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DISTRIBUIÇÃO 
DE POISSON
DEFINIÇÃO
Uma variável aleatória 𝑋 tem distribuição de Poisson com parâmetro 𝜆 > 0, se sua 
função de probabilidade é dada por 
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑒−𝜆𝜆𝑘
𝑘!
, 𝑘 = 0, 1, 2, … ,
com o parâmetro 𝜆, sendo usualmente referido como taxa de ocorrência. 
O número 𝑒 = 2,71828… é um número irracional chamado de número de Euler.
Notação: 𝑋~𝑃𝑜 𝜆 .
• O modelo de Poisson é muito utilizado em experimentos físicos e biológicos;
• Nesses casos, 𝜆 é a frequência média ou esperada de ocorrências num determinado intervalo 
de tempo.
• O fato de a função do slide anterior ser uma função de probabilidade decorre da série de 
potências
෍
𝑘=0
∞
𝜆𝑘
𝑘!
cujo valor é exatamente igual a 𝑒𝜆.
• A distribuição de probabilidade do modelo de Poisson é 
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = ෍
𝑘=0
𝑛
𝑒−𝜆𝜆𝑘
𝑘!
,
onde 𝑛 é o maior número inteiro menor ou igual a 𝑥.
EXEMPLOS
1) A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através da 
distribuição de uma Poisson, com valor de parâmetro dependendo da 
fonte utilizada. Suponha que o número de partículas alfa, emitidas por 
minuto, seja uma variável aleatória seguindo o modelo de Poisson com 
parâmetro 5, isto é, a taxa média de ocorrência é de 5 emissões a cada 
minuto. Vamos calcular probabilidade de haver mais de 2 emissões de 
partículas alfa por minuto.
Pelo enunciado, temos que 𝜆 = 5 e a função de probabilidade é 
𝑃 𝐴 = 𝑘 =
𝑒−55𝑘
𝑘!
Seja 𝐴 o número de partículas alfa emitidas por minuto. 
Pelas suposições feitas, temos 𝐴~𝑃𝑜(5), e a probabilidade desejada será
𝑃 𝐴 > 2 = ෍
𝑘=3
∞
𝑃 𝐴 = 𝑘 = 1 − 𝑃 𝐴 = 0 + 𝑃 𝐴 = 1 + 𝑃(𝐴 = 2)
= 1 −
𝑒−550
0!
+
𝑒−551
1!
+
𝑒−552
2!
= 1 − 0,007 + 0,034 + 0,084 ≈ 0,875
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE!!!
Se o intervalo de tempo é alterado, a variável aleatória mantém a mesma distribuição 
de Poisson, mas com valor do parâmetro ajustado de forma proporcional. 
Assim, no exemplo anterior, se o período de tempo considerado for de dois minutos, 
teremos que o número de partículas emitidas em dois minutos terá distribuição de 
Poisson 𝑃𝑜(10).
2) Engenheiros da companhia telefônica estudam se o modelo de Poisson pode ser 
ajustado ao número 𝑁 de chamadas interestaduais que chegam, por hora, a uma 
central telefônica, durante o período da noite. Os dados coletados, referentes a 650 
períodos de uma hora, estão apresentados a seguir:
Chamadas 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8
Frequência 
observada
9 38 71 115 125 106 79 50 57
Para o modelo de Poisson, os engenheiros sugerem utilizar uma taxa de ocorrência de 
4,5 chamadas por hora no período estudado, ou seja, 𝜆 = 4,5. 
Então, a função de probabilidade é 
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑒−4,5 ∙ (4,5)𝑘
𝑘!
A frequência esperada 𝑓𝑒 𝑋 = 𝑘 de ocorrências com 𝑘 chamadas é obtida 
multiplicando-se 650 (total de observações) pela probabilidade 𝑃 𝑋 = 𝑘 , ou seja,
𝑓𝑒 𝑋 = 𝑘 = 650 × 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 650 ×
𝑒−4,5 ∙ (4,5)𝑘
𝑘!
Por exemplo, a frequência esperada para 2 chamadas é 
𝑓𝑒 𝑋 = 2 = 650 ×
𝑒−4,5 ∙ (4,5)2
2!
= 73,13.
Com isso, podemos calcular todos os valores esperados e adicioná-los na tabela 
anterior:
Chamadas 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8
Observada 9 38 71 115 125 106 79 50 57
Esperada 7,22 32,50 73,13 109,66 123,37 111,02 83,27 53,56 56,36
3) Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone 
e internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio (no horário 
comercial) é uma variável aleatória discreta com distribuição de Poisson com taxa 
de 5 pedidos por hora.
a) Calcule a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora.
b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos?
c) Não haver nenhum pedido, em um dia de trabalho, é um evento raro?
EXERCÍCIOS
1) Um time paulista de futebol tem probabilidade 0,92 de vitória sempre que joga. Se 
o time atuar 4 vezes, determine a probabilidade de que vença:
a) Todas as quatro partidas.
b) Pelo menos uma partida.
c) No máximo 3 partidas.
2) No estudo do desempenho de central de computação, o acesso à Unidade Central 
de Processamento (CPU) é assumido ser Poisson com 4 requisições por segundo. 
Essas requisições podem ser várias naturezas tais como: imprimir um arquivo, 
efetuar um certo cálculo ou enviar uma mensagem pela Internet, entre outras.
a) Escolhendo-se ao acaso um intervalo de 1 segundo, qual a probabilidade de haver 
mais de 2 acessos à CPU? E do número de acessos não ultrapassar 5?
b) Considerando agora o intervalo de 10 segundos, também escolhido ao acaso, qual é 
a probabilidade de haver 50 acessos?