Divisibilidade Multiplos Divisores MDC MMC

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Matemática – Régis Cortes 
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MÚLTIPLOS 
E 
DIVISORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática – Régis Cortes 
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Múltiplos e divisores de um número 
Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. 
Exemplo: 
Observe as seguintes divisões entre números Naturais: 
As três primeiras divisões têm resto zero. Chamam-se divisões exatas. As duas últimas têm 
resto diferente de zero. Chamamos de divisão inteira. Um número é divisor do outro se o segundo é múltiplo do 
primeiro. 
O número 10 é múltiplo de 2; 12 é múltiplo de 3; 15 também é múltiplo de 3; mas 9 não é múltiplo de 2; e 15 
não é múltiplo de 4. 
Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): 
M(2) = {0,2,4,6,8,...}. 
M(5) = {0,5,10,15,20,...} 
Para lembrar: 
O conjunto dos múltiplos de um número Natural 
não-nulo é infinito e podemos consegui-lo 
multiplicando-se o número dado por todos os 
números Naturais. 
Observe: 
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,...} = {0,3,6,9,12,15,18,...} 
Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é 
divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro. 
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10. 
Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente.Vamos 
agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20): 
D(15) = {1,3,5,15} 
D(20) = {1,2,4,5,10,20} 
Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o 
menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. 
 Critérios de divisibilidade 
Os critérios de divisibilidade são uma série de regras para averiguar se um número é ou não múltiplo de outro, 
sem a necessidade de efetuar a divisão de um pelo outro, principalmente quando os números são grandes. 
Veja, em seguida, os critérios de divisibilidade mais comuns: 
Divisibilidade por 2 
Olhe para o conjunto dos múltiplos de 2, M(2), exposto acima. Observe que todos os elementos desse conjunto 
terminam em algarismo par. Assim, podemos dizer que um número é divisível por 2 se o algarismo das 
unidades for par. 
Exemplo: 
 
 
 
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3 
Os números 22, 30, 68, 650, 3 285 416 são múltiplos de 2 porque terminam em algarismo par. Os números 7, 
15, 201, 1 483, 186 749 não são múltiplos de 2, pois nenhum deles termina em algarismo par. 
Divisibilidade por 3 
Observe, agora, o conjunto M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,...}. Repare que a soma dos algarismos de todos estes 
números é múltiplo de 3. Assim, um número é divisível por 3 quando a soma de todos os seus algarismos é 
múltiplo de 3. 
Exemplo: 
Sem fazer a divisão, vamos comprovar que o número 34 572 é divisível por 3: 3 + 4 + 5 + 7 + 2 = 21, mas pode 
acontecer de não sabermos se 21 é ou não múltiplo de 3. Repetimos o método agora com o número 21, em 
que 2 + 1 = 3. Sabemos que 3 é múltiplo de si mesmo, portanto, 21 é divisível por 3, isto é, 21 é múltiplo de 3 e, 
conseqüentemente, 34 572 é divisível por 3. 
Divisibilidade por 5 
Observe o algarismo das unidades dos números do conjunto 
M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,...}. 
É fácil perceber que eles terminam em zero ou em 5. Assim, um número é divisível por 5 quando termina em 
zero ou em 5. 
Exemplo: 
Os números 20, 210, 2 105 são divisíveis por 5, pois o primeiro e o segundo terminam em zero e o terceiro em 
5. 
Divisibilidade por 9 
Dado M(9) = {0,9,18,27,36,45,...} verificamos uma característica semelhante ao critério de divisibilidade por 3. 
Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 9 ou múltiplo de 9. 
Exemplo: 
O número 14 985 é divisível por 9? 
1 + 4 + 9 + 8 + 5 = 27 
Se não soubermos se 27 é ou não múltiplo de 9, repetimos a operação agora com 27: 
2 + 7 = 9 
Portanto, 27 é divisível por 9, isto é, 27 é múltiplo de 9 e, conseqüentemente, 14 985 é divisível por 9. 
Decomposição de um número em fatores primos 
Um número Natural é um número Primo quando só tem por divisores ele mesmo e a unidade. 
lembrar: 
Decompor um número composto em fatores primos 
significa expressar este número como produto de 
 
 
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outros que sejam primos. 
Exemplo: 
Queremos decompor o número 40 em fatores primos. 
40 
 
2 (40 é divisível por 2, termina em 0) 40/2 = 20 
20 2 (20 é divisível por 2, termina em 0) 20/2 = 10 
10 2 (10 é divisível por 2, termina em 0) 10/2 = 5 
5 5 (5 é primo. Divide-se por si mesmo) 5/5 = 1 
1 
A decomposição de 40 em fatores primos é: 
2 X 2 X 2 X 5 = 23 X 5 
Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números 
O máximo divisor comum de dois ou mais números Naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses 
números. 
Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números, devemos seguir uma série de etapas: 
' Decompomos os números em fatores primos. 
' Tomamos os fatores comuns com o menor expoente. 
' Multiplicamos esses fatores entre si. 
Exemplo: 
Vamos calcular o m.d.c. dos números 15 e 24. Para isto, vamos decompô-los em fatores primos: 
15 
 
3 
5 5 
1 
 
24 
 
2 
12 2 
6 2 
3 3 
 1 
 
15 = 3 X 5 e 24 = 2
3
 X 3 
O fator comum é 3 
E 1 é o menor expoente dentre todos. 
O m.d.c. (15, 24) = 3 
 
Exemplo: 
Queremos calcular o m.d.c. de 20 e 21. 
20 
 
2 
10 2 
5 5 
1 
 
21 
 
3 
7 7 
1 
 
20 = 2
2
 X 5 e 21 = 3 X 7 
O fator comum é 1 
O m.d.c. (20, 21) = 1 
 
Para lembrar: 
Dizemos que dois números Naturais distintos são 
Primos entre si quando seu m.d.c. é 1. 
 
 
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Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números Naturais não-
nulos 
É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números. 
Para calcular o m.m.c. de dois ou mais números, devemos seguir também uma série de etapas: 
• Decompomos os números em fatores primos. 
• Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente. 
• Multiplicamos esses fatores entre si. 
Exemplo: 
Calculemos o m.m.c. dos números do primeiro exemplo, 15 e 24. 
Como já foram decompostos em fatores primos, temos: 
15 = 3 X 5 
 
24 = 23 X 3 
 
Os fatores comuns e não-comuns com 
 
o maior expoente são 23, 3 e 5 
Assim, o m.m.c. (15, 24) = 23 X 3 X 5 = 120 
Exemplo: 
Calculemos o m.m.c. dos números do segundo exemplo, 20 e 21. 
20 = 22X 5 
 
21 = 7 X 3 
 
Os fatores comuns e não-comuns com 
 
o maior expoente são 22, 3, 5 e 7. 
O m.m.c. (20, 21) = 22 X 3 X 5 X 7 = 420 
Relação entre o m.d.c. e o m.m.c. de dois números 
O produto de dois números é igual ao produto de seu m.d.c. por seu m.m.c. 
Exemplo: 
Vamos calcular o m.d.c. e o m.m.c. de 30 e 50: 
30 
 
2 
15 3 
5 5 
1 
 
50 
 
2 
25 5 
5 5 
1 
 
30 = 2 X 3 X 5 
 
50 = 2 X 52 
 
O m.d.c. (30, 50) = 2 X 5 = 10 
 
O m.m.c. (30, 50) = 2 X 3 X 52 
 
= 150 
Comprove, agora, a relação. Para tanto: Multiplique o m.d.c. e o m.m.c.: 
 
O grego Eratóstenes, 
criador de um método 
especial para separar 
números Primos e não-
primos 
 
 
Matemática – Régis Cortes 
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10 X 150 = 1 500 
Em seguida, multiplique os dois números: 
30 X 50 = 1 500