico vivo e transformador.
	Saber aprender é a principal condição para o ato de ensinar. Aprender os conhecimentos, as tecnologias, as relações, as sínteses e as possibilidades do ser.
	Duas coisas são essenciais para a função do educador incidindo sobre elas grande parte de sua reflexão: o conhecimento e sua produção. Refletir é, antes de tudo, uma atitude filosófica: é o gostar da sabedoria. Refletir é pensar sobre o pensamento. O que pensamos, por que pensamos e como pensamos? Avaliar se deve continuar pensando ou não dessa forma é o que exige dos educadores a competência crítica.
	O educador, no exercício do seu ofício de ensinar/aprender, é crítico porque a criticidade é uma necessidade do trabalho pedagógico, bem como é uma necessidade do cidadão – pensar sobre o pensamento.
	Dessa forma o professor que não gosta de estudar não consegue contagiar o estudante com o gosto pelo estudo; o professor que não é crítico não consegue desenvolver no estudante a autonomia de quem busca uma forma de se superar sempre. O trabalho do educador é, portanto, reflexivo e crítico. Refletindo e criticando, o educador moderno pode responder às necessidades educacionais de sua comunidade.
	É sempre inserido em um contexto social que se realiza o trabalho pedagógico. A escola é uma instituição social. Atualmente, a escola está organizada a partir de princípios estabelecidos na Constituição e em Leis que estabelecem as bases e as diretrizes da gestão escolar. Vamos observar o prega a Constituição Federal:
	O Capítulo III (da educação, da cultura e do desporto), Seção I (da Educação) da Constituição da República Federativa do Brasil de 1988 (CF), artigo 205, expressa um princípio que determina a forma de gestão escolar: “ A educação, direito de todos e dever do Estado e da família, será promovida e incentivada com a colaboração da sociedade, visando ao pleno desenvolvimento da pessoa, seu preparopara o exercício da cidadania e sua qualificação para o trabalho”.
	A escola liderada pelo diretor, articulador das ações, com um número maior de pessoas, com relações mais flexíveis e menos autoritárias entre comunidades escolar e local, comprometidas com resultados educacionais cada vez mais efetivos e significativos, de acordo com o artigo. 206 (CF), no qual outros princípios são apresentados de forma ainda mais clara. Assim, o ensino será ministrado com base nos seguintes princípios:
I - igualdade de condições para o acesso e permanência na escola.
II - liberdade de aprender, ensinar, pesquisar e divulgar o pensamento, a arte e o saber.
III - pluralismo de ideias e de concepções pedagógicas, e coexistência de instituições públicas e privadas de ensino.
IV - gratuidade do ensino público em estabelecimentos oficiais.
V - valorização dos profissionais da educação escolar, garantidos, na forma da lei, planos de carreira, com ingresso exclusivamente por concurso público de provas e títulos, aos das redes públicas;  VI - gestão democrática do ensino público, na forma da lei.
VII - garantia de padrão de qualidade.
VIII - piso salarial profissional nacional para os profissionais da educação escolar pública, nos termos de lei federal.
Parágrafo único.  A lei disporá sobre as categorias de trabalhadores considerados profissionais da educação básica e sobre a fixação de prazo para a elaboração ou adequação de seus planos de carreira, no âmbito da União, dos Estados, do Distrito Federal e dos Municípios.
Conforme o artigo 214 (CF), A lei estabelecerá o Plano Nacional de Educação, de duração decenal, com o objetivo de articular o sistema nacional de educação em regime de colaboração e definir diretrizes, objetivos, metas e estratégias de implementação para assegurar a manutenção e desenvolvimento do ensino em seus diversos níveis, etapas e modalidades por meio de ações integradas dos poderes públicos das diferentes esferas federativas que conduzam a: 
I - erradicação do analfabetismo.
II - universalização do atendimento escolar.
III - melhoria da qualidade do ensino.
IV - formação para o trabalho.
V - promoção humanística, científica e tecnológica do País.
VI - estabelecimento de meta de aplicação de recursos públicos em educação como proporção do produto interno bruto.
Existem em nosso país diversas políticas públicas aplicadas à educação pública nos níveis federais, municipais e estaduais de ensino. Dentre as regulamentações, principalmente na LDB (Lei de Diretrizes e Bases), das quais envolve as unidades de ensino que são as escolas.
Todas as unidades federativas têm completa autonomia para aplicar suas propostas pedagógicas de acordo com os seus métodos e objetivos. Para que as escolas possam desenvolver-se dentro da organização, estrutura e da proposta pedagógica, é de fundamental importância a gestão no processo de organização da escola.
Todo o sistema de educação no Brasil é legitimado por leis específicas que tentam viabilizar políticas que possam contribuir para o crescimento da educação pública no país. Essas leis estão contidas na LDB (Leis de Diretrizes e Bases/1996). De acordo com elas a gestão da educação no Brasil está organizada em sistemas de ensino federal, municipal e estadual.
Na LDB, Art. 12, Incisos I a VII, estão às principais delegações que se referem à gestão escolar no que diz respeito as suas respectivas unidades de ensino.
Os estabelecimentos de ensino, respeitadas as normas comuns e as do seu sistema de ensino, terão a incumbência de:
I - elaborar e executar sua proposta pedagógica.
II - administrar seu pessoal e seus recursos materiais e financeiros.
III - assegurar o cumprimento dos dias letivos e horas-aula estabelecidas.
IV - velar pelo cumprimento do plano de trabalho de cada docente.
V - prover meios para a recuperação dos alunos de menor rendimento.
VI - articular-se com as famílias e a comunidade, criando processos de integração da sociedade com a escola.
VII - informar os pais e responsáveis sobre a frequência e o rendimento dos alunos, bem como sobre a execução de sua proposta pedagógica.
A proposta pedagógica define os caminhos que a escola vai seguir para alcançar os seus objetivos. Por isso, é muito importante que ela seja bem formulada e estruturada pela escola e seus representantes. 
1.3- O Conhecimento Matemático
A análise da construção histórica do conhecimento matemático mostra que o mesmo tem sido desenvolvido a partir da tentativa do homem de compreender e agir em seu mundo. Na Grécia Antiga, berço da Matemática, somente os escribas tinham acesso ao conhecimento formal, por isso eram considerados homens especiais, dotados de inteligência acima da média, por serem os únicos capazes de decifrar e desfrutar dos conhecimentos geométricos e aritméticos da época, que muitas vezes eram complexos como o sistema de numeração grego e egípcio.
 A escola pitagórica muito contribuiu para esse pensamento, pois, formada por aristocratas, defendia o número como sendo a essência de tudo o que existe. Essa escola foi responsável pela introdução da concepção, existente até hoje, de que os homens que trabalham com os conceitos matemáticos são superiores aos demais. Conceito esse considerado até hoje de que poucos conseguirão apropriar-se do conhecimento matemático, que, ainda para muitos, é considerado difícil e complexo. 
O aluno, ao chegar à escola, já apresenta certo receio a esse conhecimento, sentindo-se incapaz. Tal ideia é legitimada quando o professor apresenta uma postura pedagógica ultrapassada, sentindo-se dono do saber, não procurando conhecer as necessidades de seus alunos e fazendo questão de reforçar a heteronomia dos mesmos, não lhes propiciando um fazer que vise a construção do conhecimento, pelo fato de acreditar que aprender é “saber na ponta da língua” o que foi ensinado.
A Matemática surgiu da interação do homem com seu mundo, ao tentar compreendê-lo e atuar nele, é difícil aceitar que, ainda assim, conhecedoras desse percurso e de estudos como os de Piaget, os quais afirmam que a criança constrói o conhecimento através da interação com o outro e com o mundo, nossas escolas insistam em manter um ambiente “desmatematizador”. Na maioria das escolas, o processo ensino/aprendizagem é permeado pelas ideias da transmissão de conhecimentos e de que a criança, ao chegar à escola, não é dotada de saberes.
As teorias desenvolvidas pelo estudo de Piaget abordam situações essenciais que contribuem para o ensino-aprendizagem de Matemática. Piaget buscou diagnosticar as fases de transição de conhecimentos, envolvendo a passagem de um conteúdo mais simples para um conteúdo mais complexo. Essas fases de transição receberam o nome de estágios, que se baseavam na capacidade de desenvolvimento do raciocínio lógico. 
De acordo com Piaget, a Matemática é resultado do processo mental da criança em relação ao cotidiano, concebido mediante atividades de se pensar o mundo por meio da relação com objetos. Desse modo, não se deve pensar o ensino da Matemática de acordo com o sistema tradicional de educação, caracterizado pela repetição e verbalização de conteúdos.
 Piaget considera o método tradicional de ensino fracassado, levando em consideração que o mesmo trata a criança como um ser indiferente. Suas ideias refletem sobre um ensino formador de um raciocínio lógico matemático que conduz à interpretação e compreensão, em detrimento da memorização.
Diante disso, o educador deve promover situações que levem o aluno a encontrar soluções práticas e corretas, de acordo com os níveis psicogenéticos identificados. 
Segundo Piaget a Matemática deve ser utilizada como um instrumento capaz de possibilitar a interpretação dos acontecimentos que estão ao nosso redor, contribuindo na formação de indivíduos com níveis de conscientização quanto aos princípios de cidadania. 
Esse paradigma de elaboração do pensamento lógico-matemático desperta nas crianças uma ação x reflexão, capaz de permitir a construção do conhecimentosobre os diferentes estágios de inserção, em que as particularidades individuais sejam respeitadas buscando o aprendizado efetivo. 
	Vygotsky, diferentemente de Piaget, considera que o desenvolvimento ocorre ao longo da vida e que as funções psicológicas superiores são construídas ao longo dela. Ele não estabelece fases para explicar o desenvolvimento como Piaget e para ele o sujeito não é ativo nem passivo, é interativo.
	Segundo Vygotsky, a criança usa as interações sociais como formas privilegiadas de acesso a informações: aprendem a regra do jogo, por exemplo, através dos outros e não como o resultado de um engajamento individual na solução de problemas. Dessa maneira, aprende a regular seu comportamento pelas reações, quer elas pareçam agradáveis ou não. Enquanto Vygotsky fala do faz-de-conta, Piaget fala do jogo simbólico, e pode-se dizer que são correspondentes.
	Para Vygotsky, a brincadeira cria para as crianças uma zona de desenvolvimento proximal que não é outra coisa senão a distância entre o nível atual de desenvolvimento, determinado pela capacidade de resolver independentemente um problema, e o nível de desenvolvimento potencial determinado através da resolução de um problema, sob a orientação de um adulto, ou de um companheiro mais capaz.
Acredita-se que a escola deve ser alicerçada no diálogo, sendo todos seus atores considerados aprendizes. O aprender estaria relacionado ao fazer, por isso o aluno ao construir seu conhecimento é capaz de aprender Matemática. Um ambiente “matematizador”, então, seria aquele permeado por desafios, por construções, por possibilidades. O professor, numa visão vygotskiana, é aquele que possibilita esse ambiente, que leva a criança a estabelecer relações, a pensar, indo além do que vê. Assim, ela viverá e (re)descobrirá o conhecimento, construindo-o de forma ativa, posicionando-se como parte fundamental desse mundo, capaz de promover mudanças em si mesma e em seu meio.
	A desvalorização do movimento espontâneo da criança em favor do conhecimento estruturado e formalizado ignora as dimensões educativas da brincadeira e do jogo como forma poderosa de estimular a atividade construtiva da criança. É necessário que o professor procure ampliar cada vez mais as vivências da criança com o ambiente físico, com brinquedos, jogos, brincadeiras e com outras crianças.
	Num mundo no qual ter ideias, ser criativo e tomar decisões é cada vez mais relevante, a exploração de situações que beneficiem o desenvolvimento do raciocínio dedutivo assume grande importância. Nas aulas de Matemática, o aluno deve ter muitas oportunidades de verificar conjecturas, justificar propriedades, defender um processo de resolução de problemas e, em certas ocasiões, fazer uma demonstração, chegando assim, a formas de pensamento com mais rigor matemático.
	Para que a maioria dos alunos tenha a chance de perceber a Matemática como um caminho poderoso de decifrar o mundo, é essencial que a ênfase no raciocínio esteja voltada a todas as atividades matemáticas, considerando que isso demanda um tempo razoável e um grande número de experiências que possibilitem o desenvolvimento da capacidade de construir argumentos válidos na formulação de problemas e avaliação de argumentos diversos.
1.4- A Disciplina Matemática
	Desde o seu surgimento, o homem sempre esteve envolvido com matemática. Buscando atender às necessidades de suas condições de vida, ele conta, mede e calcula, ainda que não seja capaz de formalizar conceitos matemáticos e conseguir realizar operações abstratas ou reflexões científicas. Entretanto, atuando sobre o meio em que vive, ele alcança conhecimentos sobre formas e grandezas que o permitem estabelecer diversas relações na realidade que o cerca. 
Assim, o homem faz sua própria matemática ao procurar soluções para os problemas do cotidiano, produzindo novos conhecimentos e aplicando-os, apurando e elaborando os conceitos matemáticos. Muitas matemáticas são criadas em função das diferentes necessidades socioculturais e políticas de várias épocas e sociedades.
	Considera-se disciplina a força pedagógica capaz de mediar entre intuição e razão. Pela razão se busca o conhecimento do mundo e pela intuição, se lida com os valores desse mundo; encarando o mundo como um ambiente de ação. 
Caldas Aulete (2008) define disciplina como o conjunto de princípios de ordem estabelecidos para o funcionamento adequado de instituição, atividade, etc. Também, como área de conhecimento, especialmente, aquela estudada no ensino escolar.
Houaiss (2009) traz como uma das acepções do termo a definição de disciplina como ramo de conhecimento; matéria escolar. 	
A disciplina é de certa forma o regime de ordem imposta ou livremente consentida: a ordem que convém ao funcionamento regular de uma organização (escolar, militar, didática, científica, etc.). Abrange o relacionamento professor/aluno, a observância de regras, o conjunto de conhecimentos que se seguem em cada cadeira de um estabelecimento de ensino, matéria de ensino e a coleção de atitudes, métodos e procedimentos adotados.
A Matemática adquire caráter científico, assumindo forma e estrutura próprias ao acompanhar os avanços da humanidade. Desenvolve-se em função de necessidades externas, mas também, passa a progredir a partir dos problemas surgidos em sua própria estrutura interna.
Nos PCNs– Matemática (Parâmetros Curriculares Nacionais) consta que em sua origem a Matemática constitui-se a partir de uma coleção de regras isoladas, decorrentes da experiência e diretamente conectadas com a vida diária e que esta se converteu em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas. Isso confere à Matemática dois aspectos: o formalista, que estuda as relações entre entes puramente matemáticos e; o prático, que aplica o conhecimento matemático já construído, em diversas situações da realidade. 
As investigações no campo da Matemática ora se situam dentro do campo da Matemática pura, ora dentro do campo da Matemática Aplicada, mostrando sua influência mútua. As descobertas dos matemáticos puros revelam valor prático na proporção que são aplicadas, da mesma forma que o estudo de propriedades matemáticas em acontecimentos particulares pode promover o desenvolvimento teórico da matemática.
“A matemática transforma-se por fim na ciência que estuda todas as possíveis relações e interdependências quantitativas entre grandezas, comportando um vasto campo de teorias, modelos e procedimentos de análise, metodologias próprias de pesquisa, formas de coletar e interpretar dados. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e [compreensão] da natureza.” (PCN-Matemática)
A Matemática, ao longo dos tempos, revela-se uma ciência viva, dinâmica, em constante evolução e que interage com a realidade em uma relação de reciprocidade. Desse modo, a matemática é a ciência que, através da sintonia entre seus aspectos práticos e formais, permite o estudo analítico e quantitativo das relações instituídas entre o homem e a realidade que o cerca, instrumentalizando-o desta forma, para uma ação participativa e transformadora sobre a sociedade em que vive.
O ensino da matemática é o meio que conduz o ser humano a compreender o processo histórico e evolutivo da construção do conhecimento matemático, bem como apropriar-se e valer-se deste conhecimento nas relações entre ele e a realidade. Assim, a disciplina que esta atividade exige é aquela garante o alcance das seguintes finalidades:
Compreensão dos processos de construção de conhecimentos matemáticos.
Aplicação de conhecimentos nas relações com a realidade.
Também é relevante destacar que para a aquisição de conhecimentos é importante que os alunos percebam as conexões entre os temas matemáticos e entre a Matemática e as outras disciplinas.
1.5- A formação do Professor de Matemática
Nota-se que a visão de Matemática dominante no currículo escolar está refletida na percepção da sociedade do quevem a ser a Matemática. Observa-se que a maioria das pessoas considera a Matemática uma disciplina com resultados precisos e procedimentos infalíveis, cujos elementos fundamentais são as operações aritméticas, procedimentos algébricos e definições e teoremas geométricos. Desse modo o conteúdo torna-se fixo e, em sua conjuntura, pronto e acabado. Relegando a Matemática à condição de uma disciplina fria, sem espaço para a criatividade.
Para reverter essa situação há uma necessidade de os novos professores compreenderem a Matemática como uma disciplina de investigação, em que o avanço se dá em decorrência do processo de investigação e resolução de problemas. É relevante que o professor entenda que a Matemática estudada deve ser útil aos alunos, ajudando-os a compreender, explicar ou organizar sua realidade.
O grande desafio da Educação Matemática é buscar formas para exprimir essa visão da Matemática para o ensino, pois a sociedade não encara a Matemática como uma disciplina dinâmica com espaço para a criatividade.
A visão absolutista da Matemática produz uma dinâmica de ensino em que os alunos devem acumular conhecimento. Isso vem conduzindo nosso ensino de Matemática há vários séculos. Com base na construção social do conhecimento matemático, deve buscar menos acúmulo de informação e mais ação. Dentro dessa visão, o objetivo do ensino da Matemática é que os alunos tenham reais experiências matemáticas, as quais devem se caracterizar pela identificação de problemas, solução desses problemas e negociação entre o grupo de alunos sobre a validade das soluções propostas.
Observa-se que o processo de transmissão de conhecimento utilizado na experiência matemática da maioria dos nossos alunos, incluindo o ensino de Matemática no Ensino Superior, não deixa que o aluno analise a Matemática como uma área de pesquisa e investigação. Da mesma forma que no processo de construção da Matemática como disciplina a essência do processo é a pesquisa, na construção do conhecimento para cada aluno, a essência do processo tem que ser a pesquisa. 
Raramente o aluno de Matemática testemunha a ação do verdadeiro matemático no processo de identificação e solução de problemas. O professor faz questão de preparar todos os problemas a serem apresentados com antecedência; logo, o legítimo ato de pensar matematicamente é escondido do aluno. O que o aluno vivencia é uma solução sem obstáculos e sem dúvidas, dando-lhe a impressão de que ele também deverá conseguir resolver problemas matemáticos com tal elegância. Mas o que o aluno precisa entender é que nenhum verdadeiro matemático sabe resolver um problema antes mesmo de tentar resolvê-lo. O aluno de Matemática deve ter consciência que os problemas interessantes são encontrados na própria atividade matemática de exploração e investigação do mundo real.
Teorias modernas de aprendizagem procuram explicar como o indivíduo constrói o seu conhecimento matemático com base nos trabalhos de Piaget em que conflitos cognitivos são a essência do processo de aprendizagem. Vários pesquisadores vêm analisando o processo de construção do conhecimento matemático em crianças, por exemplo, fazendo o uso de situações-problemas para gerar a compreensão de como as crianças interpretam a situação, qual conhecimento elas empregam na sua solução e quais os conflitos cognitivos cuja resolução leva à aprendizagem. A diferença no trabalho dos construtivistas está na importância que os diferentes pesquisadores dão à interação social no processo de construção. Torna-se importante compreender o processo de construção do conhecimento matemático, para que os professores assimilem que essa visão de aprendizagem vem substituir a noção do aluno como recipiente passivo de fatos e ideias.
O ambiente necessário para a construção de uma visão de Matemática proposta pelos construtivistas caracteriza-se por um ambiente no qual os alunos propõem, exploram e investigam problemas matemáticos. Esses problemas emanam tanto de situações reais (modelagem) como de situações lúdicas (jogos e curiosidades matemáticas) e de investigações e contestações dentro da própria Matemática. 
Para atingir um ambiente de pesquisa matemática em que a curiosidade e o desafio servem de motivação inerente aos alunos, é necessário modificar a dinâmica da sala de aula. Grupos de trabalho tornam-se necessários e simulam a comunidade de pesquisa matemática. O professor deixa de ser a autoridade do saber e passa a ser um membro integrante dos grupos de trabalho. Muito do que surge das investigações dos alunos será novidade para o professor. A contribuição do professor para o trabalho será a visão do que vem a ser a atividade matemática, ou seja, a proposição e resolução dos problemas.
 Algumas vezes, o professor, identificando uma área que precisa ser trabalhada, propõe os problemas a serem investigados. Outras vezes, o professor propõe o contexto real, lúdico ou matemático a partir do qual os problemas serão gerados e resolvidos. O ambiente proposto é um ambiente positivo que encoraja os alunos a propor soluções, explorar possibilidades, levantar hipóteses, justificar seu raciocínio e validar suas próprias conclusões. O erro, ou melhor, respostas "incorretas" constituem a riqueza do processo de aprendizagem e devem ser exploradas e utilizadas de maneira a gerar novo conhecimento, novas questões, novas investigações ou um refinamento das ideias existentes.
Um professor visando criar ambiente propício para a construção do conhecimento matemático em sua sala de aula tem que reconsiderar vários parâmetros. Assim, o conteúdo a ser discutido é um tanto imprevisível e dependerá da direção tomada pelos alunos na solução dos problemas propostos. O professor terá que ter uma flexibilidade ao determinar o conteúdo a ser tratado. Dificilmente o conteúdo seguirá a ordem arbitrária em que ele aparece nos livros-textos. Em vez de resolver muitos problemas, os alunos investigarão a fundo poucos problemas e passarão bastante tempo analisando um único problema. A quantidade de material tratado não poderá ser medida pelo número de problemas resolvidos pelos alunos. 
Outra noção a ser considerada pelo professor são os limites das diversas áreas da Matemática e das diversas disciplinas. Um problema real poderá envolver conceitos de Matemática e Ciências, Matemática e Sociologia, etc. de forma que o aluno terá dificuldade em distinguir a disciplina à qual pertence o problema. O ambiente deve incentivar o uso de livros, material manipulativo, calculadoras, computadores, etc. que devem ser utilizados conforme forem necessários para enriquecer a exploração e investigação do problema ou podem servir para dar origem a problemas interessantes.
Para que a instrução matemática seja compatível com a visão descrita anteriormente há necessidade de se modificar os programas de formação de professores, pois um professor de Matemática formado em um programa tradicional terá dificuldades para enfrentar os desafios das modernas propostas curriculares; de maneira geral o professor ensina da maneira como lhe foi ensinado. 
De maneira geral prepondera um ensino em que o professor expõe o conteúdo, mostra como resolver alguns exemplos e pede que os alunos resolvam inúmeros problemas semelhantes. Nessa visão de ensino o aluno recebe instrução passivamente e imita os passos do professor na resolução de problemas ligeiramente diferentes dos exemplos. Predomina o sucesso por memória e repetição. Raramente esses alunos geram problemas, resolvem aqueles que exijam criatividade ou que não sejam simplesmente a aplicação de passos predeterminados. Raramente também vemos alunos desenvolvendo modelos matemáticos para interpretar situações reais. Ainda mais difícil é encontrarmos professores dispostos a criar um ambiente de pesquisa em sala de aula, onde o trabalho se baseia nas conjecturas dos alunos e subsequente tentativa de verificá-las e demonstrá-las. 
Para trabalhar a Matemática de maneira alternativa é necessário acreditar que de fato o processo de aprendizagemda Matemática se baseia na ação do aluno em resolução de problemas, em investigações e explorações dinâmicas de situações que o intrigam. 
 O aprendizado do futuro professor de matérias como Cálculo, Álgebra, Probabilidade, Estatística e Geometria, no ensino superior, dever visar à investigação, à resolução de problemas, às aplicações, assim como a uma análise histórica, sociológica e política do desenvolvimento da disciplina o que exige uma nova percepção de como se aprende Matemática. Assim, a mudança de cursos formais de Matemática exige da comunidade de educadores matemáticos a procura de alternativas criativas para que o futuro professor tenha legítimas experiências matemáticas, simulando as atividades de uma comunidade de pesquisa matemática. 
Da mesma maneira que os alunos constroem seu conhecimento matemático através de suas experiências com a Matemática, futuros professores constroem seu conhecimento sobre o ensino da Matemática através de suas experiências com o ensino. Neste processo de construção a identificação e a resolução de problemas são essenciais. No entanto, se o futuro professor não tiver contato com alunos em idade escolar dificilmente poderá identificar e resolver problemas sobre ensino e aprendizagem. Daí a necessidade de se incorporar a experiência com alunos nos cursos de formação de professores. 
Compreender como pensam os alunos, como gerar seu entusiasmo e curiosidade é essencial ao sucesso do futuro professor de Matemática. Torna-se difícil ao futuro professor relacionar o que está aprendendo teoricamente com a prática educacional se não tiver contato com alunos durante a formação, pois o conteúdo passa a ser apenas acadêmico, tendo pouca relação com a prática. As experiências matemáticas dos professores e a experiências dos professores com alunos devem ser cuidadosamente planejadas para que se complementem. 
Unidade 2- Doutrina do Ensino e do Método
2.1- A Produção do Conhecimento Matemático
A reflexão sobre as formas de produção de conhecimento é essencial ao trabalho do professor interessado em promover a aproximação entre o estudante e o conhecimento. O processo de produção de conhecimento confunde-se com o próprio método de ensino. De modo que o professor que sabe produzir conhecimento pode ensinar a seu aluno a fazer o mesmo.
Na ciência matemática grega, os processos de produção do conhecimento matemático se apresentam na forma dedutiva, sistemática, baseada em definições e axiomas. Mais tarde, na lógica aristotélica, o processo de abstração passa a ser também referência importante para a produção do conhecimento matemático. 
René Descartes, em seu método, concebeu como únicas fontes do conhecimento a intuição e a dedução, ambas compreendidas como operações de nosso entendimento.
Para a Idade Moderna e Contemporânea, o Século XVII representa a culminação de um processo em que se subverteu a imagem que o homem tinha de si próprio e do mundo. A emergência da nova classe dos burgueses determina a produção de uma nova realidade cultural e da ciência física, que se exprime matematicamente. Pode-se dizer que até então não era colocada em questão a existência do objeto, a realidade do mundo. 
A Idade Moderna inverte o polo de atenção, centralizando no sujeito a questão do conhecimento. Agora, se o pensamento que o sujeito tem do objeto concorda com o objeto, dá-se o conhecimento. A procura da maneira de evitar erros faz surgir a principal característica do pensamento moderno: a questão do método. O equilíbrio entre intuição e razão é perdido. Acentua-se a razão como instrumento de produção de conhecimento. A racionalidade passa a ser única referência de verdade aceitável. 
A partir do século XVII, o homem passa a buscar o ideal matemático uma mathesis universalis (matemática universal), o que significa usar o tipo de conhecimento da matemática, que é completo, inteiramente dominado pela inteligência e baseado na ordem e na medida, permitindo estabelecer cadeias de razões para o domínio da natureza. As principais atividades da mente são recordar, raciocinar, conhecer e querer; portanto não se submetem às leis físicas, mas é o lugar da liberdade.
O empirismo, ao contrário do racionalismo, enfatiza o papel da experiência sensível no processo do conhecimento como fundamental, o trabalho posterior da razão está a ela subordinado. Até aqui a reflexão sobre as formas de produção do conhecimento matemático girou em torno de questões gnosiológicas (relativas ao conhecimento) e surgiram duas correntes opostas: o racionalismo e o empirismo.
	
Racionalismo
	
Empirismo
	Sistema que limita o homem ao âmbito da própria razão, confia na capacidade do homem de atingir verdades universais, eternas.
	Limita o homem ao âmbito da experiência sensível e questiona o caráter absoluto da verdade, já que o conhecimento parte de uma realidade em constante transformação, sendo tudo relativo ao espaço, ao tempo, ao humano.
RACIONALISMO
É a corrente que afirma que tudo que existe tem uma causa inteligível, pondo a razão, o pensamento, como a principal fonte do conhecimento humano. Seu método é a dedução. Seu conhecimento só é aceito como racional se possuir em seus juízos necessidade lógica e validade universal, sem precisar do uso da experiência.
            No racionalismo, percebe-se a influência da Matemática, pois esta é um conhecimento inteligível, puramente dedutivo e conceitual, com validade universal e necessária, desse modo, pode-se enxergar que a maioria dos racionalistas são matemáticos.  
            A forma mais primitiva de racionalismo está em Platão, este admitia que o saber verdadeiro possuía necessidade lógica e validade universal. O mundo da experiência não poderia fornecer um conhecimento verdadeiro, pois, encontrava-se em constante modificação. Platão acreditava na teoria da reminiscência para explicar a fonte do conhecimento. Seu racionalismo é chamado de racionalismo transcendente, pois a alma, num mundo suprassensível, teve contato com as ideias (o verdadeiro conhecimento) e agora, somente recorda-se delas por meio da experiência sensível.
Diferenciando um pouco de Platão, Plotino concebe que o conhecimento provém de um nous cósmico, uma inteligência ou espírito cósmico, onde o espírito humano recebe as ideias deste nous, em que o espírito humano é iluminado, contrapondo a Platão que acreditava num mundo das ideias, esta teoria caracteriza-se pela iluminação. Agostinho dá um sentido mais cristão às ideias de Plotino, ou seja, há uma substituição do nous pelo Deus cristão, desta forma, pode se dizer que o espírito humano, ou a razão humana é iluminada por Deus, podendo assim, chamá-la de racionalismo teológico.
Dentro da perspectiva de um racionalismo teológico, mas, de uma forma mais intensa, há o teognosticismo e o ontologismo, aquele tendo como referência Malebranche, filósofo francês, onde sua tese fundamental traduzida diz: “Nós vemos todas as coisas em Deus”. Prega ele a teoria racional do absoluto como fonte única, ou ao menos, a principal, do conhecimento humano. Já o ontologismo, refere-se a Gioberti, filósofo italiano, que diz poder conhecer as coisas contemplando o absoluto na nossa atividade criadora, ou seja, o homem possui uma visão ou intuição direta e indireta de Deus.
Na modernidade, em contraposição ao racionalismo teológico e o transcendente, temos o racionalismo imanente. Com isso, Descartes e Leibniz trazem a doutrina das ideias ou conceitos inatos, onde estas são as mais importantes fundamentadoras do conhecimento. Para Descartes, os conceitos estão mais ou menos prontos, já em Leibniz, as ideias estão em potência.
No século XIX, há outra forma de racionalismo, que é estritamente lógico, onde concebe o pensamento como a fonte única do conhecimento, não existindo espaço para a experiência. Com isso esta forma de racionalismo assume um caráter unilateral. Além disso, outro defeito comum do racionalismo é a dogmatização do conhecimento por deduzir conhecimentosa partir de simples conceitos.
EMPIRISMO
 	É a corrente que tem como fundamento que a obtenção do conhecimento se dá através da experiência, assim, não se tira os conteúdos do pensamento, como posiciona o racionalismo, ou seja, o espírito humano está vazio de conceitos e somente através da experiência formulam-se os conceitos gerais. Todos os conceitos, mesmos os mais abstratos e universais partem de fatos concretos.
            Já na antiguidade se via concepções empiristas. Os estoicos já falavam que a alma é uma tábua onde não há nada escrito. Mas é na idade moderna que vê os mais importantes representantes do empirismo: Jonh Locke e David Hume, eles reconheceram a esfera da matemática como conhecimento válido, em contrapartida, combatiam o princípio das ideias inatas. Para Locke, a alma é um papel em branco e que somente através da experiência, estas iriam imprimindo marcas neste “papel”. Para ele, havia dois tipos de experiência: a interna e a externa, a aquela é a reflexão, esta, a sensação. Para Locke, as ideias poderiam ser simples ou complexas.
Em Hume, há uma divisão das ideias em impressões e ideias. As impressões são percepções nítidas das sensações; as ideias são cópias das impressões, ou seja, com base nestas impressões surgem representações menos claras da memória e da fantasia. Para cada ideia deve-se apontar uma impressão correspondente.
Como representante do sensualismo, Condillac, contemporâneo de Hume, defendeu que a única fonte do conhecimento era a sensação. Já o filósofo inglês John Stuart, que atribuiu o conhecimento matemático à experiência e até as leis lógicas do pensamento tem a base na sua validade na experiência.
INTELECTUALISMO
Esta doutrina tem como característica conciliar duas concepções que se mostram opostas, racionalismo e empirismo, desta forma, o intelectualismo considera as duas concepções supracitadas como relevantes para o processo de formação do conhecimento. Apesar disso, percebe-se uma pequena inclinação para o empirismo. O intelectualismo aceita que juízos são necessários e que precisam de uma validade universal, tanto para os objetos ideais, quanto para os reais, todavia, nesta doutrina, os juízos derivam da experiência, a consciência cognoscente tira seus conceitos da experiência. Seu pressuposto fundamental é: “nada está no intelecto que não tenha passado pelo sentido”. Com isso, estabelece-se que pensamento e experiência são as bases do conhecimento humano.
Pode-se dizer que o intelectualismo teve como percussor Aristóteles, que procurou dar solução para a problemática do conhecimento. Aristóteles, depois de seguir as concepções racionalistas de Platão, virou-se para o empirismo e destacou que a experiência é fundamento de todo o conhecimento. O conhecimento parte da experiência, entretanto, a interpretação é dada pelo pensamento. Através dos sentidos se recebe imagens dos objetos e nela está contida a ideia, essência universal das coisas, onde só resta extraí-la. O conhecimento se dá por uma espécie de iluminação, o pensamento é passivo e ativo. O Nous poietikós (intelecto agente), atua como uma luz, deixando a ideia transparente, acendendo-a. Esta luz é recebida pelo Nous pathetikós (intelecto receptivo), entendimento possível, desta forma, o conhecimento se faz concretamente.
Em Tomás de Aquino, sua tese se parece com a de Aristóteles, todavia, ele a reorganiza. Há, pois, o intellectus agens e o intellectus possibillis, aquele extrai as ideias, este, recebe-as. Seu pressuposto é que todo o conhecimento da nossa mente deriva dos sentidos.
APRIORISMO
 
            O apriorismo nada mais é do que outra tentativa de conciliar racionalismo e empirismo. Apesar de concordar com o intelectualismo no que diz respeito a existência de um fator racional e um empírico no conhecimento humano, o apriorismo situa o fator a priori no pensamento, na razão e não da experiência. Desse modo, este tende ao racionalismo como sujeito que desempenha o principal papel na produção do conhecimento.
Segundo o apriorismo, existe em nosso conhecimento elementos que existem independentes da experiência, ou seja, são a priori. Estes elementos são de natureza formal, isto é, formas do conhecimento que recebem seu conteúdo da experiência. Em outras palavras, estes elementos a priori, ou fatores apriorísticos são análogos a recipientes vazios que são preenchidos com os conteúdos provindos da experiência. Neste caso, o material do conhecimento provém da experiência, já a forma que este material irá adquirir está no pensamento.
No apriorismo o pensamento sempre se mostra ativamente frente a experiência, isto por que é ele que organiza o processo de conhecimento levando as formas a priori ao conteúdo da experiência determinando os objetos do conhecimento.
O fundador do apriorismo é Kant. Afirma ela que o material do conhecimento apresenta-se como um caos e é o nosso pensamento que se encarrega de dar ordem a este caos relacionando os conteúdos sensíveis entre si. Isto se dá por intermédio das formas de intuição (tempo e espaço; ordena espacial e temporalmente na sucessão ou na simultaneidade) e do pensamento (doze, segundo Kant; por exemplo, a causalidade, proporciona uma relação causal entre coisas).
Assim, fica clara a distinção entre os modos de conciliar racionalismo e empirismo feitos por intelectualismo e apriorismo.  Este atribui o fator racional à razão, enquanto que aquele deriva os conceitos da experiência.
2.2-A Matemática Como Linguagem
A ciência moderna nasce no século XVII com a revolução galileana e ao determinar um objeto específico de investigação cria também, um método pelo qual se fará o controle desse conhecimento. Assim, a ciência atinge um tipo de conhecimento sistemático, preciso e objetivo.
 A utilização de métodos rigorosos permite descobertas de relações universais e necessárias entre os fenômenos, o que permite prever acontecimentos e também agir sobre a natureza de forma mais segura. 
A ciência dispõe de uma linguagem rigorosa cujos conceitos são definidos de modo a evitar ambiguidades e a linguagem se torna cada vez mais precisa, na medida em que utiliza a matemática para transformar qualidades em quantidades: A mathesis. 
No fim do século XIX e início do século XX, a ciência moderna teve as suas concepções clássicas duramente fragilizadas por duas descobertas: a física não-newtoniana e as geometrias não-euclidianas.
É comum ouvirmos expressões como: "a matemática é uma linguagem abstrata", "a linguagem da matemática é de difícil compreensão aos alunos", "a linguagem da matemática é precisa e rigorosa". Sendo a matemática uma área do saber muito rica, é natural que se tenha diversos pensamentos sobre ela um deles é, precisamente, ser possuidora de uma linguagem própria, que em alguns casos e em certos momentos históricos se confundiu com a própria matemática.
 Na realidade, estamos perante um meio de comunicação possuidor de um código próprio. Esta linguagem tem registos orais e escritos e, como qualquer linguagem, apresenta diversos níveis de elaboração, consoante a competência dos interlocutores: a linguagem matemática utilizada pelos "matemáticos profissionais", por traduzir ideias de alto nível, é mais exigente do que a linguagem utilizada para traduzir ideias numa aula. 
Do mesmo modo, a linguagem natural admite registos de complexidade diferente dependendo da competência dos falantes. A comparação entre a linguagem natural e a linguagem da Matemática apresenta diferenças marcantes, porque a linguagem matemática não se aprende a falar em casa, aprende-se, a utilizar na escola. 
Os atos de ensinar e aprender são na sua essência atos de comunicação. A presença da linguagem numa sala de aula é verdadeiramente avassaladora, sendo que será bastante difícil "olhar para a aula de Matemática" sem atentarmos na linguagem dessa mesma aula, através da análise do discurso e da análise de conteúdo. A linguagem da matemática resulta do cruzamento da linguagem da matemática com uma linguagemnatural, no nosso caso, o português.
As práticas dos professores têm uma forte componente de linguagem. Essas práticas estão muitas vezes cravadas das visões e dos valores dos professores, entre eles, sobre o lugar da linguagem e da comunicação no ensino e na aprendizagem da matemática. A linguagem da aula de matemática, além das concepções dos professores, é influenciada por outros fatores, como sejam as aprendizagens anteriores dos alunos, o nível sociocultural e a formação de professores.
A linguagem matemática pode ser definida como um sistema simbólico, com símbolos próprios que se relacionam segundo determinadas regras. Esse conjunto de símbolos e regras deve ser entendido pela comunidade que o utiliza. A apropriação desse conhecimento é indissociável do processo de construção do conhecimento matemático. 
Está compreendido, na linguagem matemática, um processo de “tradução” da linguagem natural para uma linguagem formalizada, específica dessa disciplina. Os enunciados emitidos em língua natural passam a ser escritos para o equivalente em símbolos matemáticos. Essa tradução é o que permite converter os conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis. 
A leitura de textos que envolvem Matemática, seja na conceitualização específica de objetos desse componente, seja na explicação de algoritmos, ou ainda, na resolução de problemas, vai além da compreensão do léxico: exige do leitor uma leitura interpretativa. Para interpretar, o aluno precisa de um referencial linguístico e, para decifrar os códigos matemáticos, de um referencial de linguagem matemática.
As relações existentes entre os dados do problema e o problema ou entre os conceitos e suas expressões matemáticas, são expressas em língua natural. A Língua Portuguesa escrita ou oral tem seu papel na Matemática como nas outras áreas do conhecimento. É, no mínimo, o veículo das informações, mas podem estar nela as dificuldades que os alunos encontram na resolução de problemas, já que tais dificuldades não estão situadas no âmbito dos algoritmos, das fórmulas ou dos conceitos específicos dessas áreas, mas nas construções linguístico-discursivas dos enunciados dos problemas.
Há a necessidade da língua para ler e compreender o texto de Matemática e, se esse for um problema, de dar significado à sua solução. Por outro lado, é necessário ler e escrever em linguagem matemática, compreender os significados dos símbolos, dos sinais ou das notações próprias dessa linguagem.
Traduzir da língua portuguesa para a linguagem matemática, isto é, do problema escrito em português para as sentenças matemáticas, é preciso uma coleta de informações para, após, interpretá-las, ou seja, codificá-las ou traduzi-las para um novo código ou linguagem. Para fazer isso, é necessária a compreensão do enunciado do problema e das informações que ele traz, bem como das relações conceituais que dão significado a essas informações.
O professor de Matemática pode orientar ou viabilizar leituras de textos matemáticos em parceria com o professor de Língua Portuguesa, não só na perspectiva de ensino da Matemática, mas também na perspectiva de desenvolvimento da compreensão leitora. 
A leitura de textos nas aulas de Matemática pode ser pensada como uma prática de ensino que tenha como objeto trabalhar conceitos e procedimentos matemáticos, história da matemática, ou reflexões sobre Matemática, seus problemas, seus métodos, seus desafios, porém, muito mais que orientar a execução de determinada técnica, deve agregar elementos que não só favoreçam a constituição de significados dos conteúdos matemáticos, mas também colaborem para a produção de sentidos da própria Matemática e de sua aprendizagem pelo aluno.
Uma forma de apresentação da Matemática seria a linguagem matemática evidenciando o aspecto utilitário e de importância na comunicação e na compreensão do contexto social em que vivemos. 
No entanto, para que os símbolos que formam a linguagem matemática possam atribuir significados e serem transformados em ideias, é preciso antes, aprender a utilizar essa diferente linguagem, pois a matemática tem seus códigos próprios, seu sistema de representação da realidade historicamente construído. Atualmente, a presença da linguagem matemática em diversas áreas do conhecimento faz com que seja necessário o seu domínio pelo contexto na vida cotidiana.
Atualmente, muito se tem falado sobre as exigências que devem ser feitas aos alunos que concluem o Ensino Médio. Entre elas, aparece com destaque a capacidade de ler, escrever e comunicar-se nas diversas áreas. Por isso, acredita-se ser importante que o aluno desenvolva, também em Matemática e através dela, sua capacidade de comunicação.
Comunicar, em Matemática, significa ser capaz de utilizar o seu vocabulário e suas formas de representação (símbolos, tabelas, gráficos, expressões, etc.), expressar e compreender ideias e relações.
Levando em conta a estreita dependência entre os processos de estruturação do pensamento e da linguagem faz-se imprescindível propor atividades que estimulem e provoquem a comunicação oral e escrita, proporcionando ao aluno maneiras de verbalizar seus raciocínios, analisando, explicando, discutindo, confrontando processos e resultados.
O aperfeiçoamento da linguagem do aluno deve emanar da necessidade, por ele percebida, de comunicar-se de maneira clara. A linguagem usada pelo professor precisa se adequar ao nível de desenvolvimento do aluno, não deixando, no entanto, perder o rigor lógico. O rigor com as linguagens materna e matemática torna-se necessário para não se desenvolver conceitos errados ou não induzir o aluno ao erro ou à falta de entendimento de alguma questão.
Cabe aos educadores propiciar aos alunos condições favoráveis para que venham a se tornar protagonistas de seu próprio aprendizado. Para que isso possa acontecer é preciso ter em mente que a linguagem usada deve ser compreensível a todos, de maneira que os problemas matemáticos, alguns complexos pela sua natureza, não venham a agravar essa complexidade por problemas de linguagem inadequada.
2.3- A Matemática Como Investigação Científica
Mas, o que é uma investigação científica?
Para se instituir uma teoria não basta alegar uma suposição. A prática procura, através de um procedimento lógico, produzir conhecimento científico testado, comprovado e seguro, sendo isso conhecido como investigação científica. Para tanto, algumas regras ou fases integram o processo, tais como: a observação, as hipóteses, o método de pesquisa e a conclusão.
Os estudos científicos visam ampliar os horizontes das teorias que explicam os acontecimentos do mundo. Esses estudos servem para contestar ou melhorar uma teoria já existente, para acrescentar informações, integrar dados, corrigir resultados ou expandir os grupos de estudo.
Geralmente, através da observação, as evidências empíricas verificáveis, servem para comprovar a hipótese, utilizando como métodos experiências ou pesquisas de campo.
Passos da investigação científica:
Observação
A primeira parte de uma investigação cientifica é a observação. Nessa parte surge a ideia e as perguntas sobre a importância de fato são averiguadas. As perguntas sobre o porquê de tal fato acontecer ou qual é a relação entre fatores de uma determinada situação são levadas em consideração.
Hipótese
Após proceder a fase das perguntas, é necessário formular possíveis respostas. As respostas não são meros “achismos” ou simples observações de relações, mas precisam estar embasadas por estudos já existentes e publicados. Neste momento, é possível criar respostas positivas ou negativas às perguntas formuladas na observação.
Método de pesquisa
As deduções devem ser confirmadas por métodos empíricos, que vão mostrar se a hipótese está ou não correta e se ela se sustenta. Nesta fase, é possível fazer experiências dentro de laboratórios, testes, experimentações ou pesquisas de campo, que vão variar de acordo com a área de estudos. 
PublicaçãoSe a hipótese for aceita, ou melhor, se os resultados dos métodos de pesquisa estiverem compatíveis com as hipóteses levantadas no começo do processo, então a investigação cientifica foi comprovada e ela deve ser divulgada para servir de base para novos estudos. As divulgações acontecem em congressos e simpósios da área, bem como em revistas de publicações científicas. Um estudo científico, quando fica por muito tempo sem ser refutado por outros estudos, torna-se uma teoria.
Teoria
Todas as teorias são originadas dos processos investigativos, mas mesmo isso não lhe confere caráter de verdade absoluta. Com a evolução das pesquisas, é perfeitamente possível derrubar uma teoria e criar outras com base nas novas evidências, observações e, consequentemente, hipóteses e métodos de pesquisa.
Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a Matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: Matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e formulam teorias com as quais tentam explicar as relações observadas.
Na visão moderna, outra definição - a Matemática é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, comumente na Física, no entanto os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões simplesmente internas à Matemática (Matemática Pura), por exemplo, ao se perceber que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.
Muitos matemáticos estudam as áreas que escolheram por razões estéticas, simplesmente por considerarem as estruturas investigadas belas em si mesmas. Historicamente, as principais disciplinas dentro da matemática surgiram da necessidade de se efetuarem cálculos no comércio, medir terras e predizer eventos astronômicos. Essas necessidades podem ser, sem grande rigor, relacionadas com as grandes subdivisões da matemática: o estudo das estruturas, o estudo dos espaços e o estudo das alterações.
O estudo de estruturas começa com os números naturais e números inteiros. As regras que governam as operações aritméticas são as da Álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números.
 A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da Álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anéis e corpos – estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números. 
O conceito de vetor, importante para a física, é generalizado no espaço vetorial e estudado na Álgebra Linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço. 
O estudo do espaço se originou com a Geometria, primeiro com a Geometria Euclidiana e a Trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-euclidianas, as quais cumprem importante papel na formulação da teoria da relatividade. 
A teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A Geometria Diferencial e a Geometria Algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a Geometria Diferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na Geometria Algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de equações polinomiais. A teoria dos grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade. 
Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do conceito de função. O campo das equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações.
 Os números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na análise real, a qual foi generalizada para análise complexa, abrangendo os números complexos. 
A análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da mecânica quântica, entre muitas outras coisas. 
Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos, lógica matemática e teoria dos modelos.
 Quando os computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da computabilidade, complexidade computacional, informação e informação algorítmica, as quais são investigadas na ciência da computação. 
Uma teoria importante desenvolvida pelo ganhador do Prêmio Nobel, John Nash, é a Teoria dos jogos. Ramo da matemática que estuda a interação entre estratégias, a Teoria dos Jogos foi desenvolvida inicialmente como ferramenta para descrever e prever o comportamento econômico, possui atualmente aplicações nos mais diversos campos, como no estudo de disputas comerciais. 
Os computadores também contribuíram para o desenvolvimento da teoria do caos, que trata com o fato que muitos sistemas dinâmicos obedecem a leis que, na prática, tornam seu comportamento imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a geometria dos fractais, como o conjunto de Mandelbrot, exemplo de fractais gerados por computadores, sendo um dos mais conhecidos. 
Um importante campo na matemática aplicada é a Estatística, que permite a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A análise numérica investiga os métodos para resolver numericamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional.
As ideias matemáticas são testáveis, mas normalmente não através de evidência do mundo natural, como em Biologia, Química, Física e disciplinas similares. Em vez disso, as ideias matemáticas que ainda não foram provadas podem ser testadas computacionalmente.
Na ciência, evidência vinda do mundo natural pode-nos fazer aceitar ou rejeitar uma ideia, mas o mesmo não é necessariamente verdade em Matemática. O conceito de infinito, por exemplo, é matematicamente válido independentemente de encontrarmos ou não qualquer evidência de que um número infinito do que quer que seja realmente existe no mundo natural. Talvez o mais importante seja que as ideias científicas nunca podem ser provadas de forma absoluta, pois novas evidências e perspectivas podem levar-nos a revê-las. Por outro lado, algumas ideias matemáticas, podem ser provadas absolutamente.
As inovações na matemática contribuem para novas descobertas em Matemática e muitas vezes levam a novos métodos de investigação em ciências como Biologia, Química e Física. Mesmo o conhecimento matemático que é desenvolvido de forma puramente abstrata, sem qualquer consideração por potenciais aplicações científicas, muitas vezes acaba por ser útil na investigação científica. Por exemplo, em 1909, o matemático David Hilbert começou a desenvolver ferramentas matemáticas para estudar espaços de dimensão infinita, que foram utilizadas mais de 10 anos depois para formalizar a mecânica quântica — uma das teorias fundamentais da física moderna.
Muitos matemáticos trabalham em problemas que nos ajudam a compreender e explicar o mundo natural. Por exemplo, a descoberta por Isaac Newton das regras básicas do movimento só foi possívelgraças aos avanços que ele fez em cálculo infinitesimal (um importante ramo da Matemática).
 Enquanto algumas disciplinas matemáticas (por exemplo, Matemática Aplicada) têm como finalidade ajudar-nos a entender entidades físicas do mundo real, outras (por exemplo, Geometria Algébrica), concentram-se principalmente em desenvolver o conhecimento matemático abstrato, e mesmo assim esse conhecimento abstrato acaba frequentemente por ter posteriormente aplicações no mundo real. 
Considerando a Matemática como fazendo parte da estrutura do mundo natural, então toda a investigação matemática pode ser vista como tendo o objetivo de explicar o mundo natural.
2.4- Conhecimento Matemático , Metodologia e Didática
A produção de conhecimentos em Matemática atende a interesses práticos e formais e está baseada em dois argumentos fundamentais:
• a Matemática promove o desenvolvimento do raciocínio lógico.
• a Matemática está presente no cotidiano de todas as pessoas.
Torna-se essencial levar para a aula de Matemática o método indutivo, as inferências e estimativas, as experimentações, o método dedutivo, e o exercício da argumentação, visando desenvolver habilidades de raciocínio e do pensamento coerente, com vistas à valorização da produção de conhecimentos individual e em grupo, da comunicação e do relacionamento interpessoal, avaliando e sintetizando para criar melhores condições de vida.
A didática da matemática é o conjunto de princípios, crenças, opinião de autores, textos de obras selecionadas pelo professor de matemática e que servem de base para o seu sistema de ensino e para a organização da disciplina.
“O futuro da Educação não depende de revisões de conteúdo, mas da dinamização da própria Matemática, procurando levar a nossa prática à geração de conhecimento. Também pouco depende de uma metodologia “mágica”. Depende essencialmente de o professor assumir sua nova posição, reconhecer que ele é um bom companheiro de seus estudantes na busca de conhecimento, e que a Matemática é parte integrante desse conhecimento. Um conhecimento que dia a dia se renova e se enriquece pela experiência vivida por todos os indivíduos deste planeta”. (D’Ambrósio, 1991)
	O objetivo fundamental da didática da Matemática é averiguar como funcionam as situações didáticas, ou melhor, quais das características de cada situação são determinantes para a evolução do comportamento dos alunos e, por conseguinte, de seus conhecimentos. 
Isto não significa que só seja de interesse analisar as situações didáticas bem sucedidas. Até mesmo, se uma situação didática fracassa em seu propósito de ensinar alguma coisa, sua análise pode constituir uma contribuição à didática, se permitir identificar os aspectos da situação que se tornaram determinantes de fracasso.
	Guy Brousseau (1996) contribuiu com o desenvolvimento da teoria das Situações Didáticas. Considerando que a visão dominante no campo da Educação era essencialmente cognitiva, devido a Piaget e colaboradores, que evidenciou o papel central da ação no desenvolvimento, a originalidade do pensamento matemático e as etapas de seu desenvolvimento nas crianças, mas não observou a particularidade da aprendizagem de cada conhecimento matemático ao considerar a estrutura formal e a função da lógica como fundamentais.
Dessa forma, de acordo com Gálvez (1996), a teoria de Brousseau (1996) esclarece a integração das dimensões epistemológicas, cognitivas e sociais no campo da Educação Matemática, permitindo compreender as interações sociais que ocorrem na sala de aula entre alunos e professores, as condições e a forma que o conhecimento matemático pode ser aprendido, sendo que o controle destas condições permitiria reproduzir e otimizar os processos de aquisição de conhecimento matemático escolar.
Para modelar a teoria das Situações Didáticas, Brousseau (1996) propõe o sistema didático stricto sensu ou triângulo didático (fig. 1), que comporta três elementos - o aluno, o professor e o saber - que são partes constitutivas de uma relação dinâmica e complexa - a relação didática - que leva em consideração as interações entre professor e alunos (elementos humanos), mediadas pelo saber (elemento não-humano), que determina a forma como tais relações irão se estabelecer. 
O objeto de estudo da Didática da Matemática é a situação didática, definida por Brousseau como
 um conjunto de relações estabelecidas explícita e/ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, um determinado meio (que abrange eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (representado pelo professor) com a finalidade de conseguir que estes apropriem-se de um saber constituído ou em vias de constituição (BROUSSEAU, 1996).
Um aspecto que facilita a análise das situações didáticas é sua classificação. Brousseau (1996) distingue, entre as situações que produz para seu estudo experimental, quatro tipos a seguir.
As situações de ação, nas quais gera uma interação entre os alunos e o meio físico. Os alunos devem tomar as decisões que faltam para organizar sua atividade de resolução do problema formulado.
As situações de formulação, cujo objetivo é a comunicação de informações entre alunos. Para isso, devem modificara linguagem que utilizam habitualmente, precisando-a e adequando-a às informações que devem comunicar.
As situações de validação, nas quais se tenta convencer a um ou vários interlocutores da validade das afirmações que são feitas. Nesse caso, os alunos devem elaborar provas para demonstrá-las. Não basta a comprovação empírica de que o que dizem é certo; é preciso explicar porque, necessariamente, deve ser assim.
As situações de institucionalização, destinadas a estabelecer convenções sociais. Nessas situações busca-se que o conjunto de alunos de uma aula assuma o significado socialmente estabelecido de um saber que foi elaborado por eles mesmos, em situações de ação, formulação e validação.
	Um ponto importante da análise de uma situação didática consiste na identificação das variáveis didáticas e no estudo, tanto teórico como experimental, de seus efeitos. O que importa são os intervalos de valores dessas variáveis que resultam determinantes para o surgimento do conhecimento que a situação didática pretende ensinar.
	Brousseau (1996) ressalta que é necessário criar situações didáticas que façam funcionar o saber, a partir dos saberes definidos culturalmente nos programas escolares. Levando em consideração que o sujeito que aprende precisa construir por si mesmo seus conhecimentos por meio de um processo adaptativo semelhante ao que realizaram os produtores originais dos conhecimentos que se quer ensinar.
	De acordo com Brousseau (1996), a ênfase na interação situação-sujeito corresponde à experimentação de situações quase isoladas, nas quais os alunos enfrentam-se com uma situação-problema enquanto o professor praticamente não intervém. Estão listadas a seguir as principais características dessas situações.
Os alunos responsabilizam-se pela organização de sua atividade para tentar resolver o problema proposto, isto é, formulam projetos pessoais.
A atividade dos alunos está orientada para a obtenção de um resultado preciso, previamente explicitado e que pode ser identificado facilmente pelos próprios alunos. Os alunos devem antecipar e a seguir verificar os resultados de sua atividade.
A resolução do problema formulado envolve a tomada de decisões por parte dos alunos e a possibilidade de conhecer diretamente as consequências de suas decisões com a finalidade de modificá-las, para adequá-las ao objetivo perseguido. Quer dizer, se permite que os alunos tentem resolver o problema várias vezes.
Os alunos podem recorrer a diferentes estratégias para resolver o problema formulado, estratégias que correspondem a diversos pontos de vista a respeito do problema. É indispensável que, no momento de formular o problema, os alunos disponham ao menos de uma estratégia (estratégia base) para que possam compreender o enunciadoe dar início a sua atividade de busca da solução.
A manipulação das variáveis de comando permite modificar as situações didáticas bloqueando o uso de algumas estratégias e gerando condições para o surgimento e estabelecimento de outras (subjacentes ao conhecimento que se quer ensinar).
Os alunos estabelecem relações sociais diversas: comunicações, debates ou negociações com outros alunos e com o professor, etc.
Em resumo, trata-se de colocar os alunos diante de uma situação que evolua de certa forma, que o conhecimento que se quer que aprendam seja o único meio eficaz para controlar tal situação. A situação possibilita a significação do conhecimento para o aluno, na medida em que o transforma em instrumento de controle dos resultados de sua atividade. O aluno constrói assim um conhecimento contextualizado, em contraste com a sequenciação escolar habitual, em que a busca das aplicações dos conhecimentos antecede a sua apresentação descontextualizada.
Pode-se afirmar que a Didática da Matemática é um conjunto de relações explícitas ou implícitas entre um aluno ou um grupo de alunos, um determinado meio que envolve instrumentos e/ou objetos e um sistema educativo que tem a finalidade de conseguir que esses alunos se apropriem de um saber constituído ou em vias de constituição.
Selbach (2010) enfatiza:
 
2.5- Parâmetros Curriculares Nacionais- PCN - Matemática
	Os PCNs são importantes como referencial para a organização do ensino por competências. Esses documentos ressaltam a importância dos conhecimentos geométricos que quase desapareceram com o advento da Matemática Moderna. Além disso, incluem o bloco de conteúdo ‘tratamento da informação’ de forma que o estudante aprenda a lidar com dados estatísticos, representar e analisar tabelas e gráficos, raciocinar, utilizando ideias relativas à probabilidade e à combinatória.
A ênfase no aprofundamento de cada conteúdo dependerá do contexto da escola, da motivação e interesse, da relação professor-estudante. O professor tem autonomia para identificar o nível de aprofundamento adequado a cada ciclo. Os PCN propõem quatro blocos de conteúdos interligados:
• ESPAÇO E FORMA;
• NÚMEROS E OPERAÇÕES;
• GRANDEZAS E MEDIDAS;
• TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO.
Aparecem os temas transversais: orientação sexual; pluralidade cultural; meio ambiente; saúde; ética; consumo e trabalho. Sugerem que tais temas sejam alvos constantes de atenção do professor, visando à formação integral do estudante e sua inserção na sociedade como membro ativo e crítico.
São três os blocos de conteúdo apresentados pelos PCN, a saber:
•Conceituais – designam um conjunto de objetos de estudo, com certas características comuns.
•Procedimentais – conjunto de ações ordenadas e objetivas e com finalidade.
•Atitudinais – constituem uma tendência comportamental esperada.
Nos PCNs, o conteúdo da Geometria encontra-se distribuído em dois blocos: “Espaço e Forma” e “Grandezas e Medidas”.
No primeiro bloco, “Espaço e Forma”, é destacado o desenvolvimento da compreensão do estudante do mundo em que vive, aprende-se a descrevê-lo, representá-lo e a se localizar nele. Além disso, o trabalho com as noções geométricas estimula o estudante a observar, perceber semelhanças e diferenças e a identificar regularidades, e permite ainda estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, inserindo a exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato na sala de aula.
No segundo bloco, “Grandezas e Medidas”, é feita a abordagem de algumas noções essenciais à compreensão de conceitos métricos relativos ao espaço e às formas.
O ensino da Matemática tem passado, ao longo dos anos, por sucessivas reformas. Mesmo assim, o fracasso escolar matemático continua. No momento em que as Secretarias Municipais e Estaduais de Educação se esforçam para absorver e se adequar às novas normas vigentes, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) desempenham importante papel. 
''É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua sensibilidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação'' (PCNs,1998)
As ideias básicas contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais em Matemática refletem, muito mais do que uma mera mudança de conteúdos, uma mudança de filosofia de ensino e de aprendizagem, como não poderia deixar de ser. Apontam para a necessidade de mudanças urgentes não só no o que ensinar, mas principalmente no como ensinar e avaliar e no como organizar as situações de ensino e de aprendizagem.
O papel da Matemática no Ensino Fundamental como meio facilitador para a estruturação e o desenvolvimento do pensamento do aluno e para a formação básica de sua cidadania é destacado.''...é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares. ''E mais adiante: '' Falar em formação básica para a cidadania significa falar em inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura, no âmbito da sociedade brasileira (BRASIL,1998). 
Ao referir-se à pluralidade das etnias existentes no Brasil, à diversidade e à riqueza do conhecimento matemático que nosso aluno já traz para a sala de aula, enfatiza-se nos PCNs que o ensino da Matemática, a par da valorização da pluralidade sociocultural do(a) educando(a), pode colaborar para a transcendência do seu espaço social e para sua participação ativa na transformação do seu meio.
Como já foi dito anteriormente, os conteúdos aparecem organizados em blocos, diferentemente do modo tradicional, a saber:
Números e operações (Aritmética e Álgebra)
Espaço e forma (Geometria)
Grandezas e medidas (Aritmética, Álgebra e Geometria)
Tratamento da informação (Estatística, Combinatória e Probabilidade)
Fica evidente, pois, a orientação de se pensar e de se organizar as situações de ensino-aprendizagem, privilegiando as chamadas intraconexões das diferentes áreas da Matemática e as interconexões com as demais áreas do conhecimento, o que entendo como um caminho possível e desejável para o ensino da Matemática.
As intraconexões favorecem uma visão mais integrada, menos compartimentalizada da Matemática. Algumas orientações de cunho didático são colocadas ao professor, através de exemplos práticos, mostrando que é possível interligar Aritmética com Álgebra ou Aritmética com Geometria e Álgebra, numa mesma atividade. (BRASIL,1998).
Por outro lado, as interconexões têm nos Temas Transversais - Ética, Saúde, Meio Ambiente, Pluralidade Cultural e Orientação Sexual - uma infinidade de possibilidades de se concretizarem. Para isso, torna-se necessário que o professor trabalhe cada vez mais com colegas de outras disciplinas, integrando uma equipe interdisciplinar.
 A interação com seus colegas permitirá que os projetos desenvolvidos sejam mais interessantes e mais voltados a problemas da realidade. O desenvolvimento de projetos em que a Matemática pode explorar problemas e entrar com subsídios para a compreensão dos temas envolvidos tem trazido, além da angústia diante do novo, satisfação e alegria ao(à) professor(a) diante dos resultados obtidos. 
A confiança na própria capacidade e na dos outros para construir conhecimentos matemáticos, o respeito à forma de pensar dos colegas são alguns temas interessantes a serem trabalhados, ao se pensar no como desenvolver o tema transversal Ética. Médias, áreas, volumes, proporcionalidade, funções, entre outras tantas, são ideias matemáticas úteis para os temas transversais Meio Ambiente e Saúde. O(a) professor(a) saberá, certamente, adequar à sua realidade, projetos interessantes. Para