Cálculo Diferencial E Integral (73)

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Unidade 04
JUROS COMPOSTOS
Amintas Paiva Afonso
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INTRODUÇÃO
 Relembrando o que vimos na unidade 1
Até agora já estudamos a linguagem dos juros simples e do desconto simples. Nesta unidade iremos estudar a linguagem dos juros compostos:
 Juros Compostos e suas aplicações;
 Taxas equivalentes.
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INTRODUÇÃO
Juros Simples: Dado um principal (PV), ele deverá render juros (J) a uma taxa constante (i) por um determinado número de períodos (n), gerando um montante (FV). O juro produzido em determinado momento não rende mais juros.
Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
Relembrando...
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JUROS COMPOSTOS - CONCEITO
	Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior, ou seja, os juros de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
Assim sendo, no transcorrer de cada período, o que era “à priori” Montante relativo a um determinado período, passa a ser o Principal no período seguinte.
É o que popularmente chamamos de Juros Sobre Juros
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JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS
Lembrando a fórmula de juros simples: FV = PV (1 + i * n) 
Vamos calcular o montante acumulado a cada período (n = 1) no regime de juros compostos
S1 = P (1 + i * n) = P (1 + i * 1)			S1 = P (1 + i)
S2 = S1 (1 + i * n) = P (1 + i) * (1 + i * 1)	S2 = P (1 + i)2 
S3 = S2 (1 + i * n) = P (1 + i)2 * (1 + i * 1)	S3 = P (1 + i)3
S4 = S3 (1 + i * n) = P (1 + i)3 * (1 + i * 1)	S4 = P (1 + i)4
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JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS
ATENÇÃO !!!
1 - O período de capitalização deve ser compatibilizado com a taxa.
2 - A taxa é quem define o período da capitalização.
Exemplo: 5% ao mês em três meses (=15,76%)
	 é diferente de 15% ao trimestre.
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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
	Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25.000,00 que rende juros compostos de 4% ao mês durante 4 meses.
	FV = PV * (1 + i )n
	FV = 25.000 * (1 + 0,04)4
	FV = 25.000 * 1,1699
	FV = 29 246,46
Resposta: No regime de juros compostos, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.246,46
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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
	Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25.000,00 que rende juros simples de 4% ao mês durante 4 meses.
	FV = PV (1 + i * n)
	FV = 25.000 (1 + 0,04 * 4)
	FV = 25.000 * 1,16
	FV = 29 000
Resposta: No regime de juros simples, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.000,00
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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
CONCLUSÃO:
O mesmo capital rendeu R$ 29.246,46 na capitalização composta e R$ 29.000,00 na capitalização simples.
Os juros compostos remuneram MAIS um mesmo principal que os juros simples à mesma taxa, no mesmo período.
POR QUÊ?
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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
Plan1
		Principal R$ 25.000,00
		Taxa de juros 2%
		Mês		Saldo c/ juros simples		Saldo c/ juros compostos		Diferença
		0		R$25,000.00		R$25,000.00		0.0
		1		R$25,500.00		R$25,500.00		0.0
		2		R$26,000.00		R$26,010.00		R$10.00
		3		R$26,500.00		R$26,530.20		R$30.20
		4		R$27,000.00		R$27,060.80		R$60.80
		5		R$27,500.00		R$27,602.02		R$102.02
		6		R$28,000.00		R$28,154.06		R$154.06
		7		R$28,500.00		R$28,717.14		R$217.14
		8		R$29,000.00		R$29,291.48		R$291.48
		9		R$29,500.00		R$29,877.31		R$377.31
		10		R$30,000.00		R$30,474.86		R$474.86
Plan2
		
Plan3
		
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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
Plan1
		Principal R$ 25.000,00
		Taxa de juros 5%
		Mês		Saldo c/ juros simples		Saldo c/ juros compostos		Diferença
		0		R$25,000.00		R$25,000.00		0.0
		1		R$26,250.00		R$26,250.00		0.0
		2		R$27,500.00		R$27,562.50		R$62.50
		3		R$28,750.00		R$28,940.63		R$190.63
		4		R$30,000.00		R$30,387.66		R$387.66
		5		R$31,250.00		R$31,907.04		R$657.04
		6		R$32,500.00		R$33,502.39		R$1,002.39
		7		R$33,750.00		R$35,177.51		R$1,427.51
		8		R$35,000.00		R$36,936.39		R$1,936.39
		9		R$36,250.00		R$38,783.21		R$2,533.21
		10		R$37,500.00		R$40,722.37		R$3,222.37
Plan2
		
Plan3
		
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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
Plan1
		Principal R$ 25.000,00
		Taxa de juros 0,1%
		Mês		Saldo c/ juros simples		Saldo c/ juros compostos		Diferença
		0		R$25,000.00		R$25,000.00		0.0
		1		R$25,025.00		R$25,025.00		0.0
		2		R$25,050.00		R$25,050.02		R$0.02
		3		R$25,075.00		R$25,075.08		R$0.08
		4		R$25,100.00		R$25,100.15		R$0.15
		5		R$25,125.00		R$25,125.25		R$0.25
		6		R$25,150.00		R$25,150.38		R$0.38
		7		R$25,175.00		R$25,175.53		R$0.53
		8		R$25,200.00		R$25,200.70		R$0.70
		9		R$25,225.00		R$25,225.90		R$0.90
		10		R$25,250.00		R$25,251.13		R$1.13
Plan2
		
Plan3
		
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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
	CONCLUSÕES:
Taxas de juros baixas e/ou períodos de capitalização curtos não provocam grandes distorções entre juros simples e compostos.
Trabalhando com taxas altas e/ou longos períodos mostram grandes diferenças entre os montantes produzidos por juros simples e compostos.
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PARA PENSAR
 Os bancos utilizam taxas de juros simples ou juros compostos nas operações de cheque especial? Por quê?
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
1o Grupo – Dados PV, n, i, achar FV
	Um capital de R$ 100.000,00 estará aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1,5 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação.
1,5 anos = 18 meses (taxa e prazo compatibilizados)
	FV = PV * (1 + i)n
	FV = 100.000 * (1 + 0,05)18
	FV = 100.000 * 2,4066192
	 FV= 240.661,92
Resposta: O montante é de R$ 240.661,92
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
	2o Grupo – Dados FV, n, i, achar PV
	A partir do montante de R$ 150.000,00, determinar o principal relativo ao empréstimo com prazo de 1 ano e taxa de juros compostos de 5% ao mês.
	FV = PV * (1 + i )n
	150.000 = PV * (1 + 0,05)12
	150.000 = PV * 1,7958563
	PV = 150.000 / 1,7958563 = 83.525,61
Resposta: O valor do empréstimo foi de R$ 83.525,61
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
	3o Grupo – Dados FV, n, PV, achar i
	Conhecendo o montante R$ 172.000,00, o principal de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal composta relativa ao empréstimo.
	1 ano = 12 meses
	FV = PV * (1 + i )n
	172.000 = 100.000 * (1 + i)12
	172.000/100.000 = (1 + i)12
	1,72 = (1 + i)12
	E agora? Como resolver?
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
	Vamos lembrar da seguinte propriedade: (xa)b = xa.b
	Então aplicando a propriedade na equação ...
	1,72 = (1 + i)12
	1,721/12 = [(1 + i)12]1/12 
	1,721/12 = (1 + i)12 * 1/12
	1,721/12 = (1 + i)1
	1,0462 = 1 + i
	i = 1,0462 - 1 => i = 0,0462
Resposta: A taxa de juros do empréstimo é de 4,62% a.m.
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
	4o Grupo – Dados FV, PV, i, achar n
	Conhecendo o montante de R$ 368.000,00, o principal de R$ 200.000,00 e a taxa de juros compostos de 7% ao mês, determinar o prazo do empréstimo.
	FV = PV * (1 + i )n
	368.000 = 200.000 * (1 + 0,07)n
	368.000 / 200.000 = (1 + 0,07)n
	1,84 = (1,07)n
	E agora? Como resolver?
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
Vamos lembrar da seguinte propriedade: Log(x)a = a * Log x
Então aplicando a propriedade na equação ...
1,84 = (1,07)n
Log (1,84) = Log(1,07)n
Log (1,84) = n * Log (1,07) 
n = Log (1,84) / Log (1,07)
n = 0,2648 / 0,0294 
n = 9,01
Resposta: O prazo do empréstimo é de 9,01 meses.
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Exercícios Práticos do Mercado Financeiro
	Uma corretora de valores comprou um títulode valor de resgate de R$ 148.000,00, prazo de 8 meses e taxa mensal composta de 5,5%. Passados dois meses, vendeu o título para um investidor na taxa composta de 3,8% a.m.. Determinar a taxa alavancada obtida pela corretora.
Valor de
 compra
148.000
i
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Exercícios Práticos do Mercado Financeiro
Valor de compra
FV = PV * (1 + i )n
148.000 = PV *(1 + 0,055)8
148.000 = PV * 1,0558
PV = 148.000 / 1,5347
PV = 96.436,63
Valor de Venda
FV = PV * (1 + i )n
148.000 = PV *(1 + 0,038)6
148.000 = PV * 1,0386
PV = 148.000 / 1,2508
PV = 118.325,29
Valor de
 compra
i
148.000
Valor de 
venda
2 meses
96.436,63
118.325,29
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Exercícios Práticos do Mercado Financeiro
Taxa da corretora
FV = PV * (1 + i )n
118.325,29 = 96.436,63 * (1 + i)2
118.325,29 / 96.436,63 = (1 + i)2
1,2270 = (1 + i)2
1,22701/2 = (1 + i)
i = 1,1077 - 1 = > i = 0,1077 = 10,77% a.m.
10,77 %
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Como se Ganha Dinheiro no Mercado Financeiro
	Uma corretora de valores comprou e vendeu, no mesmo dia, um título de valor de resgate de R$ 148.000 e prazo de 8 meses. Comprou por uma taxa de juros composta de 6,2% ao mês e vendeu por uma taxa composta de 3,5% ao mês. Determinar o lucro obtido nessa negociação.
Preço pago na compra
FV = PV * ( 1 + i )n
148.000 = PV * (1 + 0,062)8
PV = 148.000/ 1,6181 = 91.467,24
Preço pago na Venda
FV = PV * ( 1 + i )n
148.000 = PV * (1 + 0,035)8
PV = 148.000/ 1,3168 = 112.392,91
Lucro = Preço de Venda – Preço de compra
Lucro = 112.392,91 – 91.467,24 => Lucro = R$ 20.925,67
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TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate
	Aplicação inicial: R$ 100.000,00
	Prazo total: 12 meses
	Taxa composta: 4% ao mês
	1º Comprador: 3,3% ao mês em 2 meses
	2º Comprador: 3,4% ao mês em 3 meses
	3º Comprador: i % ao mês em 5 meses (calcular a taxa)
	4º Comprador: 3,2% ao mês em 2 meses 
100.000
Valor de 
resgate
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TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate
Valor de resgate
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100.000 * (1 + 0,04)12
FV = 100.000 * 1,0412
FV = 100.000 * 1,601032
FV = 160.103,22
160.103,22
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TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate
1o Comprador
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100.000 * (1 + 0,033)2
FV = 100.000 * 1,0332
FV = 100.000 * 1,067089
FV = 106.708,90
106.708,90
2o Comprador
FV = PV * (1 + i )n
FV = 106.708,90 * (1 + 0,034)3
FV = 106.708,90 * 1,0343
FV = 106.708,90 * 1,105507
FV = 117.967,47
117.967,47
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TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate
4o Comprador
FV = PV * (1 + i )n
160.103,22 = PV * (1+ 0,032)2
160.103,22 = PV * 1,0322
PV = 160.103,22 / 1,0650 
PV = 150.328,27
106.708,90
3o Comprador - taxa
FV = PV * (1 + i )n
150.328,27 = 117.967,47 * (1+ i )5
1,2743 = (1 + i)5
1,27431/5 = (1 + i)
i = 1,0497 - 1
i = 0,0497 = 4,97%
117.967,47
150.328,27
i = 4,97%
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