Soma de Progressão Geométrica Decrescente

Prévia do material em texto

Aprendendo numa regência simulada de Estágio Orientado 
sobre a Soma de uma Progressão Geométrica infinita 
decrescente. 
 
Por Alzir Fourny Marinhos 
 
Numa aula de regência simulada, na disciplina de Estágio 
Orientado, apresentada por um aluno da Graduação em 
Licenciatura em Matemática, sobre a soma de uma progressão 
geométrica ilimitada decrescente (razão q entre -1 e 1), justificou 
o resultado da soma infinita da progressão geométrica de razão 
2
1
dada por 
...
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
= 2 em função das parcelas 
diminuírem e no infinito estarem aproximando-se de zero. Disse o 
aluno: “Assim a soma de cada parcela no infinito será 
insignificante e o resultado do somatório vai convergir para o 
valor numérico 
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
q
a
. É como estivéssemos somando 
valores tão próximo de zero que os resultados das somas não 
aumentam. É como estivéssemos dando saltos sem caminhar”. 
Após o término da regência simulada e no momento dos 
comentários fizemos abordagens positivas e negativas. 
Informamos para ele e para a turma que observava a aula sobre o 
erro na justificativa dada para a convergência da sequência 
geométrica apresentada. 
Com o contra exemplo do somatório 
...
5
1
4
1
3
1
2
1
1
, que 
não é um somatório geométrico, temos as parcelas diminuindo e 
no infinito também aproximando-se de zero, mas, dando uma 
soma infinitamente grande. Aqueles alunos ainda não tinham o 
estudo de série e não sabiam que a série harmônica 
1
1
n n
 diverge, 
isto é , que a soma é infinita. Logo, somar valores cada vez 
menores não indica que o somatório infinito vai convergir para 
um número. 
Houve a pergunta: “Há uma soma infinita, que não seja 
geométrica de razão -1<q<1, e dê um valor numérico? 
Ao responder, demos o exemplo (visto no estudo de séries) 
da soma 
...
!5
1
!4
1
!3
1
!2
1
1
que vai convergir para um número. 
Então qual a justificativa correta de 
...
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
ser 
igual a 2? 
Sabemos que a soma de uma progressão geométrica 
limitada, para q diferente de 1, é 
1
)1(1
q
qa n
. Para nosso caso, q = 
2
1
, 
teremos 
1
2
1
)1
2
1
(1
n , e no infinito devemos ver n infinitamente grande 
e consequentemente 2
n
 infinitamente grande. Ver 
n2
1
 como zero, 
resultando então 
.2
1
2
1
1
 
Ao terminar o comentário frisamos que as justificativas 
devem ser dadas para o entendimento de alunos que estão no 
Ensino Médio e não estudaram conceitos de Séries e Limites, 
assuntos estudados em Cálculo Diferencial Integral.