Vestibular 99 UFC

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U N I V E R S I D A D E   F E D E R A L   D O   C E A R Á
C O M I S S Ã O   C O O R D E N A D O R A   D O   V E S T I B U L A R 
 
COMENTÁRIOS DA PROVA DE MATEMÁTICA – 1a ETAPA – 1999
01. A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1 : 50. Então a área real, em m2, de uma 
sala retangular cujas medidas na planta, são 12 cm e 14 cm é:
A) 24.
B) 26.
C) 28.
D) 42.
E) 54.
Comentário ­  A utilização de escalas em Geografia, Geologia, Arquitetura e Engenharia representa uma 
aplicação do conceito  matemático de razão. Deseja­se nesta questão medir a habilidade do candidato 
em compreender este conceito e aplicá­lo com relação a unidades de área..
Solução ­  Como a escala é de 1:50, cada centímetro na planta representa 50 centímetros na área real. 
Portanto, as medidas reais da sala retangular são: 50x12cm = 600cm = 6m, e 50x14cm = 700cm = 7m. 
Logo a área da sala será de  6m x 7m = 42 m2 . Opção correta D.  
02. José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e 
mensal.  Se no  final  dos 5  meses José   recebeu um total  de R$ 600,00,  então a  taxa  fixa mensal 
aplicada foi de:
A) 0,2%.
B) 0,4%.
C) 2%.
D) 4%.
E) 6%.
Comentário ­  O sistema de juros simples atualmente é  mais utilizado em empréstimos pessoais e por 
prazos   curtos.   Em   quase   todas   as   transações   financeiras   utiliza­se   o   sistema   de     capitalização 
composto.  Nesta questão objetiva­se avaliar    a capacidade de o   candidato resolver um problema 
extremamente fácil sobre juros simples.
Solução ­ No sistema de capitalização simples temos:
M = C(1 + in) onde  M = Montante ; C = Capital inicial ; i = taxa ; n = período
Logo :  600 = 500(1+ i.5) ∴
500
600
= 1 + 5i  ∴  1,2 = 1 + 5i ∴  0,2 = 5i ∴  i = 
5
2,0
∴  i = 0,04.
Portanto, a taxa fixa mensal aplicada foi de 4%. Opção correta D.
03. Na figura abaixo, os segmentos de reta  CDeAC,AB  são congruentes, β  é um ângulo externo, e 
α  um ângulo interno do triângulo ABD.
Assinale a opção que contém a expressão correta de β  em termos de α .
A) β  = 3α .
B) β  = 2α
C) β  = α /2.
D) β  = 2α /3.
E) β  = 3α /2.
Comentário   ­  O  teorema  do  ângulo  externo   foi   um dos  primeiros   resultados    obtidos  na    Geometria 
Euclidiana, como o foi a demonstração de que os ângulos internos da base de um triângulo isósceles 
são congruentes. Nesta questão deseja­se medir   a capacidade do candidato na utilização conjunta 
destes dois simples resultados.
Solução ­ Como AC = CD,  DAˆC  mede α , e, portanto, o ângulo externo  ACˆB mede 2α .
Como AB = AC ,  CBˆA mede 2α  . Como β  é ângulo externo do triângulo ABC, temos :
β  = α  + 2α  =  3α . Opção correta A.
04. Seja   A = 
23
1
+
,  e  B = 
23
1
−
 , então,  A + B  é igual a:
A) – 2 2 .
B) 3 2 .
C) –2 3 .
D) 3 3 .
       E)    2 3 .
Comentário ­ A questão visa a medir a  capacidade  do candidato de operar com números  reais.
Solução:
A   +   B   =  
23
1
+
+  
23
1
−
  =   ( ) ( ) 22 23
23
−
−
+   ( ) ( ) 22 23
23
−
+
=
23
23
−
−
+
23
23
−
+
= 
32
A + B =  32 .  Opção correta E.
05. Seja r a reta que passa pelos pontos P(1, 0)   e Q(–1, –2). Então, o ponto simétrico de N(1, 2), com 
relação a reta r é:
A) (0, 0).
B) (3, 0).
C) (5/2, 1).
D) (0, –1).
E) (1, 1).
A
B C D
α
β
Comentário ­  Aqui se pretende avaliar a habilidade do candidato em lidar  com conceitos e operações 
simples da Geometria Analítica, mais precisamente com a determinação de equações   de retas e com o 
conceito de simetria de um ponto com relação a uma reta.
Solução:
(i) Determinação da reta r que passa por P e Q
  (y – 0) = m (x – 1),  onde m = 
11
02
−−
−−
 = 1
Logo  r : y = x – 1
(ii) Determinação da reta s que passa por (1,2) e é perpendicular à reta que passa por P e Q.
(y – 2) = – (x – 1)
Logo  s : y = – x + 3
(iii) Determinação do ponto de encontro de r e s
x – 1 = – x + 3  ∴  2x = 4 ∴  x = 2.  Como y = x – 1, temos y = 1.
(iv) Determinação do simétrico de N. 
Sejam x0 e y0 as coordenadas de N.
Então   2 = 
2
1x0 +   ∴  4 = x0 + 1  ∴  x0 = 3 e 1 = 
2
2y0 +   ∴  2 = y0 + 2  ∴  y0 = 0
Então, o ponto simétrico de N(1, 2), com relação a reta r, é (3,0). Opção correta B.
06. Considere a matriz M =








αα
αα
1
1
111
2
2 , onde  α   representa qualquer uma das raízes (complexas) 
da equação x2  + x + 1 = 0. Se detM simboliza o determinante da matriz M, assinale a opção na qual 
consta o valor de (detM)2 + (detM) + 1.
A)   i.
B)   0.
C) –1.
D)   1.
E) – i.
Comentário  ­  Deseja­se saber se o    candidato  sabe calcular  o   determinante de uma matriz  3x3.  No 
entanto, exige­se também certa habilidade algébrica para isolar  a expressão ∝2 + ∝ + 1 e reconhecer 
que a mesma é nula, em virtude de ∝ ser raiz da equação x2 + x + 1 = 0.
Solução ­ Desenvolvendo o determinante, encontramos :
detM = ∝2 + ∝4 + 1 ­ ∝ ­ ∝2 ­ ∝3 = ∝4 ­ ∝3  ­ ∝ + 1 = ∝4  ­ ∝ ­  (∝3   ­ 1) =
∝ (∝3   ­ 1) ­  (∝3   ­ 1) = (∝3   ­ 1)( ∝ ­ 1) =  (∝2 + ∝ + 1) (∝  ­ 1)( ∝ ­ 1) =
(∝2 + ∝ + 1) (∝  ­ 1)2 = 0 pois ∝2 + ∝ + 1 = 0, já que ∝ é uma raiz da equação 
x2 + x + 1 = 0.
Portanto, (detM)2 + (detM) + 1 = 1. Opção correta D.
07. As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo são dadas pelos números que são 
raízes da equação 4x3 – 24x2 + 47x – 30 = 0. Então, a área deste triângulo, em cm2, é:
A) 1,5. 
B) 0,5.
C) 7,5.
D)   6.  
E)   3. 
Comentário   ­  Neste  quesito  estão  aliados  conhecimentos  elementares  de  Geometria  Plana,  como    o 
Teorema de  Pitágoras e a fórmula da  área de um triângulo, bem como conhecimentos elementares 
de álgebra,  como as relações entre coeficientes e raízes de uma equação algébrica. Mede­se portanto 
a capacidade do candidato em lidar com tais conceitos.
Solução ­ Sejam a,b e c as raízes da equação dada. Podemos, sem perda de generalidade, afirmar que 
a2 = b2 + c2.
Em vista das relações entre os coeficientes e as raízes temos a+b+c = 6 e ab+ac+bc = 
4
47
Como (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+ac+bc), obtemos
36 = 2a2 + 
2
47
∴2a2 = 36 – 
2
47
 ∴  2a2 = 
2
25
 ∴  a2 = 
4
25
 ∴  a = ±
2
5
Como a representa, a medida de um segmento, temos a =  
2
5
Como abc = 
4
30
, temos bc = 
a4
30
= 
4
30
5
2
 = 3
Como S = 
2
bc
cm2, temos S = 
2
3
 cm2 = 1,5 cm2
Opção correta A.
08. Considere o número complexo  z = ( 1 + i ).( 3 – i ). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro 
positivo n, tal que zn seja um número real positivo.
A)   6.
B) 12.
C) 18.
D) 24.
E) 30.
Comentário ­ O objetivo principal desta questão é verificar se o candidato sabe trabalhar com a forma polar 
e aplicar propriedades das operações com números complexos.
Solução:
Sabemos que z1 =  1z (cosθ 1 + i senθ 1) e z2 =  2z (cosθ 2 + i senθ 2)
Então, z1 .z2 =  1z 2z  (cos(θ 1+θ 2) + i sen(θ 1 + θ 2))
Como (1 + i) =  2 (cos(
4
pi
) + i sen(
4
pi
)), e ( 3 ­ i) = 2(cos(­
6
pi
) + i sen(­
6
pi
))
temos (1 + i) ( 3 ­ i) = 2  2 (cos(
4
pi
­
6
pi
) + i sen(
4
pi
­
6
pi
)) = 2 2 (cos(
12
pi
) + i sen(
12
pi
))
Sabemos que, se z =   z  (cosθ  + i senθ ), então zn = (cos nθ  + i sen nθ )
Logo zn = (2 2 )n (cos(
12
npi
) + i sen(
12
npi
))
Como desejamos que zn seja real e positivo, deveremos ter cos(
12
npi
) > 0 e sen(
12
npi
) = 0.
Assim  
12
npi
deverá  ser um múltiplo de 2pi .  Como queremos encontrar o menor n, deveremos ter 
12
npi
 = 2pi  Portanto  n = 24. Oopção correta D.
09. Considere a igualdade  
tgx2
)xsec2.(P
gxcottgx
2
−
+= . Assinale a opção que apresenta o valor 
de P, para o qual a igualdade acima seja válida para todo x∈ R,  x ≠  
2
kpi
,  k inteiro.
A)   2.
B)   1.
C)   0.
D) –1.
E) –2.
Comentário­  Esta questão explora trigonometria,  cobrando do candidato conhecimentos com relação à 
identificação  de  condições  para  que   tenhamos  uma   igualdade,  o  que  exige   familiaridade  com as 
funções trigonométricas, como também habilidade no trato de equações.
Solução ­ Seja x ∈ R,  x ≠  
2
kpi
,  k inteiro.
Multiplicando os dois membros da equação por 2tgx, obtemos
2tg2x = 2 + 2P – Psec2x ∴  2tg2x = 2 + 2P – Ptg2x – P ∴  (2 + P) tg2x = (2 + P)
Para que a última igualdade seja válida para todo x ∈ R,  x ≠  
2
kpi
,  k inteiro, deveremos ter (2 + P) = 
0, ou seja P = – 2. Opção correta E.  
10. Sejam    βα e    números reais. Suponha que ao desenvolvermos  ( )5yx β+α , os coeficientes 
dos monômios x4y   e   x3y2 sejam iguais a 240 e 720, respectivamente. Nestas condições, assinale a 
opção que contém o valor de  β
α
.
A) 1/2.
B) 3/2.
C) 1/3.
D) 3.
E) 2/3.
Comentário .  Do candidato é exigido o conhecimento da forma do termo geral de um desenvolvimento 
binomial.  É   interessante perceber que rapidamente se chega ao valor do quociente   β
α
,  sem ser 
necessário conhecer os valores de  α   e  β .
Solução ­ No desenvolvimento de (α x + β y)5 sabemos que o coeficiente do monômio x4y é 5α 4β , e que o 
coeficiente do monômio x3y2 é 10α 3β 2.
Portanto 5α 4β  = 240 e 10α 3β 2 = 720
Logo  23
4
β10α
β5α
= 
720
240
, ou seja, 
2β
α
= 
3
1
 ∴   β
α
= 
3
2
 .      Opção correta E.
11. No triângulo ABC abaixo, a é a base, h a altura relativa à esta base, e b o lado oposto ao ângulo de 
45o.
Se a + h = 4, então o valor mínimo de b2 é:
A) 16. 
B) 16/5.
C) 4/5.
D) 54 .
E) 516 .
Comentário ­ Esta questão requer do candidato a habilidade
em reconhecer a aplicação do Teorema de Pitágoras e, 
sequencialmente, perceber que b2 é uma função quadrática
em a ou h, dependendo de sua escolha. Portanto, determinar
o valor mínimo  de b2 é simplesmente determinar o valor
mínimo desta função. Uma solução idêntica, mas talvez
mais rápida, pode ser conseguida aplicando inicialmente
a lei dos cossenos.
Solução ­ Seja H o pé da altura ,no lado BC. Como h é a altura relativa à base a, o ângulo  CHˆB  é reto, 
e, portanto, o ângulo  HAˆB mede 450. Assim o triângulo ABH é isósceles, e daí o segmento BH mede 
h, e, em conseqüência, o segmento de reta HC mede a – h.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo AHC, obtemos  b2 = h2 + (a – h)2
A
B Ca
h b
45o
A
B Ca H
b
45o
h AB Ca h b45o
Como a + h = 4, temos a = 4 – h
Obtemos então b2 = h2 + (4 ­ h ­ h)2 = h2 + (4 ­ 2h)2 = h2 + 16 – 16h  + 4h2 = 5h2 – 16h + 16
Assim, b2 é uma função quadrática de h e esta função possui um mínimo  cujo valor é
20
)16.5.4)16(( 2 −−− = 
20
)16.2016.16( −−
= 
5
16
.  Opção correta B.
                   
12. Considerando o espaço amostral constituído pelos números de 3 algarismos distintos, formados pelos 
algarismos 2, 3, 4, e 5, assinale a opção em que consta a probabilidade de que ao escolhermos um 
destes números, aleatoriamente, este seja múltiplo de 3
A) 1/3.
B) 1/4.
C) 1/2.
D) 2/3.
E) 3/4.
Comentário ­  Neste  quesito  exige­se  do candidato  que  ele  possua,  ao mesmo  tempo,  habilidade  em 
contagem  e   conhecimentos   rudimentares   de     Aritmética.  Neste   caso,   deverá   saber   o   critério   de 
divisibilidade por 3.
Solução ­ Um número é múltiplo de 3 se, e somente se,a soma de seus algarismos é um múltiplo de 3. A 
nossa  preocupação será  então verificar  em quantos  dos    números  a  soma dos  algarismos é  um 
múltiplo de 3. Como a adição é comutativa, a ordem dos algarismos não tem importância, e, portanto, 
basta examinarmos as combinações. Temos portanto combinação de 4 elementos 3 a 3, que dá um 
total de 4 combinações. Consideremos então: 
2 3 4 2 4 5 2 3 5 3 4 5
    2+3+4 = 9              2+4+5 = 11        2+3+5 = 10         3+4+5 = 12
Como dentre as quatro combinações apenas duas fornecem múltiplos de 3, a probabilidade pedida 
será 
4
2
 = 
2
1
.    Opção correta C.
13. Uma dona de casa programou uma recepção no aniversário de seu marido e solicitou a um Buffet que 
fizesse 7  salgadinhos de um certo   tipo para cada convidado.  No dia  da recepção,  ao receber os 
salgadinhos,  notou que havia  2 a  mais  do que o  encomendado.  Por  outro   lado,  compareceram à 
recepção 3 convidados a mais do que o esperado. A dona da casa resolveu o imprevisto, distribuindo 
exatamente 6 salgadinhos para cada convidado presente. Com base nessas informações, assinale a 
opção que contém o número de salgadinhos preparados pelo buffet. 
A) 108
B) 114
C) 120
D) 126
E) 132
 
Comentário   ­  Trata­se   de   um   quesito   de   carater   lúdico.   Coloca­se   uma   situação  muito   próxima   da 
realidade. O detalhe interessante é que a dona de casa se dá muito bem com números, característica 
presente  na  maioria  das  pessoas  nascidas  em uma certa  época.  De  qualquer   forma  o  candidato 
poderia resolver o problema testando as respostas, o que não seria nada elegante. A solução simples 
pode ser feita com uma equação do primeiro grau.
Solução ­ Seja  s  o número de salgadinhos feitos pelo buffet. Então :
s = 7k + 2 ,onde k representa o número de convidados previstos inicialmente.
No entanto a dona de casa notou também que s = 6(k + 3)
Temos então 
7k + 2 = 6(k + 3) ∴  k = 16
Daí,   s = 7.16 + 2 = 114.    Opção correta B.
14. Seja S o conjunto solução da inequação  0))8x(LogxLog(Log 93
3
1 ≥−+ . Se Z representa 
o conjunto dos números inteiros, então o conjunto Z ∩  S possui exatamente:
A) 2 elementos
B) 3 elementos
C) 1 elemento
D) 4 elementos
E) 5 elementos
Comentário  ­  Nesta questão exige­se do candidato  conhecimentos precisos das propriedades de uma 
função logarítmica. No mais, sua habilidade em resolver inequações do segundo grau e interpretar os 
resultados obtidos
Solução ­ Deveremos ter x > 0 e x – 8 > 0 e portanto x > 8
0)8x(LogxLog(Log 933/1 ≥−+
1)8x(LogxLog0 93 ≤−+<
1)8x(Log
2
1
xLog
2
1
0 33 ≤−+<
2)]8x(x[Log0 3 ≤−<
9Log)]8x(x[Log1Log 333 ≤−<
9)8x(x1 ≤−<
09x8x8 2 ≤−−<−
09x8x2 =−−  ⇔ (x = –1 ou  x = 9) 
Sinal de x2 – 8x – 9
89x8x2 −=−−  ⇔  01x8x2 =−−  ⇔ (  x = 
2
688+   ou  x 
= 
2
688−  )
Sinal de x2 – 8x – 1
          
+ + + + + + 
 –1   9
 •   •
_ _ _ _ _ _ _ _ _
+ + + + + +
+ + + + + + + +
2
688−
   •   •
_ _ _ _   
+ + + + + + + + 
2
688+
Observando os sinais, vemos que ( 09x8x8 2 ≤−−<−   e x > 8) ⇔ 
2
688+ < x  ≤  9
Daí  S = {x  ∈ IR  tq 
2
688+ <  x  ≤   9} e portanto S ∩ Z = {9}
Logo S ∩ Z possui  exatamente 1 elemento. Opção correta C.
15. Um ponto L dista  2r  unidades de comprimento do centro  de uma circunferência  cujo  raio  mede r 
unidades de comprimento. A partir de L conduza duas tangentes à circunferência e denote os pontos 
de tangência por P e T. Então, a área lateral do cone circular reto, gerado pela rotação do triângulo 
LPT, tendo como eixo de rotação a mediana que parte de L, medida em unidades de área é:
A) 2rpi .    
B)
2
r3 2pi . 
C)
2
r2pi .  
D) 2r2pi .  
E) 2r5pi . 
Comentário ­ Uma questão em que se mede inicialmente a habilidade de leitura, por parte do candidato, de 
um texto simples em matemática. Em adendo se exige o conhecimento de resultados usuais de 
Geometria Plana e Espacial.
Solução:
Os ângulos  LPˆO e  LTˆO  são retos e portanto os triângulos 
OPL e OTL são retângulos. 
Pelo Teorema de Pitágoras 
(2r)2  = r2 + (PL)2
4r2 = r2 + (PL)2
PL = r  3
A tangente do  ângulo  LOˆP é  
r
3r  =  3
Portanto   LOˆP  mede 600. Daí PM = r sen 600 = 
2
3r
Ou seja, o raio do cone gerado pela ravoução é  
2
3r
Sabemos que  área lateral de umcone circular reto é pi Rg ( onde R é o raio da base do cone e g é a 
geratriz)
No caso, R =  PM = 
2
3r  e g = PL = r  3   
Portanto: 
2
r3
3r.
2
3r
.gR
2pi
=pi=pi
.  Opção correta B.
3r
3r
  • 
 T
 r
 P
 r  L
  M
 r
 r
 O
	Comentário - Trata-se de um quesito de carater lúdico. Coloca-se uma situação muito próxima da realidade. O detalhe interessante é que a dona de casa se dá muito bem com números, característica presente na maioria das pessoas nascidas em uma certa época. De qualquer forma o candidato poderia resolver o problema testando as respostas, o que não seria nada elegante. A solução simples pode ser feita com uma equação do primeiro grau.