Apostila de PA (5 páginas e 44 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 PROGRESSÃO ARITMÉTICA-PA
 
1 . DEFINIÇÃO 
 É toda sequência onde um termo qualquer 
(a partir do segundo) é a soma do termo anterior 
por um número fixo. 
 Esse número fixo em Progressão Aritmética 
– PA é chamado de razão r. 
 
Exemplos: 
 
a) A sequência (2, 5, 8, 11). 
 
5 = 2 + 3 
 8 = 5 + 3 
 11 = 8 + 3 
 
A razão é r = 3. 
 
b)(0, 5, 10, 15, ...), r = 5. 
 
c)(3, 6, 9, 12, ...), r = 3. 
 
d)(12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, ...), r = – 2. 
 
e)(2, 2, 2, 2, ...), r = 0. 
 
f)(0, 1, 2, 3, 4, ...), r = 1. 
 
 De um modo geral, seja a PA: (a1, a2, a3, 
...), onde a1 é o primeiro termo da PA, a2 é o se-
gundo termo, assim por diante e r é a razão da 
PA, segue, 
a2 = a1 + r 
a3 = a2 + r 
a4 = a3 + r 
: 
: 
 : 
: 
an = an-1 + r 
 
Exemplos: Seja a PA (2, 6, 10, ...). Encontre a ra-
zão r e o 4º termo. 
 
Resolução: 
 
a2 = a1 + r ⟹ r = a2 – a1 ⟹ r = 6 – 2 = 4 
 
a4 = a3 + r ⟹ a4 = 10 + 4 ⟹ a4 = 14 
 
Observações: 
 
1ª) Da definição de PA decorre que, se a1, a2 e a3 
estão em PA, então: 
 
 ⟹ – 
 ⟹ – 
} ⟹ a2 – a1 = a3 – a2 
 
⟹ 2∙ 2 = a3 + a1 ⟹ a2 = 
 
 
 
 
 
 Ou seja, de um modo geral, dado três 
termos consecutivos de uma PA, o termo do meio 
é media aritmética dos outros dois. 
 
2ª) Em problemas que envolvem progressão 
aritmética quando é dito que “três números 
quaisquer estão em PA de razão r”, por eles 
serem desconhecidos, podem ser representados 
assim: 
 
(x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x, x + r) 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 Verifique se cada sequência é uma PA. Em ca-1)
so afirmativo, dê o valor da razão r. 
a)(1, 5, 8, 11, 14) 
 
b)(6, 15, 24, 33) 
 
c)(15, 10, 5, 0, – 5) 
 
d)(2, 3, 5, 7, 80) 
 
e)(
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 )
 
f)(x, x + 1, x + 2, x + 3) 
 
g)(1, 1 + √ , 1 + 2√ , 1 + 3√ ) 
 
 Escreva uma PA: 2)
a) de cinco termos em que a1 = 7 e r = 4; 
 
b) de quatro termos em que a1 = – 12 e r = 3; 
 
c) de quatro termos, na qual a1 = x + 5 e r = x. 
 
 Calcule x na PA (5, 9, x, 17, ...). 3)
 
 Calcule x na PA (300, x, 380, ...). 4)
 
 Numa PA o 8º termo vale 12 e o 10º vale 18. 5)
Calcule o 9º termo e a razão dessa PA. 
 
 Calcule o valor de p, sabendo que a expressão 6)
p + 3, 2p + 1 e 4p – 6, formam nessa ordem uma 
PA. 
 
 Uma fábrica produziu, em 1986, 6 530 unida-7)
des de um determinado produto e, em 1988, pro-
duziu 23 330 unidades do mesmo produto. Saben-
do que a produção anual desse produto vem cres-
cendo em progressão aritmética, pede-se: 
a) Quantas unidades do produto essa fábrica pro-
duziu em 1987? 
b) Quantas unidades serão produzidas em 1990? 
 
 Três números formam uma PA de razão 2. En-8)
contre esses números, sabendo que o terceiro é 
igual à soma dos dois primeiros menos 4. 
 
 Sabe-se que três números inteiros estão em 9)
PA. Se esses números têm por soma 24 e por pro-
duto 120, calcule os três números. 
 
2 . CLASSIFICAÇÃO DE PA 
 Uma PA é crescente quando a razão r > 0: 
 
Itens a), b), c) e f) do Tópico 1. 
 
 Uma PA é decrescente quando r < 0: 
 
Itens d) do Tópico 1. 
 
 Uma PA é constante quando r = 0: 
 
Itens e) do Tópico 1. 
 
 
 
 
2 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 Identifique cada PA abaixo como crescente, 10)
decrescente ou constante: 
a)(20, 40, 60, ...) 
 
b)(3, – 9, – 21, – 30, ...) 
 
c)(– 1, – 2, – 3, – 4, ...) 
 
d)(– 4, – 3, – 2, – 1, ...) 
 
e)(2, 2, 2, ...) 
 
f)( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
g)( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
3 . TERMO GERAL DE UMA PA 
 Observe: Seja a PA (3, 5, 7, 9, ...) 
a) Encontrar o 5º termo: 
 
r = a2 – a1 ⟹ r = 5 – 3 = 2 
 
a5 = a4 + r ⟹ a5 = 9 + 2 ⟹ a5 = 11 
 
b) Encontrar o 6º termo: 
 
a6 = a5 + r ⟹ a6 = 11 + 2 ⟹ a6 = 13 
 
c) Encontrar o 10º termo: 
 Bom, pela definição de PA seria trabalhoso 
encontrar o 10º termo. Vamos tentar encontrar 
uma expressão matemática, que facilite essa tare-
fa: 
 
a2 = a1 + r 
 
a3 = a2 + r ⟹ a3 = a1 + r + r ⟹ a3 = a1 + 2r 
 
a4 = a3 + r ⟹ a4 = a1 + 2r + r ⟹ a4 = a1 + 3r 
 
a5 = a4 + r ⟹ a5 = a1 + 3r + r ⟹ a5 = a1 + 4r 
 
: 
: 
 ⟹ an = a1 + (n – 1)r 
 
Logo, fórmula do termo geral de uma PA é: 
 
 
an = a1 + (n – 1)r 
 
 
 Agora fica mais fácil encontrar o 10º termo 
do item c): 
 
an = a1 + (n – 1)r ⟹ a10 = a1 + (10 – ) ∙ 2 
 ⟹ a10 9 ∙ 2 
 
 ⟹ a10 = 3 + 18 
 
 ⟹ a10 = 21 
 
Observações: 
 
1ª) Note que a10 = a3 + 7r, pois ao passar de a3 
para a10 avançamos 7 termos, implica, também, 
que a3 = a10 – 7r, ao passarmos de a10 para a3 retro-
cedermos 7 termos. 
 
2ª) Na PA finita (a1, a2, a3, a4), os termos a2 e a3 
são equidistantes aos termos a1 e a4. Veja: 
 
a2 + a3 = a1 + r + a3 = a1 + a3 + r = a1 + a4 
 
Isso é válido de um modo geral e dizemos que, 
numa PA finita, a soma de dois termos equidistan-
tes dos extremos é igual a soma dos extremos. 
 
3ª) Muitas vezes é conveniente colocar o 1º termo 
a1 como a0, ficando o termo geral da PA 
 
 
 
 
an = a0 n ∙ r 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 Calcule a fórmula do termo geral de cada PA: 11)
a)(2, 7, ...); 
 
b)(– 1, 5, ...). 
 
 Numa PA infinita, temos a1 = 12 e r = 5. Cal-12)
cule o a26? 
 
 Calcule: 13)
a) o 5º termo da PA (1, 5, ...) 
 
b) o 20º termo da PA (2, 8, ...) 
 
 Qual é o 50º número ímpar positivo? 14)
 
 Quantos múltiplos de 5 existem entre 96 e 15)
1996? 
 
 Os três primeiros termos de uma PA são da-16)
dos pela expressão x + 1, 2x + 2 e 12x. Calcule o 
valor do quinto termo. 
 
 As medidas dos lados de um triângulo retân-17)
gulo formam uma PA de razão 5. Determine as 
medidas dos lados desse triângulo. 
 
 No primeiro semestre de um dado ano, a 18)
produção mensal de uma montadora está em PA 
crescente. Em Janeiro, a produção foi de 18 000 
carros e, em Junho, foi de 78 000 unidades. Qual 
foi a produção dessa montadora nos meses de 
Fevereiro, Março, Abril e Maio? (interpolação aritmé-
tica) 
 
 Interpole 6 meios aritméticos entre 100 e 19)
184. 
 
 Insira 7 meios aritméticos entre 20 e 68. 20)
 
4 . SOMA DOS TERMOS DE UMA PA 
Na tabela abaixo, vemos representada a 
produção anual de certo produto de uma empresa: 
 
Ano Produção 
2005 10 000 unidades 
2006 12 000 unidades 
2007 14 000 unidades 
2008 16 000 unidades 
2009 18 000 unidades 
 
Quantas unidades desse produto a empresa 
produziu de 2005 a 2009? 
 
Resolução: 
 
Basta somarmos: 
10 000 + 12 000 + 14 000 + 16 000 + 18 000 = 
70 000 unidades. 
Observamos que: 
 As parcelas formam a PA finita de razão 
r = 2 000: (10 000, 12 000, 14 000, 16 000, 
18 000) 
 O número 70 000 representa a soma dos ter-
mos de PA. 
 
3 
Outra maneira de calcularmos a quantidades 
de unidades produzidas desse produto por essa 
empresa é utilizando a expressão da soma dos 
termos de uma PA finita: 
 
 
Sn = 
( ) ∙ 
 
 
 
no qual, 
sn – é a soma dos n termos; 
a1 – é o primeiro termo; 
an – é o último termo; 
n – é a quantidade de termos. 
 
Refaça a questão anterior utilizando a expressão 
acima e comprove!!!! 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 Calcule a soma: 21)
a) dos trinta primeiros termos da PA (4, 10, ...); 
 
b) dos vinte primeiros termos da uma PA em que 
o 1° termo é a1 = 17 e r = 4; 
 
c) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100; 
 
 Calcule a soma dos 50 números pares. 22)
 
 Calcule a soma dos 50 primeiro números po-23)
sitivos de múltiplos de 5. 
 
 Resolva a equação: 24)
 
2 + 5 + 8 + ... + x = 77 
 
 Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 25)
17 km na segunda hora,e assim por diante, em 
progressão aritmética. Quantos quilômetros per-
correrá em 5 horas? 
 
 Um corpo em queda livre percorre 3 m no 26)
primeiro segundo, 12 m no segundo, 21 m no ter-
ceiro segundo e assim por diante. Continuando 
essa sequência, quantos metros terá percorrido 
após 10 segundos? 
 
 Um teatro possui 12 poltronas na primeira 27)
fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais 
fileiras se compõem na mesma sequencia. Quan-
tas fileiras são necessárias para o teatro ter um 
total de 620 poltronas? 
 
 Numa caixa existem 1 000 bolinhas. São reti-28)
radas 15 bolinhas, depois 20 bolinhas, depois 25 
bolinhas e assim sucessivamente. Quantas bolas 
restam na caixa após a 15ª retirada? 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
(Enem-2013) As projeções para a produção 29)
de arroz no período de 2012 – 2021, em uma de-
terminada região produtora, apontam para uma 
perspectiva de crescimento constante da produção 
anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, 
em toneladas, que será produzida nos primeiros 
anos desse período, de acordo com essa projeção. 
 
Ano Projeção da produção (t) 
2012 50,25 
2013 51,50 
2014 52,75 
2015 54,00 
 
A quantidade total de arroz, em toneladas, que 
deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 
será de 
 
(a) 497,25 (c) 502,87 (e) 563,25 
 
(b) 500,85 (d) 558,75 R: (d) 
 
(UEPA-2012) Em 2004, o diabetes atingiu 30)
150 milhões de pessoas no mundo (Fonte: Revista 
Isto é gente, 05/07/2004). Se, a partir de 2004, a 
cada 4 anos o número de diabéticos aumentar em 
30 milhões de pessoas, o mundo terá 300 
milhões de pessoas com diabetes no ano de: 
 
(a) 2020 (c) 2024 (e) 2028 
 
(b) 2022 (d) 2026 R: (c) 
 
(UEPA-2011) Leia o Texto IX para responder 31)
à questão 31. 
Texto IX 
“Todo santo dia, 39 mil toneladas de comida, 
em condições de alimentar um ser humano, 
alimentam uma outra boca, a do lixo. O 
desperdício é gerado em restaurantes, 
mercados, feiras, fábricas, quitandas, açougues 
e até mesmo dentro de nossa própria casa”. 
Fonte: http://www.revelacaoonline.uniube.br/geral03/ 
fome.html 
 
Supondo que um restaurante com um ano de 
existência jogue fora no lixo certa quantidade de 
comida da seguinte forma: no 1º mês, 2 kg; no 2º 
mês, 4 kg; no 3º mês, 6 kg e assim por diante. A 
quantidade total de comida jogada no lixo pelo 
restaurante durante esse ano foi de: 
 
(a) 90 kg (c) 156 kg (e) 1 787 kg 
 
(b) 130 kg (d) 160 kg 
 
(UEPA-2010) A interligação Norte-Sul é um 32)
dos mais modernos sistemas de fornecimento de 
energia do mundo. São 3 015 torres, cada uma 
com 30 metros de altura. Supondo que a empresa 
que foi contratada para montagem das torres, 
utilizou a seguinte estratégia: no 1º dia, foram 
montadas 2 torres; no 2º, 2 torres; no 3º, 2 tor-
res; e assim por diante. O número aproximado de 
dias para montar as 3 015 torres foi de: 
 
(a) 1 434,6 (c) 1 604,6 (e) 1 904,7 
 
(b) 1 507,5 (d) 1 734,4 
 
(CESUPA-2009) Ao distribuir 2 400 litros de 33)
óleo em latas de mesma forma e capacidade, veri-
fica-se que, se em cada vasilha coubessem 5 litros 
a mais seriam utilizadas 40 latas a menos. O nú-
mero de latas usado e a capacidade de cada uma, 
são respectivamente, 
 
(a) 15 e 160 (c) 12 e 200 
 
(b) 16 e 150 (d) 20 e 120 
 
 
4 
(CESUPA-2007) Uma safra de arroz foi co-34)
lhida de 6 vezes. Na primeira vez foram colhidos 
2500 kg e em cada uma das outras vezes colheu-
se 700 kg a mais em relação à colheita anterior. O 
total de toneladas de arroz colhidas nesta safra foi 
igual a 
 
(a) 6 (b) 12,5 (c) 20 (d) 25,5 
 
(CESUPA-2007) Para a comemoração de seu 35)
aniversário, uma pessoa encomendou 360 salgadi-
nhos diversos, calculando que cada convidado co-
meria x salgadinhos. Ao convidar mais 30 pessoas, 
depois de já ter feito a encomenda, verificou que 
cada um dos convidados comeria um salgadinho a 
menos. Quantas pessoas haviam sido inicialmente 
convidadas? 
 
(a) 40 (b) 90 (c) 120 (d) 250 
 
(Cefet-2008) Uma loja de variedades colo-36)
cou à venda, no mês de dezembro, 50 tipos dife-
rentes de produtos, com preços diferenciados e 
fixados em valores inteiros de R$ 1,00 a R$ 50,00. 
Se foram vendidos exatamente 28 unidades de 
cada tipo, qual o valor total arrecadado, nesse 
mês, com a venda desses produtos? 
 
(a) R$ 35 700,00 (d) R$ 32 100,00 
 
(b) R$ 25 000,00 (e) R$ 35 200,00 
 
(c) R$ 40 000,00 
 
MAIS EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
(UFPA) Deseja-se colocar na estrada de Be-37)
lém-Mosqueiro 13 telefones, iniciando-se do qui-
lômetro 32 e finalizando no quilômetro 68 dessa 
estrada, a uma mesma distância x um do outro. 
Determine o valor de x em metros? 
 
(UEPA-2001) Considerando a PA represen-38)
tada pelo termo geral an = 7 + 4n (n ∈ ℕ). 
a) Determine a sua razão; 
 
b) Qual a soma dos 5 primeiros termos? 
 
(UFPA) Um agricultor que trabalhava durante 39)
8 horas por dia de colhendo mangas, observou 
num certo dia que sua produção diária decrescia 
de hora em hora segundo uma P.A. de razão – 50. 
Se nesse dia, na 1ª hora de trabalho havia colhido 
1 200 mangas, ao final do trabalho teria colhido 
quantas mangas? 
 
(FACI) A associação de professores de uma 40)
escola comprou um sítio dando R$ 2 000,00 de en-
trada e o restante em 24 prestações mensais con-
secutivas. Ficou acertado que a 1ª prestação seria 
de R$ 400,00 e todas as demais sofreriam um au-
mento de R$ 100,00 mensalmente em relação à 
prestação anterior. Assim, qual o preço total pago 
pelo sítio? 
 
(UEPA-2004) A prefeitura de um município, 41)
preocupada com o êxodo rural, implantou um pro-
jeto de incentivo à agricultura orgânica, com pre-
visão de 3 anos, para manterás pessoas no cam-
po. Observou-se após a implantação que 12 famí-
lias haviam sido beneficiadas no primeiro mês; 19 
famílias, no segundo mês e 26 famílias, no terceiro 
mês. Segundo os técnicos, a previsão é que o nú-
mero de famílias beneficiadas mensalmente au-
mentará na mesma razão dos meses anteriores. 
Dentro dessas previsões, o número de famílias 
que serão beneficiadas no último mês de execução 
deste projeto é: 
 
(a) 245 (b) 257 (c) 269 (d) 281 (e) 293 
 
(UEPA-2003) O cupuaçu é a principal produ-42)
ção agrícola de uma região do estado do Pará. Um 
agricultor da região comprou uma área para o 
plantio de 3 816 mudas de cupuaçu. Para melhor 
aproveitamento desta área, deverá plantá-las em 
fileiras de tal modo que, na primeira fileira seja 
plantada 9 mudas; na segunda fileiras, 12 mudas; 
na terceira fileira, 15 mudas e, assim sucessiva-
mente. Nestas condições, quantas fileiras serão 
formadas ao final do plantio das 3 816 mudas de 
cupuaçu? 
 
(UFRA-2004) Um homem recolheu em 16 43)
dias, 3 112 latas de refrigerantes para serem reci-
cladas. Cada dia conseguia recolher 25 latas a 
mais que no dia anterior. Nessas condições, pode-
se afirmar que no 5° dia ele conseguiu recolher 
 
(a) 93 latas (d) 124 latas 
 
(b) 107 latas (e) 132 latas 
 
(c) 114 latas 
 
(Enem-2012) Um maquinista de trem ganha 44)
R$ 100,00 por viagem e só pode viajar a cada 4 
dias. Ele ganha somente se fizer a viagem e sabe 
que estará de férias de 1º a 10 de junho, quando 
não poderá viajar. Sua primeira viagem ocorreu 
no dia primeiro de janeiro. Considere que o ano 
tem 365 dias. Se o maquinista quiser ganhar o 
máximo possível, quantas viagens precisará fazer? 
 
(a) 37 (b) 51 (c) 88 (d) 89 (e) 91 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa 
ciência aplicada que economiza trabalho e torna a vida 
mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não 
aprendemos a nos servir dela com bom senso”. 
Albert Einstein 
Para que serve a Matemática? 
 
-“Para que este sonho se torne realidade”, diz o 
arquiteto olhando a planta na sua prancheta de 
trabalho. 
-“Para interpretar os dados do computador de 
bordo e determinar a posição do avião”, observa o 
piloto. 
-“Necessito dela para estabelecer uma relação 
entre o mundo físico e sua representação gráfica 
quando faço um mapa”, responde o cartógrafo. 
-“Preciso investigar mediante procedimentos ma-
temáticos a situação da empresa e do mercado 
antes de sugerir algum investimento”, exclama o 
administrador de empresas. 
-“Para interpretar estatisticamente os resultados 
de testes sobre o comportamento humano, como 
aprendizado, memória, motivação”, relata o psicó-
logo. 
-“Para planejar a comida do paciente cujo médico 
prescreveu uma dieta com proteínas e hidrato de 
carbono na razão 7 : 4”, conclui o nutricionista do 
hospital. 
-“Para observar e acompanhar o registro das ativi-
dades do coração do meu paciente” pensa o médi-
co olhando um eletrocardiograma. 
-“Com auxílio de análises matemáticas posso su-
gerir modificações que levem harmonia às popula-
ções das grandes cidades, como o estudo dos flu-
xos de trânsito para prevenir acidentes”, afirma o 
urbanista. 
-“Para planejar as vastas e complexas redes de 
comunicação modernas”, se orgulha o engenheiro. 
-“Para organizar o orçamento doméstico, acompa-
nhar, interpretar e participar ética e consciente-
mente da política do dia-a-dia responde o cidadão 
comum. 
 
TODA PROFISSÃO PRECISA DE MATEMÁTICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizada em 17/11/2018 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.2.